实数-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第一单元数与式

《第1讲实数》

【知识梳理】

1.实数的分类

(1)按定义分类:

自然数

有理数

实数＜有限小数或

无限循环小数

f正无理数

无理数\1—，无限不循环小数

负无理数

(2)按性质分类:

(正实数(『下右有坤里粉数f［正正整分数数

(正无理数

实数1零

负整数

负有理数

负实数.负分数

负无理数

2.实数的有关概念

⑴数轴:规定了原点、单仓长度、正方向的直线叫做数轴.数轴上的点与实教----对

(2)相反数:a的相反数是一a,0的相反数是0.

(3)倒数：乘积是1的两个数互为倒数.

0没有倒数,倒数等于本身的数是1或T.

(4)绝对值:数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记做⑷.

a(a>0);

0(a=0);

—a(a<0).

(5)科学记数法:把一个数表示成。与10〃相乘的形式(其中为整数),叫做科学记数法.

(6)近似数:一个近似数田合五人到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.对于有计数单位的近似数，由

近似数的位数和后面的计数单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十

位.

3.实数的大小比较

⑴代数比较规则:正数大于零,负数小于零,正数大于负数;两个正数,绝对值大的数大;两个负

数,绝对值大的数反而小.

(2)几何比较规则:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.

4.实数的运算

实数的运算有加、减、乘、除、乘方和开方.运算顺序:先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；

同级运算,从左到右进行.如有括号,先进行括号里的运算.

5.实数的运算律

(1)交换律:,ab=ba.

(2)结合律:(a+6)+c=a+(Z>+c),(ab)c=a(bc).

(3)分酉己律:〃+Z?+c)=—+成>+%.

6.实数的幕的运算

(1)0次幕:任何非零实数的0次幕为1,即。°=1(得0).

(2)负整数次幕:规定/"=一1_3用,n为正整数),特别地,=:一(存0).

(3)-1的奇偶次幕:一1的奇次幕为一1，偶次幕为1.

【考题探究】

类型一正数与负数的概念

［例1］［2024•山西］中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中.由于没有大气层保护,在太阳光线

直射下，空间站表面温度可高于零上150℃,其背阳面温度可低于零下100℃若零上150℃记作+150℃,则

零下100℃记作（B）

A.+100℃B.-100℃

C.+50℃D.-50℃

变式1［2024•湖北］在生产生活中，正数和负数都有现实意义.例如:收入20元记作+20元,则支出10元记

作（B）

A.+10元B.110兀

C.+20元D.—20元

类型二实数的分类

［例2］［经典题］实数tan45°,V8,0,一兀，眄-|sin60°,0.3131131113…（每两个“3”之间依次多一个

“1”）中，无理数的个数是（C）

A.lB.2

C.3D.4

变式2［2024•福建］下列实数中，无理数是（D）

A.-3B.0

C.1D.V5

类型三数轴、相反数、倒数和绝对值

【例3］［易错题］（1）相反数等于它本身的数是0.

（2）倒数等于它本身的数是±1.

（3）绝对值等于它本身的数是非负数.

变式3［2023•杭州］已知数轴上的点分别表示数a,b,其中一.若。*6=6数。在数轴

上用点C表示，则点4,8,C在数轴上的位置可能是（B）

,4/g,।”,g

-10101

AB

如4、B

-10101

CD

类型四实数的大小比较与估算

【例4][2024•浙江]以下四个城市中，某天中午12时气温最低的城市是（C）

北京济南太原郑州

0℃-1℃-2℃3℃

A.北京B.济南

C.太原D.郑州

变式4T[2024•南充]如图，数轴上表示/的点可能是（C）

ABCID■I

-10123

变式4-1图

A.点AB.点B

C.点CD.点D

变式4-2[2024•重庆B卷]估计百）的值应在（C）

A.8和9之间B.9和10之间

C.10和11之间D.U和12之间

【解析】V12(V2+V3)=2V3(V2+V3)=2V6+6.

V5.76<6<6.25,AV5.76<V6<V6.25,

.,.2.4<V6<2.5,

.,.10.8<2V6+6<ll,故选C.

类型五科学记数法

【例5][2024•浙江]2024年浙江省经济第一季度GDP为201370000万元.其中201370000用科学记数

法表示为（D）

A.20.137X109B.0.20137X108

C.2.0137X109D.2.0137X108

变式5[2024•威海]据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上

海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机”九章三

号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的

速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前

最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间处理.将“百万分之一”用科学记数法表示为(B)

A.1X10-5B.1X10-6

C.1X10-7D.1X10-8

类型六实数的运算

【例6】[2024•浙江]计算:6)1-V8+I-5I，

解:原式=4-2+5=7.

变式6—1[2023•温州]计算：

1-1|+^-8+—(-4).

解:原式=1-2+9+4=12.

变式6—2[2024•山西]计算:(一6)X：—弓)？+[(—3)+(—1)].

解:原式=-2—4-4=一10.

变式6—3[2025•预测]计算:(-1)2°25+(—2尸+(3.14—兀)°-48$30。+|2—712.

解:原式=—l+j+l—4X^+2V3—2=—1+5+1—2V3+2V3—2=-17.

类型七实数的规律型问题

[例7][2024•扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满

足:从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为

(D)

A.676B.674

C.1348D.1350

【解析】这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，可以发现每3个教为一组，每一组前2个教为奇数，第3个数为

偶教.

V2024+3=674……2,即南2024个数共有674组，且余2个教，寺数有674X2+2=1350(个)，故选D.

变式7正偶数2,4,6,8,10,…按如图所示的规律排列，则第27行从左往右数的第21个数是744.

2

46

81012

14161820

变式7图

【解析】由图可知，

第一行有1个教，

第二行有2个教，

第三行有3个教，

第〃行有"个教，

.•.前〃行共有吗也个教，

.,.前27行共有378个教，

工第27行从左往右教的第21个数是（378—27+21）X2=744.

【课后作业】

1.[2024•舟山模拟]舟山市体育中考,女生立定跳远的测试中，以1.97m为满分标准,若小贺

跳出了2.00m可记作+0.03m,则小郑跳出了1.90m,应记作（A）

A.-0.07mB.+0.07m

C.+1.90mD.-1.90m

2.[2024•连云港]的相反数是（A）

11

A.iB.--

22

C.-2D.2

3.[2024•郅州区模拟]杭州亚运会首创推出“亚运数字火炬手”，最终105000000人参与了

“线上火炬传递”，数据105000000用科学记数法表示为（C）

A.105X106B.10.5X107

C.1.05X108D.1.05X109

4.[2024•天津]计算3—（—3）的结果等于（D）

A.16B.0

C.3D.6

5.[2024-广西]下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是

(A)

A.北京一4.6℃B.上海5.8℃

C.天津一3.2℃D.重庆8.1℃

6.[2023•温州]如图，比数轴上点A表示的数大3的数是(D)

,4,,,>

-2-1012

第6题图

A.-lB.0

C.lD.2

7.[2024•烟台]下列实数中的无理数是（C）

2

A.-B.3.14

3

C.V15D.V64

8.[2024•北京]实数a"在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（C）

，，，？，，，，：，，I

-4-3-2-101234

第8题图

A.b>一1B.|0|>2

C.a+b>0D.ab>0

9.[2024•包头]若肛n互为倒数,且满足m+mn=3,则〃的值为（B）

11

A二B二

42

C.2D.4

10.[2024•宁波校级模拟]有如下数列:Q1,02,。3,04,45,46,…,3t—2,an-l,〃〃，…，满足Un-2*an=

2al,已知（21=1,（23=4,贝!J42024=（D）

A.8B.6

C.4D.2

=

【解析】9*Cln-2*dn2an-l,

lai=a\•的.

又的=4,

:•a?=2.

依此类推，04=4,a5=2,06=1,07=1,08=2,…,

由此可见，这列数按1,2,4,4,2,1循环出现.

3C.20244-6=337.......2,

•，•02024—2.

11.在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子

的出生天数,在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗）,满七进一，那么孩子已经

出生了（B）

第14题图

A.1335天B.516天

C.435天D.54天

【解析】孩子自出生后的天数是1X7X7X7+3X7X7+3X7+5=343+147+21+5=516.

12.如图，某学校“桃李餐厅”把WiFi密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿,

输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.她输入的密码是244872.

账号：TacLiCanTing

5*3㊉6=301848

W42*6㊉7=144256

*9*2㊉5=451055

桃李餐厅欢迎你！4*8㊉6=密码

第15题图

【解析】由三个等式，得到规律：

由5*3㊉6=301848可知，前两位教、中间两位教、后两位教分别为5X6,3义6,6义（5+3）;

由2*6㊉7=144256可知，前两位教、中间两位教、后两位教分别为2X7,6X7,7X（2+6）;

由9*2㊉5=451055可知，前两位教、中间两位教、后两位数分别为9X5,2X5,5X（9+2）,

.*.4*8®6的前两位教、中间两位教、后两位数分别为4X6,8X6,6义（4+8）,故4*8㊉6=

244872.

13.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形.底

面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是西一1.若H<V5-1<n+Un是整数）,

则n的值为1

【解析】V4<5<9,.,.2<V5<3,

.,.1<V5-1<2.

又—Kn+1,.\n=l.

14.计算:

⑴[2024•滨州]2一叶(一2)X(一以一

解:原式=:+1—|=0.

0_1

⑵[2024•广安]停一3)+2sin60°+|V3-2|-Q).

解:原式=l+2X?+2一百一2

=l+V3+2-V3-2

=1.

15.下面是亮亮同学计算一道题的过程：

15^5X(-3)-6X(|+|)

=154-(-15)-6x|+6x|...①

=-1-9+4...②

=-6……③

(1)亮亮的计算过程是从步骤①开始出现错误的(填序号).

⑵请你写出正确的计算过程.

解:(2)15+5><(—3)—6*(1+§

32

=3X(-3)-6Xj-6X|

=—9—9—4

=-22.

16.计算:(一6)X(|一■)—23.

圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.

⑴如果被污染的数字是右请计算(一6)Xg-|)-23.

(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.

解:⑴(—6)X(1-[)—23

1

=(—6)X--8=—1—8=—9.

⑵设被污染的数室是X,

由题意，得(一6)X(|—x)—23=6,

斛得x=3.

答:被污染的数字是3.

17.[2024•凉山州]阅读材料并解决相关问题：

如图是一个三角点阵,从