(4)-专题04 探索规律（43题）

2024年小升初数学重难点&压轴题专练

第四讲探索规律（43题）

重点考察知识点一：比算术中的规律

1．（2023•隆昌市）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，

使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等。若取最左端3个格子中的后两个记作

x、y，那么x﹣y＝。

8xy74……

2．（2023•海曙区）如图，张亮在计算机课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序

通过计算会输出另一个数。请根据发现的规律解决以下问题。

①输入3，输出11

②输入7，输出27

③输入10，输出39

（1）输入，输出47；

（2）如果输入a，输出。

3．（2022•宜昌）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的

结果为24，第2次输出的结果为12，……，第2022次输出的结果为。

4．“次方之美”。当你把相同的数进行重复相乘，你就会使用到次方来进行描述。

比如：8×8×8×8＝84（4个8相乘）

7×7×7×7×7×7＝76（6个7相乘）

根据以上信息判断对错。对的打“√”，错的打“×”。

（1）816是815的8倍。

（2）810是8的10倍。

下面是7的1﹣9次方。请留心数变化的规律!这些数的最后一个数字遵循了一个规律。

研究该规律并回答如下的问题。

71＝7

72＝49

73＝343

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74＝2401

75＝16807

76＝117649

77＝823543

78＝5764801

79＝40353607

那么7190的最后一个数字是。

重点考察知识点二：数列中的规律

5．（2023•大渡口区）有一列数：1，，，，，，，，，，，，，，

，……，则是第（）个数。

A．88B．94C．88或94D．81或88

6．（2023•阿城区）找规律填数。

3，11，20，30，，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，，……

7．（2023•铁西区）有一列数，第一个数是100，第二个数是90，从第三个数开始，每个数都

是它前面两个数的平均数．第三十个数的整数部分是．

8．（2023•金安区）数学老师巴尔末成功的从光谱数据，，，……中得到巴尔末公

式，从而打开了光谱奥秘大门。请你按照这种规律，写出第7个数据是。

9．（2023•上虞区）找规律，填一填。

（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，这列数的每一项越来越大，越来越接近。

（2），……，这列数的每一项越来越小，越来越接近。

重点考察知识点三：“式”的规律

10．（2023•如东县）“142857”是个神奇的数，它的2倍至6倍，都是由1、4、2、8、5、7

这六个数字组成的。比如：142857×4＝571428，142857×6＝857142，更神奇的是，单位

是的几个真分数化成小数后，小数点后面的数字也是由这些数字组成的。比如：＝

0.714285714285714285……，请你推算一下，化成小数后，小数点后面第40位上的数字

是，小数点后面前40位数字的和是。

11．（2023•南京）

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＝4+2+1＝﹣1＝7

4n+2n+n＝﹣＝7n

12．（2023•如皋市）思考与探究。

（1）我来算一算：

62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（+）×（﹣）

a2﹣b2＝（+）×（﹣）

（2）按照上面的规律计算：

252+232﹣242﹣222＝

＝

＝

13．（2023•凤城市）根据算式的规律填空：，，……在计算＝

中，写出〇、□表示的整数：〇＝，□＝。

14．（2023•锡山区）数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12×231＝132×21；23×352＝

253×32。现在有两个与此规律相同的等式，请完成填空。

（1）45×594＝×；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝。

重点考察知识点四：数与形结合的规律

15．（2023•余干县）如图，第一个图形需要3根火柴，第（2）（3）（4）个图形各需要5、7、

9根火柴。则第50个图形需要火柴（）根。

A．101B．51C．201D．103

16．（2023•礼泉县）下面是由完全相同的正方形按规律摆成的图形，第1个图中有1个正方

形，第2个图中有3个正方形，第3个图中有6个正方形，第4个图中有10个正方

形，……，按此规律，第8个图中有（）个正方形

A．42B．40C．38D．36

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17．（2023•渌口区）如图（单位：厘米），用完全相同的等腰梯形拼图形，照这样的规律地拼

下去，拼出的第7个图形是形，拼出的第6个图形的周长是厘米。

18．（2023•荣昌区）找规律：

（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝2，……，1+3+5+7+9+11+13＝2。

（2）如图，1张桌子可坐6人，2张桌子可坐10人。照这样摆下去，8张桌子可坐

人，n张桌子可以坐人。

19．（2023•石柱县）如图的每一个图形都是由△、□、〇中的两个组成的。观察各个图形，

根据图形下面的数找出规律，画出表示“31”和“12”的图形。

113221133112

20．（2023•浦口区）别有“动”天。

数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通。

如果用运动的眼光来观察，可能会有不一样的发现。

如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面

积。

轩轩思考涂色部分是三角形BEC，这个三角形的底和高都不知道，正当他一筹莫展时，点

B动起来了，它沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2）。这时三

角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，形成的大三角形ADC

的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘

米，面积是平方厘米，即涂色部分面积。

通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解。既然点可以动起来，那么线段呢？

如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中涂色部分长方形的周长分别是14厘米和8

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厘米。原来长方形的周长是多少厘米？

线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。

发现原来长方形的周长就是两个涂色部分周长的，从而巧妙解题。

点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工。

静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限。请尝试解决图4和图5中的问题。

（1）图4中涂色部分是一个正方形，那么长方形ABCD的周长是厘米。

（2）图5大正方形边长为14厘米，涂色部分正方形的面积是平方厘米。

图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入

“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境。

通过上面的学习，令人印象深刻的有。

重点考察知识点五：数表中的规律

21．（2023•漳平市）观察如图①，寻找规律。如图②、如图③分别是从如图①中截取的一部

分，其中a的值为，b的值为。

22．用下面的形状在右边数表中任意框出5个数，连续框几次，找一找其中的规律。

（1）如果用a表示框中涂色位置的数，用T表示5个数的和，你能用含有字母的式子表

示出其中的规律吗？

（2）小明说：“他框出5个数的和是270。”你认为对吗？如果对，算一算a是多少？如果

不对，请说明理由。

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重点考察知识点六：事物的间隔排列规律

23．（2022•英德市）海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯

光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是的。

24．（2022•拜泉县）有同样大小的红、白、黑珠共180颗，按5个红、4个白、3个黑的顺序

排列，第56颗珠子是色，前73颗珠中共有黑珠颗。

25．（2023•海淀区）中心公园挂有甲、乙两款灯笼串，每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组

合而成的（如图1）。大灯笼共有16个，小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串？

重点考察知识点七：事物的简单搭配规律

26．（2023•郑州）如图，〇、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数

的关系，第4图形表示的两位数是（）

A．54B．43C．34

27．（2023•庆云县）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，

按此规律排列下去，第n个图形有个实心圆。

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28．（2021•威远县）李老师要把语文、数学、英语、科学4本书（各1本）分给丽丽、阳阳、

聪聪三个同学，每个同学至少分其中的一本，一共有种不同的分法。

29．（2023•乐陵市）足球世界杯每四年举行一次，国际足联规定冠军奖品为大力神杯，此杯

为流动奖品，1974年第十届足球世界杯第一次启用。

（1）在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌，此杯可以持续使用到

第多少届，是哪一年？

（2）足球一般是用黑白两种颜色的皮子缝制而成的，黑色皮子是五边形，白色皮子是六边

形（如图），每一块黑色皮子都与5块白色皮子相接，每一块白色皮子都连接3块黑色皮子。

已知一个足球上黑色皮子共有12块，请你计算白色皮子共有多少块？

（3）北京时间2023年3月14日晚，国际足联官方确认，2026年世界杯比赛赛制做出调

整：首度扩军48支球队，将被分为12个小组，每个小组4支球队进行比赛。小组赛采用

单循环赛（小组内所有参加比赛的队均能相遇一次，每两队之间只赛一场）。每组前2名及

8支成绩最好的小组第3名，将晋级32强，此后采用淘汰赛（两个参赛队伍用一场比赛定

胜负），产生16强、8强、4强、2强，最后决出冠亚军、第3和4名。至此，本届世界杯

的所有比赛结束。

根据以上信息，算一算，每个小组内一共要比赛几场？整个小组赛一共有多少场？2026年

世界杯足球赛全程共有多少场？

重点考察知识点八：简单周期现象中的规律

30．（2023•深州市）六一儿童节，一年级（2）班的学生用彩灯布置教室，按“两红、三蓝、

两紫”的顺序排列，第57盏灯是（）

A．红色B．蓝色C．紫色

31．（2023•涟水县）化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（）

A．4B．2C．8D．5

32．海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，下图表示前15秒灯光明暗的变化规律，

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第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第36秒是的，第52秒是的。

33．（2023•襄城区）如图，“杨辉聚六图”是由我国南宋杰出的数学家杨辉所研究出来的，它

是由1，2，3，……，35，36无重复排列而成的图形，“杨辉聚六环”其每一环6个数之

和均相等，则这个和为，其中一环中还差个数，它是。

重点考察知识点九：简单图形覆盖现象中的规律

34．用在如图数表中任意框出4个数，如果用a表示框中涂色位置的数，框中4

个数的和是；如果框中的4个数的和是142，那么a是。

35．（2021•溧阳市）观察2021年5月的月历卡。如果用形如的方框去框月历卡中的日

期数，a表示框中的第一个数，则？处表示的数是；小明一家外出旅游5天

回家这5天的日期数之和是20，小明一家号回家。

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36．（2021•灌南县）如图，是一扎某品牌瓶装饮用水。这扎饮用水被取走了瓶。

37．（2021•姜堰区）如图是今年六月份的月历，用形如长方形平行移动去框月历卡

里的日期数，每次同时框出3个数。观察月历完成下面问题。

（1）在这张月历上，画出用这个长方形框出和是42的3个数；

（2）如果用a表示框中的第一个数，框出的3个数和是；

（3）在这张月历上，能框出和是57的3个数吗？，84呢？。（在横线

上填“能”或“不能”）

38．（2021•东海县）图1是2021年6月的月历表。小明用如图2所示的“十字”型框图放置

到月历表合适的位置上，可以框中5个数。

（1）如图1所示，若框中的5个数中，正中间的数是10，则框中5个数的和是；

（2）若框中的5个数中，正中间的数为n，则这5个数的和为；

（3）按照上面的框法，框中5个数的和可以是100吗？为什么？

重点考察知识点十：通过操作实验探索规律

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39．（2022•玉环市）桌上有1张纸，第一次把它剪成3块放回桌上；第二次从桌上拿起1块

剪成3块后放回桌上；…．进行了这样的8次操作后，桌上一共有（）块纸．

A．24B．21C．19D．17

40．（2023•石城县）一个运算程序、运算规则如右图，如果输入13，那么结果是；

如果输入15，那么结果是。

41．（2023•固镇县）数形结合的思想贯穿了小学数学始终，我们也体验过列举、画图等策略。

请你利用所掌握的方法解决下面的问题：

校园一角原有一个正方形花圃，后来因为场地原因，把正方形的一边长增加3米，同时相

邻的边长减少了3米，这样花圆变成了一个长方形。和原来的正方形比，这个长方形的面

积是否有变化？如果有变化，改变了多少？

（1）列举找规律：尝试再举2个例子，然后发现并猜想规律。

正方形边长正方形面积（m3）长方形的长（m）长方形的宽（m）长方形面积（m3）

309003327891

猜想：和正方形的面积比，长方形的面积的变化情况是。

（2）画图观察：在如图正方形的基础上画出长方形，如果面积有变化，请用阴影表示面积

改变的部分。

（3）运用推广：请你用上面得到的结论计算（200+3）×（200﹣3）

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42．（2021•海淀区）探究与发现。

（1）以等边三角形的中心点为圆心画圆，根据所画的圆与等边三角形各边交点的个数情况，

可以画出不同的圆，请你试着画一画并填空。

（2）连接交点与中心点，最多有条相等的线段。

（3）如果分别以正方形、正五边形、正六边形的中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，

最多有多少条相等的线段？试着画一画并填表。

图形……

最多相等线段的条数

通过以上研究，我发现：。

43．（2020•江都区）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，

在我们的学习生活中无处不在。如，在“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头

的质量；又如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形……

（1）如图1有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。

这时，三角形的面积相当于圆的面积。

①观察这个三角形，底相当于圆的，高相当于圆的。

②如果圆的半径是r，三角形的面积：S＝a×h÷2

那么圆的面积：S＝×÷2＝

（2）你还能用转化的数学思想来解决以下数学问题吗？如图2，一个拧紧瓶盖的瓶子里装

了一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的。

A.B.C.D.

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2024年小升初数学重难点&压轴题专练

第四讲探索规律（43题）

重点考察知识点一：比算术中的规律

1．（2023•隆昌市）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，

使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等。若取最左端3个格子中的后两个记作

x、y，那么x﹣y＝。

8xy74……

试题思路分析：根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从左向右8+x+y＝第2

个数+第3个数+第4个数＝x+y+第4个数，据此可知第4个数为8，即可找出格子数按照

8、7、4的规律依次排列，据此求解。

详细规范解答：解：根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，且4÷3＝1（组）……

1（个）

又从左向右前3个数是8、x、y，则从左向右第4个数为8，结合从左向右第5个数是7，

第6个数是4，可知：

格子数是按照8、7、4、8、7、4、……的规律排列的，即x＝7，y＝4。

所以x﹣y＝7﹣4＝3。故答案为：3。

考察注意点与重难点：此题在于考查学生总结规律的能力。

2．（2023•海曙区）如图，张亮在计算机课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序

通过计算会输出另一个数。请根据发现的规律解决以下问题。

①输入3，输出11

②输入7，输出27

③输入10，输出39

（1）输入，输出47；

（2）如果输入a，输出。

试题思路分析：①输入3，输出11；②输入7，输出27；③输入10，输出39，通过这三个

小程序可以看出，输出的数为输入的数的4倍减去1，所以输出是47时，那输入的数就是：

（47+1）÷4，据此解答即可；如果输入a，那就输出4a﹣1。

详细规范解答：解：（1）（47+1）÷4

＝48÷4

＝12

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答：输入12，输出47。

（2）由分析可知：输入a，输出4a﹣1。故答案为：12；4a﹣1。

考察注意点与重难点：对于这种规律性的题目，要仔细观察，从中找出规律，根据规律解

决问题。

3．（2022•宜昌）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的

结果为24，第2次输出的结果为12，……，第2022次输出的结果为。

试题思路分析：初始输入值48后

第1次输出值为：＝24

第2次输出值为：＝12

第3次输出值为：＝6

第4次输出值为：＝3

第5次输出值为：3+3＝6

第6次输出值为：＝3

第7次输出值为：3+3＝6

第8次输出值为：＝3

……

即从第3次开始，奇数次输出6，偶数次输出3，据此解答。

详细规范解答：解：初始输入值48后

第1次输出值为：＝24

第2次输出值为：＝12

第3次输出值为：＝6

第4次输出值为：＝3

第5次输出值为：3+3＝6

第6次输出值为：＝3

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第7次输出值为：3+3＝6

第8次输出值为：＝3

……

即从第3次开始，奇数次输出6，偶数次输出3。

2022时偶数，偶数次输出3。

答：第2022次输出的结果为3。故答案为：3。

考察注意点与重难点：此题在于考查学生总结规律的能力。

4．“次方之美”。当你把相同的数进行重复相乘，你就会使用到次方来进行描述。

比如：8×8×8×8＝84（4个8相乘）

7×7×7×7×7×7＝76（6个7相乘）

根据以上信息判断对错。对的打“√”，错的打“×”。

（1）816是815的8倍。

（2）810是8的10倍。

下面是7的1﹣9次方。请留心数变化的规律!这些数的最后一个数字遵循了一个规律。

研究该规律并回答如下的问题。

71＝7

72＝49

73＝343

74＝2401

75＝16807

76＝117649

77＝823543

78＝5764801

79＝40353607

那么7190的最后一个数字是。

试题思路分析：（1）816是16个8相乘，815是15个8相乘，816比815乘数中多一个8，积

就是8倍。

（2）810表示10个8相乘，则810是8的89倍。

根据7的1﹣9次方的结果可得规律：结果的个位数字是7、9、3、1重复重现。则7190的

结果的个位数字即可求。

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详细规范解答：解：由分析可得：（1）816是815的8倍。√

（2）810是8的10倍。×

190÷4＝47……2

那么7190的最后一个数字是7、9、3、1重复循环了47次，是第48组7、9、3、1的第二

个数字9。故答案为：√，×，9。

考察注意点与重难点：仔细观察，找到规律是解决本题的关键。

重点考察知识点二：数列中的规律

5．（2023•大渡口区）有一列数：1，，，，，，，，，，，，，，

，……，则是第（）个数。

A．88B．94C．88或94D．81或88

试题思路分析：这列数排到分母是9时共有数字是：（1+3+5+7+9+11+13+15+17）＝81（个）

分母是10的分数有19个，在这19个中的第7和13位，

因为81+7＝88，81+13＝94

所以是排列在第88位和94位。

详细规范解答：解：由分析可知，是第88或94个数。故选：C。

考察注意点与重难点：本题主要考查数列中的规律，找到规律是解题的关键。

6．（2023•阿城区）找规律填数。

3，11，20，30，41，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，24.3，……

试题思路分析：（1）依次加8、9、10、11、12；

（2）依次乘3。

详细规范解答：解：3，11，20，30，41，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，24.3，……

故答案为：41；24.3。

考察注意点与重难点：通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问

题是应该具备的基本能力。

7．（2023•铁西区）有一列数，第一个数是100，第二个数是90，从第三个数开始，每个数都

是它前面两个数的平均数．第三十个数的整数部分是．

试题思路分析：根据题目要求求出部分数值的平均数，找到规律．

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详细规范解答：解：（100+90）÷2＝95，（90+95）÷2＝92.5，（95+92.5）÷2＝93.75，（92.5+93.75）

÷2＝93.125，（93.75+93.125）÷2＝93.4375，（93.125+93.4375）÷2＝93.28125，

前面两个数一定都是90多，其平均数一定也是90多，所以无论第几个整数部分都是93

（除了第一组，第二组）；即从第五个数起每个数的整数部分是93．

故答案为：93．

考察注意点与重难点：通过计算找到规律，再根据规律求解．

8．（2023•金安区）数学老师巴尔末成功的从光谱数据，，，……中得到巴尔末公

式，从而打开了光谱奥秘大门。请你按照这种规律，写出第7个数据是。

试题思路分析：分子的规律依次是，3、4、5、6的平方……分母的规律是：1×5，2×6，

3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，所以第七个数据是。

详细规范解答：解：由已知数据可得规律：

分子依次是3、4、5、6的平方……，分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7

×11…，所以第七个数据是。

故答案为：。

考察注意点与重难点：本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般

是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律。

9．（2023•上虞区）找规律，填一填。

（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，这列数的每一项越来越大，越来越接近。

（2），……，这列数的每一项越来越小，越来越接近。

试题思路分析：（1）观察数列可知：这个数列中每一个数的整数部分都是0，小数部分末

尾依次添上一个9，这样这个数就越来越大，越来约接近1；

（1）分子是1，分母越大，分数值越小。

详细规范解答：解：（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，这列数的每一项越来越大，越

来越接近1。

（2），，，，……，这列数的每一项越来越小，越来越接近0。

故答案为：（1）1；（2）0。

考察注意点与重难点：本题是一道有关分数的意义、小数的意义的题目。

重点考察知识点三：“式”的规律

第16页共40页

10．（2023•如东县）“142857”是个神奇的数，它的2倍至6倍，都是由1、4、2、8、5、7

这六个数字组成的。比如：142857×4＝571428，142857×6＝857142，更神奇的是，单位

是的几个真分数化成小数后，小数点后面的数字也是由这些数字组成的。比如：＝

0.714285714285714285……，请你推算一下，化成小数后，小数点后面第40位上的数字

是，小数点后面前40位数字的和是。

试题思路分析：0.714285714285714285……的循环节是714285，共6个数字；先用40除以

6，余数是4，然后从循环节的第1个数字数到第4个数字，即可确定出化成小数后，小

数点后面第40位上的数字是几；循环节各个数字的和是（7+1+4+2+8+5），40除以6的商

是6，用（7+1+4+2+8+5）的和乘6，再加上循环节的前4个数字，即可求出小数点后面前

40位数字的和，据此解答。

详细规范解答：解：40÷6＝6……4，循环节714285的第4个数字是2，所以小数点后面

第40位上的数字是2；

7+1+4+2+8+5＝27，27×6+7+1+4+2＝176，所以小数点后面前40位数字的和是176。

答：化成小数后，小数点后面第40位上的数字是2，小数点后面前40位数字的和是

176。

故答案为：2；176。

考察注意点与重难点：解答本题需准确分析循环小数中数字存在的规律，灵活解答。

11．（2023•南京）

＝4+2+1＝﹣1＝7

4n+2n+n＝﹣＝7n

试题思路分析：根据已给出的加法算式的运算方法，找出其中的规律为：加法算式的第一

个加数乘2减去最后一个加数即是计算结果。

详细规范解答：解：因为

所以＝2×2

4+2+1＝4×2﹣1＝7

4n+2n+n＝4n×2﹣n＝7n

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故答案为：2×2；4×2；4n×2；n。

考察注意点与重难点：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，

得出规律，再根据规律解决问题。

12．（2023•如皋市）思考与探究。

（1）我来算一算：

62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（+）×（﹣）

a2﹣b2＝（+）×（﹣）

（2）按照上面的规律计算：

252+232﹣242﹣222＝（25+24）×（25﹣24）+（23+22）×（23﹣22）

＝49+45

＝

试题思路分析：根据题意可知，甲数的平方减乙数的平方等于甲数与乙数的和乘甲数与乙

数的差，也就是a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b），据此解答即可。

详细规范解答：解：（1）62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（35+15）×（35﹣15）

a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b）

（2）252+232﹣242﹣222

＝（25+24）×（25﹣24）+（23+22）×（23﹣22）

＝49+45

＝94

故答案为：35；15；35；15；a；b；a；b；（2）94。

考察注意点与重难点：本题考查了平方差公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。

13．（2023•凤城市）根据算式的规律填空：，，……在计算＝

中，写出〇、□表示的整数：〇＝，□＝。

试题思路分析：根据题意，，，……可以发现如下规律：＝

+，据此解答即可。

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详细规范解答：解：分析可以发现如下规律：＝+，所以在计算＝

中，写出〇、□表示的整数：〇＝7，□＝42。故答案为：7；42。

考察注意点与重难点：本题考查了算式中的规律知识，结合题意分析解答即可。

14．（2023•锡山区）数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12×231＝132×21；23×352＝

253×32。现在有两个与此规律相同的等式，请完成填空。

（1）45×594＝×；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝。

试题思路分析：观察可得规律是，两位数乘三位数，两位数的十位数字和个位数字与三位

数的个位数字和百威数字相同，三位数的十位数字是它的个位数字与百位数字的和。这样

的两个数相乘等于把三位数的十位数字加进两位数的中间使两位数成为三位数而三位数变

成两位数的两个数相乘。

详细规范解答：解：根据12×231＝132×21；23×352＝253×32，可得，

（1）45×594＝495×54；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝693。故答案为：495，54，693。

考察注意点与重难点：仔细观察，找到规律是解决本题的关键。

重点考察知识点四：数与形结合的规律

15．（2023•余干县）如图，第一个图形需要3根火柴，第（2）（3）（4）个图形各需要5、7、

9根火柴。则第50个图形需要火柴（）根。

A．101B．51C．201D．103

试题思路分析：由图可知，第（1）个图形需要（2×1+1）根火柴，第（2）个图形需要

（2×2+1）根火柴，第（3）个图形需要（2×3+1）根火柴……，则第（n）个图形需要

（2n+1）根火柴，据此解答。

详细规范解答：解：2×50+1

＝100+1

＝101（根）答：第50个图形需要火柴101根。故选：A。

考察注意点与重难点：解答本题需准确分析需要的火柴根数与图形序数之间的关系，灵活

根据找到的规律解决问题。

16．（2023•礼泉县）下面是由完全相同的正方形按规律摆成的图形，第1个图中有1个正方

形，第2个图中有3个正方形，第3个图中有6个正方形，第4个图中有10个正方

形，……，按此规律，第8个图中有（）个正方形

第19页共40页

A．42B．40C．38D．36

试题思路分析：观察可得规律，第1个图有1个正方形，第2个图有（1+2）个正方形，

第3个图有（1+2+3）个正方形，第4个图有（1+2+3+4）个正方形……第8个图中的正方

形个数即可求。

详细规范解答：解：第1个图有1个正方形，第2个图有（1+2）个正方形，第3个图有

（1+2+3）个正方形，第4个图有（1+2+3+4）个正方形……第8个图中的正方形个数：

1+2+3+4+5+6+7+8

＝（1+8）×8÷2

＝72÷2

＝36（个）故选：D。

考察注意点与重难点：仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。

17．（2023•渌口区）如图（单位：厘米），用完全相同的等腰梯形拼图形，照这样的规律地拼

下去，拼出的第7个图形是形，拼出的第6个图形的周长是厘米。

试题思路分析：根据数据可发现，当梯形的个数是奇数时，拼出的大图形是梯形，当梯形

的个数是偶数时，拼出的大图形是平行四边形。

详细规范解答：解：（2+1）×（6÷2）×2+1×2

＝3×3×2+2

＝18+2

＝20（厘米）答：拼出的第7个图形是梯形，拼出的第6个图形的周长是20厘米。

故答案为：梯，20。

考察注意点与重难点：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能

力。

18．（2023•荣昌区）找规律：

（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝2，……，1+3+5+7+9+11+13＝2。

（2）如图，1张桌子可坐6人，2张桌子可坐10人。照这样摆下去，8张桌子可坐

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人，n张桌子可以坐人。

试题思路分析：（1）由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32……可知，算式的结果等于加数个数的

平方，据此解答；

（2）由图可知，每增加一张桌子，就能增加4人；1张桌子坐可坐6人，2张桌子可坐

（6+4×1）人，3张桌子可坐（6+4×2）人，根据这个规律计算出8张桌子和n张桌子可

以坐的人数即可。

详细规范解答：解：（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，……，1+3+5+7+9+11+13

＝72。

（2）6+4×（8﹣1）

＝6+28

＝34（人）

6+4×（n﹣1）

＝6+4×n﹣4

＝（4n+2）（人）

答：8张桌子可坐34人，n张桌子可以坐8张桌子可坐人，n张桌子可以坐（4n+2）人。

故答案为：34；（4n+2）。

考察注意点与重难点：解答本题需准确分析出各题的规律，灵活根据找到的规律解决问题。

19．（2023•石柱县）如图的每一个图形都是由△、□、〇中的两个组成的。观察各个图形，

根据图形下面的数找出规律，画出表示“31”和“12”的图形。

113221133112

试题思路分析：由图可知：△表示1，□表示3，〇表示2，据此画图即可。

详细规范解答：解：

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故答案为：，。

考察注意点与重难点：解答本题需准确分析△、□、〇表示的数，灵活根据图形表示的十

位上的数和个位上的数的内外位置解答。

20．（2023•浦口区）别有“动”天。

数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通。

如果用运动的眼光来观察，可能会有不一样的发现。

如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面

积。

轩轩思考涂色部分是三角形BEC，这个三角形的底和高都不知道，正当他一筹莫展时，点

B动起来了，它沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2）。这时三

角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，形成的大三角形ADC

的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘

米，面积是32平方厘米，即涂色部分面积。

通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解。既然点可以动起来，那么线段呢？

如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中涂色部分长方形的周长分别是14厘米和8

厘米。原来长方形的周长是多少厘米？

线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。

发现原来长方形的周长就是两个涂色部分周长的，从而巧妙解题。

点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工。

静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限。请尝试解决图4和图5中的问题。

（1）图4中涂色部分是一个正方形，那么长方形ABCD的周长是厘米。

（2）图5大正方形边长为14厘米，涂色部分正方形的面积是平方厘米。

第22页共40页

图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入

“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境。

通过上面的学习，令人印象深刻的有。

试题思路分析：对于第一空，结合题干中的分析，大三角形ADC的面积和图1涂色部分的

三角形BCE面积相等，通过大三角形ADC的底和高求出其面积即可；

对于第二空，结合题干中的分析，长方形ABCD的周长＝

AG+GB+BF+FC+HC+HD+DE+EA，其中AG＝EN，AE＝GN，CF＝NH，CH＝NF，由此可

知长方形ABCD的周长就是两个涂色部分周长的和；

（1）观察图片发现，，ED＝EF+FD＝10cm，BH＝BG+GH＝

6cm，ED+BH＝EF+FD+BG+GH，而BG＝AE，GH＝EG＝AB，所以ED+BH＝AE+EF+FD+AB

＝AD+AB，而（AB+AD）是长方形ABCD周长的一半，据此可以求出长方形ABCD的周长；

（2）大正方形的面积由两个梯形和小正方形面积组成，两个梯形的底和高都相等，因此面

积相等，大正方形的边长已知，据此可以求出小正方形的面积。

对于最后一空，答案不唯一，言之有理即可。

详细规范解答：解：S△ADC＝8×8÷2

＝64÷2

＝32（cm2）

S△BEC＝S△ADC＝32cm2

长方形ABCD的周长＝两个涂色部分周长的和；

（1）长方形ABCD的周长＝2×（AB+AD）

＝2×（ED+AH）

＝2×（10+6）

＝2×16

＝32cm

（2）涂色部分面积＝14×14﹣2×90

＝196﹣180

＝16（cm2）

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（答案不唯一）在解题过程中要学会用运动的眼光来观察。

故答案为：32，和；（1）32；（2）16；（答案不唯一）在解题过程中要学会用运动的眼光来

观察。

考察注意点与重难点：本题具有很强的灵活性，注意观察题干中的思想方法可以有效的帮

助解决后续的问题。

重点考察知识点五：数表中的规律

21．（2023•漳平市）观察如图①，寻找规律。如图②、如图③分别是从如图①中截取的一部

分，其中a的值为，b的值为。

试题思路分析：第一行和第一列分别是从1开始的自然数，对应的行、列是每行、列开头

两个数的积。根据数表中各数的排列规律填空即可。

详细规范解答：解：4×7＝28

4×8＝32

a：5×7＝35

5×8＝40

7×8＝56

6×6＝36

b：7×7＝49

故答案为：40；49。

考察注意点与重难点：本题主要考查数表中的规律，关键根据数表中各数排列的规律做题。

22．用下面的形状在右边数表中任意框出5个数，连续框几次，找一找其中的规律。

（1）如果用a表示框中涂色位置的数，用T表示5个数的和，你能用含有字母的式子表

示出其中的规律吗？

（2）小明说：“他框出5个数的和是270。”你认为对吗？如果对，算一算a是多少？如果

不对，请说明理由。

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试题思路分析：（1）当a＝2时，和是30，当a＝3时，和是35，当a＝4时，和是40……

可得规律是：T＝（a﹣2）×5+30。（2）当T＝270时，代入T＝（a﹣2）×5+30算式，求

出a的值判断。

详细规范解答：解：（1）当a＝2时，和是30，当a＝3时，和是35，当a＝4时，和是

40……可得规律是：

（a﹣2）×5+30

＝5a﹣10+30

＝5a+20

（2）当T＝270时，代入T＝5a+20可得

270＝5a+20

5a＝250

a＝50

a不在中间位置，小明的说法错误。

考察注意点与重难点：仔细观察，找到规律是解决本题的关键。

重点考察知识点六：事物的间隔排列规律

23．（2022•英德市）海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯

光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是的。

试题思路分析：根据题意，照明灯是按照“第1秒是亮的，第2、3秒是暗的，第5、6秒

是亮，第7秒是暗……”每6个一循环，计算第47秒是第几组零几个，即可判断明暗。

详细规范解答：解：47÷6＝7（组）•••••••5（秒）

答：第47秒是亮。故答案为：亮。

考察注意点与重难点：明确排列的周期特点，是解决本题的关键，解答本题先找到规律，

再根据规律求解。

24．（2022•拜泉县）有同样大小的红、白、黑珠共180颗，按5个红、4个白、3个黑的顺序

第25页共40页

排列，第56颗珠子是白色，前73颗珠中共有黑珠18颗。

试题思路分析：分别计算底56颗、第73颗是第几组循环零几颗，几颗判断最后一颗是什

么颜色，再根据每组黑色珠子的颗数，求黑珠子的颗数。

详细规范解答：解：56÷（5+4+3）

＝56÷12

＝4（组）……8（个）

73÷12＝6（组）……1（颗）

6×3＝18（颗）

答：第56颗珠子是白色，前73颗珠中共有黑珠18颗。故答案为：白，18。

考察注意点与重难点：本题主要考查简单周期现象中的规律，关键是根据珠子的排列规律

做题。

25．（2023•海淀区）中心公园挂有甲、乙两款灯笼串，每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组

合而成的（如图1）。大灯笼共有16个，小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串？

试题思路分析：根据图示可知，每串甲有1个大灯笼和4个小灯笼组成；每串乙由1个大

灯笼和2个小灯笼组成。据此设甲有x串，则乙有（16﹣x）串，根据小灯笼的个数列方程

求解即可。

详细规范解答：解：

（方法不唯一）

设甲有x串，则乙有（16﹣x）串。

4x+2（16﹣x）＝46

4x+32﹣2x＝46

第26页共40页

2x＝14

x＝7

16﹣7＝9（串）答：甲有7串，乙有9串。

考察注意点与重难点：本题关键是利用关系式列方程解答。

重点考察知识点七：事物的简单搭配规律

26．（2023•郑州）如图，〇、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数

的关系，第4图形表示的两位数是（）

A．54B．43C．34

试题思路分析：前3个图中都有圆，表示的数字中都有5，即5表示圆形；进而可以得出3

表示三角形；4表示正方形；而且第一个数字表示的图形在外面，第二个数字表示图形在

第一个数字表示图形的里面．

详细规范解答：解：图形中有一个正方形和一个三角形，正方形在外，三角形在内，

所以用数字：43表示．故选：B．

考察注意点与重难点：根据第一幅、第二幅和第三幅图中的数字，得出：〇△□各表示的

数字是解决本题的关键．

27．（2023•庆云县）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，

按此规律排列下去，第n个图形有个实心圆。

试题思路分析：由图形可知：第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，

第3个图形中有8个实心圆，…由此得出第n个图形中有2（n+1）个实心圆。

详细规范解答：解：∵第1个图形中有4个实心圆，

第2个图形中有6个实心圆，

第3个图形中有8个实心圆，

…

第27页共40页

∴第n个图形中有2（n+1）＝2n+2个实心圆。故答案为：2n+2．

考察注意点与重难点：此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律

解决问题．

28．（2021•威远县）李老师要把语文、数学、英语、科学4本书（各1本）分给丽丽、阳阳、

聪聪三个同学，每个同学至少分其中的一本，一共有种不同的分法。

试题思路分析：把语文、数学、英语、科学4本书分给丽丽、阳阳、聪聪三个同学，这里

既要考虑书的不同，也要考虑人的区别，而每个同学至少分其中的一本，那么只能是把4

本书按照1、1、2进行分配，然后考虑人数的不同进行枚举。

详细规范解答：解：先考虑把4本书按照1、1、2进行分配，有6种情况；

语文和数学、英语、科学；语文和英语、数学、科学；语文和科学、数学、英语。

数学和英语、语文、科学；数学和科学、语文、英语；英语和科学、语文、数学。

比如第一种情况，按照语文和数学、英语、科学分组，然后考虑人数的不同，又有6种不

同的情况：（从左往右依次是丽丽、阳阳、聪聪得到的书）

①语文和数学，英语，科学；

②语文和数学，科学，英语；

③英语，语文和数学，科学；

④英语，科学，语文和数学；

⑤科学，语文和数学，英语；

⑤科学，英语，语文和数学；

其余每种情况都是类似的，6×6＝36，总共有36种不同的分法。故答案为：36。

考察注意点与重难点：本题考查的是计数问题，枚举法是求解此类问题最基础的方法，这

里需要考虑顺序的影响。

29．（2023•乐陵市）足球世界杯每四年举行一次，国际足联规定冠军奖品为大力神杯，此杯

为流动奖品，1974年第十届足球世界杯第一次启用。

（1）在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌，此杯可以持续使用到

第多少届，是哪一年？

（2）足球一般是用黑白两种颜色的皮子缝制而成的，黑色皮子是五边形，白色皮子是六边

形（如图），每一块黑色皮子都与5块白色皮子相接，每一块白色皮子都连接3块黑色皮子。

已知一个足球上黑色皮子共有12块，请你计算白色皮子共有多少块？

（3）北京时间2023年3月14日晚，国际足联官方确认，2026年世界杯比赛赛制做出调

第28页共40页

整：首度扩军48支球队，将被分为12个小组，每个小组4支球队进行比赛。小组赛采用

单循环赛（小组内所有参加比赛的队均能相遇一次，每两队之间只赛一场）。每组前2名及

8支成绩最好的小组第3名，将晋级32强，此后采用淘汰赛（两个参赛队伍用一场比赛定

胜负），产生16强、8强、4强、2强，最后决出冠亚军、第3和4名。至此，本届世界杯

的所有比赛结束。

根据以上信息，算一算，每个小组内一共要比赛几场？整个小组赛一共有多少场？2026年

世界杯足球赛全程共有多少场？

试题思路分析：（1）因为大力神杯镌刻17个冠军队名字，且1974年第十届足球世界杯第

一次启用，那么除去1974年第十届世界杯后，还可以使用16次，据此推算出可以持续使

用到第多少届；又因为世界杯4年一届，求出还可以使用的年数，根据起点时间+经过时

间＝终点时间，推算出年数即可；

（2）黑色皮子数量×边数＝黑色皮子总边数，每一块白色皮子都有3条黑边，黑色皮子总

边数÷3＝白色皮子数量，据此列式解答；

（3）球队总支数÷小组数＝每个小组球队支数，小组内所有参加比赛的队均能相遇一次，

每两队之间只赛一场，每个小组球队支数×（每个小组球队支数﹣1）÷2＝每个小组比赛场

数；每个小组比赛场数×小组数＝整个小组赛一共有多少场；淘汰赛有32支球队，两个参

赛队伍用一场比赛定胜负，每比一场就淘汰一支球队，所以需要比（32﹣1）场，还要决出

第3和4名，再加一场，即淘汰赛共32场，整个小组赛总场数+淘汰赛总场数＝世界杯足

球赛全程总场数。

详细规范解答：解：（1）10+（17﹣1）

＝10+16

＝26（届）

1974+4×16

＝1974+64

＝2038（年）答：此杯可以持续使用到第26届，是2038年。

（2）12×5÷3

＝60÷3

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＝20（块）答：白色皮子共有20块。

（3）48÷12＝4（支）

4×（4﹣1）÷2

＝4×3÷2

＝6（场）

6×12＝72（场）

32﹣1＝31（场）

31+1＝32（场）

72+32＝104（场）答：每个小组内一共要比赛6场，整个小组赛一共有72场，2026年世

界杯足球赛全程共有104场。

考察注意点与重难点：关键是理解搭配问题的解题方法，注意理解单循环和淘汰赛的比赛

规则。

重点考察知识点八：简单周期现象中的规律

30．（2023•深州市）六一儿童节，一年级（2）班的学生用彩灯布置教室，按“两红、三蓝、

两紫”的顺序排列，第57盏灯是（）

A．红色B．蓝色C．紫色

试题思路分析：由题意可知，循环周期是7，用57除以循环周期，计算出商和余数，找出

第57盏灯是什么颜色即可。

详细规范解答：解：57÷7＝8（组）……1（盏）

答：第57盏灯是红色。故选：A。

考察注意点与重难点：本题考查了简单的周期现象，找出循环周期是几是解题的关键。

31．（2023•涟水县）化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（）

A．4B．2C．8D．5

试题思路分析：化成小数后是0.2857，循环节是428571，有6位数，2000÷6＝333

（个）……2，所以小数部分的第2000位数字是333个循环节后的334个循环节上的第2

个数字，循环节的第2个数字是2，据此解答。

详细规范解答：解：2000÷6＝333（个）……2

答：化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是2。故选：B。

考察注意点与重难点：本题主要利用循环小数的循环节，找出循环节及循环节的数字，用

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2000除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，

没有余数就是循环节的最后一个数字。

32．海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，下图表示前15秒灯光明暗的变化规律，

第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第36秒是的，第52秒是的。

试题思路分析：根据前15秒灯光明暗变化的情况，发现其规律：第1秒亮，第2秒暗，

第3秒暗……每6秒一循环；根据这一规律，计算第36和52秒是多少循环零多少秒，即

可得出照明灯的明暗状态。

详细规范解答：解：第1秒亮，第2秒暗，第3秒暗……，每6秒一循环。

36÷6＝6（个）

52÷6＝8（个）……4（秒）

所以第36秒为6个循环，与第6秒一样为暗；第52秒为6个循环零4秒，与第4秒一样

为亮。

答：第36秒是暗的，第52秒是亮的。故答案为：暗；亮。

考察注意点与重难点：本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现这组图形

的规律，并运用规律做题。

33．（2023•襄城区）如图，“杨辉聚六图”是由我国南宋杰出的数学家杨辉所研究出来的，它

是由1，2，3，……，35，36无重复排列而成的图形，“杨辉聚六环”其每一环6个数之

和均相等，则这个和为，其中一环中还差个数，它是。

试题思路分析：根据，“杨辉聚六环”其每一环6个数之和均相等，选取其中的一环，把6

个数加起来就是和；用和减去其它5个数的和就是其中一环中还差的那个数。

详细规范解答：解：2+6+30+34+22+17