自动控制理论 课件版 2-1学习资料

第二章控制系统的数学模型2025/4/141动态系统我们所研究的系统，通常以时间t为自变量，按照输入与输出关系上的某些特点，可以把系统分为静态系统和动态系统两大类。在任一时刻t，系统的输出取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。也称为无记忆系统。2025/4/142任一时刻，系统的输出不仅与该时刻的输入有关，而且与该时刻以前的输入都有关系，这类系统称为动态系统，有记忆系统。含有储能元件的系统均为动态系统，如电路中的电感，磁场能量；电容，电场能量。机械运动中物体的动能和势能，以及弹簧（弹性势能）等元件。动态系统的线性线性动态系统是动态系统中最重要的一类，原因在于线性动态系统存在解析解法，绝大多数实际工程技术问题都可以线性化或近似线性化。线性系统与非线性系统在数学模型上的根本区别在于，线性系统的输入与输出关系满足叠加原理。叠加原理的两个重要性质：可加性与齐次性。

可加性与齐次性的理解，是重点。二者的数学表达式和推导过程是考试重点。2025/4/143控制系统的数学模型为了从理论上对控制系统进行定性的分析和定量的计算，首先要建立系统的数学模型。建立控制系统数学模型的方法：解析法实验法数学模型时域模型频域模型状态空间模型方框图和信号流图2025/4/144控制系统数学模型特征1、微分方程的阶数等于整个系统中独立的蓄能元件的个数；2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同；3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据(相似系统)。实验法建立数学模型的步骤黑匣子输入（已知）输出（已知）已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近2025/4/146解析法建立数学模型的步骤建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒定律等选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。2025/4/147电气网络数学模型的建立【例2-l】试列写如图示R、L、C串联电路的微分方程。ui(t)为输入量,uc(t)为输出量。解设回路电流为i(t)（中间变量）,如各元件均为线性元件，根据基尔霍夫定律，有2025/4/148电气网络数学模型的建立消去中间变量i(t)，可得令则数学模型变为2025/4/149机械系统数学模型的建立【例2-2】试求图示弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统的微分方程。设F为输入量，位移y为输出量。解2025/4/1410无源电网络模型

机械位移模型相似系统传递函数

传递函数是经典控制理论中最常用和最重要的数学模型。经典控制理论的主要研究方法------频率法和根轨迹法都是建立在传递函数基础上。利用传递函数可以不必求解系统的微分方程，就可以研究初始条件为零（零状态）的系统在输入信号作用下的动态过程。利用传递函数研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，可使系统分析大大简化。还可将对系统性能指标的要求转化为对系统传递函数的要求，使系统设计与综合问题易于实现。2025/4/1412记，称f(t)为F(s)的拉氏逆变换（象原函数）记，称F(s)为f(t)的拉氏变换（象函数）附：拉氏变换定义

设函数f(t)当t>=0时有定义，且积分在s的某一域内收敛，则此积分可以写成称上式为f(t)的Laplace变换式。拉氏变换的线性性质

α、β为常数，拉氏变换的微分性质

零初始条件下，拉氏变换的平移定理

拉氏变换的初值定理

拉氏变换的终值定理

基本函数及其拉氏变换

传递函数

定义及表示形式设SISO线性定常系统，可用n阶线性微分方程描述：令X(s)=L[x(t)]，Y(s)=L[y(t)]。零初始条件下，对上式左右两边求拉氏变换，得s的代数方程：定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。传递函数的特征及性质1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的固有特性，与输入信号类型及大小无关。2、传递函数只适用于线性连续定常系统。3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不相同。4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统的传递函数。5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数；6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。线性定常系统的线性微分方程描述：零初始条件下，两边取Laplace变换方法一：依据系统微分方程确定输入/输出间的传递函数传递函数的求取方法及应用举例方法二：依据微分方程组代入消元求传递函数解题过程：负载效应方法三:电网络系统可利用复阻抗的直接求取传递函数(例1)解题过程：方法三:利用复阻抗的直接求取传递函数(例2)解题过程