山东省淄博某中学2024-2025学年高二年级上册1月期末模拟数学试题（含答案解析）

山东省淄博实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末模拟

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若方程工一-己=1表示椭圆，则实数加的取值范围是（）

4-mm

A.（-8,0）B.（0,4）C.（4,+功D.（-8,0）30,4）

2.抛物线夕=:一的焦点坐标是（）

4

A.（1,0）B.（0,1）C.（2,0）D.（0,2）

3.平面内点P到月（0,-2）,月（0,2）的距离之和是8,则动点尸的轨迹方程是（）

乙《+片=

A.2+=1B,1c=1D-i?+E=1

1241612-<4

r22

4.如图，F、、月分别是双曲线C：I=1（a>0,6>0）的左、右焦点，过耳的直

a

线I与C的左、右两支分别交于点A、B.若与为等边三角形，则双曲线C的离心率

2百

D.也

5.在直三棱柱4AG-ABC中，NBCA=90。，2,片分别是44,4G的中点，BC=C/=CC、,

则/。与24所成角的余弦值是（）

V30

IF"f

试卷第1页，共4页

6.若圆/+/+依+岛+2。-3=0与x轴没有交点，则实数。的取值范围为（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,+s）

7.如图，在三棱锥尸-48C中，V48C与△尸48都是边长为2的等边三角形，且尸C=VJ,

则点P到平面ABC的距离为（）

A.1B.2C.-D.叵

224

22

8.已知O为坐标原点，椭圆E:1r+}=1（a>6>0）的左，右焦点分别为耳工，左、右

顶点分别为4B,焦距为2c,以FtF2为直径的圆与椭圆E在第一和第三象限分别交于

M,N两点.且丽7.方=2技c,则椭圆E的离心率为（）

A.—B.V2C.—D.—

233

二、多选题

22

9.已知双曲线土-L=sin?。（。卡k兀，kwZ）,则不因。改变而变化的是（）

42

A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程

10.在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲、乙两名选手评出的成绩（分数），则

A.甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差

B.甲选手成绩的75%分位数小于乙选手成绩的75%分位数

3

C.从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为二

试卷第2页，共4页

D.从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均

分”是对立事件

11.如图所示，在棱长为2的正方体-44GA中，P,。分别是线段5Q,NC上的

动点，则下列说法正确的有（）

A.线段尸。长度的最小值为2

B.满足产。=20的情况只有4种

C.无论尸，。如何运动，直线尸。都不可能与2。垂直

D.三棱锥尸-的体积大小只与点。的位置有关，与点尸的位置无关

三、填空题

12.若点尸（2,2）是圆。：/+/一2了+3-冽=0外的一点，则机的取值范围是.

13.短轴长为2石，离心率e=；的椭圆的两焦点为耳，耳，过耳作直线交椭圆于A、5两点,

则△/3g周长为.

22

14.已知双曲线C：彳=1（«>0,b〉0）的左、右焦点分别为月（-c,0）,月（c,0）,

直线/：加+即-庆=0与c相交于点“，若|町|28|烟|,则离心率e的取值范围

为.

四、解答题

15.已知动点〃到点（6,0）的距离比它到直线x+8=0的距离小2,记动点M的轨迹为C.

⑴求C的方程；

试卷第3页，共4页

(2)直线/与C相交于48两点，若线段的中点坐标为(4,-2),求直线/的方程.

16.在如图所示的多面体NFDCBE中，48_L平面BCE,ABHCDHEF,BE1EC,48=4,

E

(1)在线段8C上是否存在一点G,使得EG//平面/FC?如果存在，请指出G点位置并证明;

如果不存在，请说明理由;

(2)当三棱锥。-/FC的体积为8时，求二面角4F-C的余弦值.

17.写出下列试验的样本空间：

(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；

(2)从一批产品(次品和正品的个数均大于3件)中，依次任选三件，记录出现正品与次品

的情况.

18.已知椭圆C:1r+方=1(°>6>0)的焦距为2,且经过点《1,

(1)求椭圆C的方程；

(2)点乙尸是椭圆C上的两个动点，若直线/E的斜率与直线/尸的斜率互为相反数，证明直

线砂的斜率为定值，并求出该定值.

19.已知尸为抛物线C:/=2pxS>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线/上的一点,

直线MF的斜率为-LOFM的面积为1.

(1)求C的方程；

⑵过点厂作一条直线交C于42两点，试问在/上是否存在定点N,使得直线N4与A®

的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《山东省淄博实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末模拟数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABDBACCDBDABD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围.

【详解】方程上一-片=1变形得：上+£=1,

4-mm4-m-m

4-m>0

该方程要表示椭圆，则需要满足卜加〉0,解得：m<0,

4-m-m

故选：A.

2.B

【分析】根据题意，化简方程为f=4y,结合抛物线的几何性质，即可求解.

【详解】由抛物线y=可得抛物线的标准方程为工2=4%

所以抛物线的焦点坐标为尸(0,1).

故选：B.

3.D

【分析】利用椭圆的定义，求得瓦c,从而得解.

【详解】由题意，平面内点尸到耳(0,-2),月(0,2)的距离之和是8,

所以动点尸的轨迹E为椭圆，焦点在了轴上，且c=2,2a=8,即。=4,

所以〃=a2-c2=16-4=12,

22

所以动点尸的轨迹方程为匕+'=1.

1612

故选：D.

4.B

【分析】根据双曲线的定义求出在4/4月中，\AF^=2a,\AF2\=^a,则由工为等边三

角形得N不48=120。，再利用余弦定理可得c=V70,从而可求出双曲线的离心率

【详解】解：根据双曲线的定义可得|列|-|叫|=%,

答案第1页，共13页

因为匕为等边三角形，所以忸用=ZFtAF2120°

所以忸耳|一|/叫=|/用=2,

因为|4月卜|/耳|=%,所以|4名|=W凰+勿=刊，

因为在△/4工中，|/周=20,|/工|=4a,=120°,

所以阳凡『=|/父+/寸-2M|.\4F2|COS120P,

BP4c2=4a2+16a2—2义2。x4ax28优,

所以c=y/la,

所以双曲线的离心率为e=£=J7,

a

故选：B

5.A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求.

【详解】以点C为坐标原点，分别以在，CA,西为x轴，y轴，z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，如图所示，^BC=CA=CCl=2,

则/(0,2,0),"(1,1,2),5(2,0,0),£(1,0,2),

.•.语=(1,-1,2),西=(-1,0,2),

ADX-BFX3V30

：.直线g和直线BK所成角的余弦值为

珂阿76x75-10,

【分析】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可.

答案第2页，共13页

【详解】x2+y2+Qx+G〉+2q—3=o即++y+-^-=：/-2。+^,

—a2-2a-\>0,解得a<3或Q>5,

44

且其圆心坐标为-彳，-+，若该圆与％轴没有交点，

I22J

则%一2a+g,解得ae（2,3）U（5,6）

故选：C.

7.C

【分析】根据题意，取NB中点。，连接P2C。，由线面垂直的判定定理可得N5，平面尸8,

从而可得平面48C，平面尸C。，则点尸到平面N3C的距离为点尸到直线C。的距离，即可

得到结果.

【详解】

取NB中点。，连接尸2C。，

因为V/BC与A尸48都是边长为2的等边三角形，

所以PZ）_L/3,CD_L/3,PD=CD=5

且PDccr>=。，pz）,cr>u平面PCD,

所以481,平面PC。，且/8u平面NBC,所以平面/8C_L平面尸CD,

所以点尸到平面/8C的距离为点P到直线CD的距离，

过点尸做PE，CO,所以点P到直线CD的距离即为尸£,

又尸C=g,且尸。=CD=JL所以△尸CD为等边三角形，

所以PE=/cos30o=6x/=-,

22

3

即点P到平面ABC的距离为7.

2

故选：C

8.D

答案第3页，共13页

【分析】求得耳耳为直径的圆的方程为V+y2=c2,与椭圆方程联立方程组可得

--，根据已知可是丑«上=26无，求解即可得

椭圆E的离心率.

【详解】以用£为直径的圆的方程为/+J?=c2,

V+V

解得X2="(C2J2),「=*,

联立

b2x2+a2y2=b2a2cc

又4(-〃,0),3(Q,0),

所以而7=(生昼也)，AB=(2a,Q),

ac

所以NM-AB=4。力。0I=2®c，

c

LU4tZ2(c2-b2)=3c4,所以442c2-4/(42一°2)=3°4,

所以3。4—8。2。2+4。4=0,所以34—8/+4=O,

解得e2=：或e?=2（舍去）.

所以e=色

3

故椭圆E的离心率为逅.

3

故选：D.

9.BD

【解析】将双曲线方程整理为标准方程，写出焦距，离心率，顶点坐标和渐近线方程，判断

是否因e改变而变化，即可得解.

22

【详解】整理双曲线方程可得-----J=i，c=7^^万

4sin02sin0

该双曲线焦距为：2j6sin2。，

离心率为：”V6

2

顶点坐标为（24而00）和卜2r而仇0卜

答案第4页，共13页

渐近线方程为y=土楙，

不因。改变而变化的是离心率与渐近线方程.

故选：BD.

【点睛】本题考查了双曲线的简单性质的应用，属于基础题.

10.ABD

【分析】直接由极差、百分位数、古典概型概率以及对立事件的概念依次判断4个选项即可.

【详解】对于A选项，根据极差的概念，可知甲选手成绩的极差为96-86=10,乙选手成

绩的极差为95-86=9.故A正确；

对于B选项，5x75%=3.75,则甲成绩的75%分位数是91,乙成绩的75%分位数是92.故B

正确；

对于C选项，甲的平均成绩为gx(87+90+96+91+86)=90,从甲的5次成绩中任取2次成

绩样本空间

有。={(87,90),(87,96),(87,91),(87,86),(90,96),(90,91),(90,86),(96,91),(96,86),(91,86)),共

10个样本点，

其中均大于甲的平均成绩的样本点只有1个为(96,91),故所求概率为故C错误.

对于D选项，乙的平均成绩为gx(90+86+92+87+95)=90，抽到不超过平均分的个数为0,

1,2,

所以事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件，故D正确；

故选：ABD.

11.ABD

【分析】对于A选项，当尸，。分别是线段与0，/C的中点时，满足;对于B选项，P。=2亚

只能是四种；对于C选项，当尸与皮点重合，点。与C点重合时，故

PQ1BD、；对于D选项，由于点尸到平面的距离是2,底面的面积随着点。的

移动而变化即可得答案..

【详解】对于A选项，当P,。分别是线段与，，NC的中点时，尸。是异面直线4口，AC

的公垂线，此时线段尸。长度最小，为2,故A选项正确；

对于B选项，尸0=2后只能是面对角线，此时尸。可以是练C氏四种，故B选

答案第5页，共13页

项正确；

对于C选项，当P与"点重合，点。与C点重合时，此时的直线产。（即4C）与平面8G。

垂直，故尸故C选项错误；

对于D选项，由于点P到平面的距离是2,底面A0A4的面积随着点0的移动而变化,

所以三棱锥尸-/2。的体积大小只与点0的位置有关，与点尸的位置无关，故D选项正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查空间线线，线面位置关系和距离体积的求法，考查运算和推理能力，转化

思想，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于取特殊的点，寻找使得条件成立的实

例，进而求解.

12.（2,7）

【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解.

【详角单】圆C:尤2+/一2y+3-%=0的标准方程为f-m-2,

又点P（2,2）是圆C:x?+必-2y+3-7/7=0外的一点，

m—2>0

所以Ls,、2、，解得2〈加<7,即根的取值范围是（2,7）.

22+（2-1）>m-2

故答案为：（2,7）

13.12

【分析】根据短轴长为2石，离心率e=；,求得长半轴，再由A/Bg周长为4a求解.

【详解】因为短轴长为2百，离心率e=；,

所以6=石，e=—=—,

a3

又/=/+Y，

解得4=3,

所以△/陷周长为/=45+/+郎=4。=12,

故答案为：12

答案第6页，共13页

2_2

【分析】根据双曲线的定义，渐近线的性质以及余弦定理求出|九里|=号1,

222

\MFX|='(J,在代入到不等式|阿|»8|中即可求解.

【详解】如图，双曲线。的焦点为片(-。,0),旦(c,o),渐近线方程为v=±?x,

因为直线/的斜率上=-2,则直线/与双曲线C的一条渐近线平行，且过点月,

a

设直线/与双曲线C的另一条渐近线相交于点N,

可知NNOFL/NF?。,tan/NOE,=2,cosZNF2O=-,sinZNF2O=~,

acc

因为|西|-|四卜2%BP\MF\=\MF^\+2a,

山与「+照目一|叫『即4c2+根局2_(20+晒|)［一

且3/愕0=

2|甲讣|咋|、4C-\MF2\~C

解得|峥|=一之，|阿|=至士若"周,

2〃2。

「211女叵,又e>l,所以l<e<互.

，解得4WU,所以e=

a27a77

15.(1)/=24X

(2)6x+y—22—0

【分析】(1)根据已知得到动点乱到(6,0)的距离等于到直线x=-6的距离，满足抛物线的

定义，根据定义即可求解；

(2)利用点差法求出直线/的斜率即可.

【详解】(1)由题意知根据已知得到动点”到(6,0)的距离等于到直线x=-6的距离,

答案第7页，共13页

即动点M的轨迹是以（6,0）为焦点，x=-6为准线的抛物线，

所以轨迹C的方程为V=24X.

（2）设，（x1M，则争，

［歹2=24%2，

0c/、V,—Vn24

两式相减得弁-/=24（%1-%2）,整理可得J红=-----.

X1~X2%

因为线段N5的中点坐标为（4,-2）,所以外+%=-4,

所以直线/的斜率/=必"===-6,

玉~X2-4

故直线I的方程为了+2=-6（x-4）,即6x+了-22=0经检验满足题意.

16.（1）存在，点G为BC中点，证明见解析

【分析】（1）先找到G点位置，由面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，由

体积求解边长，用空间向量求解二面角.

【详解】（1）存在，点G为3C中点，理由如下：

取线段的中点〃，连接£〃、HG、EG.

,/AH//EF,AH=EF=2,

答案第8页，共13页

，四边形/“跖是平行四边形，，HE〃/尸.

又：4Fu平面/FC,HE。平面//C,；.Effi1〃平面4FC.

,：H、G分别为48、BC的中点，

.♦.HG是V/BC的中位线，/.HG//AC.

：/Cu平面/PC,平面/PC,"G〃平面/尸C.

■:HGcHE=H,HG、HEu平面EHG,

：.平面EHG//平面AFC.

：EGu平面E7/G,〃平面/尸C.

(2)设CZ>=/«>0),

,11一1t4r

11

*由~—nu—ArFcC=匕A-UDFCr=—3义—2义CDxCExBE=—3x—2x4x2=—3—8,

可得CD—t—6.

以E为坐标原点，EC、EB、E下所在直线分别为x、八z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

由题可知尸(0,0,2),C(4,0,0),/(O,2,4),D(4,0,6),

ZF=(O,-2,-2),=(-4,0,2),FD=(4,0,4).

设平面/FC的法向量为机=(x"”zj,

fmlAFb2M-2zi=0=-Z]

mLCF〔一4再+2Zj=0[z1=2x1

令玉=1,得必=一2,4=2,

所以平面/尸C的一个法向量为五=(1,-2,2).

答案第9页，共13页

设平面4FD的法向量为〃Ex2,%/?),

fnlAFf-2y-2z=0fy=-z

则s___=>q22=>I22

n_LFD[4X2+4Z2=0[x2=-z2

令Z?=1,得=>2=T，

所以平面/ED的一个法向量为1=(-L-1,1).

-l+2+2_

3x6'3，

由图可知二面角。-4F-C为锐角,

故二面角尸-C的余弦值为且

3

17.(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4,然后可列出样本空间;

(2)设正品为次品为T,然后根据题意列出样本空间.

【详解】(1)如图,

丙一丁乙一丁一丙

丁一丙丁一乙一乙

甲(一丙《乙一丁丙^一乙《甲一丁一丙

丁一乙丁一甲一甲

乙一丙

T<甲一乙一乙

丙一乙乙一甲一甲

设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4,

所以样本空间5={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),

(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),

(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),

(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.

(2)设正品为目，次品为T,样本空间％={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT].

22

电⑴…I

(2)证明见解析，!

答案第10页，共13页

9

【分析】（1）由已知可得c=l,_L+且=1,结合。也。的关系可求得椭圆的方程；

/b2~

（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出瓦厂两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求

解即可.

【详解】（1）因为焦距为2,所以c=l,

9

又

a2b2

且〃=/+C2,

解得a=2,b=V3>

22

椭圆。的方程为土+匕=1；

43

q22

（2）设直线NE方程：得>=左（苫-1）+：,代入,+?=1,

得（3+4左）x2+4左（3-2左）x+41|■-左］-12=0,

设后自E,为；）,尸（马,力），

又直线N尸的斜率与/E的斜率互为相反数，在上式中以-左代左，可得

唱+“T2,

“3+九

yF=-kxF+^+k

所以直线跖的斜率

答案第11页，共13页

—（3+2--24j6-8^+6