山东省济宁市某中学2025届高三年级下册第二次调研数学试题（含答案解析）

山东省济宁市实验中学2025届高三下学期第二次调研数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={xeR1*2-*-2<0},3={引y=2*,xe4},则4口3=()

A.(-1,4)B.(0,2)C.即D.0]

2.已知复数z的共轨复数彳=户(其中i为虚数单位)，贝心的虚部为()

1-1

A.-2zB.2iC.-2D.2

3.已知向量〃=(1,2),S=(-4,x),Z_L己则％=()

A.-8B.-2C.2D.8

4.已知等差数列{凡}的前〃项和为S〃，若/+4+%=15,贝！JS“=()

A.30B.55C.80D.110

5.圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm,下底面半径为3cm,圆

台母线长为4cm,则该圆锥的侧面积为()

A.2871cm2B.3671cm2C.42兀cn?D.48兀cm?

6.一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色.若从中任取2支，则“恰

有1支黑色”的概率是()

3311

A.—B.—C.—D.—

510510

22

7.设耳，区为椭圆G：\+*=l(a>6>0)与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内

交于点△町外是以线段引为底边的等腰三角形，且|九明|=2.若椭圆。的离心率

34

则双曲线G的离心率取值范围是()

o9

-551「3、人/「37

A.B.弓,+8)C.(1,4]D.-,4

8.已知/(%)="(J*+1—%),=6=/匕)，c=/(tan灯则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

二、多选题

试卷第1页，共4页

9.下列说法正确的是（）

A.若随机变量X服从正态分布X（3,b）且尸（X<4）=0.7,则尸（3<X<4）=0.2

B.一组数据10/1,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为13.5

C.对具有线性相关关系的变量阳y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为j）=0.3x-m,

若样本点的中心为（办2.8）,则实数m的值是一4

D.若决定系数炉越小，则两个变量的相关性越强

10.已知函数f（x）=sins+coss（0>O）图象的相邻两条对称轴之间的距离为5，则（）

A.7（x）的图象关于点|三,（）[对称

B.将/（弓的图象向左平移g个单位长度，得到的函数图象关于了轴对称

O

C.仆）在0,1上的值域为[T1]

D./（x）在-5,0上单调递增

11.已知函数/（x）及其导函数/'（x）的定义域均为R,若/（尤）是奇函数，/（2）=-/（1）^0,

且对任意x,yeR,f{x+y）=f[x}f\y）+f'[x）f{y},则（）

A.r（l）=-1B./（6）=o

20242024

c.£/w=iD.£f'（k）=-i

k=lk=\

三、填空题

12.函数y=log“（2-x）+l（。>0,且awl）的图象恒过定点A,若点A在函数）=加无+〃

21

（m>0,且〃〉0）的图象上，则一十一的最小值为.

mn

13.的展开式中常数项为.

14.已知左>0,对任意的xe!，+<»j,不等式e"（Ax-l）2exlm•恒成立，则左的取值范围

试卷第2页，共4页

是.

四、解答题

15.在/ABC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos8=24-6,

(I)求/C的大小；

(II)若丽-g赤=2,求面积的最大值.

2

16.设正项数列｛4｝的前〃项和为邑，若S"=%12.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若不等式白+4r+…―宗］＞r-3对任意正整数"均成立，求力的取值范围.

3sl4S2(n+2)5„2Sn

17.如图，在四棱锥P-/BCZ)中，底面/BCD是矩形，PD=CD,PC1AD,点£为侧

棱PC上一动点(不含端点).

(1)求证：平面/DE_L平面PCD；

⑵若AD=1,CD=2,ZPCD=300,是否存在点E使得直线PB与平面ADE所成角为60°?

若存在，求出P生F的值；若不存在，说明理由.

EC

18.已知椭圆的焦点坐标为片(-L0),巴(1,0),过月垂直于长轴的直线交椭圆于尸、。两点,

且|尸。|=3.

试卷第3页，共4页

yk

(i)求椭圆的方程；

(2)过用的直线/与椭圆交于不同的两点M、N,则△4的内切圆的面积是否存在最

大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

19.设函数工(x)=d+0ex(其中。是非零常数，e是自然对数的底)，记

(1)求对任意实数X,都有＜(X)=/；T(X)成立的最小整数〃的值(〃22,〃eN*)；

(2)设函数g"(x)=/(x)+/(x)+…+工。),若对任意“23,«eN*,V=g”(x)都存在极值点

x=f,,求证：点4年,g”(t“)乂〃23/eN*)在一定直线上，并求出该直线方程；

⑶是否存在正整数上(左22)和实数%,使《(/)=4_"%)=0且对于任意力€V，力(x)至多

有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的左和修,若不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

《山东省济宁市实验中学2025届高三下学期第二次调研数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCCBBADBACABD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据不等式解法可得集合/=(T,2),再由指数函数单调性可得8=(；,4；再由

交集运算得出结果.

【详解】易知/={xeR|X2-X-2<0}={X|-1<X<2}=(-1,2),

再由指数函数y=2工的单调性可得-1<x<2时y=2,e((，力，即8=

因此/口8=&2)

故选：D

2.C

【分析】利用复数的运算法则、共辗复数的定义、虚部的定义即可得出.

1+3,(1+3z)(l+z)-2+4z

【详解】复数z的共。复数彳=不一=1A，：=^^=-1+2";=一1一27,贝心的

虚部为-2.

故选：C

【点睛】思路点睛：先计算出口再得出z,进而得出z的虚部.

3.C

【分析】根据向量垂直的坐标表示可得出关于x的等式，解之即可.

【详解】因为向量。=(1,2),3=(-4,x),a±b'则〉B=-4+2尤=0，解得x=2.

故选：C.

4.B

【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得。6=5,再根据等差数列求和公式化简计算

即得.

【详解】因{%}是等差数列，故氏+&+%=36=15,解得R=5,

则几="(4；%)=］峨=55.

答案第1页，共13页

故选：B.

5.B

【分析】由所截圆台的上下底面半径的比例及母线长，即可求得圆锥的母线长，再利用圆锥

侧面积公式即可得到答案.

【详解】如图所示：

P

圆台的上底面半径为彳=2cm,下底面半径为2=3cm,圆台母线长为/=4cm,

pA7

则=17=:，解得尸/=8,所以圆锥母线长为必="+4=12，

所以该圆锥的侧面积为S恻=%x3xl2=36兀cn?

故选：B.

6.A

【分析】根据随机事件的概率公式可得.

C1C13

【详解】由题意，“恰有1支黑色”的概率是逢U=三.

故选：A

7.D

【分析】根据条件得到|人里|=闺月|=2~结合椭圆的定义和离心率公式得到

e=\MF^+\MF^=2^g[?^]，求得0的取值范围’再由双曲线的定义和离心率公式得到

,忻用2c1

双曲线G的离心率。一|町2-2c-J__1，即可求解.

c

22

【详解】因为片，鸟为椭圆£：3+斗=1（。>6>0）与双曲线G的公共的左右焦点，

答案第2页，共13页

△町匕是以线段孙为底边的等腰三角形，且W阴1=2,

设|初用=闺闾=2。(c>0),由椭圆A的离心率ee。,，］,

o9

即-舟岛=言吊。解得「《和

，出闾2c1r3-

由点M在第一象限，得双曲线C2的离心率，2-勿一,_JL25J

故选：D

【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键.

8.B

【分析】先判断/(X)的奇偶性和单调性，通过奇偶性把“，b,C转化在同一单调区间，利

用单调性比较即可.

故/'(X)为偶函数，

当x>0时，X*+1<x2+2x+1,故Jx'+1<x+1，

所以0<+ln(Vx2+l-x)<0,

所以/(x)=-In^Vx2+1-x)=ln(Jx2+1+x),

故当x>0时，/(x)单调递增，

因(口2<€<[3],所以21n3<l<31n。，即，<"」,

UJUJ22322

答案第3页，共13页

设函数g(x)=tanx—x,xe^O,-1

g，(x)=—^—-1>0,故g(x)在区间(0,父上单调递增,

cosxI

所以g(x)>g(O)=O,

所以即tan：>1,

y2j22

-1.311

所以0<一<ln—<一<tan—,

3222

所以//[tang],即b<a<c,

故选：B

9.AC

【分析】根据正态分布概率性质计算判断A,由百分位数定义计算判断B,把中心点代入回

归方程求解后判断C,利用相关系数与决定系数的概念判断D,从而得解.

【详解】选项A,因为随机变量X服从正态分布X(3,4),P(X<4)=0.7,

所以尸(3<X<4)=尸(XV4)-尸(X>3)=0.7-0.5=0.2,故A正确；

选项B,这组数据总共有10个数，由于10x60%=6,

因此第60百分位数为好券=15,故B错误；

选项C,因为经验回归方程为》=0.3x-加，样本中心为(皿2.8),

所以2.8=0.3〃?-加，解得根=-4,故C正确.

选项D,因为尺2=产，

当火2越小时，上越小，此时两个变量的相关性越小，故D错误.

故选：AC.

10.ABD

【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离可的周期，然后可得解析式.由正弦函数的对称性

可判断A；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B；根据x的范围和正弦函

数的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D.

【详解】〃刈=瓜!1卜+京

77T7127r

■:相邻两对称轴间距离为不，则不=工，.•.r=；F=——，

答案第4页，共13页

：.co=2,/(x)=5/2sin

•・•/(x)关于已可

=sin%=0,,0|对称,

---/^x+^j=V2sin^2x+yj=V2cos2x,+关于了轴对称，B对.

当04x4工时，有0V2XVTT,贝!]工〈2》+工〈3力，所以一包Vsin[2x+工1,

24442I4J

.­./(x)e[-l,V2],C错误.

由-彳42X+£4]得所以/⑺的一个单调增区间为而

242881_88_

-/,0u--，.,./(X)在一~—,0上单调递增，D对.

故选：ABD

11.ABD

【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.

【详解】因为/(%+力=/(力/'(力+广(力/3,

令x=y=l得：/(2)=2/(l)r(l),又因为〃2)=-/⑴wo,所以尸(i)=_g,故A正确;

因为/'(无)是定义域为R的奇函数，所以[(0)=0,且/'(x)为偶函数.

令y=l,可得:/(x+l)=/("”)+/)x)/⑴①

再用f代替x可得：/(i-x)=/(-x)r(i)+r(-x)/(i)=-/W/,(i)+r(x)/(i)

"(i)=/(x)八iL⑴②

①+②得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)r(l)^/(x+l)=-/W-/(^-l)

所以:/(x+2)=-/(x+1)-/(x),

/(x+3)=-/(x+2)-/(x+l)=/(x+l)+/(x)-/(x+l)=/(x)

所以/"(X)是周期为3的周期函数，所以：f(6)=f(3)=f(0)=0,故B正确.

因为：/(0)=0,〃2)=-/(l)n/(l)+/(2)=0,所以：/(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以：亿)=674X[〃1)+〃2)+〃3)[+[〃1)+〃2)]=0,故C错误；

答案第5页，共13页

又因为/'（X）亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以（（-2）=/⑴=-。=/（2）

令x=l,y=0可得：/■⑴=/⑴/'（0）+/'⑴/（O）=/'（O）=l=/'⑶，

所以/'⑴+/'（2）+/'⑶=0.

2024

所以：W7"）=674x［7"）+1（2）+/（3）］+［/（^+/（2」】=T故D正确.

k=\

故选：ABD

【点睛】方法点睛：对于可导函数/（尤）有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为

奇函数.

若定义在R上的函数/（无）是可导函数，且周期为T,则其导函数/'（X）也是周期函数，且

周期也为T.

12.3+2V2/2V2+3

【分析】根据对数函数的性质求出A点坐标，从而得到机+〃=1,再利用乘“1”法及基本不

等式计算可得.

【详解】对于函数了=log«（2-x）+l（a>0,且"1）,令2-x=l,即x=l,

此时y=log01+1=1,

即函数y=log〃（2-尤）+1（°>0,且°R1）的图象恒过定点/（U）,

贝！］加+〃=1（m>0,且〃〉0）,

所以2+L=fl+L］（%+〃）=3+啊竺23+2.t-=3+26,

mnn）mnn

当且仅当空=%,即〃=0-1，机=2-a时取等号.

mn

故答案为：3+2后.

13.40

【分析】由二项式定理及展开式通项公式可得：展开式的通项公式为

Tr+i=C；25r.（-1）'x53,再利用乘法的分配律运算即可得解.

【详解】解：由展开式的通项公式为心=C；25T（-1）‘产”

答案第6页，共13页

则(X+£|(2X-£|的展开式中常数项为c；2,-《2?=40,

故答案为40.

【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题.

14.［1,+8)

【分析】构造函数/(x)=xe，(xeR),利用单调性得到质-12山，分离参数，求出

lnX+1

g(x)=,xeL+e］,的最大值即可

【详解】由条件得efa-'(Ax-l)>xlnx=eto-Inx,

构造函数/(x)=xe'(xeR),对其求导得/'(x)=(x+l)e'，令/'(x)=0得x=-l,

于是当x<-l时，/(尤)<0,函数f(x)单调递减；当x>-l时，r(x)>0,函数/⑺单调

递增.

因为左>0,xe,,+纥］,所以丘一1>一1,InxN-l,根据/(注一1)2f(Inx),得到fcc-lzlnx,

分离参数得人『对恒成立'

r幻TAWC+1

只需左N(--------)max

1

构造函数g(x)=XG—,+8对其求导得g'(x)=爹,

e

令g'(x)=0得x=l,于是当1工<1时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;

e

当x>l时，g'(x)<o,函数g(x)单调递减,

所以g(x：U=g6=l，于是a1,因此左的取值范围是［1,+“).

故答案为：［1,+s)

15.(1)C=—(2)2Vs

【详解】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求

得角C；

(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的

最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.

详解：(1)V2ccosB=2a-b,

答案第7页，共13页

/.2sinCcos5=2sirk4-sinB,2sinCcos5=2sin(3+C)—sinB,

..17C

2sin5cosC=sinB,cosC=—,C=一

23

(n)取8c中点。，则G4-1cs|=2=|ZM，在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC,

(注：也可将画-g.卜2=|方两边平方)即4=〃+([-y>

>2A---=~,所以MV8,当且仅当。=4,6=2时取等号.

V422

此时S*BC=；%inC=~~ab，其最大值为2g.

点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式,

向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正

确使用相关的公式进行运算即可求得结果.

16.(l)a„=n

⑵

【分析】(1)应用a“=S-S”T得出等差数列再求数列通项公式即可;

(2)应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.

2

【详解】(1)当〃=1时，为="幺，所以为=1;

22

当〃22时，=与2且SQ=与哼0,两式相减并整理可得(4+〃小)(%一an-i-1)=0.

因为｛4｝为正项数列，所以氏一1=1，所以%T+(〃T)=〃.

(2)有(1)可知S二心1=15+1),

〃22

.]2____1__________]

一5+2)s〃一心+1)(〃+2)一9+1)伽+1)5+2)'

111111111

••双+不7+…+伽+2电―]一百+右―薮Z+…+5+1)比—伽+])伽+2)

11

2-(T?+1)(H+2)

,11112，一.n

故---1---------1----H----------------->------------,可化为丸〉-------

35,4邑5+2)号2S；2(〃+2)

rn11

因1为------=-------恒成立，所以

2(«+2)2n+2

答案第8页，共13页

17.(1)证明见解析

⑵存在；彳=2±卢或Zz巫

EC66

【分析】(1)由/O_LC£>和4D_LPC,利用线面垂直的判定定理，证得平面尸CD,

进而得到平面ADE_L平面PCD-

(2)作尸〃_LCD交C。于〃，得到刊/_L平面48C。，以所在的直线分别为xj轴,

PF

过。点平行与的直线为z轴建立空间直角坐标系，即——=4,求得平面4DE的法向量

EC

益和向量而，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)证明：因为四边形48C。为矩形，可得/DLCD,

又因为NO_LPC,且尸CcCD=C,尸C,CDu平面PCD,

所以J_平面尸8,

又因为/Du平面NDE,所以平面/DE_L平面尸8-

(2)解：作PHLCD交CD于H,

因为ND,平面PCD,所以4D_LPH所以尸H_L平面4BCD,

以所在的直线分别为x/轴，过。点平行与9的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

可得/(l,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),H(0,-l,0),P(0,T百)，所以丽=(1,3,-3),

iH—=2,即而=4反，^^DE-DP=A(DC-DE),

EC

所以无=工(5P+25C)=(O,

A+1

由方2=(1,0,0),故可设平面4DE的法向量】=(0,1,z),

又由反7=0,得尖l+f-.z=0,可解得z=片，所以石=(。,1,上等),

2+1A+lV3V3

若直线PB与平面ADE所成角为60°,

।而,"IV3_|3-(1-22)|

2

则有sin60。=|cos<尸3,〃>|=晨।/所以2一石I—(1-2A)-

\PB\-\n\V13-J1+^―尸-

化简得3万_7/+3=0,解得力=7±店,

6

因此，当至=2±巫或上巫时，直线尸B与平面NOE所成角为60。.

EC66

答案第9页，共13页

22Q

18.(1)土+匕=1；(2)存在；内切圆面积的最大值为71，直线的方程为尤=1.

4316

【解析】(1)设椭圆方程，由焦点坐标可得C=l,由|PQ|=3,可得生=3,又af=l,

a

由此可求椭圆方程；

(2)设M(&,%)，Ng%),不妨乂>0,%<。,设△耳MN的内切圆的径尺，则

△用MV的周长=4a=8,S^MN=^(\MN\+\FiM\+\FiN\)R=4R,因此ZF,MN最大，尺就最

大.设直线/的方程为x=w+l,与椭圆方程联立，从而可表示△片儿W的面积，利用换元

法，借助于导数，即可求得结论.

22

【详解】解：(1)设椭圆方程为「+看=1(。>6>0),由焦点坐标可得c=L

ab

or2

由|尸0|=3,可得生=3.又/一〃=1,得0=2,b=6

a

22

故椭圆方程为、+匕=1.

43

(2)设不妨令乂>0,y2<0,

设"MN的内切圆的半径为R,则丛F、MN的周长为4“=8,

=/"N|+闺闾+^N|)尺=4R,

因此要使内切圆的面积最大，则H最大，此时凡大形也最大.

S\F\MN=1■库&HJI-^21=Ji-J2>

由题知，直线/的斜率不为零，可设直线/的方程为x=w+l,

答案第10页，共13页

-22

二+匕=1

由<43得(3加2+4)J?+6即—9=0,

x=my+1

少日一3加+6J冽2+1-3加-6,加2+i

"3.+4，力=3疗+4—

贝U$△4MV=乂一%=，令，=X2+l则叱1,

I3:'m：+4[I

c_12，/+]_⑵_12

贝uH\MN=3疗+4=3771"口

令/(/)=%+；,则/⑺=3-),

当此1时，,'⑴>0,所以/⑺在工+8)上单调递增,

12

有了⑷”⑴=4,SAFIMN<-^3,

3

当/=1,/〃=0时,S&F、MN=3,又S4F\MN=4R,..Amax=工

这时所求内切圆面积的最大值为三9;r,此时直线的方程为x=l

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算,

考查学生分析解决问题的能力，分析得出邑尸av最大，尺就最大是关键，属于中档题.

19.(1)5；

(2)证明见解析，y=2x；

2

(3)存在左=3,。=一一满足条件.

e

【分析】(1)按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答.

(2)由(1)求出函数g“(x),求出g“(x)的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答.

(3)由(1)结合已知，确定左=3或左=2,再分类讨论极值点的情况作答.

x

【详解】(1)依题意，4(x)=1+ae',f2(x)=fi(x)=2x+ae>启x)=『(x)=2+ae”,

〃x)=4(x)=ae*,

&x)=万⑴=H，因此力(尤)=4_]&)=ae*,n>5,即％°=5,

所以对任意实数x,都有工(无)=/i(x)成立的最小整数”的值是5.

(2)由(1)知，"23,neN",

xxxxx

g„(x)-f2{x}+f3{x}---fn(x)=(2x+ae)+(2+ae)+ae+aeH---Fae

答案第11页，共