苏科八年级上册数学第一次月考B卷（考试版+解析）

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考

B卷重点难点过关测

（考试时间：100分钟试卷满分：100分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：第一章、第二章（苏科版）。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

2.如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3）,小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相

同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（）

A-SSSB.ASAc-AASD-SAS

3.如图，AAOBmAADC,点8和点C是对应顶点，/D=ND=90。，记=a,4ABO=0,当

BC||。4时，a与。之间的数量关系为（）

A.a=pB.a=213C.a+/?=90。D.a+2s=180。

4.如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正方形的顶点（格点上）.这样的三角形叫格点三角形，图中

与△ABC全等的格点三角形共有（不含△力BC）（）个.

如图，在中，ZC=90°,AC=一条线段P,。两点分别在线段

5.AR'LtAABCLzlll1L2ilrlm,5C=6rm,PQ=4B,

AC和4C的垂线网上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、。为顶点的三角形全等，贝的

值为（）

A.8cmB.12cmC.12cm或6cmD.12cm或8cm

6.如图。是长方形纸带，/DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图6,再沿8尸折叠成图c,则图c中的

4FE的度数是（）

7.如图，在△ABC中，AD^ZBAC,交BC于D,点、E、G分别在边48、AC上，连接DE,DG.过Z）

作。F148于下.已知。E=DG,S^ADG=12,SUED=8,则△DEF的面积为（）

8.如图，在ATIBC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC边上的动点，则22。+DC的最小值

是（）

A.6B.8C.10D.12

第n卷

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分.

9.如图，点、E,尸在BC上，BE=CF,乙AFB=3EC,请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使

得AABFgADCE,你添加的条件是.

10.如图，在3x3的方格中，每个小方格的边长均为1,则N1与N2的数量关系是.

11.如图，aCE=2=ZC8E=90。，DC=CE,AD=3,BE=7,贝妖B=.

12.如图，在△ABC中，AB=AC,ZABC,4CB的平分线交点P,点E是AC上一点，且CE=C8.若

PE||AB,则4=_______

注A中

BC

第12题图第13题图

13.将一张边长为6cm的正方形纸片沿虚线对折得图①，再沿图①的虚线对折得图②的小正方形48CD,

已知点M是4B的中点，点N是4D的一个三等分点且更靠近点D,沿图②的虚线MN剪掉一个直手

形后展开得图③的中空纸片，这张中空纸片的面积是____cm2.

14.如图，/B=/C=9Q°,4E平分/AD,DE平分〃AC,右S^CDE：S^ABE=2:3,则S—QE:

SAOCE-------

,<.D

;野

C

第14题图第15题图

15.如图，在四边形4BCD中，^BAD=105°,ZB=ZD=90°,在BC,CD上分别找一个点M,N,使4

AMN的周长最小，则ZAMN+ZANM=°

16.如图，在AADE中，AC=BC=BD=DE,乙4=25。，贝UNE的度数是°

17.如图，Rt^ABC中，ZX=90°,AB=AC,N4BC的平分线BD交力C于点D,CELBD,交BD的延长

线于点E,若BD=5,贝UCE的值为.

18.如图，边长为4的等边三角形4BC中，”是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段BM绕点

B逆时针旋转60。得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是.

三、解答题：本题共7小题，共64分.

⑵求AaiBiG的面积；

(3)在y轴上找一点P使得P8+PC最小.

(6分)20.如图所示，在△力8c中，AD1BC于D,CE1AB^E,2。与CE交于点F且4B=CF.

（2）已知BC=7,4。=5,求"的长.

（8分）21.已知：如图，△4BC中NB4c的平分线与BC的垂直平分线交于点。，DE14B于点E,DF1

4C交2C的延长线于点F.

（1）求证：BE=CF-,

（2）若48=15,4C=9,求CF的长.

（8分）22.如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF.

⑴求证：PE=PF；

⑵若4=70。，求NE尸尸的度数.

（8分）23.我们在七年级曾学过“两点之间线段最短”，利用这一知识点也可以解决两条线段之和最小的

相关问题.如图①，已知点A、B在直线2的同一侧，在直线I上求作一点P,使得PA+PB最小，我们只要

作点B关于I的对称点夕（如图②），根据对称性可知，PB=PB',因此，求4P+8P最小就相当于求2P+

PB，最小，显然，当点A、P、在同一直线上时，4P+P9最小，因此连接29，与直线I的交点就是

要求的点P.

4j

"F

,E探究：四边

DC

④

形力BCD是长方形台球桌的台面，有白、黑两球分别位于点E、F的位置.

(1)如图③，怎样击打白球E,能使它先碰撞台边CD,经反弹后再击中黑球尸?(画出白球E经过的路线)

(2)如图④，怎样击打白球E,使它能先碰撞台边CD,经反弹后又碰撞台边力B,然后再击中黑球F?(画

出白球E经过的路线)

(8分)24.如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点知、N分别从点A、点8同时出发，沿三角

形的边运动，运动时间为ts,已知点M的速度与皿小，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点

时，M、N同时停止运动.

备用图

(1)当点N第一次到达3点时，点M的位置在_____；当M、N运动秒时，点N追上点M；

(2)当点〃、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形△AMN?如存在，请求出此时〃、

N运动的时间.

(10分)25.问题解决:

(1)如图1,A/IBC中，AF为BC边上的中线，则工.尸=：54.「

(2)如图2,D,E,F分别为BC,4D,CE的中点，则以近尸=ShABC.

(3)如图3,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，若=2,贝US-BC=

问题探究：

⑴如图4,CD,BE是△ABC的中线，他85交于点。匹3%与%边形4的相等吗？

解：AABC中，由问题解决的结论可得，sABC0=1SAABC,SAABE=|SAABC.

••S&BCD=S&IBE

S&BCD-S&BODSAABE

即S4BOC=S四边形ADOE•

(2)如图5,△ABC中，。是AC上的一点，AC=4CD,AE是AABC的中线，且S-BC=48,试求治的9一

SABEF的值.

问题拓展：

如图6,△ABC中，AD^^BAC.AD1BD,贝伊小我=S^ABC.

(10分)26.定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形

(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有(只填写序号).

①顶角是30。的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一个角是30。的直角三角形.

(2)如图1,在AABC中，AB^AC,ABAC>90°,将△48C沿边4B所在的直线翻折180。得至!]△ABD,延

长DA至!J点E,连接BE.

①若BC=BE,求证：△ABE是“倍角三角形”；

②点P在线段4E上，连接BP.若NC=30。，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是

“倍角三角形”，请直接写出NE的度数.

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考

B卷•重点难点过关测

（考试时间：100分钟试卷满分：100分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：第一章、第二章（苏科版）。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

1.如图，通过尺规作图得到4'。力'=2OB的依据是（）

【答案】A

【分析】根据作图过程利用SSS可以证明AOCD三△O'C'。，进而可得结论.

【详解】解：根据作图过程可知，

在AO'C'D'中，

oc=o'c'

OD=O'D>

=CD'

OCD=AO'C'D'（sss），

：.ZA0'B1=ZAOB（全等三角形的对应角相等）.

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

2.如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3）,小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相

同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（）

【答案】B

【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第3块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的，

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判定两个三

角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS、SAS、HL・

3.如图，△4。8三△4DC,点B和点C是对应顶点，/-0-Z.D-90°,记乙。4。=a,Z-ABO=/?,当

BC||。力时，a与0之间的数量关系为（）

A.a=0B.a=2/3C.a+£=90°D.a+2£=180。

【答案】B

【分析】由全等三角形的性质可推出NBAC=ZOAD=a,再结合平行线的性质即可求解.

【详解】解：•.•△40B三△4DC,

.".AB=AC,ZBAO=ZCAD,

/.ZBAC=ZOAD=a,

-1

在△ABC中，ZABCH80°-a),

YBC||OA,

・•・ZOBC=180°-/O=180°-90°=90°,

1

：.B+-11800-a)=90°

y2

整理得，a=20.

故选：B

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质.熟记相关结论是解题关键.

4.如图，方格中△力BC的3个顶点分别在正方形的顶点（格点上）.这样的三角形叫格点三角形，图中

与△ABC全等的格点三角形共有（不含△力BC）（）个.

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】根据Sss在图中画出格点ABA。，使得△BAD三△4BC,则可得出答案.

【详解】解：如图

AB

DC

所示，根据SSS，可得ABAD三AABC,

即以大正方形的每个边为底边，都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去A4BC外有七

个与△ABC全等的三角形.

即：

AB

DC

故选：c.

【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

5.如图，在山△ABC中，NC=90。,47=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=4B,P,。两点分别在线段

AC和4C的垂线4V上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、。为顶点的三角形全等，则AP的

值为（）

A.8cmB.12cmC.12cm或6cmD.12cm或8cm

【答案】C

【分析】分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题.

【详解】解：当ABca三APAQ时，

'.AP=BC=6cm，

当ABCA三AQ/IP时，

/.PA=AC-12加，

；.4P的值是6cm或12cm.

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的性质.正确的找到对应边，是解题的关键.注意，分类讨论.

6.如图。是长方形纸带，ADEF=25°,将纸带沿EF折叠成图6,再沿B尸折叠成图c,贝I图。中的4FE

【答案】A

【分析】在图。中，由题意可得：AD||BC,贝ikCFE=155°,NEFB=25。,再根据折叠的性质求解即

可.

【详解】解：在图“中，由题意可得：AD||BC,

：.Z.CFE=155°,ZEFB=25°,

在图6中，由折叠的性质可得：乙CFE=155°,/EFB=25°

/.ZCFG=130°

在图c中，由折叠的性质可得：ZCFG=130°,ZEFB=25°

:.NCFE=105°,

故选：A

【点睛】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质.

7.如图，在△48C中，2D平分NB4C,交BC于。，点E、G分别在边4B、2C上，连接。E,DG.过。作

DF14B于尸.已知DE=DG,S^ADG=12,ShAED=8,则ADEF的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】过点。作。H14C于点H,角平分线的性质得到DH=。尸，进而推出Rt^DFE三立△

D"G（HL），Rt^DFA三RtAD”4（HL）'得至"ADEF=S^DHG，^LAFD=S%OH，进而得到S“EQ+S^DFE=

S^ADG—S^DHG，进行求解即可•

【详解】过点。作D”1/C于点”，

,・工。平分MAC,DF上AB,

Azl=Z2,DH=DF,ZDFE=ZDHG=90°,

又DE=DG,

‘Rt△DFE三Rt△DHG（HL），

,•S^DEF-S^DHG，

*.*ZDHA=ZDFA=90°fDF=DHfAD=AD.

••Rt△DFA.=Rt△。//71（HL），

•,^AAFD=^^ADH9

•,^^AED+S^DFE=S^ADG—S^DHG，

•,^LAED+S^DFE—SUOG—S^DFE'即：2S〉DFE=S“OG—^LAED=12—8=4,

•・S^DFE=2；

故选A.

【点睛】本题考查角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点

到角两边的距离相等，构造全等三角形.

8.如图，在AdBC中，Z.BAC=90°,=60°,AB=4,若。是BC边上的动点，贝!)240+DC的最小值是

()

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】过点C作射线CE,使NBCE=30。，再过动点。作。尸，CE,垂足为点R连接力D,在

此△DFC中,NDCF=30。,。尸=+DC=2Q4D+：DC)=2(4。+DF)当A,D,E在同一直线

上，即AF1CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长.

【详解】解：过点C作射线CE,使NBCE=30。，再过动点。作。尸，CE,垂足为点F连接4D,如图所

1

：.DF=-DC,

2

,/2AD+DC=2（A。+1DC）

=2（AD+£）尸），

...当A,D,尸在同一直线上，即4FICE时，4D+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长,

此时，ZB=ZADB=60°,

...△4BD是等边三角形，

：.AD=BD=AB=4,

在ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=4,

：.BC=8,

：.DC=4,

DF=-DC=2,,

2

：.AF=AD+DF=4+2=6,

；.2（AD+DF）=2AF=12,

.•.2（4。+DC）的最小值为12,

故选：D.

【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学

会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题.

第n卷

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分.

9.如图，点、E,尸在BC上，BE=CF,N4FB=/DEC,请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使

得AABF咨ADCE,你添加的条件是______.

【答案】AF=DE^ABF=NDCE或4=/D

【分析】本题要判定△ABF^ADCE,已知乙4FB=乙DEC,由BE=CF可得BF=CE,那么只需添加一

个条件即可.添边可以是4F=DE或添角可以是乙4BF=NDCE或4=/D.

【详解】解：所添加条件为：AF=DE或乙4BF=NDCE或4=/D,

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,

即BF=CE,

添加：AF=DE,

在和△£>£1£•中，

AF=DE

ZAFB=/DEC,

-BF=CE

△ABF=ADCE（SAS）；

添加：NABF=/DCE,

在△ABF和△DCE中，

（ZABF=ZDCE

]BF=CE,

\ZAFB=/DEC

△ABF=DCE（ASA）

添加：ZA=/D,

在△4BF和ADCE中，

（ZA=ZD

jZAFB=/DEC，

IBF=CE

AABF=ADCE（AAS）・

故答案为：AF=DE或乙4BF=NDCE或4=/D.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的

参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

10.如图，在3x3的方格中，每个小方格的边长均为1,则N1与N2的数量关系是.

【分析】证明AABC三ADEF得出N2=NDEF,根据Nl+/DEF=90。即可得出Nl+N2=90。.

【详解】解：根据网格特点可知，^ACB=Z.DFE=90°,EF=BC,AC=DF,

△ABC=△DEF,

=/DEF,

•.21+/DEF=90。，

Zl+Z2=90°.

故答案为：Zl+Z2=90°.

A

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.

11.如图，A.DCE=^.A=/.CBE=90°,DC=CE,AD=3,BE=7,则4B=.

【答案】4

【分析】先证得=进而可证得△DC4三△CEB,可得到AC=BE=7,4。=BC=3,即可求

得答案.

【详解】•//DCE=4=NCBE=90°,

：.ADCA+Z.BCE=乙DCE=90°,ZBCE+ZE-180°-ZCBE=90°.

/.ZDCA=ZE.

在ADC力和△CEB中

'/DCA=/E

'ZA=/CBE

[DC=CE

・・△DCA=ACEB.

：.AC=BE=7,AD=BC=3.

：.AB=AC-BC=7-3=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，牢记全等三角形的判定方法（两角分别相等且其中一

组等角的对边相等的两个三角形全等）是解题的关键.

12.如图，在△ABC中，AB=AC,4ABC,N4CB的平分线交点P,点E是AC上一点，且CE=CB.若

PE||AB,贝U/4=

【分析】根据题意可证△PCB三APCE,设乙4=/尸员？=%,则=2%,根据三角形的内

角和定理即可建立方程求解.

【详解】解：9：AB=AC

ZABC=ZACB

・・・依,*分别平分/48心ZAC

NABP=ZPBC=/PCB=/PCE

VCE=CB

C.LPCB=^PCE

NABP=/PBC=/PCB=/PCE=/PEC

*：PE||AB

ZA=/PEC

设NA=乙PEC=x,则=/ACB=2x

•\x+2%+2%=180°

解得：x=36°

故答案为：36

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理.掌握相关结论是

解题关键.

13.将一张边长为6cm的正方形纸片沿虚线对折得图①，再沿图①的虚线对折得图②的小正方形ZBCD,

已知点M是4B的中点，点N是4。的一个三等分点且更靠近点。，沿图②的虚线剪掉一个直角三角

形后展开得图③的中空纸片，这张中空纸片的面积是cm2.

【答案】6

【分析】先根据进而求得4M,2N,得到A4MN的面积，最后乘以即可解答.

【详解】解：由折叠的性质可得力B=AD=3cm，

,/点M是力B的中点，点N是4。的一个三等分点且更靠近点D,

32

•MM，cm，AN=3x§=2cm

-1-too

AAMN的面积为5aMXAN=5X5X2=5,

张中空纸片的面积是|x4=6cm2.

故答案为6.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形的面积公式、线段中点与等分点等知识点，根据题意求得

A4MN的面积是解答本题的关键.

14.如图，zB=zC=90°,4E平分/BAD,DE平分NZMC,若SACDE：SAABE=2：3,则以人成：

SRDCE=---

【答案】5:2

【分析】过点E作EF14D于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF,然后证明内△

ABE三RtA2FE（HL），根据全等三角形的面积相等可得SMBE=SAME，同理可得：S^FD=S®，设

S4CDE=2k,S-BE=3k,表示出4的后=5k,然后求解即可.

【详解】如图，过点E作EF12D于F,

•:NB=90。,

：.EBLAB,

9：AE^ZBAD,

：.BE=EF,

在内△ABE和山△4FE中，

(AE=AE

SE=EFf

••Rt△A.BE=Rt△A,FE(HL)，

,•SFBE=S^AFE，

问理：S^EFD=S^ECD，

设S^COE=2k,SLABE—3k,

•LADE=LAFE+S^EFD=^ABE+i^CDE=3/c+2k=Sk,

•3式0由S^DCE=5k:2k=5:2,

故答案为：5:2.

【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质

并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

15.如图，在四边形/BCD中，Z-BAD=105°,ZB=ZD=90°,在BC,CD上分别找一个点M,N,使4

AMN的周长最小，则NAAW+NA7VM=°

【答案】150

【分析】要使AAMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出/关于和

的对称点4,即可得出乙4'+乙4”=75。，进而得出4MN+4NM=2(4Z'M+4〃)，即可得

出答案.

【详解】解：作/关于8C和CO的对称点4,A",连接44",交BC于M,交CD于N,则4/"即为的

周长最小值.

•••/DAB=105°,

ZA'+4”=180°-ZBAD=180°-105°=75°,

vZ.A'=/.MAA',/-NAD=Z.A",5.Z.A'+/.MAA'-/.AMN,ZNAD+^4"=ZANM,

•••/AMN+NANM=4,+ZMAA+/NAD+4"=2(4,+4")=2X75°=150°

故答案为：150.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质

和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M,N的位置是解题关键.

16.如图，在AADE中，AC=BC=BD=DE,乙4=25。，则NE的度数是°

【答案】75

【分析】首先根据N4=25。，AC=BC,利用等腰三角形的性质得到NABC=乙4=25。，然后利用三角

形的外角的性质求得NBCD=乙4+/,ABC=50°,再根据BC=8。得到NBDC=乙BCD=50°,从而得到

乙CBD=180°-4BCD-乙BDC=80°,进一步得至IJ/DBE=180°-^ABC-乙CBD=75°,最后禾用

BD=ED得到4=/DBE=75°.

【详解】解：・・・〃=25。,AC=BC,

ZABC=ZA=25。，

/BCD=4+ZABC=250+25°=50°,

BC=BD,

■.ZBDC=/BCD=50°,

•••NCBD=180°-/BCD-/BDC=180°—50°-50°=80°,

/DBE=180-ZABC-ZCBD=180°-25°-80°=75°,

BD=ED,

：./E=/DBE=75°,

故答案为：75.

【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是了解等腰三角形等边对等角，难度

不大.

17.如图，Rt^ABC中，N4=90。，AB=AC,NABC的平分线BD交AC于点D,CE1BD,交BD的延长

线于点E,若BD=5,贝UCE的值为.

【答案w

【分析】延长BA、CE相交于点F,由角平分线的性质可得乙4BD=NCBD,利用ASA证明△BCE三小

BFE,得到CE=EF,根据同角的余角相等得至UNABO=N4CF,通过ASA证明△AB。三△人。尸，得到

BD=CF,从而即可得到答案.

【详解】解:如图，延长B4CE相交于点F,

BD平分4BC,

:.ZABD=ACBD,

CELBD,

•••/BEF=/BEC=90。,

在ABCE和ABFE中，

ZABD=ZCBD

BE=BE

ZBEF=/BEC=90°

BCEBFE（ASJ\），

・•.CE=EF,

vZBAC=90°,CE工BD,

^ACF+ZF=90°,ZABD+NF=90。，

:.ZABD=ZACF,

•・•^BAC=90°,ZBAC+ZCAF=180°,

・•.ZBAC=ZCAF=90。，

在△48。和△ZCF中，

（/ABD=ZACF

（AB=AC,

[^BAC=ZCAF=90°

**.△ABD4CF（ASA），

:.BD=CF,

•・•CF=CE+EF=2CE,

BD=2CE—5,

CE=

2

故答案为：|.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等

三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键.

18.如图，边长为4的等边三角形4BC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段BM绕点

B逆时针旋转60。得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是.

【答案】1

【分析】取的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BH=BG,再求出4HBN=LMBG,根据

旋转的性质可得MB=NB,然后利用“边角边”证明AUBG三△NBH,再根据全等三角形对应边相等可得

HN=MG,然后根据垂线段最短可得MG1CH时最短，再根据/BCH=30。求解即可.

【详解】解:取BC的中点G,连接MG,如图所示：

••・旋转角为60。，

/MBH+/HBN=60°,

又•:ZMBH+ZMBC=ZABC=60。，

•••/HBN=/GBM,

•••CH是等边△ABC的高线，

•••HB=-AB,

2

・•.HB=BG,

又・・•MB旋转到BN,

・•.BM=BN,

在△MBG和ANB”中，

BG=BH

ZMBG=/NBH,

、MB=NB

MBG=△NBH（SAS），

・•.MG=NH,

根据垂线段最短，当MG1C”时，MG最短，此时即HN最短，

111

•・•（BCH=-x60°=30°,CG=-AB=-x4=2,

222

-I-1

在Rt^CGM中，Z.MCG=30°,Z.CMG=90°,MG=~CG=-x2=1,

•••HN=MG=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质,

含30。的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

三、解答题：本题共7小题，共64分.

（6分）19.如图，已知网格上最小的正方形的边长为1.

⑴作△ABC关于无轴对称的图形△4/16(不写作法);

⑵求AaiBiG的面积；

(3)在y轴上找一点P使得P8+PC最小.

【答案】(1)见解析

7

(2)SA4]BICI=2；

(3)见解析

【分析】(1)分别作出各点关于久轴的对称点，再顺次连接即可；

(2)用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积进行求解即可;

(3)作点B关于y轴的对称点m，连接交y轴于点P,贝十点即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求；

1117

（2）解：SAA1B1C1=3x3-|xlx3-jxlx2-jx2x3=f;

(3)解：如图所示，P点即为所求.

【点睛】此题考查了利用轴对称变换作图，利用轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构以及平面

直角坐标系准确找出对应点的位置是解题的关键.

(6分)20.如图所示，在AABC中，4D1BC于。，CE14B于E,AD与CE交于点况且4B=CF.

(1)求证：XABD三XCFD；

(2)已知BC=7,4。=5,求AF的长.

【答案】(1)见解析

(2)XF=3

【分析】(1)根据垂直的定义得出=NCDF,再根据同角的余角相等得出NBA。=NFCD,然后由

■S证明AABD=ACF。即可；

(2)由全等三角形的性质得出BD=DF,再根据线段的和差即可解决问题.

【详解】(1)证明：：aDlBC,CELAB,

：.ZADB=/CDF=NCEB=90°,

/./BAD+/B=/FCD+ZB=90°,

/./BAD=ZFCD,

ABD^ACFD中

ZADB=NCDF

ZBAD=ZFCD

AB=CF

••AAiBD三△CFD（AAS），

（2）解：•:国ABD三XCFDQ©,

：.BD=DF,

,:BC=7,AD=DC=5,

：.DF=BD=BC-CD=2,

：.AF=4。一。尸=5-2=3；

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常

考题型.

（8分）21.已知：如图，AaBC中NBAC的平分线与BC的垂直平分线交于点。，DE1于点E,DF1

AC交4C的延长线于点F.

⑴求证：BE=CF；

（2）若48=15,4。=9,求CF的长.

【答案】（1）见解析

（2）3

【分析】（1）连接BD,根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得=DC=DB,利用HL可证

RtAOCFsRtA£>5E,从而证出结论；

（2）利用HL可证RtAADFmRt△力。凡利用全等三角形的性质即可求解.

【详解】（1）解：连接DB,

;点。在N82C的平分线上，DE1AB,DF1AC,

：.DE=DF,

・・,点。在BC的垂直平分线上，

：.DB=DC,

在Rt△DCF与内△DBE中，

•・•DE=DF,DB=DC,

Rt△DCF三口△DBE(HL)，

CF=BE；

(2)在近△ADF与ADE中，

DE=DF,AD=AD,

••Rt△ADF=Rt△AJDE(HL)，

：.AF=AE,

：.AB-BE=AB-CF=AC+CF,

9CAB=15,"=9,

：.15-CF=9+",

ACF=3.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质.证明/^△8。£三△。。尸是解题

的关键.

(8分)22.如图，BE、CF是△ABC的两条高，尸是边的中点，连接尸E、PF、EF.

A

(1)求证：PE=PF；

(2)若4=70。，求N£P尸的度数.

【答案】(1)见解析

(2)40。

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求证；

(2)根据三角形的内角和定理得出乙4BC+乙4cB=110°,再推出NBEP=NABC,NCEP=ZACB,即

可求解.

【详解】（1）解：•••CF14B,BEVAC,P为BC中点,

PF=-BC,PE=-BC,

22

・•.PE=PF；

(2)解：・・Z=70。，

・•・ZABC+NACB=110。，

TP是BC边的中点，

PF=BP=-BC,PE=PC=-BC,

22

.,.乙BEP=/.ABC,/.CEP=^ACB,则4EP+NCEP=110°,

•••/FPB+/EPC=360°-110°x2=140°,

•••/EPF=180°—140°=40°.

【点睛】本题主要了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握

相关内容，并灵活运用.

（8分）23.我们在七年级曾学过“两点之间线段最短”，利用这一知识点也可以解决两条线段之和最小的

相关问题.如图①，已知点A、B在直线1的同一侧，在直线1上求作一点P,使得P2+PB最小，我们只要

作点B关于/的对称点方（如图②），根据对称性可知，PB=PB',因此，求4P+BP最小就相当于求力P+

最小，显然，当点A、P、夕在同一直线上时，4P+P次最小，因此连接A夕，4所与直线1的交点就是

要求的点P.

探究：四边形4BCD是长方形台球桌的台面，有白、黑两球分别位于点E、尸的位置.

（1）如图③，怎样击打白球E,能使它先碰撞台边CD,经反弹后再击中黑球F?（画出白球E经过的路线）

（2）如图④，怎样击打白球E,使它能先碰撞台边CD,经反弹后又碰撞台边4B,然后再击中黑球F?（画

出白球E经过的路线）

【答案】（1）图见详解；

⑵图见详解；

【分析】（1）作出点E关于CD的对称点E-连接E'产交CD于一点连接EM,即可得到白球E的路线;

（2）分别作E、（分别关于CD、4B的对称点？，F',连接E'F',即可得到路径；

【详解】（1）解：作出点E关于CD的对称点连接E'尸交CD于一点连接EM,即可得到白球E的路

线：EM-MF,如图所示，

AB

DC

E'

（2）解：分别作E、F分别关于CD、AB的对称点？，F',连接Ef,交CD、4B于点M、。即可得到路

径：EM-MQ-QF,如图所示，

F、、、

【点睛】本题主要考查了利用轴对称作图，熟练掌握轴对称定义是解题的关键.

（8分）24.如图，已知等边AABC的边长为6cm，现有两点加、N分别从点A、点8同时出发，沿三角

形的边运动，运动时间为ts,已知点M的速度lcm/s，点"的速度为2cm/s.当点N第一次到达8点

时，M、N同时停止运动.

备用图

（1）当点N第一次到达8点时，点M的位置在_____；当M、N运动秒时，点N追上点M；

（2）当点M、N在8c边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AAMN?如存在，请求出此时M、

N运动的时间.

【答案】（DBC中点，6

（2）存在，运动的时间是8s时.得到以MN为底边的等腰三角形AAMN

【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2/=lxf+6,求出t的值即可;

（2）列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题.

【详解】（1）当点N第一次到达B点时，

t=18+2=9(s),

运动了1x9=9(cm),

.・•点M的位置在8C中点；

当点N追上点M时，

由题意得：2?=1xr+6,

t=6,

.•.当M、N运动6秒时，点N追上点M,

故答案为：8C中点，6.

(2)如图，AM=AN,

作AH1BC于H,

HC=HB,HM=HN,

：.MC=BN,

t-6=18-2t,

t=8,

：.M,N运动的时间是8s时.得到以MN为底边的等腰三角形

【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质,一元一次方程的应用，关键是由题意得到关

于t的方程.

(10分)25.问题解决：

a

BFCBDCBDC

图1图2作13

(1)如图1,aaBC中，AF为BC边上的中线，则工钻尸=：5

'△ABC•

（2）如图2,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，贝"ADEF=S^ABC.

（3）如图3,D,E,F分别为BC,4D,CE的中点，若%FC=2,则入谢=

问题探究：

5

⑴如图4,CD,BE是△ABC的中线，。。,85交于点。风2（如与'四边形4的相等吗？

解：△ABC中，由问题解决的结论可得，'△BCD=2，S^ABE~~S^ABC•

••S/\BCD=S^ABE

,△BOD

BPSgoc=S四边形AOOE.

（2）如图5,△ABC中，。是/C上的一点，AC=4CD,A石是△ABC的中线，且S-BC=48,试求一

尸的值•

问题拓展：

如图6,△ABC中，AD^^BAC.ADLBD,贝1"“儿=S^ABC.

【答案】问题解决：（2）-（3）8；问题探究：（2）12；问题拓展：!

oZ

【分析】问题解决：（2