数列（7题型+高分技法+限时提升练）学生版-2025年高考数学二轮复习专项提升

热点12数列

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年数列的应用；等差数列的性质及求和公式；等比数列的性质；数列与

函数的综合；数列、不等式的应用

等差数列与等比数列的前n

2023年等差数列和等比数列的性质；等比数列的前n项和公式；数列与函数

项和；数列中的递推公式、

的综合应用

推理问题、数列的通项公式

2022年等差数列与等比数列的前n项和、数列极限的求法、数列中的递推公

等知识；数列与函数的综合

式、推理问题、数列的通项公式等知识；数列的应用、等比数列性质的应用；

数列的函数特性及应用。

热点题型解读

逊1健数列的前1顼和

题型5数列的求和

壁2等匕嗷列的曲顼和

口6数列的极限数列

堂3数列的应用

题型7数歹监函

题型4数列递演

题型1等差数列的前n项和

等差数列的前〃项和公式

已知量首项、末项与项数首项、公差与项数

n(ai+an)n(n-l)

求和公式

S"2Sn—〃对12d

注意点：

⑴公式一反映了等差数列的性质，任意第左项与倒数第左项的和都等于首末两项之和.

（2）由公式二知d=0时，Sn=naA-,dWO时，等差数列的前〃项和S”是关于〃的没有常数项的“二次函

!数”.

।।

（3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数.

S56

L（2024•上海杨浦•一模）设无穷数列｛。“｝的前”项和为S“，且对任意的正整数%%==，则3%-3出1

a

ni=l1=1

的值可能为（）

A.-6B.0C.6D.12

2.（2024•上海）数列｛4｝,an=n+c,57<0,c的取值范围为.

3.（2022•上海）已知等差数列｛%｝的公差不为零，S”为其前〃项和，若工=0，则S"=l,2,100）

中不同的数值有一个.

4.（2024•上海杨浦・二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘

米.现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安

全隐患，堆放高度不得高于1米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.

8…8

••

•••

…

5.（2024•上海宝山•二模）某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒，在哨位。的正上方安

装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地4444;假设2：视探照灯为点

M,且距离地面20米；假设3：探照灯〃照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从44+1侧

扫描到及8M侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环1（左=1,2,3,…）.由此，通过

调整M的俯角，逐次扫描形成扇环H、邑、S3….第一次扫描时，光斑的长轴为斯，|。阂=30米，此时在

探照灯M处测得点尸的俯角为30。（如图2）.记=4，经测量知1=80米，且｛4｝是公差约为0.1

米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.

6.（2024•上海,三模）已知两个等差数列2,6,10,202和2,8,14,200,将这两个等差数列的公

共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为.

7.（2024•上海普陀•一模）设几21,m>l,冽、HGN,等差数列｛%｝的首项q=0,公差dwO,若

11

am=，则m的值为.

Z=1

8.（2023・上海长宁•三模）己知数列｛%｝是等差数列，若

£同=£>,+[=f%+2|=之旧+3|=$>,+4|=2023,则数列｛a„｝的项数"的最大值是.

z=lz=li=li=\z=l

2

9.（2024・上海虹口・二模）己知等差数列｛%｝满足。=5,a9+l=2a6.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）设数列｛"｝前〃项和为S,,,且6“=心-吊，若S,“>432,求正整数冽的最小值.

10.（2023・上海长宁•一模）已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S“，公差"=2.

⑴若$=100,求｛q,｝的通项公式；

（2）从集合｛%,4，%，氏，%，/｝中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A,求事件A发生的概率

尸⑷.

题型2等比数列的前n项和

一—…—一一元…一—…—一―一―一—一—一一

等比数列的前〃项和公式

已知量首项、公比与项数首项、公比与末项

公式一公式二

n

求和公式,a\(\—q)(a\—anq

“Lqi，S.=Lq("D

1)〃Qi(q=1)

注意点：

（1）用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=l和q#l进行分类讨论.

一IX（1—2"+。

（2）公式一中的n表示的是所求数列的项数（例如1+2+22H---\-2"=-------------------

1—2

1—2"X2

（3）公式二中的内表示数列的第一项，即表示数列的最后一项（例如1+2+22H----H2"=---------）

1—2

工7^024.上德詈温三餐]砺:意曾项为q「A'而彳一而辐蔽加工而至;演菽万占京热羡女「向

（）.

A.%>0B.q>0C.闻4同D.闻<回

2.（2024•上海普陀•二模）设S,是数列｛七｝的前"项和（"之l,"eN）,若数列｛氏｝满足：对任意的〃22,存

在大于1的整数〃2,使得（鼠-。,）（臬-。向）<0成立，则称数列｛%｝是"G数列”.现给出如下两个结论：①

存在等差数列｛%｝是"G数列"；②任意等比数列｛%｝都不是"G数列".则（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

3.（2024•上海奉贤,一模）已知数列｛%｝不是常数列，前"项和为S”，«„>0.若对任意正整数〃，存在正

整数〃?，使得则称｛%｝是"可控数列现给出两个命题：

①若各项均为正整数的等差数列｛«„｝满足公差d=3,则｛%｝是"可控数列"；

②若等比数列｛«„｝是"可控数列"，则其公比qe（0,1].

则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为真命题，②为假命题

4.（2024・上海长宁•二模）设数列｛七｝的前"项和为S,，若存在非零常数c,使得对任意正整数力，都有

2庖=%+c，则称数列｛%｝具有性质?：①存在等差数列｛%｝具有性质?；②不存在等比数列｛与｝具有

性质。；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）

A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假

5.（2024・上海松江•二模）设S”为数列｛q,｝的前〃项和，有以下两个命题：①若｛%｝是公差不为零的等差数

列且左eN,k>2,则…$21=0是％=0的必要非充分条件；②若｛%｝是等比数列且上eN,

k>2,贝UE•邑…1=0的充要条件是应+&+|=。.那么（）

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

6.（2024•上海•模拟预测）己知数列｛%｝不是常数列，前〃项和为S”，且％>0.若对任意正整数"，存在

正整数加，使得则称｛4｝是"可控数列现给出两个命题：①存在等差数列｛%｝是"可控数

列"；②存在等比数列｛%｝是"可控数列则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

7.（2024•上海奉贤•三模）若数列｛%｝的前"项和为S,,关于正整数〃的方程SjSx=a记为尸，命题。：

对于任意的aeR,存在等差数列｛%｝使得产有解；命题4:对于任意的aeR,存在等比数列｛年｝使得尸

有解；则下列说法中正确的是（）

A.命题。为真命题，命题4为假命题；B.命题。为假命题，命题1为真命题；

C.命题。为假命题，命题4为假命题；D.命题。为真命题，命题4为真命题；

8.（2024・上海徐汇•一模）已知数列｛%｝的前“项和为S”，设乙=宴（〃为正整数）.若存在常数c,使得任

n

意两两不相等的正整数切，左，都有0斤+（_/-左左+信-认=。，则称数列｛%｝为"轮换均值数列".现有

下列两个命题：①任意等差数列｛%｝都是"轮换均值数列".②存在公比不为1的等比数列｛4｝是"轮换均值

数列J则下列说法正确的是（）

A.①是真命题，②是假命题

B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题

D.①、②都是假命题

9.（2023•上海）已知首项为3,公比为2的等比数列，设等比数列的前〃项和为S,,,则与=.

10.（2024•上海普陀•二模）设左，m,〃是正整数，S”是数列｛%｝的前〃项和，q=2,Sn=an+l+l,若

机=£4区-1），且，"｛01｝，记/（"?）=。+/2+…+4，贝.

i=l

11.（2024・上海•三模）已知+.

⑴无穷等比数列｛2｝的首项4=/，公比4=4.求»的值.

Z=1

⑵无穷等差数列｛c“｝的首项G=%，公差"=求｛q,｝的通项公式和

Z=1

12.（2024・上海宝山•一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗.

⑴甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率；

⑵甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大7的概率；

⑶若第一次掷出点数之和大于6的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束.例

如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：5、4、3、7,此时乙为胜者.设甲先投掷，求甲最终获胜的概率.

13.（2024•上海普陀•一模）设”1,n＞l,neN,若正项数列｛%｝满足＜。用＜%,则称数列｛与｝具有

性质"尸⑺".

（1）设机21,meN,若数列10,7,m,4,3具有性质"P（2）”,求满足条件的加的值；

（2）设数列｛%｝的通项公式为%+问是否存在，使得数列｛4｝具有性质"尸（，）"？若存在，求出满

足条件的/的取值范围，若不存在，请说明理由；

⑶设函数＞=〃x）的表达式为〃x）=ln（e=l）-lnx,数列｛七｝的前"项和为S,,且满足q=g,

。向=/（%），证明：数列｛%｝具有性质"P（3）”,并比较S,与1-3的大小.

题型3数列的应用

!00@点!

i.给出数列的方式有多种，以递推公式的形式给出是很常见的情况，通常是转化为等差或等比数列求出通

项.常用方法为待定系数法、倒数法等方法.

2.（1）解应用问题的核心是建立数学模型.

（2）一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.

（3）注意问题是求什么（〃，an,Sn）.

注意：

，①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答.

；②在归纳或求通项公式时，一定要将项数”计算准确.

；③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.

!④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求.

二一仃而在薄5毛而左莠薮前■的荀崩为荽戮1箕箭一运前7第赤盍孟蔡薮二赤12百号

|Sk|＞|Sk+lI,则下列各项中可能成立的是（）

A.%,。3，。5，…，。2〃-1，…为等差数列，%«4,&，…，%，…为等比数列

aa

B.,%，5','',为等比数列，2104,。6，…，…为等差数列

a

C.%,a2,a3,■■■,%）22为等差数列，20221。2023，…为等比数列

aa

D.%,a2,a3,■■■,电022为等比数列，2022,2023''°"，…为等差数列

2.（2022•上海）已知等比数列｛凡｝的前“项和为S”，前〃项积为7；,则下列选项判断正确的是（）

A.若邑。22＞邑。2「则数列｛%,｝是递增数列

B.若%则数列｛%｝是递增数列

C.若数列｛SJ是递增数列，贝1]/22）。2以

D.若数列区｝是递增数列，贝心2侬》。的

3.（2024•上海普陀•一模）设。＞0且awl,k、m、力都是正整数，数列｛%｝的通项公式为

%=I3（；；加）,，记数列｛%｝中前上项的最小值为4,由所有4的值所组成的集合记为A,若

集合A中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（）

A.当加=3时，。的取值范围是（1,6）B.不存在。和加的值，使得应任4

C.当机=4时，〃的取值范围是（3,6）D.存在。和加的值，使得。5®/

4.（2024・上海虹口•一模）设数列｛%｝的前四项分别为4、%、/、④，对于以下两个命题，说法正确的是

().

①存在等比数列｛%｝以及锐角a,使｛sintz,costz,tana｝=｛%,%,%｝成立.

②对任意等差数列｛%｝以及锐角a,均不能使｛sina,cosa,tana,cota｝=｛%,%,%，%｝成立.

A.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②是假命题

5.（2024•上海）％=2,%=4,%=8,牝=16,任意4，b?,4,b，£R,满足

｛at+aj.|Kz<j^4｝=｛bt+bj\Kz<j<4｝,求有序数列也，b2,b3,"｝有对.

6.（2024・上海）无穷等比数列｛〃“｝满足首项q>0,q>\,记/〃=｛x-ye,6Z2][J[«W>%+J｝,

若对任意正整数〃，集合/〃是闭区间，则q的取值范围是.

7.（2024•上海•模拟预测）记等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%=6,则品=.

8.（2024•上海闵行•三模）设，是等比数列｛%｝的前"项和，若&=4,%+%+&=8,则率=_______.

d6

9.（2024・上海•三模）已知有穷数列｛6｝的首项为1,末项为12,且任意相邻两项之间满足

则符合上述要求的不同数列｛%｝的个数为.

10.（2024・上海♦模拟预测）q=2,出=4,%=8,%=16,任意配与，&，仇eR,满足

｛al+aj\\<i<j<^｝=[bi+bj\\<i<j<^｝,求有序数列他,b2,b3也｝有对.

11.（2024・上海•三模）设关于x的方程sina=，3>0）的从小到大的第z・个非负解为x,（i=l,2,3,…），若数列

｛Z｝是无穷等差数列，且打“｝在区间（1,2）中的项恰好比在区间[2023,2024]中的项少2项，则0的取值集合

为.

题型4数列递推式

L（I）利用数列的通项公式求某项的方法

।

数列的通项公式给出了第〃项恁与它的位置序号〃之间的关系，只要用序号代替公式中的"，就可以求出

数列的相应项.

⑵判断某数值是否为该数列的项的方法

I

先假定它是数列中的第〃项，然后列出关于〃的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无I

解或解不是正整数，则不是该数列的一项.

I

2.递推公式反映的是相邻两项（或〃项）之间的关系.对于通项公式，已知”的值即可得到相应的项，而递

推公式则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性（周

期性）.

3.由递推公式求通项公式的常用方法

（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.（只适用于选择题、填空

'题）

（2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：

I①a”+i—00=常数，或a”+i—是可以求和的），使用累加法或迭代法.

[②斯+尸。。,。为非零常数），或。是可以求积的），使用累乘法或迭代法.

!③a"+l=〃a“+qg,q为非零常数），适当变形后转化为第②类解决.

4.由S,求通项公式斯的步骤

（1）当n=\时，ai=S\.

（2）当"》2时，根据S”写出ST,化简°”=S“一SLI.

（3）如果也满足当〃22时，斯=5“一Si的通项公式，那么数列｛斯｝的通项公式为a”=S,-S”_i；否则数

列｛诙｝的通项公式要分段表示为

_fSi，n—\,

“产氐一S“T，〃22.

I_________________________________________________________________________________________________

1.（2024•上海嘉定•一模）已知数列｛%｝满足%+1=%（1-4）（"=1,2,3,...）,%«0,1）,给出以下四个结论：

①当r=2时，存在有限个可，使得对任意正整数力，都有。角

②当r=2时，存在可和正整数P,当"〉尸时，氏+i一%〈盛

③当r=3时，存在多和正整数尸，当〃〉P时，an+i=an

④当『=-3时，不存在q,使得对任意正整数”，且〃23,都有>0

其中正确结论是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②④

2.（2024•上海闵行•一模）已知数列｛%｝满足。同=|%+1|+川%-1],其中彳为常数.对于下述两个命题:

①对于任意的彳>0,任意的％eR,都有｛%｝是严格增数列；

②对于任意的义<0,存在qeR,使得｛%｝是严格减数列.

以下说法正确的为（）

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

3.（2023•上海徐汇•一模）在数列｛七｝中，%=2,且a”=ae+lg=贝1]%。。=.

4.（2024・上海虹口•一模）已知项数为10的数列｛%｝中任一项均为集合｛划14工〈10户€明中的元素，且相

邻两项满足％<〃用+3,"=1,2,…,9.若｛6｝中任意两项都不相等，则满足条件的数列｛与｝有个.

7T257r

5.（2024・上海•三模）已知数列｛%｝共有5项，且满足：①Q[=",a5=——；②q<%</<%<为；

22

(3)cos(«„+1)=sin(«„),〃=1、2、3、4.则满足条件的数列｛%｝共有个

6.(2022•上海)数列｛Q〃｝对任意〃eN*且磋2,均存在正整数,£口，1],满足。〃+[=-q,a｛=\,

%=3.

(1)求处可能值；

(2)命题p：若％,a2,&成等差数列，则%<30,证明。为真，同时写出〃逆命题勿并判断命

题g是真是假，说明理由；

(3)若。2m=3"，(机eN*)成立，求数列｛%｝的通项公式.

题型5数列的求和

iaaoa

1.错位相减法

(1)一般地，如果数列｛a“｝是等差数列，付“｝是等比数列，求数列｛%必“｝的前〃项和时，可采用错位相减

法.

I

(2)用错位相减法求和时，应注意：

!①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

a

[②在写出“SJ与“qs,”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出Sn-

qSn”的表达式.

2.分组求和的适用题型

1

一般情况下形如Q=Q〃±b〃，其中数列｛四｝与｛瓦｝一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列｛金｝

的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可.

3.倒序相加法求和适合的题型

一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，

利用推导等差数列前〃项和公式的方法，倒序相加求和.

4.并项求和法适用的题型

一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列

也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式.

5.裂项相消法求和

；常见的裂项求和的形式：

n(n+k)k\nn+kj

②-------———

(2/7—1)(2»+1)2n+l)

!2"11

③---------------------=---------------------；

(2«+1)(2«+1+1)2«+12,,+1+1

④-----=-[--------1-----1；

«(«+1)(«+2)+("+1)(〃+2)

⑤信grkf；

!⑥ln(l+1)=ln(〃+l)Tn几；

I〃+1lr11

।(7)---——；

n2(n+2)24[层("+2)2_

|⑧(—1)〃log3[如+1)]=(-1)〃[log3H+log3(«+1)]；

।An

I®(-l)w--------------;—

(2〃-1)(2〃+1)

=(-£+小

注意点：

(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系.

(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组.

(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同.

1.（2022•上海•模拟预测）设。公…、G,、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上,

且都与直线y=相切，对每一个正整数"，圆C"都与圆QM相互外切，以乙表示圆G的半径，已知打｝

为递增数列，若及=1,则数歹(]｛"3｝的前"项和为.

s

2.(2023•上海黄浦•三模)已知正项数列｛%｝的前"项和为S"，若2a£=1+片,也,=皿2詈，数列抄,｝

的前〃项和为北，则下列结论正确的是.

①凡<%；②博｝是等差数列；③S“4eG；④满足北23的〃的最小正整数为10.

3.(2024•上海•模拟预测)已知〃x)=gx2+gx,数列｛4｝的前"项和为S",点(〃㈤X〃eN*)均在函数

>=/(x)的图象上.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若g(x)='，令"=g1盘J(〃eN*),求数列也｝的前2024项和金2八

4.(2023•上海嘉定•一模)己知数列｛%｝的前〃项和为S“，S„=n2+n,其中〃©N*.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵求数列，[的前n项和Hn.

aa

[„„+iJ

5.(2023•上海静安•二模)已知各项均为正数的数列｛%｝满足%=1,。“=2%7+3(正整数〃》2)

⑴求证：数列｛。,+3｝是等比数列；

(2)求数列｛g｝的前"项和S".

题型6数列的极限

1.（2024•上海浦东新•三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球2024-R左eN*j.甲、乙两

人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上

一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第"局甲获胜的概率为必，则关于以下两个命题判断正确的是

（）

①口=4%4%,且P“+i=0-2"）0“+口；

4048—左

②若第七局甲获胜的概率不小于0.9,则左不小于1992.

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

2.（2024•上海虹口二模）已知等比数列｛4｝是严格减数列，其前"项和为S”吗=2,若％,2出,3%成等差数

歹U，贝丹吧s"=-

21

3.（2023・上海长宁•三模）在数列｛%｝中，为=1,且-------=0,设S,为数列｛%｝的前〃项和，贝|

anan+\

limSn=

«->+<»-------------------------.

4.（2023•上海浦东新•模拟预测）已知|44|=1，当〃22时，4M是线段441T的中点，点P在所有的线段

44M上，则|4尸|=.

22

5.（2024•上海•三模）已知数列｛%｝满足,点心（2"+1,%）在双曲线上一匕=1上，则!亶R只」=____.

26

7.（2023•上海嘉定•一模）已知平面上有〃+2个点4，7,…,4,4+1，4+2，4（0,0）,4（3,0）,

<方二，王人>=1且|见二|=皆王％]|，记4的坐标为（巴也），将4，4M，4+2依次顺时针排列,

求（liman,limb\=______

\n—>oon—>oo/

8.（2022•上海）已知在数列｛氏｝中，a2=l,其前〃项和为S0.

⑴若回｝是等比数例J,邑=3,求lim%

n—>oo

（2）若但,｝是等差数列，SL求其公差4的取值范围.

题型7数列与函数综合

0。❷式

i.数列本身是一类特殊的函数，高考命题中常将数列与一次函数、指数函数、三角函数、不等式等知识

综合在一起，在知识的交汇处命题，或与数阵、点列结合命题一些创新性问题.同时，以实际问题和古代

数学问题为背景的数列题也时有出现，难度中等或以上.

2.通过此类问题，综合考查抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

1'-2024-±>=-第二岸岸标及又登荃W而日另徐有初诏蔡「壬尸薪函即

经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底，工厂向集团上缴用（〃空0）万元，并将剩余资金全部作

为下一年的初始资金，设第〃年的初始资金为。“万元.

（1）判断｛%-2加｝是否为等比数列？并说明理由；

⑵若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级.设俏=2600,则该工厂在第几年

转型升级？

2.（2024•上海青浦•二模）若无穷数列｛%｝满足：存在正整数T,使得%+7=。”对一切正整数"成立，则称也J

是周期为7的周期数列.

⑴若见=sin］吧+1］（其中正整数加为常数，"eN,”21）,判断数列｛4｝是否为周期数列，并说明理由;

（2）若.阚=%+sin%（〃eN,“论1）,判断数列｛%｝是否为周期数列，并说明理由；

⑶设也J是无穷数列，已知*=6“+sina“（〃eN,〃Zl）.求证："存在为,使得｛%｝是周期数列"的充要条件

是"血,｝是周期数列

3.(2024•上海)己知/(x)=log”x(a>0,aH1).

⑴若了=/(无)过(4,2),求〃2x-2)</(x)的解集;

(2)存在x使得〃x+l)、/(◎)、〃x+2)成等差数列，求。的取值范围.

4.(2023•上海)已知/(x)=>x,在该函数图像「上取一点％,过点(q,〃%))作函数/(x)的切线，该切

线与y轴的交点记作(0,%)，若的>0，则过点(出，/(%))作函数■/'CO的切线，该切线与y轴的交点记作

(0,%)，以此类推的，直至4"W0停止，由这些项构成数列｛4｝.

⑴设(加》2)属于数列也｝,证明：am=lnam_x-1；

(2)试比较a,“与a,”-—2的大小关系；

(3)若正整数上》3,是否存在左使得可、%、a3..........4依次成等差数列？若存在，求出发的所有取值;

若不存在，请说明理由.

5.(2023•上海嘉定•一模)对于函数夕=/(%)，把/'(x)称为函数y=的一阶导，令/'(X)=g(x),则将g(x)

称为函数y=f(x)的二阶导，以此类推…得到n阶导为了方便书写，我们将n阶导用"'(初“表示.

(1)已知函数〃x)=e'，+“lnx-x2,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.

(2)现定义一个新的数列：在y=/(x)取q=/(1)作为数列的首项，并将"'(1+〃)]“,〃作为数列的第〃+1项.

我们称该数列为V=/(X)的""阶导数列"

①若函数ga)=x"数列｛%｝是y=g(x)的"〃阶导数列"，取T”为｛%｝的前〃项积，求数列

的通项公式.

②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的。阶导数列"为严格减数列且为无穷数列,

请写出它并证明此结论.(写出一个即可)

6.(2024•上海闵行,二模)已知定义在(0,+8)上的函数了=/(x)的表达式为/(x)=sinx-xcosx,其所有的

零点按从小到大的顺序组成数列｛%｝(«>l,«eN).

(1)求函数>=/(x)在区间(0,无)上的值域；

⑵求证：函数夕=/(x)在区间("兀，("+1)兀)()上有且仅有一个零点；

卬.、七(〃+1)无

(3)求证：兀<尤"+1-xn<-----.

7.(2023•上海金山•一模)若函数>=/(》)是其定义域内的区间/上的严格增函数，而〉=足)是/上的严

X

格减函数，则称y=/(x)是/上的"弱增函数".若数列｛%｝是严格增数列，而｛半｝是严格减数列，则称｛%｝

是"弱增数列

⑴判断函数了=13是否为(e,+00)上的“弱增函数”，并说明理由(其中e是自然对数的底数)；

⑵已知函数y=〃x)与函数》=_2尤2一4x-8的图像关于坐标原点对称，若y=〃x)是［加,〃］上的"弱增函数",

求”-加的最大值；

⑶已知等差数列｛2｝是首项为4的“弱增数列"，且公差d是偶数.记｛%｝的前"项和为S”，设北=若'("

是正整数，常数几2-2),若存在正整数后和加，使得后>机>1且［=7；,求4所有可能的值.

8.(2024•上海徐汇・二模)己知各项均不为0的数列｛%｝满足%+2%=%+"“+匕M(〃是正整数)，

〃1

囚=%=1，定义函数》=4(无)=1+£*/120),e是自然对数的底数.

k=ik!

(1)求证：数列|誓］是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)记函数V=g.(x),其中g"(x)=1-b"(x).

(i)证明：对任意x20,0<g3(x)</4(x)-y；(x)；

,〃一1

(ii)数列｛，｝满足2=——，设方为数列低｝的前"项和.数列忆,｝的极限的严格定义为：若存在一个常数

an

T,使得对任意给定的正实数式(不论它多么小)，总存在正整数加满足：当“2a时，恒有n-7|</成立,

则称T为数列区｝的极限试根据以上定义求出数列区｝的极限7.

限时提升练

(建议用时：60分钟)

一、填空题

1.(2024•上海・三模)数列｛与｝满足。用=2%("为正整数)，且出与的的等差中项是5,则首项/=

2.(2024・上海•三模)若数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，记其前〃项和为S“，贝|邑=.

3.（2024・上海•模拟预测）数列氏=1&（〃eN*）的最小项的值为.

4.（2024•上海奉贤•三模）若数列｛%｝满足对任意整数"有=2/-"成立，则在该数列中小于100的项

i=i

一共有项.

8

5.（2024•上海浦东新•三模）已知数列｛%｝为等比数列，%=8,则W>,=.

Z=1

6.（2024•上海静安•一模）设｛%｝是等差数列，4=-6,%=0,则该数列的前8项的和S.的值为.

7.（2024・上海嘉定•一模）已知数列｛%｝的通项公式为。"=-"+C,其中c为常数，设数列｛%｝的前"项和为

S”,若$6>$5且$6>邑，则。的取值范围为.

31

8.（2024•上海徐汇・二模）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若邑=5%-5（"是正整数），则牝=.

9.（2024•上海•三模）无穷等比数列｛%｝满足：%+&=1,%+%=；，则｛%｝的各项和为.

10.（2024・上海普陀•模拟预测）已知数列｛与｝的通项公式为%="+，,S"为数列｛%｝的前"项和，若

$2必<0，则实数，的取值范围为.

11.（2024•上海•模拟预测）已知无穷数列｛%｝的前"项和为S”，不等式的%<0对任意不等于2的正整数力

恒成立，且6s“=（见+1）（%+2）,那么这样的数列有个.

12.（2024・上海•模拟预测）无穷等比数列｛%｝满足首项q>0国>1,记/“=k-小,yea”+j｝,

若对任意正整数〃集合是闭区间，则4的取值范围是.

二、单选题

13.（2023・上海浦东新•三模）设等比数列｛%｝的前”项和为S,，设甲：ai<a2<a｝,乙：｛$“｝是严格增数列，

则甲是乙的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.（2023・上海杨浦•一模）等比数列｛%｝的首项％=」，公比为4,数列也｝满足a=log。.5%（"是正整

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数），若当且仅当〃=4时，物,｝的前〃项和纥取得最大值，则4取值范围是（）

A.（3,273）B.（3,4）C.（2后,4）D.（2后,3&）

15.（2024・上海宝山•二模