山东省临沂市平邑县2024-2025学年上学期九年级数学期末试题（含答案与解析）

机密★启用前

2024〜2025学年度上学期期末学业水平质量监测试题

九年级数学（5卷）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共5页，满分120分，考试时间120

分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷

和答题卡规定的位置.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分.

第I卷（选择题共36分）

一、选择题：（每小题3分，本题满分共36分），下列每小题中有四个备选答案，其中另有：

个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下.

1.下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.已知关于尤的方程£+3+3=0的一个根为x=l,则实数%的值为（）

A.3B.-3C.4D.-4

3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=f-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线

的解析式是（）

A.丁=（%+2）-+2：B.y=（%-2）2-2C,y=（x-2）'+2D.y=（%+2）~-2

4.下列事件中，是必然事件的是（）

A.经过长期努力学习，你会成为科学家

B.从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光

C.打开电视机，正在直播NBA

D.在地球上抛出的篮球会下落

5.一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机

摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为

30%和40%,由此可估计盒中大约有白球（）

A.20B.24C.32D.56

6.如图，£>E是VABC的中位线，点E在上，DF=2BF，连接所并延长，与CB的延长线相交于

点若3c=8,则线段的长为（）

A.7B.8C.9D.10

7.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角NACB的正

3

弦值为《，则坡面AC的长度为（）m.

A10B.8C.6D.6追

8.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知/B0D=100°,则/DCE的度数

A.40°B.60°C.50°D.80°

9.如图，已知己4是。。切线，A为切点，PC与。。相交于3.C两点，PB-2cm,BC=8cm,

A.4cmB.16cmC.20cmD.26cm

10.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果

不考虑空气阻力，小球的飞行高度人（单位：m）与飞行时间”单位：s）之间具有函数关系/z=2（k-5/，

A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s

B.小球从飞出到落地要用4s

C.小球飞行3s时飞行高度为15m,并将继续上升

D.小球的飞行高度可以达到25m

11.二次函数y+法+。的图象如图所示，有如下结论：①②2〃+b=0；③

3Z?-2c<0；+bm>a+b（根为实数）.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.如图，在正方形A5CD中，A5=4,以边为直径作半圆0,石是半圆。上动点，跖，ZM于点

F,于点尸，设EF=x,EP=y,则而I了的最小值是（）

A.273-1B.4-26C.2A/5-1D.2褥-2

第n卷(非选择题共84分)

二、填空题(每小题4分，共24分)

13.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员

赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有名同学.

14.若A(-2,a),B(1,b),C(2,c)为二次函数y=(x+l1-9的图象上的三点，则a,b,c的大小关

系是.(用连接)

15.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是.

16.如图，将△ABC绕着点2逆时针旋转45。后得到△ABC,若/A=100。，ZC=45°,则/ABC的度数

为一度.

C

B

17.如图，平行于x轴的直线与函数y=&*(h>0,x>0)和丫=勺(fo>0,x>0)的图象分别相交于

xx

A,8两点.点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△A8C的面积为4,则h-七的值为一.

18.如图，一段抛物线y=—%2+6x(OWxW6),记为抛物线G，它与无轴交于点。，A；将抛物0线

绕点A旋转180。得抛物线C”交X轴于另一点4；将抛物线C2绕点4,旋转180。得抛物线C3,交X轴

于另一点43,…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点“(2024,在此“波浪线”上，则机的值

为.

三、解答题（共60分）

19.计算：2cos2450-7（tan600-2）2-（sin60°-1）°+（1）-2

20.某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销

售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单

价不得超过65元.要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？

21.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示.已知AC=20cm,BC=18cm,

ZACB=50°,王浩的手机长度为17cm,宽为8cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理

由.（提示：sin50°«0.8,cos50°~0.6,tan50°~1.2）

22.2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重“水门

礼”（寓意“接风洗尘”）.如图1,两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的

抛物线的一部分.如图2,当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点X

处相遇，此时相遇点》距地面20米，喷水口A,8距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米（两条

水柱的形状及喷水口A',8'到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水

柱相遇点距地面多少米？

23.如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数＞=?无＞0)的图象交于点4(4,〃).将点A沿x轴正方向

平移机个单位长度得到点民。为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中

点C在反比例函数y=4(无＞0)的图象上.

x

(1)求〃，左值;

(2)当优为何值时，A6-0D的值最大?最大值是多少？

24.如图，是VABC的外接圆，。点在3C边上，/B4c的平分线交。。于点。，连接3D、

CD,过点。作5c的平行线，与A3的延长线相交于点P.

(1)求证：尸D是。。的切线；

(2)求证：APBD-ADCA；

(3)当A3=6,AC=8时，求线段PB的长.

参考答案

一、选择题：(每小题3分，本题满分共36分)，下列每小题中有四个备选答案，其中另有二

个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下.

1.下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°,旋转后的图

形能与原来的图形重合；据此即可作答.

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；

C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的；

故选：D

2.已知关于x的方程/+3+3=0的一个根为x=l，则实数相的值为()

A.3B.-3C.4D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的解，把X=1代入方程，求出机的值即可.

【详解】解：把x=l代入方程得1+加+3=0,

解得m=—4，

故选：D.

3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=f—4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线

的解析式是()

A.丁=(%+2)~+2：B.y=(%-2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x+2)~-2

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案.

【详解】由抛物线y=4向右平移2个单位，得：y=(尤—2)2—4；再向上平移2个单位，得：

y=（九一2）2—4+2=（%—2）~—2,所以A、C、D错误；

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键.

4.下列事件中，是必然事件的是（）

A.经过长期努力学习，你会成为科学家

B.从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光

C.打开电视机，正在直播NBA

D.在地球上抛出的篮球会下落

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可

能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判

断即可.

【详解】解：A.经过长期努力学习，你会成为科学家，是随机事件；

B.从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光，是随机事件；

C.打开电视机，正在直播NBA,是随机事件；

D.在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件；

故选：D.

5.一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机

摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为

30%和40%,由此可估计盒中大约有白球（）

A.20B.24C.32D.56

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了利用频率估计概率，解答此题关键是要计算出盒中白球所占的比例，再计算其个

数.根据题意，先求出摸到白色小球的频率，再乘以总球数即可求解.

【详解】解：,••多次试验的频率会稳定在概率附近，

从盒子中摸出一个球恰好是白球的概率约为1—30%-40%=30%，

...白球的个数约为80x30%=24个.

故选：B.

6.如图，£>E是VABC的中位线，点E在上，DF=2BF，连接所并延长，与CB的延长线相交于

点若3c=8,则线段的长为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形中中位线定理证得小〃3C,求出。E,进而证得根据相似三角

形的性质求出氏0,即可求出结论.本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌

握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键.

【详解】解：:DE是VABC的中位线，

：.DE//BC,DE=-BC=i-x8=4,

22

:.&DEFs&BMF，

•_D_E=_D_F—_2_B_F—2-

,BMBFBF'

BM=2,

：.CM=BC+BM=10.

故选：D.

7.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角NACB的正

3

弦值为g，则坡面AC的长度为（）m.

A.10B.8C.6D.6港

【答案】A

【解析】

3

【详解】：天桥的坡面AC与地面BC的夹角NACB的正弦值为w,

.•.sinc=3

AC5

E63

则----=一

AC5

解得：AC=10,

则坡面AC的长度为10m.

故选A.

8.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，E是BC延长线上的■点，已知NB0D=100°,则NDCE的度数

A.40°B.6O0C.50°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆周角定理，可求得NA的度数；由于四边形ABCD是。。的内接四边形，根据圆内接四边

形的性质，可得/DCE=NA,由此可求得NDCE的度数.

【详解】VZBOD=100°,

.•.ZA=50°,

•/四边形ABCD内接于。O,

.-.ZDCE=ZA=50°.

故答案选C.

【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握圆周

角定理及圆内接四边形的性质.

9.如图，已知Q4是。。的切线，A为切点，PC与。。相交于3.C两点，PB=2cm,BC=8cm,

则外的长等于（）

C.20cmD.26cm

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得的长

【详解】解：:PB-2cm，BC-8cm，

PC-10cm,

,:PN=PB・PC=2U，

•••PA=2A/5，

故选D

【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质是解决本题的关键.

10.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果

不考虑空气阻力，小球的飞行高度/?（单位：m）与飞行时间单位：s）之间具有函数关系〃=20/-5/，

下列说法正确的是（）

A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s

B小球从飞出到落地要用4s

C.小球飞行3s时飞行高度为15m,并将继续上升

D.小球的飞行高度可以达到25m

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.根据函数表达式，可以

求出〃=0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度;

然后根据方程20/-5/=15的意义为々=15时所用的时间，据此解答.

【详解】解：20/—5产=15的两根％=1，弓=3,即〃=15时所用的时间，

小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s,故A错误；

•••人=20/-5产=-（7-2『+20,

对称轴为直线f=2,最大值为20,故D错误；

：1=3时，h=15,此时小球继续下降，故C错误；

•当/?=0时，4=0,弓=4，

t-,——4,

二小球从飞出到落地要用4s,故B正确.

故选：B.

11.二次函数y=奴？+bx+c的图象如图所示，有如下结论：®abc>0；②2a+b=。；③

3Z?-2c<0；@am2+bm>a+b（机为实数）.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线

与y轴的交点判断C与。的关系，然后根据对称轴判定2。+匕=0；当x=—1时，y^a-b+c,然后由

图象顶点坐标确定卬/+bm与a+b的大小关系.

【详解】解：①•..对称轴在丁轴右侧，

a、b异号，

:.ab<Of

c<0，

/.abc>0,故①正确，

b

②*.*对称轴x—....二1,

la

，2a+b=0,,故②正确；

b

(§),,,2。+/?=(),。=—,

2

.,.当％=—1时，y-a-b+c>0,

b

----/?+c>0>

2

3b-2c<0,故③正确；

④根据图象知，当x=l时，有最小值；当加为实数时，有丽2+Zw?+c2a+b+c，

am2+bm>a+优根为实数）故④正确;

本题正确结论有①②③④，共4个.

故选：D.

12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆。，E是半圆。上的动点，跖，ZM于点

F,于点P，设EF=光，EP=y,则Jx2+丁的最小值是（）

A.2A/3-1B.4-273C.275-1D.275-2

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，四边形A^EP为矩形，x2+y2=AE2,所以当AE最小时，即O,E,A三点共线时，x2+y2

最小，利用勾股定理进行计算，即可得解.

【详解】解：连接OE,AE,AO

:四边形ABCD为正方形，AB=4，CD为圆。直径，

/.ZBAD=ZCDA^90°,CD=AB=AD^4,OD=2,

'：EF±DA,EPLAB，

，四边形AFEP为矩形，

x2+y2=AE2,

'：OE+AE>AO

.•.当O,E,A三点共线时，炉+产最小，(jE=OD=2,

则：OAZOA+AD?=也2+42=2后

/.AE=A0-0E=2指-2,

•••&+/=AE=2布-2,

故选：D.

【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质.熟练掌握圆外一点与圆心和圆上

一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键.

第II卷(非选择题共84分)

二、填空题(每小题4分，共24分)

13.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员

赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有名同学.

【答案】12

【解析】

【分析】根据题意，设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x-1)本图书，有x名学生，那么总互共

送x(x-1)本，根据全组共互赠了132本图书列出方程，继而求解即可得出答案.

【详解】解：设全组共有无名同学，那么每名同学送出的图书是(x-1)本；

则总共送出的图书为X(X-1)；

又知实际互赠了132本图书，

'.x(x-1)=132.

整理得£-X-132=0,

解得X1=12,々=—11(舍去)，

.•.全组共有12名同学.

故答案为：12.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，读清题意，弄清每名同学送出的图书是(x-1)本是解决本

题的关键.

14.若A(-2,a),B(1,b),C(2,c)为二次函数y=(x+l『-9的图象上的三点，则a,b,c的大小关

系是.(用连接)

【答案】a<b<c

【解析】

【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.

【详解】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-l,且图象开口向上，

/.点离对称轴距离越远函数值越大，

•/-I-(-2)=1,

1-(-1)=2,

2-(-1)=3,

a<b<c,

故答案为：a<b<c.

【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特

征是解答的关键.

15.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是.

【答案】|

【解析】

【详解】列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可.

开始

共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，

所以概率为］

故答案为

考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.得到在第四象限的情况数是解决

本题的关键.

16.如图，将△A8C绕着点B逆时针旋转45。后得到△ABC,若NA=100。，NC=45。，则NA8C的度数

为一度.

【答案】10

【解析】

【分析】由将△ABC绕着点8逆时针旋转45°后得到BC,可求得=45°,然后由三角形内

角和定理，求得NABC的度数，继而求得答案.

【详解】解：：将aABC绕着点8逆时针旋转45。后得到△?!'BC,

：.ZABA'=45°,

VZA=100°,ZC=25°,

ZABC=180°-ZA-ZC=180°-100°-45°=35°,

ZA'8C=/AR4'-/A3C=45°-35°=10°.

故答案为：10.

【点睛】此题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理.注意掌握旋转前后对应角相等是关键.

17.如图，平行于x轴直线与函数y="(%>0,x>0)和y=4(fe>0,x>0)的图象分别相交于

XX

A,B两点.点A在点2的右侧，C为无轴上的一个动点，若△ABC的面积为4,则％-上的值为—.

【解析】

【分析】△ABC的面积=/乂小班，先设A、B两点坐标(其y坐标相同)，然后计算相应线段长度，用面

积公式即可求解.

【详解】解：设：A、8点的坐标分别是A占,加)、B占,m),

mm

]1kk

则：/XABC的面积=不・A3・y4=j•(------)•加=4,

2zmm

则k\-fe—8.

故答案为：8.

【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确

定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题.

18.如图，一段抛物线y=—f+6x(OWxW6),记为抛物线G，它与x轴交于点。，A；将抛物C线

绕点A旋转180°得抛物线C?,交X轴于另一点&；将抛物线C?绕点4,旋转180°得抛物线C3,交尤轴

于另一点人3,…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点“(2024,m)在此“波浪线”上，则相的值

【答案】-8

【解析】

【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据抛物线与X轴的交点问题，得到图象G与X轴交点坐标

为：（0,0）,（6,0）,再利用旋转的性质得到图象。2与X轴交点坐标为：（6,0）,（12,0）,发现每经过12个

单位长度，纵坐标循环一次，即可得到x=2024时的纵坐标和x=8时的纵坐标相同，从而代入求得机的

值.

详解】y=-x2+6x（0<x<6）,

...图象G与x轴交点坐标为：（0,0）,（6,0）,

•••将G绕点A旋转180。得G，交x轴于点&（12,0）,

••・抛物线C2:y=（x-6）（x-12）（6WxW12）,将C2绕点劣旋转180。得。3，交》轴于点4（18,0）；

发现每经过12个单位长度，纵坐标循环一次，

又,••2024+12=168…8,

X=2024时的纵坐标和x=8时的纵坐标相同，即y=（8—6）义（8—12）=—8,

故答案为：-8.

三、解答题（共60分）

19.计算：2COS2450-7（tan600-2）2-（sin60°-1）°+（1）-2

【答案】V3+2

【解析】

【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数嘉、零指

数次幕和二次根式的性质.

根据特殊角的三角函数值，负整数指数累、零指数次哥和二次根式的性质进行计算即可.

【详解】解：原式=2x二-|73-2|-1+4

\/

=1-（2-百）-1+4

=百+2・

20.某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销

售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单

价不得超过65元.要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？

【答案】55元

【解析】

【分析】设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100-2(x-50)］件，根据每天的销售利润=每件的

利润x每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

【详解】解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100—2(x—50)］件，

依题意得：(x—40)［100—2(x—50)］=1350,

整理得：%2-140%+4675=0.

解得：苞=55,4=85(不符合题意，舍去).

故每件工艺品售价应为55元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

21.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示.已知AC=20cm,BC=18cm,

ZACB=50°,王浩的手机长度为17cm,宽为8cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理

由.(提示：sin50°~0.8,cos50°~0.6,tan50°~1.2)

【答案】能，理由见解析.

【解析】

【详解】试题分析：

由题意可知，手机能不能放入卡槽A8内可以通过线段的长与手机的长17cm的比较来判断.因此，本

题就转化为如何求解线段A8的长.分析已知条件可知，通过作AABC的边8c上的高AD,可以利用已知

条件中NAC2的度数与边AC的长求解RtAADC,进而通过勾股定理得到线段AB的长.

试题解析：

王浩同学能将手机放入卡槽内.理由如下.

r八

如图，过点A作垂足为D

VZACB=50°,AC=20cm,

・••在中，

AD=ACsinZACB=AC-sin50°«20x0.8=16(cm),

CD-AC-cosZACB—ACcos50°x20x0.6=12(cm),

VBC=18cm,

・・・BD=BC-CD^18-12=6(cm),

•1•在RtAADB中，AB=7AD2+DB2®A/162+62=7292=2773(cm).

•/2A/73=V292-17^7289-

又,：也页>6^，

：.AB>11,即卡槽AB的长度大于手机的长，

，王浩同学能将手机放入卡槽内.

点睛：

本题考查了解直角三角形的相关知识.利用解直角三角形求解线段长度问题的关键是寻找或构造合适的直

角三角形.符合条件的直角三角形不仅自身是可解的，而且还要能够通过公共边之类的关系与要求的线段

相联系.一般情况下，相关三角形的某一条边上的高往往是解题的突破口.

22.2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重“水门

礼”(寓意“接风洗尘”).如图1,两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的

抛物线的一部分.如图2,当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点X

处相遇，此时相遇点》距地面20米，喷水口A,8距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米(两条

水柱的形状及喷水口A',8'到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系)，此时两条水

柱相遇点〃'距地面多少米？

图1图2

【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点H'距地面19米

【解析】

【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点打、8的坐标，设设经过点

A,B,”的抛物线的解析式为丁=。/+。，将点〃、5的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律

给出经过点"，〃'的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题.

【详解】解：设经过点A,B,反的抛物线的解析式为y=a/+c,

根据题意得”(0,20),8(40,4),将其代入丁=。必+。得：。=20,解得。=一_L,

100

1

y------x9+20,

100

1,

•••经过点B'，H'的抛物线是由抛物线y=--X2+20向右平移得到的,

经过点"，的抛物线的顶点为(10,20),

1,

.­.经过点Bf，H'的抛物线的解析式为y=——(x-IO-+20,

11

将x=0代入，y=-------(10)29+20得，y=-------(0-10)29+20=19,

100100

，消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米.

“7、

23.如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=：(尤>0)的图象交于点4(4〃).将点A沿X轴正方向

平移加个单位长度得到点民。为X轴正半轴上的点，点8的横坐标大于点。的横坐标，连接3D,5。的中

k

点C在反比例函数y=—(%>0)的图象上.

(1)求凡k的值;

(2)当机为何值时，A6-0D的值最大?最大值是多少？

【答案】(1)〃=8,k=32

(2)当爪=6时，AB-OD取得最大值，最大值为36

【解析】

【分析】(1)把点4(4,〃)代入y=2x,得出〃=8,把点4(4,8)代入、=：(》＞0),即可求得％=32；

(2)过点C作x