数列与平面向量（解析版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

模块04数列与平面向量

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（24-25高三上•江苏常州•期末）已知。，b,ceR,贝!|“。，b,c既是等差数列又是等比数列”是

“a=b=c”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.

【详解】当a=6=c=0时，6,c是等差数列，不是等比数列，

当a,b,c既是等差数列又是等比数列，则a=6=c,

故"a,6,c既是等差数列又是等比数列，，是“a=6=c”的充分不必要条件，

故选：A.

2.（2025高三・全国•专题练习）如图，在平行四边形中,点E满足=点尸为C。的中点,

则瓦+左=（）

F____c

s/

AB

3—1—3—1—3—5—1—►5—►

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】因为丽=；而，所以万万=皮+区=在一1诟.

因为点尸为CD的中点，所以#=诟+而=7万+1方，

2

——3—•1——

所以DE+Z尸=—N8+—

24

故选：B.

3.（24-25高三上・辽宁•期末）记等差数列｛%｝的前"项和为S”，公差为d,若%+%8>°，耳9<0,则

()

A.邑0<°B.+。]4<°C.。6+%7<°D.—G（-10,-9）

d

【答案】D

【分析】由等差数列前"和公式与等差中项得到$2。>。，判断A选项；由九=19q0<0得到％<0,结合等

差中项的+%8=%。+%>0,得到与0的大小关系，然后由%+%4=2%的结果判断B选项；由体。与%1

的大小关系得到数列的增减性，再对4+出进行放缩得到结论，判断C选项；由生。与%的正负情况建立

不等式组，求得多的范围，判断D选项.

a

【详解】因为凡。=20（%+七。）=20（%+小）>0,所以A不正确；

22

6=19（%；即,）=电/<0,所以/<o,

又因为%+为8=%0+%>。，所以41>0,则=2孙>0,所以B不正确；

由4o<O，%>0知1>0,即｛%｝为递增数列，

所以4+%7>。5+。17=2%1>。，所以C不正确；

+10d>0n

由g,得-10<?<-9,所以D正确.

[%+9d<0d

故选：D.

4.（2024•山东淄博,二模）已知等比数列｛。〃｝,%=4,%o=16,则以=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.

【详解】根据等比中项知道d=。2%。，求得d=64,则4=±8.

4

又必=a2q>0,则&=8.

故选：A.

5.（24-25高三上•广东汕头•期末）已知平面向量而满足：同=网=1,归-2,=归+2可，则归-*（）

A.41B.V3C.2D.V5

【答案】A

【分析】先根据已知条件求出限6的值，再代入向量3-3的模长公式求解.

【详解】已知|»-2司=团+2司，两边同时平方可得:(4-2彳=领+2斤.

展开得到：a2-4a-b+4b2=a2+4a-b+4b2.

因|圳=标|=1,贝1|。2=庐=1，上式化为：l-4a-b+4=l+4a-b+4，即1苇=0.

\a-b\=7(5-5)2=yla2-2a-b+b2=J1-0+1=亚.

故选：A.

6.(2025高三•全国•专题练习)已知｛6｝为等比数列，S"为数列｛七｝的前”项和，an+l=2Sn+2,则为的值

为()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【分析】对方程%+i=2S.+2中的"进行赋值得出=2%+2,%=2m+电)+2,进而转化为关于等比数列

基本量的方程，求解即可.

【详解】由题意得，当"=1时，出=2%+2,即为q=2q+2

当”=2时，%=2(%+°2)+2,即a/=2(%+。/)+2

aq=2%+2

x解得%=则&=aq3=

联立22,q=3,x54.

a{q=2(Q[+QU)+2

故选：C.

7.(2024•江苏南通•模拟预测)定义：已知数列｛a“｝(〃eN*)的首项q=1,前〃项和为S”.设X与左是常数,

若对一切正整数",均有/「旅成立，则称此数列为《”数列.若数列｛&｝("€N*)是“*&2”数

列，则数列｛%｝的通项公式为=()

[1("=1)

A.3*4"-2C.4x3-2'14X3"-2("22)

B-KW)

【答案】B

【分析】由题可知人》仁2,根据定义得―-/邛”/,根据平方差公式化简得"色,

求得S"，最后根据S”-S“T=%(">1),即可求出数列｛%｝的通项公式.

【详解】因为数列{4,}(〃eN*)是“q&2”数列，则2左=2,

11/?1

222

所以sn+l-Sn=—a„+l,而Sn+i-Sn=an+l,

■.-an>0,.-.Sn+l>Sn,.-.Sj-Sj>0'

11/?1

22

■■-s„+l-s„=^-(s„+i-sny,

i_]_i2_

=-(V-Sj)(V+SJ),

_L_L]_LJ11

•••Sj-Sj=§(S"+5+s『),；.5„+J=2Sj,.-.Sn+l=4Sn,.-.Sn=4"T，

S]=%=1,Sn=4"T,

%=4"T-4"-2=3.4、22,

f1,M=1

[3x4''-2,n>2'

故选：B

凡+1,”为奇数

8.（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且q=l,a

n+l为+2,〃为偶数

则邑。的值为（）

A.300B.25C.210D.29-1

【答案】A

【分析】分情况求数列的通项公式，进而求和.

【详解】当“为奇数时，an+1=an+l,则。“+2=&+1+2,即。“+2=。”+3,

所以当〃为奇数时，a„=«,+^^x3=—,

22

又。2=+1=2,

当"为偶数时，%+1=%+2,贝1|。“+2=。用+1，即。"+2=。“+3,

所以当〃为偶数时，%=2+"2x3=也二，

22

即匚，〃为奇数

综上所述%=w,

岂为偶数

a

所以*S*20=%+d2~\-----FQ]9+20

=（%+%+…+〃19）+（〃2++…+〃20）

।3x19-1。3x20-2

1+-----------2+------------

=-------2—X10+----------2——X10

22

=145+155

=300,

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（24-25高三上•湖北随州•期末）下列命题正确的是（）

A,零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab-

c.若都为非零向量，则使口+而=0成立的条件是£与书反向共线

D.右a=B,c=b，则a=c

【答案】BCD

ab

【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据同，同都是单位向量判断；D.由向量相

等的定义判断.

【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B.由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

abab

C.因为同’时都是单位向量’所以只有当同与同是相反向量’即。与B反向共线时才成立’故C正确；

D.由向量相等的定义知D正确；

故选：BCD.

10.（24-25高三上•吉林长春・期末）已知向量&,b,已满足2=（1,1）,b=（-1,2）,c=（2m,n-l）,则（）

A.归-q=5B.当日〃3时，4m+=1

C.当(23+3)_L万时,m+2n=2D.B在&上的投影向量的坐标为_L1

【答案】BC

【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A,根据向量平行可得坐标关系判断B,根据垂直向量的数量积

为0判断C,根据投影向量的概念判断D.

【详解】对A,«=(1,1),6=(一1,2),a-b=(2,-l),所以8*舟+(_1『_石,故A错误；

对B,6=(-1,2),c=(2m,n-l),当在〃］时，-(n-V)=2x2m,即4刃+〃=1,故B正确；

对C,25+^=(1,4),由(2N+B),己可得2机+4(〃-1)一0,即加+2〃=2,故C正确；

对D,B在衣的投影向量为a向-b丁al飞x(-l)+一lx2『(1,1)七(1，故D错误.

故选：BC

11.(2024•湖北黄冈•二模)数列｛%｝满足：a1=l,S„_1=3a„(n>2),则下列结论中正确的是()

A.g=；B.｛0“｝是等比数列

44

C・an+l=-an,n>2,n>2

【答案】AC

14

【分析】利用已知求得生=针可判断A；Sn-Sn_x=3an+-3an(n>2),可得a用=§%(力22),判断BC,

进而求得S"_],判断D.

【详解】由S.T=3%("22),

当〃=2,S]=%=3a2=1,解得%=g,故A正确；

当〃WL可得S“=3a“+],

所以S"-S”]=3an+l-3a“[n>2),所以a“=3an+1-3an(n>2),

41

即％+i=§a”("N2)，而出=]%，故C正确，B不正确；

小辛厂„,2

因Si=%+&+/+…+%=1+^------\-----二审/>2，故D错误.

1——

3

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2024・河北张家口•三模)已知向量用=(2,1)3=(2,0),工=Z+二,若NJ_"，则)在3上的投影向量

为.

【答案】m

【分析】根据向量垂直的坐标表示求出"，然后由投影向量公式可得.

【详解】因为N=(2,1)石=(2,0),所以,=5+4=(2+24,1),

又M，所以2(2+24)+1=0,解得彳=-9，C=

cb11-r1A

因为用=-^'所以"在I上的投影向量为

故答案为：,展°)

13.(2024高三・全国•专题练习)已知数列｛。“｝的前”项和为s“，若%=1,2S.=”用，则数列｛。“｝的通项公

式,

=2

【答案】«„|2X3"-,«>2

【分析】根据S“与巴的关系可得当“22时，｛%｝是公比为3的等比数列，求解答案.

【详解】由2s“=4+1得，2时，2sl=4,两式相减得%=3。〃,

所以当“22时，｛%｝是公比为3的等比数列，而的=2,则氏=2x31(〃22),

[1,77=1

由q=l不满足上式得见=

[2x3,n>2,

故答案为…1fl2,Hx3=、1”

14.(24-25高三上•上海奉贤・期中)意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女

人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题

不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为shx=f士，并且双

2

曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移;个单位，再向上平移2个单位，得到函数y=/(x)

的图象，并且数列｛%｝满足条件盘],则数列｛%｝的前2024项和邑g=

【答案】4048

【分析】根据函数图象平移的性质可得y=/(x)的图象关于，,2卜寸称，即+-x)=4,即可求解.

【详解】由于shx=3*为奇函数，图象关于原点对称，故y=/(x)的图象关于[了21对称，即

〃x)+/(l-x)=4,

因此。0+出025-,=/(示1]+/(卷卷3=4,1<«<2024,HGN,

2024

因止匕$2。24=4xh=4048,

故答案为：4048

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(2025高三•全国・专题练习)已知平面上一定点。(2,0)和直线/：x=8,尸为该平面上一动点，作

—•1—•—.1—■

I,垂足为0,且(PC+]P。)•(尸C-/尸0)=0.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若E尸为圆N：f+3_i)2=i的任一条直径，求而.而的最值.

22

【答案】⑴土+匕=1

1612

(2)最大值为19；最小值为12-46.

【分析】(1)设口乂>),则0(8,y),根据已知向量等式化简可得4|定『=|也「，用坐标表示，化简即

可求得答案；

(2)根据向量的数量积的运算表示出而.而=两2_],继而用尸点坐标表示丽2,利用点尸在椭圆上，

将丽2的表达式转化为关于y的二次函数，结合二次函数的性质即可求得答案.

【详解】(1)设尸(x,刃，则0(8,y),

由(卮+；苑)•(定-g苑)=0,得4|1『=|而『，

即4[(x-犷+力=[(x-8>+(y-]

22

化简得上+匕=1,

1612

22

所以点尸在椭圆上，即动点尸的轨迹方程为二+2=1.

1612

(2)因为所为圆Mx2+(j；-l)2=l的任一条直径，i^\NE\=\NF\=l,且砺=_而,

LLI、i------►------>------*------*------►------»------»------►------►------*------»2

所以PE•PF=(PN+NE).(PN+NF)=(PN-NF>(PN+NF)=PN-1，

尸是椭圆X+广=1上的任一点，贝|一=16-：/,

16123

又N(O,1),

21

222

所以丽=x+(y-l)=--(j；+3)+20)

22

因为尸点在椭圆二十匕=1上，故产1-26,26],

1612L」

所以当y=-3时，丽2取得最大值20,故而•加的最大值为19；

当>=26时，而2取得最小值为13-4#(此时x=0),故而•丽的最小值为12-4VL

16.(24-25高三上•天津和平・期末)已知数列｛%｝是首项为1的等差数列，数列｛4｝是公比不为1的等比数

列，且满足ax+a2=b2,%+牝=A，a4+as=b4.

(1)求数列｛%｝,｛，｝的通项公式;

2〃,

⑵求X(T)akbk；

k=l

⑶令%=+l)(”eN)记数列｛g｝的前〃项和为S.'求证：对任意的”eN*,都有

【答案】(1)4=2〃-1,4=2".

⑵七Em=|+序44向

k=\，213/

(3)证明见解析.

【分析】(1)利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；

2n

(2)Z(T『为”可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解;

k=\

(3)数列｛4｝的前"项和£可利用裂项相消，然后用放缩可证.

【详解】(1)设｛%｝的公差为d,rn｝的公比为夕(#1),则％=1+(力-1”，1=姐f

由等比数列性质可得6；=%&，又/+。2=&，a2+a3=b3,a4+a5=b4

所以（g+。3『=（%+。2）（。4+%）>

所以（2+3d）2=（2+d）（2+7d）,解之得d=2或"=0,

当d=0时，an=\,则打=6+&=2,&=2+牝=2,

即4=[=1与4*1矛盾，故舍去；

a

当d=2时，%=2〃一1,贝Ia=%+%=4,4=%+%=8,

所以4=3=2,4=%=2,满足题意；

biq

所以。*=2〃-1,b„=2n.

2n

⑵设7；=£（-1）%也=（一％4）+%62+（-。3&）+。也+…+a2Al，

k=\

Tn=（-«A）+a2b2+（-%a）+%%+…+a2nb2n,

设。=电也“-%一也”一1=（4«-1）22"-（4«-3）22^=^2n+1^4\

则＜=%+%+…+f,,.x4+；x42+…+鼠+:"，47；=22+白43+...+卜”+口4角，

两式相减得3〈=-10-2x4?-2x43——2x4"+^2«+1^4"+1,

所以〈=|+||"都向，即玄（T）%也=甜*却用

loyk=i1”

m.T00c-（2〃+3）2-/1______________1]

"（m+1）（。用%+1）（（2I）2"+1）（（2”+1）2”，1）[（2〃-1）2"+1（2〃+1）2向+1J

4[§一石+??―]+…+（2/_1）2"+]一（2〃+1）2用+1,

/、

11

44----------------

”（2»+1）2"+1+1y

因为〃eN*,易知S.随着"的增大而增大，

404

所以S,,NSI=w>l,5„<-,

4

所以1<S“<§.

【点睛】方法点睛：

求数列前〃项和常见的方法：

公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.

分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用

倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前"和公式的推导方法）.

错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位

相减法（这也是等比数列前〃和公式的推导方法）.

裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求

和.

通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.

a+b）-a+2a-b+b,=a-2a-b+b,两

式相减得,+B『-（"-到2=4々%n2%=+3）2-g-可］，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实

现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题:如图,

在△/BC中，。是2C的中点，E,尸是40上的两个三等分点.

（1）若ND=BC=3,求方.就的值；

⑵若万.就=27，FB-FC=-5＞求丽.比的值.

【答案】（1）一27

4

⑵7

------»2

【分析】⑴由极化恒等式知万.就二石?一丝二，代入即可得出答案.

4

------k2

⑵因为在•就=27，由极化恒等式知：AB-AC=AD2-^—^9m2-n2=21，因为屈•定=-5，由极

4

2222

化恒等式知：FB.FC=FD-BD=m-n=-5'解两个方程求出加，〃，再因为丽•反=4,代入

即可得出答案.

【详解】（1）由极化恒等式知存.就二诟?一晅=9-？=红.

444

(2)设西=3加>0,国=2〃>0,

--k2

因为罚・k=27，由极化恒等式知：AB，AC=AD2-^—=9m2-n2=21，因为丽・京=-5，由极化恒

4

等式知：FB.FC=FD2-BD2=m2-n2=-5^所以

f9m2-»2=27,…

V22V斛得加=2，〃=3,

[m-n=-5,

所以丽•瓦=4加2—/=7.

18.(24-25高三上・吉林长春・期末)已知数列｛6｝的前”项和为5,,且满足e-1电=眄,-1,(q>0),

72eN*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(、7〃+23

⑵当4=2时，数列｛2｝满足>=〃("+1”,求证：-<bl+b2+-+bn<2；

(3)若对任意正整数"都有。向2力成立，求正实数4的取值范围.

【答案】(l)%=q"T(q>0)

(2)证明见解析

(3)g2典

【分析】(1)根据已知条件求出％=1,继而结合得关系推出。说明数列｛七｝为等比

数列，即可求得答案；

7n+2

(2)求出利用2=(八的表达式,利用裂项求和法，即可证明结论；

(3)将恒成立问题转化为，即恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即

可求得答案.

【详解】(1)由(q-1)S“=T(q>0),得(q-l)S[=4%-1,即(q-l)%=gq-l,解得q=l.

若9=1，则%=1;

若4w1,则由(4-1电=4%T得(4-DE-=>2),

两式相减得(q-l)a„=(4%T)-T)=4。“一4%一i,(〃22),

化简得a”=qa“T，(,N2),

所以数列｛为｝是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此。“=。M-1

当4=1时，也满足上式，故a“=q"T,q>O,〃eN*

〃+211

(2)因为4=2,所以%=2"。则"=(d=2

n(n+l)'2小2"T(«+1)-2"

因此+…+2=2(1_£1111

+2+…+2

〃27(〃+1)2

<2.

又因为4=：3,且”>0,故4+4+…+”2日3,

,3

因此，5(4+82"I---kbn<2.

(3)由(I)得〃Wq",贝即Inq2则,卜eN*),

nv7

1TlY

令/(%)=(x>0,xeN*),

因为对任意正整数〃都有4M2”成立，所以/(x)maxWlnq,

因为/'(x)=L詈，所以当0<x<e时，r(x)>0,即〃x)在(0,e)上单调递增;

当X>e时，r(x)<0,即“X)在(e,+8)上单调递减.

z*nln2仆I'i3f。、小In2In3In8-ln9

又工£N,M/(2)=—,/(3)=—,/(2)-/(3)=------<0,

6

所以/(x)max=/(3)=.，因此Ing*毕，解得心打.

JJ

19.(23-24高三下•山西大同•阶段练习)"元向量(n-tuplevector)也叫"维向量，是平面向