2025版高考数学一轮复习课后限时集训30等比数列及其前n项和理含解析北师大版

PAGE1-课后限时集训(三十)等比数列及其前n项和(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．已知数列{an}满意3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10) B．eq\f(1,9)(1－3－10)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)C[∵3an＋1＋an＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,3)，∴数列{an}是以－eq\f(1,3)为公比的等比数列，∵a2＝－eq\f(4,3)，∴a1＝4.由等比数列的求和公式可得，S10＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))10)),1＋\f(1,3))＝3(1－3－10)．故选C.]2．(2024·湘潭模拟)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则eq\f(a7－a9,a5－a7)的值为()A．3B．5C．9D．25D[设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝eq\f(a5,q)·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，eq\f(a7－a9,a5－a7)＝eq\f(a5q2－a7q2,a5－a7)＝q2＝25.故选D．]3．(2024·太原模拟)已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(2,9) D．－eq\f(1,9)B[设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以eq\f(a3,a1)＝q2＝2.因为a2a5a8＝aeq\o\al(3,5)＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－eq\f(1,2)，故选B．]4．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满意q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝()A．1－4n B．4n－1C.eq\f(1－4n,3) D．eq\f(4n－1,3)B[由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即|bn|是以3为首项，4为公比的等比数列．∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(31－4n,1－4)＝4n－1.]5．(数学文化题)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半；莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为()参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1A．2.2天B．2.4天C．2.6天D．2.8天C[设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为eq\f(1,2)，其前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(1－2n,1－2).设蒲、莞长度相等时所需时间约为x天，则eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x))),1－\f(1,2))＝eq\f(1－2x,1－2)，化简得2x＋eq\f(6,2x)＝7，计算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝eq\f(lg6,lg2)＝1＋eq\f(lg3,lg2)≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.]二、填空题6．(2024·湖南十校联考)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且eq\f(S4,S2)＝5，则eq\f(S8,S4)＝________.17[法一：设数列{an}的公比为q，由已知得eq\f(S4,S2)＝1＋eq\f(a3＋a4,a1＋a2)＝5，即1＋q2＝5，所以q2＝4，eq\f(S8,S4)＝1＋eq\f(a5＋a6＋a7＋a8,a1＋a2＋a3＋a4)＝1＋q4＝1＋16＝17.法二：由等比数列的性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，若设S2＝a，则S4＝5a，由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，所以eq\f(S8,S4)＝eq\f(85a,5a)＝17.]7．在14与eq\f(7,8)之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为eq\f(77,8)，则此数列的项数为________．5[设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠eq\f(7,8)，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得eq\f(77,8)＝eq\f(14－\f(7,8)q,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2)，∴an＋2＝14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋2－1＝eq\f(7,8)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋1＝eq\f(1,16)，解得n＝3，∴该数列共有5项．]8．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.14[设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3与a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.]三、解答题9．(2024·陕西二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满意Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.[解](1)证明：当n＝1时，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3.∴S1－1＋2＝4.当n≥2时，Sn－2an＝n－4可化为Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4.即Sn＝2Sn－1－n＋4，∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]．∴{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1＋n－2.∴Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝eq\f(221－2n,1－2)＋eq\f(1＋nn,2)－2n＝2n＋2＋eq\f(n2－3n,2)－4.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．[解](1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面证明{an＋3}为等比数列：∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2，∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．B组实力提升1．(2024·合肥一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2018＝()A．22018－1B．32018－6C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2018－eq\f(7,2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2018－eq\f(10,3)A[因为a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3⇒a1＝－3.当n≥2时，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，则a2018＝22018－1.]2．已知数列{an}满意a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对随意n∈N*都有eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜t，则实数t的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D[依题意得，当n≥2时，an＝eq\f(a1a2a3…an,a1a2a3…an－1)＝eq\f(2n2,2n－12)＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，eq\f(1,an)＝eq\f(1,22n－1)，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,4)为公比的等比数列，等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和等于eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))＜eq\f(2,3)，因此实数t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).]3．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.2[因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，eq\f(21－q9,1－q)＝eq\f(1－q3,1－q)＋eq\f(1－q6,1－q)，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－eq\f(1,2)，故a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝4，解得a2＝8，故a8＝8×eq\f(1,4)＝2.]4．已知数列{an}满意a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥