2025版高考数学大一轮复习第八章解析几何第46讲双曲线课时达标文含解析新人教A版

PAGEPAGE2第46讲双曲线课时达标一、选择题1．假如方程eq\f(x2,k＋1)－eq\f(y2,2)＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B解析双曲线的方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.依据定义和条件知k＋1>0⇒k>－1.故选B.2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线eq\f(x2,m)＋y2＝1的离心率为()A.eq\f(\r(6),3) B．2C.eq\f(\r(6),3)或2 D.eq\f(\r(2),2)或eq\r(3)C解析依据条件可知m2＝9，所以m＝±3.当m＝3时，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)；当m＝－3时，e＝2.故选C.3．(2024·全国卷Ⅱ)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA解析因为eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝3，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.故选A.4．(2024·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.eq\r(2) B．2C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)D解析由eq\f(c,a)＝eq\r(2)得a＝b，所以双曲线为等轴双曲线，渐近线为x±y＝0，所以点(4,0)到渐近线的距离d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2).故选D.5．(2024·天津卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1A解析如图，不妨设点A在点B的上方，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2bc,c)＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝eq\f(c,a)＝2知a2＋b2＝4a2，所以a＝eq\r(3).所以双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.故选A.6．(2024·长阳一中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),8) D.eq\f(\r(2),16)C解析双曲线C1：2x2－y2＝1，即eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1，所以左顶点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，渐近线方程y＝±eq\r(2)x，过点A与渐近线y＝eq\r(2)x平行的直线方程为y＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,y＝\r(2)x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),4)，,y＝\f(1,2)，))所以该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)|OA||y|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),8).二、填空题7．(2024·北京卷)若双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\r(3)，则实数m＝________.解析由已知可得a＝1，c＝eq\r(1＋m)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋m)＝eq\r(3)，解得m＝2.答案28．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x＋eq\r(3)y＝0垂直，双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为________．解析因为双曲线的一条渐近线与直线l：x＋eq\r(3)y＝0垂直，所以双曲线的渐近线的斜率为eq\r(3)，即eq\f(b,a)＝eq\r(3).①由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，依据点到直线的距离公式，得eq\f(|c|,2)＝1，所以c＝2，即a2＋b2＝4.②联立①②，解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.答案x2－eq\f(y2,3)＝19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,11)＝1的左支上，则eq\f(sinA－sinC,sinB)＝________.解析由条件知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12.又在△ABC中，有eq\f(|BC|,sinA)＝eq\f(|AB|,sinC)＝eq\f(|AC|,sinB)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，从而eq\f(sinA－sinC,sinB)＝eq\f(|BC|－|AB|,|AC|)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)三、解答题10．(2024·洛阳一中期中)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解析(1)因为双曲线C：eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，所以双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3,0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5).所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5).11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0；(3)求△F1MF2的面积．解析(1)因为e＝eq\r(2)，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则eq\o(MF1,\s\up12(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．所以eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).所以△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率．解析(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满意eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，所以x0＝eq\r(3)y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，所以x0＝eq\f(\r(3),2)c，所以点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，代入双曲线方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e＞1，所以e＝eq\r(2)，所以双曲线的离心率为eq\r(2).13．[选做题](2024·长沙二中月考)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对随意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．2 D.eq\r(2)B解析由平面几何学问可得|BD|＝|AC|