自动控制理论 课件版 8学习资料

根轨迹法引言反馈控制系统的稳定性是由闭环传递函数的极点决定的，系统暂态响应的基本特性也与闭环传递函数的极点在s平面上的具体分布密切相关。因此，确定闭环传递函数的极点非常必要；但是高阶系统特征方程式的求解较为困难，因而限制了时域分析法在二阶以上系统中的广泛应用。引言1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程式间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法－根轨迹法根轨迹法简单、实用，既适用于线性定常连续系统，也适用于线性定常离散系统，因而在控制工程中得到了广泛的应用，并成为经典控制理论的基本分析方法之一系统闭环传递函数为系统闭环特征根为

可将增益K1从0向

变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，就得到了该系统的根轨迹，如图所示系统开环传递函数为根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念利用根轨迹，可对系统进行下述分析：（1）判断该系统在K1从0到

变化时的稳定性；（2）判断该系统在K1取值在何范围时处于过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；（3）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之；

图示根轨迹是直接求解特征方程式的根得出的，因而这种方法不能适用于三阶以上的复杂系统，为此W.R.Evans研究了绘制根轨迹的方法。根轨迹的幅值条件和相角条件特征方程为

1＋G(s)H(S)=0或G(S)H(S)=－1

幅值条件相角条件

(幅角条件)由于增益K1可在0至无穷大范围内任意变化，所以幅值条件自动满足因此，相角条件为确定根轨迹的充要条件幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益K1值。例1单位反馈系统的开环传递函数为:试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。解（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6,z1=-4，（2）将s1坐标带入相角条件,满足相角条件,S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K1值。K1=12.15本例为采用试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。W.R.Evans总结了一套规则，可以方便地绘制根轨迹。绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点和无限远处起始点：K1=0时，即为n个开环极点终止点（一般n-m>0）：（1）有限值终止点：当K1

时，有m条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点：n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。绘制根轨迹的基本规则规则2：根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数，即闭环极点数。开环传递函数闭环传递函数特征方程为：因为n>m,所以闭环特征方程的阶数为n，闭环极点数为n，等于开环极点数（根轨迹起点数）绘制根轨迹的基本规则规则3：根轨迹是连续的，且根轨迹图对称于s平面的实轴因为增益K1连续变化，特征根也是连续变化的。且由于任何有理多项式的根，不是实数就是共轭复数，所以系统的根轨迹对称于s平面的实轴。开环增益K1变化时，开环传递函数的零点和极点都不变，但是写为闭环传递函数的特征方程的时候，K1的值会改变闭环特征根的分布。绘制根轨迹的基本规则规则4：在s平面上，如果某一段实轴右方的实数开环零点、开环极点个数之和为奇数，则这段实轴是根轨迹的一部分。（1）p1和z1线段，右侧只有一个实数极点p1，因此p1-z1是根轨迹的一部分。（2）z1-p2右侧分别有一个实数极点和一个实数零点，共2个，不是根轨迹的一部分。（3）p2左侧射线的右侧共三个实数零点和极点，是根轨迹一部分。绘制根轨迹的基本规则规则5：开环零点数m小于极点数n时，有n－m条根轨迹趋向于无限远处，其渐近线的倾角渐近线的交点称为形心，在实轴上坐标为证明：设开环传递函数为式中用分母除分子，可得根据牛顿二项式定理为考察s趋向于无穷大时的特征，忽略低于n-m-1次各项，并令上式与开环传递函数分母相等，可得将上式代入根轨迹方程，可得即这个方程代表一些直线，称为根轨迹的渐近线。绘制根轨迹的基本规则规则6-1：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的出射角。在根轨迹上靠近起点P1处取一点S1,显然满足相角条件，有当S1无限趋近于P1点时规则6-2：根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的入射角。出射角入射角根据根轨迹的相角条件，可以推出绘制根轨迹的基本规则规则7：在s平面上，同属于两个或两个以上根轨迹分支的点称为根轨迹的交点，根据根轨迹的走向分为会合点或分离点，根轨迹的交点是下列方程式的根如果多条根轨迹在实轴上存在交点，表示特征方程式有实数重根，重根的重数则由交点同属于几条分支所确定；如果多条根轨迹在s平面上存在复数交点，表示特征方程式有复数重根。证明设s1是多条根轨迹的交点，则在s＝s1处特征方程可以表示为因子的形式式中当s＝s1时证毕上式是根轨迹交点的必要条件，但不是充分条件（也即如果是交点时上式为0，上式为0无法确定根全都是交点）解（1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）系统开环传递函数的极点当K1由0变化到

时，试绘制其根轨迹图。例设系统开环开环传递函数为p1=0，p2=－1，p3=－2。（3）渐近线：K1

时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为渐近线与实轴的交点坐标为（4）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上[0，-1]和[-

，-2]线段上存在根轨迹，其中一条从p3=-2出发,随着K1的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。另两条分支分别从p1=0和p2=-1出发,沿着负实轴向b点移动。当K1值达到某一数值时,这两条分支相交于实轴上的b点,这时系统处于临界阻尼状态。当K1继续增大时,这两条分支离开负实轴分别趋近-60o和-60o的渐近线,向无穷远处延伸。在Kb＜K1＜Kc时,系统处于欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当K1＞Kc时,，系统成为不稳定状态。绘出根轨迹图如下解分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为：求得两个解分别为s1=-0.423,s2=-1.577式中r为分离点处根轨迹的分支数。例求上例中分离点b的坐标。因分离点必定位于0

－1之间的线段上,故可确定S1=-0.423为分离点。绘制根轨迹的基本规则规则8：根轨迹与虚轴有交点，说明存在共轭纯虚根。可对系统特征方程式运用Routh判据确定根轨迹与虚轴的交点。先把特征方程式表示为s的多项式，然后作Routh阵列。该特征方程存在零实部根的必要条件是：阵列中某一行元素全为零。可以通过调整开环增益K使得某一行元素全为零，对上一行作辅助方程，求取辅助方程的根即为根轨迹与虚轴的交点。例已知系统开环传递函数为：试求系统根轨迹与虚轴的交点解求出系统闭环特征方程为列出劳斯表K1=6时，第三行全为零辅助方程为解得总结序内容规则1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（n

m）3对称性对称于实轴4渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：5实轴上分布实轴上某一区间右侧开环传递函数的零点、极点数之和为奇数，该段实轴是根轨迹的一部分总结序内容规则6分离（会合）点实轴上的分离（会合）点——（必要条件）7出射角入射角出射角：

入射角：8虚轴交点（1）满足特征方程的值；（2）由劳斯阵列求得（及K1相应的值）；例:系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定时K1的值解：（1）渐近线：3条。渐近线的夹角：渐近线与实轴的交点：（2）分离点：（舍去）（3）与虚轴的交点系统的特征方程：(s+4)(s+6)+K1=0将代入上式求得实部方程: 虚部方程：解得 (舍去)A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置:K1=44.5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。例

已知系统的开环传递函数为试绘制K1变化时的根轨迹。解按照以下步骤绘制系统的根轨迹：（1）开环极点为p1=0，p2=-3，p1=-1

j,无开环零点；（2）根轨迹分支数n=4条；（3）在实轴上[-3，0]之间为根轨迹段；（4）渐近线,n-m=4条：

（5）由特征方程求分离点解得s1=-2.3，s2,3=0.725

j0.365。s1为分离点。分离角为

90o。利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s1=-2.3的K1值为4.33。（6）求出射角根据对称性可知：

p4=71.6

（7）求根轨迹与虚轴的交点。

令劳斯表中S1行的首项为零，求得K1=8.16。根据表令s=j

，K1=8.16代入上式，求得

=

1.1。根轨迹的两条分支与虚轴交于

=

1.1j处，中S2行的系数写出辅助方程对应的K1=8.16，系统根轨迹如图所示由特征方程并列出劳斯表：

例已知系统的开环传递函数

解：从开环传递函数公式中求出开环极点：

p1=0，p2=-4，p3,4=-2

j4

（4）出射角为由对称性知

p4=90o。

（5）求分离点。由特征方程令（1）根轨迹分支数n=4条。（2）实轴上［-4，0］区间为根轨迹段。（3）渐近线

n-m=4条。

试绘制根轨迹

解得分离点为：S1=-2,S2,3=-2

j2.449（6）求根轨迹与虚轴的交点。由特征方程列出劳斯表并计算：令表中S1行的首项为零，求得K1=260，根据表中S2行的系数得到辅助方程：求解得到根轨迹与虚轴的交点：根据幅值条件可得到根轨迹图上的几个特殊点对应的K1值非最小相位系统根轨迹的绘制所有开环极点和零点都位于S平面左半部的系统称为最小相位系统。在S平面右半部具有开环极点或零点的系统称为非最小相位系统。绘制非最小相位系统的根轨迹与最小相位系统一样，前述规则完全适用例系统开环传递函数如下,试绘制系统根轨迹图,并确定系统稳定时的K1值解（1）开环极点p1=0.5，p2=-2，开环零点Z1,2=-1

j2。（2）实轴上［-2，0.5］区间为根轨迹段。（3）系统有2条根轨迹分支。令解得方程的根为：S1=-0.41,S2=3.84。经验证，S1=-0.41为分离点（4）根轨迹无渐近线。（5）根轨迹的分离点。由系统特征方程（6）根轨迹的入射角为（7）根轨迹与虚轴的交点。由系统特征方程：列出并计算劳斯表令S0行及S1行的系数分别为零可得临界K1值。K1=0.2和K1=0.75为求根轨迹与虚轴的交点，取S2项中系数组成辅助方程，即当K1＝0.20时，S1＝0；K2＝0.75时，S2,3=

1.25j,

1.25j为根轨迹与虚轴的交点。由图可知，当0.2＜K1＜0.75时，系统根轨迹在s平面左半部，所以该非最小相位系统的参数稳定范围为0.2＜K1＜0.75，当K1在其他范围内取值，系统均不稳定，具有这种特性的系统称为条件稳定系统。参量根轨迹前述以开环增益K1为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。实际上任何参数均可选择为系统的可变参量，如开环零、极点、时间常数和反馈系数等。这种以非K1为参变量的根轨迹称为参量根轨迹，又称广义根轨迹。前述根轨迹的绘制方法和规则依然适用于绘制参量根轨迹，但需要预先将可变参量演化到相当于常规根轨迹增益K1的位置上。例设反馈系统的开环传递函数为试绘制系统以a为参变量的根轨迹解

对给定系统特征方程进行以下变换：右式的特点：左边写成两部分之和，参变量a只包含在第二部分中，且是第二部分的一个单独因子。现用第一部分除以方程两边，则得这是原系统特征方程的等效特征方程，由此可得到一个等效的开环传递函数，用G*(S)H*(S)表示：根据前述根轨迹绘制规则，由上式