数与式 综合提升卷-2025年中考数学一轮复习（含答案）

数与式综合提升卷

考试时间：90分钟；满分：120分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时90分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容

的具体情况！

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

（2024•山东淄博•中考真题）

1.下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-32

（2024•山东德州•中考真题）

2.下列运算正确的是（）

A•a+a—ciB.a(a+l)=a-+l

C'24622

C.a-a=aD.(a-l)=a-l

（2024・河北・中考真题）

3.已知/为整式，若计算---A-r-Y—v的结果为x—一v则/=()

xy+yx'+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

(2024•重庆•中考真题)

4.估计旧（应+G）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间

（2024・广西・中考真题）

5.如果a+6=3,ab=\,那么/和+2°%2的值为()

A.0B.1C.4D.9

（2024•江苏扬州•中考真题）

6.1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5,……，这一

列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024

试卷第1页，共8页

个数中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

（2024•江苏南通•一模）

7.已知关于x的多项式⑪2+6x+c（a*0）,当x=a时，该多项式的值为…，则多项式

/-^+3的值可以是（）

795

A.-B.2C.-D.-

442

（2024•山东济南•一模）

8.设无WO,y<0,z<0,则三数x+,，y+-,z+,中（）

yzx

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一个不大于一2D.至少有一个不小于一2

（2024•重庆开州•模拟预测）

9.有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过

程是：输入第一个整数多，只显示不运算，接着再输入整数9,则显示卜-引的结果，如

依次输入1,2,则输出的结果是|1-2|=1.此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行

求差后再取绝对值的运算.

下列说法：

①依次输入1,2,3,4,则最后输出的结果是2；

②若将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是

5；

③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数。，2,b,全部输入完毕后显示的最后结

果为公若左的最大值为2024,则左的最小值为2020.

其中正确的个数有（）个

A.0B.1C.2D.3

（2024•安徽安庆•一■模）

10.生物学指出，在生物链中大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在

耳f〃5f“6这条生物链中（忆表示第〃个营养级，”=1，2,…,6）,要

使々获得785千焦的能量，那么需要又提供的能量约为（用科学记数法表示）（）.

A.785x105千焦B.7.85x107千焦

试卷第2页，共8页

C.78.5xl（）6千焦D.7.85x108千焦

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

（2024•江西南昌•中考真题）

11.分解因式：2a2-40+2=.

（2024•四川内江•中考真题）

12.已知实数a,b满足肪=1,那么—+/工的值为.

（2024・四川内江・中考真题）

13.一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,

则称该数为“极数”.若偶数加为“极数”，且黄是完全平方数，则比=;

（2024•广东广州•中考真题）

14.如图，把片，&，用三个电阻串联起来，线路上的电流为/,电压为U,则

U=IRl+IR2+IR}.当用=20.3,乂=31.9,&=47.8,/=2.2时，U的值为.

舄

（2024•重庆•中考真题）

15.一个各数位均不为0的四位自然数M=丽，若满足a+d=b+c=9,则称这个四位

数为“友谊数”.例如：四位数1278,71+8=2+7=9,.•.1278是“友谊数”.若丽是一个“友

谊数”，且6-a=c-6=l,则这个数为；若屈=时是一个“友谊数”，设

=且/（"）+“'+二是整数,则满足条件的河的最大值是_______.

913

（2024•北京•中考真题）

16.联欢会有/,B,C,。四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩

排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：

节目ABCD

演员

102101

人数

彩排

30102010

时长

试卷第3页，共8页

已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这

位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。

若节目按-的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排

三.解答题（共9小题，满分72分）

（2024•山西•中考真题）

17.(1)计算：(-6)x--+[(-3)+(-3；

（2）化简:--+---

x-lX+1

（2024•福建•中考真题）

⑴求证：62-12。。为非负数；

⑵若见仇c均为奇数，巩〃是否可以都为整数？说明你的理由.

（2024•河北・中考真题）

19.如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点）,B,C所对应的数依次为-4,2,32,

乙数轴上的三点。，E,厂所对应的数依次为0,x,12.

（1）计算B,C三点所对应的数的和，并求方的值；

⑵当点力与点。上下对齐时，点8,C恰好分别与点£,产上下对齐，求x的值.

（2024・山东威海・中考真题）

20.定义

我们把数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值.数轴上表示数。，b的点aB

之间的距离特别的，当时，表示数。的点与原点的距离等于

G-0.当4<0时，表示数。的点与原点的距离等于0-。.

应用

如图，在数轴上，动点/从表示-3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运

试卷第4页，共8页

动.同时，动点8从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

AB

—।--------------1------------------------------------------------------1——>

-3012

(1)经过多长时间，点4,2之间的距离等于3个单位长度？

⑵求点4B到原点距离之和的最小值.

(2024•四川凉山•中考真题)

21.阅读下面材料，并解决相关问题：

下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点

第”行有力个点……

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.

(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为,前15行的点数之和为,那么，前力

行的点数之和为

⑵体验：三角点阵中前力行的点数之和(填“能”或“不能”)为500.

(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照

第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第”排2〃盆的规律摆放而成，则一共能摆放多

少排？

(2024•江苏无锡•一模)

22.阅读下面材料：

一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子

就叫做对称式.例如：a+b+c,abc,a2+b2,...

含有两个字母a,b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像a?+b2,(a+2)(b+2)等对称式

都可以用a+b,ab表示，例如：a2+b2=(a+b)2-2ab.请根据以上材料解决下列问题：

(1)式子①a2b2②a2-b2③：中，属于对称式的是_______(填序号)；

ab

(2)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n.

①若加=-2,〃=:，求对称式2+f的值；

2ab

试卷第5页，共8页

②若n=-4,直接写出对称式互上+。的最小值.

ab

（2024•江苏盐城•中考真题）

23.发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图1

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开

图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行

有"个籽，每列有人个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（〃，人均为正整数,

n>k>3,d>0）,如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为,共铲行，则铲除全

部籽的路径总长为；

方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为；

方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行

评价.

^三三由曲川…弋

专三三附&中…心N：'

图1图2图3

（2024•广东肇庆•一模）

24.【发现问题】

试卷第6页，共8页

由（a-6）2z0得，a2+b2>2ab;如果两个正数。，b,即。>0,b>0,则有下面的不等式:

a+b>2y[ab,当且仅当a=b时取到等号.

【提出问题】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？

【分析问题】例如：已知x>0,求式子x+士的最小值.

X

4.—4I~~44

解：令a=x,6=—,贝岫a+得x+—22jx•—=4,当且仅当无=—时，即x=2

XX\XX

时，式子有最小值，最小值为4.

【解决问题】

请根据上面材料回答下列问题：

（1）2+3272^3（用“="">”“<”填空）；当x>0,式子x+工的最小值为

【能力提升】

（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长

20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（3）如图，四边形/8CZ）的对角线NC、5。相交于点。，“OB、△C。。的面积分别是8

和14,求四边形4BCD面积的最小值.

（2024•山东青岛•模拟预测）

25.已知多项式4x7/-3x2y-x-7,次数是6,3a与6互为相反数，在数轴上，点A表示

数“，点B表示数6.

AB

----------1-------1-----------------------1>

0

（1）〃=，b=；

⑵若小蚂蚁甲从点A处以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点5处以3个

单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原

试卷第7页，共8页

点。处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运

动的时间为I秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间”写出解答过程）

（3）若小蚂蚁甲和乙约好分别从A,B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行,

经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B,设小蚂蚁们出发小s）

时的速度为v（mm/s）,v与/之间的关系如图.（其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫

米）

，(s)0<t<22<t<55<t<16

v(mm/s)584

①当2UW5时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有/的代数式表示）;

②当［为时，小蚂蚁甲乙之间的距离是21mm.（请直接写出答案）

试卷第8页，共8页

1.A

【分析】题考查了正数的定义，负整数指数塞的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的

意义，熟练掌握运算法则是解题的关键.

根据正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择

即可.

【详解】解：A、3T=：是正数，符合题意；

B、一32=-9是负数，不符合题意；

C、-卜3|=-3是负数，不符合题意；

D、-正是负数，不符合题意；

故选：A.

2.C

【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幕乘法、完全平方公式等知识,

根据运算法则进行计算即可作出判断即可.

【详解】A.a2+a2=2a2,故选项错误，不符合题意；

B.=故选项错误，不符合题意；

C.故选项正确，符合题意；

D.(0-1)2=/一2°+1,故选项错误，不符合题意；

故选：C.

3.A

【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算

法则是解题的关键.

VX—VAVx—V

由题意得一一+—=-----T，对+--进行通分化简即可.

x+xyxyxy+yx+xyxy

【详解】解：•-----A-7一-一v的结果为一x-:v，

xy+yx+xyxy

.，x—y二.

x2+xy十xyxy+y2，

J?Jx_y)(x+y)_f_._/

孙(x+y)肛(x+y)肛(x+y)xy+y2xy+y2'

­\A=x,

答案第1页，共17页

故选：A.

4.C

【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算,

再估算即可.

【详解】解：:g（行+道）=2&+6,

而4<J24=7.y[6<5，

••-10<2>/6+6<11,

故答案为：C

5.D

【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求

值即可.

【详解】解：6=3,ab=l,

a'b+2a2b2+ab3=ab{^a2+2ab+b2^

=ab^a+by

=lx32

=9；

故选D.

6.D

【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答.

本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键.

【详解】这一列数为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数.

由于2024+3=674…2,

即前2024个数共有674组，且余2个数，

••・奇数有674x2+2=1350个.

故选：D

7.A

【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二

答案第2页，共17页

次函数的形式是解题的关键.由已知得/+a6+c=c-a,化简得/=_6一1,所以

19

〃_/+3=_6_1_/+3==_3+y+再求出b的取值范围，最后根据二次函数的图象

24

与性质，可求出+3的取值范围，由此可判断答案.

【详解】•・•当》时，该多项式的值为-，

:.a3+ab+c=c-a，

整理得加2+b+l)=0,

QW0,

Q?+6+1=0,

即。2=一6—1,

:.a2-b2+3=-b-1-b2+3

=-b2-b+2

*.*a2=—b—1,〃w0,

—b—1>0,

hv—1,

iQ

•・•当6=_］时，6f2-Z)2+3=-(Z)+-)2+-=2,

24

根据二次函数的图象可知，当6<-1时，〃2_〃+3<2.

故选A.

8.C

【分析】首先把三个数相加，得到［+J+,+；j+(z+£|，由已知可知x+-2,

>+!4—2,z+-<-2,pT^x+-+y+-+z+-<-6,据止匕即可判定.

yzyzx

【详解】解：x+-+y+-+z+-=\x+-］+\j^+-+|z+-|,

Jzxkxjy)\zJ

■1-x<0,yWO,z<o,

:.x+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,当且仅当x=y=z=-l时，取等号

xyz

111

x-\----\-y-\FzH——<—6,

yzx

答案第3页，共17页

当这三个数都大于-2时，这三个数的和一定大于-6,这与X+工+歹+,+2+14-6矛盾，

yzx

■■这三个数中至少有一个不大于-2,

故选：C.

【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大.

9.D

【分析】本题考查了绝对值，绝对值方程.理解题意并分情况求解是解题的关键.

依次输入1,2,3,4,运算结果依次为1-2|=1,|1-3|=2,|2-4|=2,即最后输出的结果

是2,可判断①的正误；将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入

为2或3,第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为||2-3|-6|=5,

可判断②的正误；令6为最大的正整数，当。=1时，上的最大值为16Tl-2||=2024,可求满

足要求的解6=2025,止匕时左的最小值为|1一|2025—2||=2022；当6>a>2020时，左的最大

值为2bM-a+2|=2024,可求满足要求的解为=2022,此时人的最小值为

|«-|^-2||=|a-Z7+2|=2020；综上所述，4的最小值为2020,进而可判断③的正误.

【详解】解：依次输入1,2,3,4,运算结果依次为卜2|=1,"3|=2,|2-4|=2,.•.最

后输出的结果是2,①正确，故符合要求；

将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3,第三次输入为

6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为||2-3|-6|=5,②正确，故符合要求；

令b为最大的正整数，当。=1时，左的最大值为16Tl-2卜2024,

解得，6=2025或6=-2023（舍去），

止匕时k的最小值为|1一|2025-2||=2022；

当b>a>2020时,k的最大值为尼一|。一2|=-a+2]=2024,

解得，6-。=2022或6-4=-2026（舍去），

此时人的最小值为-卜-2||=|a-H2|=2020；

综上所述，人的最小值为2020,

・•・③正确，故符合要求；

答案第4页，共17页

故选：D.

10.B

【分析】根据10%的能量能够流动到下一个营养级可知：要使4获得785千焦的能量，那

么需要也提供的能量约为785x10千焦，以此类推.设需要凡提供的能量约为x千焦.根

据题意列方程0Tx=785计算，即得.

本题主要考查了乘方的应用.熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键.

【详解】设需要凡提供的能量约为x千焦.

根据题意得：0.1*=785,

•••10^=785,

解得，x=7.85x

.•.需要凡提供的能量约为7.85x107千焦.

故选：B.

11.2（a-l）2

【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：

原式=2（/-2a+l）=2（a-iy,

故答案为：2（«-1）2.

12.1

【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把仍=1代入进行计算即可.

b1+\+a2+\

=(«2+1)(62+1)

_cr+b2+2

a2b2+a2+b2+\

_a2+b2+2

(ab)2+a2+b2+\

ab=1

百_|Aa2+b~+2a-+b-+21

=222=22=

"l+fl+ft+la+b+2>

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条

答案第5页，共17页

件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题,

然后再代入求值.

13.1188或4752

【分析】此题考查列代数式解决问题，设出俏的代数式后根据题意得到代数式的取值范围

是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题.设四位数〃z的个位数字为x,十

位数字为y,将加表示出来，根据工是完全平方数，得到可能的值即可得出结论.

【详解】解：设四位数加的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数，y是0到8

的整数)，

m=1000(9-y)+100(9-x)+y+x=99(100-10y-x),

■■,m是四位数，

.•.99(100-10y-x)是四位数,

gp1000<99(100-1Oy-,x)<10000,

.*=3(100-10^7),

30^|<3(100-10y-x)<303^-,

・••瑞是完全平方数，

...3(100-10y-x)既是3的倍数也是完全平方数，

.•.3(100-10y-x)只有36,81,144,225这四种可能，

ni

・••不是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425,

又"?是偶数,

.♦.机=1188或4752

故答案为：1188或4752.

14.220

【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关

键.根据。=因+/旦+小3,将数值代入计算即可.

【详解】解：.皿=困+见+偿，

答案第6页，共17页

当4=20.3,R2=31.9,R3=47.8,/=2.2时,

U=20,3x2.2+31.9x2.2+47.8x2.2=（20.3+31.9+47.8）x2.2=220,

故答案为：220.

15.34566273

【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到a+d=b+c=9,再由6-“=。-6=1可

求出。、b、c、"的值，进而可得答案；先求出M=999a+906+99,进而得到

1（"）+劭+”=9。+8+3"+"6,根据八（河）+仍+—是整数,得到9a+8+"+"6是

13131313

整数，即3"；；+6是整数,则%+6+6是13的倍数，求出。48,再按照。从大到小的范

围讨论求解即可.

【详解】解：,嬴万是一个“友谊数”，

^a+d=b+c=9,

又•・,b-a=c-b=1,

・••b=4,c=5,

a—3,d=6,

・•,这个数为3456；

••・M=而总是一个“友谊数”，

：.M=\OOOtz+100b+10c+d

=1000a+100/>+10（9-Z>）+9-a

=999。+90b+99,

...F（M）=y=llla+10&+ll,

F（^M^+ab+cd

13

11Id+1Ob+11+1Ou+b+10c+d

~13

1lla+106+1l+10a+6+10（9-6）+9-a

~13

120a+Z>+110

~13

117。+3a+6+104+6

B

3。+6+6

=9〃+8+

13

答案第7页，共17页

...F（M）+ab+cd是整数,

13

八3a+b+6日-fez,Ui/3Q+b+6

・・・9Q+8+---是整数，AN即一--是整数,

・・.3a+b+6是13的倍数,

•・・。、b、c、d都是不为0的正整数，且〃+"=6+。=9,

•••a<8,

.,.当a=8时，31<3a+Z>+6<38,此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；

当。=7时，28V3a+b+6V35,此时不满足3a+6+6是13的倍数，不符合题意；

当a=6时，25434+6+6432,止匕时可以满足3a+b+6是13的倍数，即止匕时6=2,贝U止匕

时d=3,c=7,

,•,要使M最大，则一定要满足a最大，

,满足题意的M的最大值即为6273；

故答案为：3456；6273.

16.60C-A-B-D

【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键.

①节目。的演员的候场时间为30+10+20=60min；②先确定C在N的前面，8在。前面，

然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可.

【详解】解：①节目。的演员的候场时间为30+10+20=60min,

故答案为：60；

②由题意得节目/和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面,

那么C在/的前面，3和。彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样

等待时长会短一些，那么8在。前面,

二①按照。一8-4一。顺序，则候场时间为：(10+2+1)x20+(10+1)x10+1x30=400分钟;

②按照。一8-。一/顺序，则候场时间为：(10+2+1)x20+(10+1)x10+10x10=470分钟；

③按照C一/一8-。顺序，则候场时间为：(10+2+1)x20+(2+1)x30+1x10=360分钟；

④按照8-C-4-。顺序，则候场时间为：(10+10+1)x10+(10+1)x20+1x30=460分钟；

⑤按照8-。一。一/顺序，则候场时间为：(10+10+1)x10+(10+1)x20+10x10=530分钟;

⑥按照8-。一。一/顺序，贝IJ候场时间为：(10+10+1)x10+(10+10)x10+10x20=610分钟.

答案第8页，共17页

・•・按照C--8-。顺序彩排，候场时间之和最小，

故答案为：C-A-B-D.

17.(1)-10；(2)

x+2

【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数累，熟知运算法则

是解题的关键.

(1)先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幕，最后算加减即可；

(2)先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可.

［详解］解：⑴(一6八9已［+［(-3)+(-1)］

=(-6)x；-1

2

=-10；

(2)、(1h—11卜x一+2

x+l+x-1(x+l)(x-l)

+x+2

2x(x+l)(x-1)

(x+l)(x-l)x+2

_2x

x+2

18.(1)证明见解析；

⑵私〃不可能都为整数，理由见解析.

【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理

能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力.

(1)根据题意得出6="3加+〃),°=的〃，进而计算廿―12攻，根据非负数的性质，即可

求解；

(2)分情况讨论，①机,〃都为奇数；②机，”为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶

数的性质结合已知条件分析即可.

bc

【详解】(1)解：因为3机+〃=—,加〃=一，

aa

答案第9页，共17页

所以b=〃(3/+〃)，c=amn.

则/-12ac=[a(3川+〃)F一12/加〃

=a2(9m2+6mn+n2]—12a2mn

=a2(9m2—6mn+/)

=a1(3m-n)1.

因为Q,加，〃是实数，所以43加_〃)2>0,

所以/-12a为非负数.

(2)加,〃不可能都为整数.

理由如下：若加,〃都为整数，其可能情况有：①加，〃都为奇数；②加，〃为整数，且其中至

少有一个为偶数.

①当加，〃都为奇数时，则3加+〃必为偶数.

X3m+H=—,所以b=a(3m+

a

因为。为奇数，所以。(3加+〃)必为偶数，这与b为奇数矛盾.

②当私〃为整数，且其中至少有一个为偶数时，则加〃必为偶数.

又因为加〃二£•,所以C=Q加〃.

a

因为。为奇数，所以〃加〃必为偶数，这与。为奇数矛盾.

综上所述，加，〃不可能都为整数.

19.(1)30,-

6

(2)x=2

【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解

本题的关键；

(1)直接列式求解三个数的和即可，再分别计算N5,/C,从而可得答案；

(2)由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可.

【详解】(1)解：•••甲数轴上的三点/,B,C所对应的数依次为-4,2,32,

.•--4+2+32=30,/3=2-(-4)=2+4=6,40=32-(-4)=32+4=36,

答案第1。页，共17页

AB_6

,,就一盘一7；

(2)解：•・•点4与点。上下对齐时，点3,。恰好分别与点£歹上下对齐，

DEDF

••布一就‘

x_12

•*•一~，

636

解得：尤=2；

20.⑴过4秒或6秒

(2)3

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关

键是：

(1)设经过x秒，则/表示的数为-3+x,8表示的数为12-2x,根据“点48之间的距

离等于3个单位长度”列方程求解即可；

(2)先求出点/,8到原点距离之和为卜3+x|+|12-2x|,然后分x<3,34x46,x>6三种

情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可.

【详解】(1)解：设经过x秒，则N表示的数为-3+x,8表示的数为12-2x,

根据题意，#|12-2x-(-3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，经过4秒或6秒，点/,8之间的距离等于3个单位长度；

(2)解：由⑴知：点4,8到原点距离之和为卜3+X|+|12-2X|,

当x<3时，|-3+x|+|12-2x|=3-%+12-2x=15-3x,

x<3,

/.15—3x>6,BP|-3+x|+112—2x|>6,

当3<x«6时，卜3+x|+112—2x|=x—3+12—2x=9—x,

3<x<6,

/.3<9—x<6,即3《|—3+x|+112—2x|<6,

当x〉6时，|-3+x|+|12-2x|=x-3+2x-12=3x-15,

x>6,

3x—15>3,BP|-3+x|+112—2x|>3,

综上，|-3+x|+|12-2x|>3,

答案第H页，共17页

.••点A,B到原点距离之和的最小值为3.

21.(1)36；120；1«(n+l)

⑵不能

⑶一共能摆放20排.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

(1)根据图形，总结规律，列式计算即可求解；

(2)根据前"行的点数和是500,即可得出关于"的一元二次方程，解之即可判断；

(2)先得到前"行的点数和是再根据题意得出关于"的一元二次方程，解之即可

得出n的值.

【详解】(1)解：三角点阵中前8行的点数之和为

14-2+3+4+5+6+7+8=1(1+8)x8=36,

前15行的点数之和为1+2+3+…+14+15=g(l+15)xl5=120,

那么，前力行的点数之和为1+2+3+…+〃=g(l+")x"=；"(〃+l)；

故答案为：36；120；—«(«+!)；

(2)解:不能,

理由如下：

由题意得万”(〃+1)=500,

得“2+77-1000=0,

A=12-4x(-1000)=4001,

,此方程无正整数解，

所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；

故答案为：不能；

(3)解：同理，前”行的点数之和为2+4+6+…+2〃=2x；(l+〃)x"=〃(〃+l),

由题意得“5+1)=420,

得/+〃_420=0,即(〃+21)(〃-20)=0,

答案第12页，共17页

解得〃=20或〃=-21(舍去),

・•・一共能摆放20排.

22.(1)①③；(2)①2+^=6；②—+空1的最小值为

abab2

【分析】(1)根据对称式的定义进行判断；

(2)①先得到a+b=-2,ab=；,再变形得到2+：=J廿=(a+b)「2ab,然后利用

2ababab

整体代入的方法计算；

②根据分式的性质变形得到勺+^¥=+4+6?+占，再利用完全平方公式变形得到

abab

(a+b)2-2ab+段当J塑，所以原式=2m2+],然后根据非负数的性质可确定

ab162

“4+]/+1g曰[/.

一厂+—厂的最小值.

a2b2

【详解】解：(1)式子①a2b2②a2-b2③工+:中，属于对称式的是①③.

ab

故答案为①③；

(2)vx2+(a+b)x+ab=x2+mx+n

••・a+b=m,ab=n.

①a+b=-2,ab=y,

7779(—2)2-2X-

ba_a+b_(a+b)-2ab_v'2

—+：=---------=------------------=；=o

ababab

2

/+1Z?4+12.1IA2I

—+—^-=A+T+6+TT

a2b2a2b2

(a+b)2-2ab+(a+可；2ab

a2b2

=m2+8+U

16

17,17

=—---,

162

17

•••—m2>0,

16~

a4+1//+1的曰［/舍不17

••・一厂+一厂的最小值为工.

ab2

【点睛】本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解

即可.

答案第13页，共17页

23.分析问题：方案1：（"T）d；2k；2（n-l）dk.方案2：2（"1）赤；方案3：

5x（2八nd;解决问题：方案3路径最短，理由见解析

【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式

即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为叵运=幽，根据题意得

22

一共有2”列，2人行，斜着铲相当于有"条线段长，同时有2人-1个，即可得出总路径长；

解决问题：利用作差法比较三种方案即可.

题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键.

【详解】解：方案1：根据题意每行有"个籽，行上相邻两籽的间距为心

;每行铲的路径长为（〃T）d,

•••每列有人个籽，呈交错规律排列，

.•相当于有2左行，

二铲除全部籽的路径总长为2（"-1）冰,

故答案为：2k；冰;

方案2：根据题意每列有左个籽，列上相邻两籽的间距为“,

・•.每列铲的路径长为（左-1）",

・•・每行有n个籽，呈交错规律排列,,

••.相当于有2〃列,

••・铲除全部籽的路径总长为2（左-1）办,

故答案为：2（"1）而；

方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为鱼土Z=幽，

22

根据题意得一共有2”列，2人行，

斜着铲相当于有〃条线段长，同时有2人-1个，

••・铲除全部籽的路径总长为：今x（2k-l）nd;

解决问题

由上得：2[n-\）dk-2[k-\）dn-2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d（〃-左）＞0,

方案1的路径总长大于方案2的路径总长；

答案第14页，共17页

历「历-

2（k-l）dn———x（^2k~r）dn=（2—收）左一2+-^-dn,

■:n>k>3,

当左=3时，

（2—收）x3—2+5=4—孚>0,

6

2（k-l）dn一一—x（2k一1）d">0,

方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗.

24.（1）>,2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米;

（3）四边形/BCD面积的最小值为22+8S

【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计

算中的应用.

（1）当x>0时，按照公式O+6N2&万（当且仅当。=6时取等号）来计算即可；当x<0

时，-4x>0,>0,则也可以按公式a+622而（当且仅当。=6时取等号）来计算；

X

（2）设