2024高考数学二轮复习第一部分题型专项练“12＋4”小题综合提速练四理

PAGEPAGE1“12＋4”小题综合提速练(四)一、选择题1．(2024·湘潭联考)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}，则A∩∁UB＝()A．(0,2) B．[2,4]C．(－∞，－1) D．(－∞，4]解析：集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}．∁UB＝{x|－1＜x＜2}．所以A∩∁UB＝{x|0＜x＜2}＝(0,2)．故选A.答案：A2．(2024·广西三校联考)已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a－b＝()A．－1 B．1C．2 D．－3解析：eq\f(a＋2i,i)＝eq\f(a＋2ii,i2)＝2－ai＝b＋i，所以b＝2，a＝－1，a－b＝－3，故选D.答案：D3．(2024·大连八中模拟)设向量a，b满意|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝()A．6 B．3eq\r(2)C．10 D．4eq\r(2)解析：|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4＋9＋2a·b＝9，a·b＝－2，|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2|a＋2b|＝4eq\r(2)，选D.答案：D4．设a＝log23，b＝eq\f(4,3)，c＝log34，则a，b，c的大小关系为()A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．a＜b＜c D．c＜b＜a解析：∵a＝log23＞＝eq\f(4,3)＝b，b＝eq\f(4,3)＝＞log34＝c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a.答案：D5．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，bn＝2an，数列{bn}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则()A．A＋B＝C B．B2＝ACC．(A＋B)－C＝B2 D．(B－A)2＝A(C－B)解析：∵{an}是公差不为0的等差数列，∴{bn}是以公比不为1的等比数列，由等比数列的性质，可得A，B－A，C－B成等比数列，∴可得(B－A)2＝A(C－B)，故选D.答案：D6．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx解析：对于选项A，因为y＝－sin2x，T＝eq\f(2π,2)＝π，且图象关于原点对称，故选A.答案：A7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.eq\f(4,3)＋πcm3 B.eq\f(2,3)＋πcm3C.eq\f(4＋π,3)cm3 D.eq\f(4＋2π,3)cm3解析：由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为eq\f(1,2)×π×12×2＝π，四棱锥体积为eq\f(1,3)×4×1＝eq\f(4,3)，所以该几何体体积为eq\f(4,3)＋π，故选A.答案：A8．若(1－3x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018的值为()A．22018－1 B．82018－1C．22018 D．82018解析：令x＝0，得a0＝1.令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝(1－9)2018＝82018.所以a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝82018－a0＝82018－1.故选B.答案：B9．(2024·吉林百校联考)运行如图所示的程序框图，若输入的ai(i＝1,2，…，10)分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,9)解析：阅读流程图可得，流程图中的k记录输入的数据中大于等于6.8的数据的个数，i＋1记录的输入数据的总个数，10个数据中，大于等于6.8的数据的个数是5，据此可得：输出的值为eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：C10．(2024·邢台质检)已知f(n)表示正整数n的全部因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则f(12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f(21)＝21，那么eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝51))f(i)的值为()A．2488 B．2495C．2498 D．2500解析：由f(n)的定义知f(n)＝f(2n)，且若n为奇数，则f(n)＝n，则eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝1))f(i)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝1＋3＋5＋…＋99＋f(2)＋f(4)＋…＋f(100)＝eq\f(50×1＋99,2)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝2500＋eq\o(∑,\s\up12(50),\s\do4(i＝1))f(i)，∴eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝51))f(i)＝eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝1))f(i)－eq\o(∑,\s\up12(50),\s\do4(i＝1))f(i)＝2500.选D.答案：D11．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A．(eq\f(\r(5)－1,2)，1) B．(0，eq\f(\r(5)－1,2))C．(eq\f(\r(3)－1,2)，1) D．(0，eq\f(\r(3)－1,2))解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m＞c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，∴eq\f(m2,a2)＋eq\f(m2,b2)＝1≥eq\f(c2,a2)＋eq\f(c2,b2)＝e2＋eq\f(e2,1－e2)，e4－3e2＋1≥0，e2≤eq\f(3－\r(5),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2，∴0＜e＜eq\f(\r(5)－1,2)，故选B.答案：B12．(2024·宣城市调研)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于随意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：①M＝{(x，y)|y＝eq\f(1,x)}；②M＝{(x，y)|y＝ex－2}；③M＝{(x，y)|y＝cosx}；④M＝{(x，y)|y＝lnx}．其中为“好集合”的序号是()A．①②④ B．②③C．③④ D．①③④解析：对于①，y＝eq\f(1,x)是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90˚，所以在同一支上，随意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，满意“好集合”的定义；在另一支上对随意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，所以不满意“好集合”的定义，不是“好集合”．对于②，M＝{(x，y)|y＝ex－2}，如图(1)中的直角始终存在，对于随意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如取M(0，－1)，则N(ln2,0)，满意“好集合”的定义，所以是“好集合”；②正确.对于③，M＝{(x，y)|y＝cosx}，如图(2)，对于随意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如(0,1)、(π，0)，满意“好集合”的定义，所以M是“好集合”；③正确.对于④，M＝{(x，y)|y＝lnx}，如图(3)，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线相互垂直，所以不是“好集合”．所以②③正确．故选B.答案：B二、填空题13．(2024·洛阳市联考)已知x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥x，,3x＋4y≤12，))则eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是________．解析：作出可行域：∵设z＝eq\f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋eq\f(2y＋1,x＋1)，令s＝eq\f(y＋1,x＋1)，s表示动点P(x，y)与定点(－1，－1)连线的斜率，当点P在B(0,0)时，s最小，即z的最小值为1＋2＝3；当点P在A(0,3)时，s最大，即z的最大值为1＋8＝9.答案：[3,9]14．(2024·海南省八校联考)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，过F的直线l与直线x＋eq\r(3)y－1＝0垂直，且直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：F是抛物线C：y2＝16x的焦点，∴F(4,0)，又过F的直线l与直线x＋eq\r(3)y－1＝0垂直，∴直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－4)，代入抛物线C：y2＝16x，易得：3x2－40x＋48＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝eq\f(40,3)，x1x2＝16，|AB|＝eq\r(1＋3)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(64,3).答案：eq\f(64,3)15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＝(2a－c)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))，且b＝eq\r(3)，记h为AC边上的高，则h的取值范围为________．解析：由bcosC＝(2a－c)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))得bcosC＋ccosB＝2acosB⇒a＝2acosB⇒cosB＝eq\f(1,2)，∴3＝a2＋c2－2accosB≥ac.∵S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bh，∴h＝eq\f(1,2)ca∈(0，eq\f(3,2)]．答案：(0，eq\f(3,2)]16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家探讨过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(n2＋n,2)，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形数：N(n,4)＝n2；五边形数：N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六边形数：N(n，6)＝2n2－n，…，由此推想N(8,8)＝______