上海市某中学2023-2024学年高一年级下学期期中数学试卷（解析版）

2023-2024学年上海市第二中学高一年级下学期

期中数学试卷

2024.4

一、填空题(本大题共有12小题，满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分.

1.在0到2万范围内，与角-至终边相同的角是.

3

【答案】—

3

【解析】与角弓终边相同的角的集合为{a\a=~+2觊,keZ},

取左=1,可得a=--+2%=—.

33

.•.在0至IJ2万范围内，与角一网终边相同的角是也

33

2.设角Q的终边经过点尸(-3,4),那么sin，+2cos6=.

【答案】二

5

【解析】•.•角。的终边经过点P(-3,4),;.x=—3,y=4,r=\OP\=5,

/.sin6)=—=—,cos0=—=,那么sin6+2cos。=壮一9=—2

r5r5555

3.若一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的3倍，则该弧所对的圆心角是原来

2

的.

【答案】3

【解析】设原来扇形的半径为R，弧长为L,圆心角为。.变化后的扇形的半径为r,弧长

为/,圆心角为月.

13

贝!Jr=—E,l=—L,L=Ra,l=rB.

22

BTIR3、.

—=-^=-x—=-x2=3

aLLr2

4.函数y=tan(3x+?)的最小正周期为.

【答案】-

3

【解析】由正切函数的周期公式得：7=%

3

5.已知锐角x满足sin%=L,则1=.

2

【答案】-

6

【解析】sinx=sin—=>%=—

66

6.已知e?是两个不共线的向量，向量4=2q-e2，b=ke1+e2.a//b,则％=.

【答案】-2

【解析】《不共线,

•：UHb,.•.存在实数X,使石=4商,

kj+g=246]一彳4'

[k=2/1..

,,，解得人二一2

[—4=1

7.若函数）=sinx+&cosx+3的最小值为1,则实数〃=.

【答案】3

【解析】因为y=sinx+Gcos%+3=Jl+asin(x+/)+3(coscp=-J,

Jl+a

由题意得3—由+a=1,

解得a=3.

4

8.已知cos(cr-/?)cosa+sin(cr-/?)sincir=--,且P是第三象限的角，则sin/?=.

3

【答案】--

5

4

【解析】cos(a-/3)cosa+sin(a-j3)sina=-->

44

cos[(^z-/3)一=一~,即cos/3=一—,

・.,夕是第三象限的角，

9.已知1，4为单位向量且夹角为（，设苕=[+£,建工,商在B方向上的数量投影为

【答案W

【解析】0・5=（G+晟）•最

=C]»e2+/

=-+1

2

=-,且|5曰；

2

.•.M在B方向上的数量投影为:

ai_3

|a|cos<a,b>=|a|*

\a\\b\~~\B\~2

10.已知角a满足cos(i+?)=],贝Usin(2a—2)=.

【答案】N

9

[解析]cos(cr+—)=sin[——(a+—)]=sin(—宴a)=一,

62633

/.sin(2a——)=cos[——(2a——)]=cos(^-—2a)=cos2(——a)=l—2sin2(——6z)=1—2x(—)2=—

62633339

H.如图，在平行四边形ABCD中，石为5。的中点，尸为。石的中点，若

AF=xAB+yAD,贝!J九+y=.

【答案】-

4

【解析】连接AC,如图所示,

因为平行四边形ABCD中，E为3C的中点，/为DE的中点,

所以存，而+工荏」而+工，(箱+画

22222

1—►1—►—►—►1—►3—►

=-AD+-(AD+AB+AB)=-AB-^--AD,

2424

所以％，

24

所以x+y='+3=9.

244

A1B

12.已知函数/（无）=^sin（＜yx+0）（O＜0〈万）的部分图象如图中实线所示，圆C与/（幻图象

6

交于M,N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为.

【答案】—

12

【解析】函数的最小正周期T满足：--解得T=万，即加=万，所以。=2.

236a

因为点"、N关于点C对称，所以尤c=,x2=生，

c233

由图象可得了⑺的最大值点为;.+§=去所以2*3°=]+2左/，kwZ,

结合。＜夕＜乃，取左=0得9=工，/（元）表达式为/'（尤）=———sin（2.x+—）.

363

因此可得|OM|=/（0）=叵sin二=工，所以圆C的半径

634

r=7lOM|2+|CM|2==||

二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸

的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧

的结晶.从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬

至、小寒、大寒.二十四节气的对应图如图所示，从2024年4月20日谷雨节气到2024年

12月6日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（）

A57c----3

A.—B.nC.——D.-n

442

【答案】C

【解析】依题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数位也=2,

2412

从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个格，

所以转过的弧所对圆心角的弧度数为15x二二..

124

故选：C.

14.下列等式中不恒成立的是（）

A.a-b=b-aB.Aa-b=a-

/——\2—»2—»2

CAa-b\=a・b由-限（

【答案】C

【解析】・加）=（卜帆85卜，矶=卜|Wcos?卜,5）与〃-b不是恒相等的

故选C

6为了得到函数y=sin2x的图象，可以将y=cos（2x-三）的图象（）

A.向右平移三个单位长度B.向右平移三个单位长度

63

C.向左平移三个单位长度D.向左平移工个单位长度

63

【答案】A

jr-rr

【解析】将y=cos（2x----）=sin（2xH——）的图象向右平移看个单位长度，可得函数y=sin2x

63

的图象,

故选：A.

16.设函数/■（无）=$皿0无-a+1（昕"）在［1|,手上单调递减，则下述结论:

①关于(2,0)中心对称；

12

②/(x)关于尤=^轴对称；

③在任㈤上的值域为［03；

22

④方程/(x)=1在［0,2句有4个不相同的根.

其中正确结论的编号是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】D

【解析】函数/⑴=sin(ox-')+1(。eN*)在［射，旦］上单调递减,

6126

_.7CTC_.3兀2k7c2万2k兀5%

2左乃+一轰％x——2k/r+——o-----+——轰/----+——；

262co3a)co3a)

2k冗In57r

----1-------

33。”1224k8双/12kc

o亨+g驱——+2，

5TT2kji57r5

—，，----1---

、6co3co

又因为0eN*,所以左=0时，(o=2.

71

f(x)=sin(2x----)+1；

6

对于①，/(—)=1^0,所以①错；

12

对于②，/(-)=-，未达最值，所以②错;

32

对于③，

nn--,2n--=4>sinflx--e-1,—

xe—,7t=>2xe［1，2乃］=4>2x--e

266jI6jL2.

3

n/(x)e0,-

所以③对;

对于④，/(X)以万为周期，y(x)=i在［0,2句上只有两个根，端点不是根,

所以在［0,2句有4个不同根，所以④对.

故选：D.

三、解答题(本大题满分48分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤

17.(本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分)

077"

己知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，A=—.

3

(1)若3=C,a=2A/3,求c；

(2)若AABC的面积为26，c=2,求“

【答案】(1)2；(2)26

【解析】

(1)因为A=,B=C,所以B=C=工，

36

由正弦定理，L=,，可得c=2；

sinAsinC

(2)因为AABC的面积为2百，

所以工6csinA=26,因为A=主，c=2,

23

J3l

所以火6=2抬，解得6=4,

2

O-TT[

由余弦定理可得标=16+4-2x4x2cos——=28,BPa=277

3

18.(本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分)

已知|西=夜,出|=1,1与5的夹角为45。.

(1)求旧+26|的值;

(2)若向量(24-呵与日万-3方)的夹角是锐角，求实数2的取值范围

【答案】(1)师；(2)(1,V6)U(V6,6)

【解析】

(1)由团=应,|5|=1,乙与方的夹角为45。,

所以①+26)2=及2+464+452=2+4x应xlxcos45o+4xl=10,

所以14+25|=A/10；

(2)由(2”4)与(施-35)的夹角是锐角,

所以(24-篇)•("-35)>0,且(2a-Ab)与(Aa-3b)不能同向共线；

即2Atz~+3—（彳~+6）Zz,Z?>0»JEL2&—Ab4k（九a—3b）,左>0；

所以几2一72+6<0,且外/6,2>0；

解得1<彳<痛或后<2<6；

19.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）

已知函数/（x）=cos2x+6sinxcosx+；.

（1）求函数/（无）的最小正周期和单调增区间；

（2）求函数/（%）在区间［《肛|万］上的最小值以及取得该最小值时x的值

【答案】（1）兀,递增区间为k7i-—.k7i+—（左EZ）；

（2）x万时，/（x）取得最小值0

【解析】

（1）因为函数

\2石.1cos2x+lA/3.143.（乃）［

t%=cosx+V3sin%cos%d■—=-----------1-----sinzxd■—=——sin2x-\■一|+1

v7222226J

；・函数/（元）最小正周期是T=»;

,.,TC_TC-,7C

当t2人》---<2x-\——<2kjiH——

262

rrrr

即k7l--<X<k7l+-

36

jrjr

函数/（%）单调递增区间为k7T--.k7V+-（%£Z）

/八「75i4»双新n117i

（2）XG［71,—7l\--爰必¥4；

126366

所以当2了+工=3%时，即x=2万时，/（X）取得最小值0

623

20.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）

如图，有一条宽为30”?的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角

形区域（图中AAB0种植荷花用于观赏，C,3两点分别在两岸4上，ABLAC，顶点

A到河两岸的距离AE=%,AD=h2,设NABD=a.

（1）若&=30。，求荷花种植面积（单位：，/）的最大值;

(2)若生=4%,且荷花的种植面积为1504，求sina.

【答案】(1)1504病；(2)$加c=3或3

55

【解析】

由题可得，AB二工,AC=—仁.

sinacosa

(1)当(z=30。时，AB=2^,AC=《h\,

所以SAABC=5筋，AC=忑他,

又因为々+4=30,4,饱..0,

所以5-80=2%3，A(A±Zk)2=15073,当且仅当4=久=15时取等号-

所以荷花种植区域面积的最大值为150屈2.

(2)因为4+生=30,a=4%，所以々=6,e=24,

=AC=-^—,a6(0,-),

sin。cosa2

i7?

从而SMKC=-ABAC=-------------=150，

2sinacosa

所以sinacostz="，①

25

49

所以(sina+cosa)2=l+2sin(7coscr=­・

jr7

又因为(ze[0,—],所以sine+cose=—,②

25

由①②解得：sina=I或1

21.(本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角

形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小意大利数学家托里拆利给出

了解答，当AABC的三个内角均小于120。时，使得NAOB=N3OC=NCO4=120。的点。即

为费马点；当AABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知

识解决下面问题：已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1.

(1)求A；

(2)若bc=2,设点P为AABC的费马点，求耳・旃+旃・无+定・丽；

(3)设点P为AABC的费马点，|PB|+|PC|=r|R4|,求实数f的最小值

【答案】(1)A——；(2)---；(3)2+25/3

23

【解析】

(1)由己知AABC+cos2B+cos2C-cos2A=1,BP1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2