2023-2024学年江苏省南京市联合体八年级（上）期中数学试题和答案

试题PAGE1试题2023-2024学年江苏省南京市联合体八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下面是各届亚运会的会标，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，103．（2分）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS4．（2分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝30°，∠E＝100°，∠CAE＝40，则∠CAD的度数为（）A．40° B．20° C．15° D．10°5．（2分）在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60° C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝40°，∠B＝80°6．（2分）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，E，F分别在边AC，BC上，且AE＝CF．下列结论：①DE＝DF；②DE⊥DF；③S四边形ECFD=12S△A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）角的对称轴是．10．（2分）等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为度．11．（2分）如图，已知AB＝AC，用“SAS”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件．12．（2分）已知等腰三角形的周长是10，一边长是4，则等腰三角形的腰长是．13．（2分）等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则它底边上的高为．14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AC＝CD，若AB＝3，BC＝1，则△ACD的面积是．15．（2分）如图，在△AOC中，以O为圆心，OA为半径画弧，分别交AC，OC于点D，B．若CD＝OA，∠O＝72°，则∠OAC＝°．16．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为．17．（2分）如图，△ABC的边BC，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠A＝110°，则∠BOC＝°．18．（2分）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2．若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定，则BC长的取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与线段AB关于直线l成轴对称的线段A′B′；（2）在直线l上确定一点P，使PA+PB最短．20．（7分）如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是中线，BF是角平分线，∠C＝70°．求∠BAE和∠1的度数．22．（8分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．已知：如图，在△ABC中，；求证：；证明：23．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，且DC＝BE，G是CE的中点．（1）求证DG⊥CE；（2）若AB＝AC，DG＝2，则AB的长为．24．（8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，DE交BC于点E，AB＝EC，AC＝DE．（1）求证AC⊥DE；（2）连接AD，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，验证勾股定理．25．（8分）如图，已知线段a和∠MAN．在边AM上作点B，在边AN上作点C，分别满足下列条件：（1）在图①中，AB＝a，AC＝BC；（2）在图②中，BC＝a，AB＝AC．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．26．（10分）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点．【概念运用】（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有个．（2）如图③，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：C是A，B两点的强勾股点．【拓展提升】（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，D是AC的中点，P是射线BD上一个动点，当P是Rt△ABC任意两个顶点的强勾股点时，直接写出BP的长．

2023-2024学年江苏省南京市联合体八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下面是各届亚运会的会标，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．2．（2分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数，不符合题意；B、∵22+32≠42，∴不是勾股数，不符合题意；C、∵42+52≠62，∴不是勾股数，不符合题意D、∵62+82＝102，∴是勾股数，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．3．（2分）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理ASA得出即可．【解答】解：如图，只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．4．（2分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝30°，∠E＝100°，∠CAE＝40，则∠CAD的度数为（）A．40° B．20° C．15° D．10°【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠B＝∠D，∠C＝∠E，进而结合三角形内角和定理得出∠BAC的度数，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，∵∠B＝30°，∠E＝100°，∴∠C＝100°，∴∠BAC＝∠DAE＝50°，∴∠CAD＝∠DAE﹣∠CAE＝10°，故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键．5．（2分）在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60° C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝40°，∠B＝80°【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角和定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．【解答】解；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠50°，当顶角为∠B＝50°时，∠C＝65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B＝60°时，∠A＝60°≠40°，当∠A＝40°时，∠B＝70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°＝∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A＝40°时，∠B＝70°≠80°，当顶角为∠B＝80°时，∠A＝50°≠40°所以D选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．6．（2分）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=1∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，E，F分别在边AC，BC上，且AE＝CF．下列结论：①DE＝DF；②DE⊥DF；③S四边形ECFD=12S△A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】连接CD，由等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，由D是AB的中点，得CD＝AD＝BD=12AB，CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD=12∠BAC＝45°，则∠A＝∠FCD，∠ADC＝90°，可证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，可判断①正确；所以∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，则DE⊥DF，可判断②正确；由S△ADE＝S△CDF，可推导出S四边形ECFD＝S△ADC=12【解答】解：连接CD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴CD＝AD＝BD=12AB，CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD=1∴∠A＝∠FCD，∠ADC＝90°，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠A=∠FCD∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，故①正确；∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴DE⊥DF，故②正确；∵S△ADE＝S△CDF，∴S四边形ECFD＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC=12S△故③正确，故选：D．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADE≌△CDF是解题的关键．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【分析】（1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，①将EF与AC拼接在一起即可；②将DF于BC拼接在一起即可；（2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，将EF于AC拼接在一起即可；（3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，将EF与BC拼接在一起即可；（4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，将EF与AC拼接在一起即可；（5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，将EF与AB拼接在一起即可；（6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，将EF与AB拼接在一起即可；综上所述即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，则∠ABC＝70°，（1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，此时有两种拼图方法：①将EF与AC拼接在一起，如图1所示：∵AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，∴点B，C（F），D在一条直线上，∴△ABD为等腰三角形，且∠B＝∠D＝70°，∠BAD＝40°；②将DF于BC拼接在一起，如图2所示：∵AB＝BD，∠C＝∠F＝90°，∴点A，C（F），D在一条直线上，∴△ABD为等腰三角形；（2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，将EF于AC拼接在一起，如图3所示：∵∠C＝∠F＝90°，∴点B，C（F），D在一条直线上，此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+35°＝55°，∴∠BAD＝∠D＝55°，∴△ABD为等腰三角形；（3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，将EF与BC拼接在一起，如图4所示：∵∠C＝∠F＝90°，∴点A，C（F），D在一条直线上，此时∠ABD＝∠ABC+∠FED＝70°+10°＝80°，∴∠ABD＝∠D，∴△ABD为等腰三角形；（4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，将EF与AC拼接在一起，如图5所示：∵∠C＝∠F＝90°，∴点B，C（F），D在一条直线上，此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+50°＝70°，∴∠BAD＝∠ABC，∴△ABD为等腰三角形；（5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，将EF与AB拼接在一起，如图6所示：∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°，∴∠EFD+∠ABC＝180°，∴点C，B（F），D在一条直线上，此时∠CAD＝∠BAC+∠FED＝20°+25°＝45°，∴∠CAD＝∠D，∴△ABD为等腰三角形；（6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，将将EF与AB拼接在一起，如图7所示：∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°，∴∠FED+∠ABC＝180°，∴点A，B（E），D在一条直线上，此时∠D＝∠A＝20°，∴△ABD为等腰三角形；综上所述：拼成的等腰三角形有7种．故选：D．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，在拼接的过程中根据平角定义进行构图是解决问题的关键，此题种类繁多，漏解是易错点．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）角的对称轴是角平分线所在的直线．【分析】由轴对称的定义，即可得到答案．【解答】解：角的对称轴是角平分线所在的直线．故答案为：角平分线所在的直线．【点评】本题考查轴对称的性质，关键是掌握轴对称的定义．10．（2分）等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为50度．【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的底角度数为12故答案为：50．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．11．（2分）如图，已知AB＝AC，用“SAS”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件AD＝AE．【分析】根据SAS定理解答．【解答】解：需添加条件是AD＝AE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：AD＝AE．【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等是解题的关键．12．（2分）已知等腰三角形的周长是10，一边长是4，则等腰三角形的腰长是3或4．【分析】根据已知的等腰三角形的周长和一边的长，先分清三角形的底和腰，再计算腰长．【解答】解：当4为腰，底边的长为10﹣4﹣4＝2时，2+4＞4，能构成等腰三角形，所以腰长可以是4；当4为底，腰的长为（10﹣4）÷2＝3时，3+3＞4，能构成等腰三角形，所以腰长可以是3．综上所述：等腰三角形的腰长是3或4，故答案为：3或4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13．（2分）等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则它底边上的高为4．【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则BD＝DC＝3，可以根据勾股定理计算底边的高AD=A【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则AD为BC边上的中线，即D为BC中点，∴BD＝DC＝3，在直角△ABD中AD=A故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算AD是解题的关键．14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AC＝CD，若AB＝3，BC＝1，则△ACD的面积是5．【分析】根据勾股定理可求AC，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：在△ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝1，∴AC=A∵AC＝CD，∴CD=10∵AC⊥CD，∴S△ACD=12CD•AC故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据勾股定理求出AC的长是本题解题的关键．15．（2分）如图，在△AOC中，以O为圆心，OA为半径画弧，分别交AC，OC于点D，B．若CD＝OA，∠O＝72°，则∠OAC＝72°．【分析】连接OD，设∠C＝x，根据题意可得：OA＝OD，从而可得∠OAD＝∠ODA，然后利用等量代换可得CD＝OD，从而可得∠C＝∠DOC＝x，再利用三角形的外角性质可得∠OAD＝∠ODA＝2x，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：连接OD，设∠C＝x，由题意得：OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵CD＝OA，∴CD＝OD，∴∠C＝∠DOC＝x，∵∠ADO是△DOC的一个外角，∴∠ODA＝∠C+∠DOC＝2x，∴∠OAD＝∠ODA＝2x，∵∠AOC+∠OAC+∠C＝180°，∴72°+2x+x＝180°，解得：x＝36°，∴∠OAC＝2x＝72°，故答案为：72．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．16．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为5．【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴12×AB×DE+12∴DF＝DE＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．（2分）如图，△ABC的边BC，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠A＝110°，则∠BOC＝140°．【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OA＝OB，得到∠OCA＝∠OAC，∠OAB＝∠OBA，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：如图，连接OA，∵BC，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，∴OA＝OC，OA＝OB，∴∠OCA＝∠OAC，∠OAB＝∠OBA，∴∠OCA+∠OBA＝∠OAC+∠OAB＝110°，∴∠BOC＝360°﹣110°﹣110°＝140°，故答案为：140．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．（2分）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2．若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定，则BC长的取值范围是BC＝1或BC≥2．【分析】由全等三角形的判定，即可解决问题．【解答】解：当BC⊥AC时，由“HL”判定△ABC的形状、大小都唯一确定，∵∠A＝30°，∴BC=12AB以B为圆心，大于或等于AB的长为半径画弧，与射线BC只有一个交点（A除外），此时△ABC的形状、大小都唯一确定，∴BC≥2，∴BC长的取值范围是BC＝1或BC≥2．故答案为：BC＝1或BC≥2．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形得到判定方法．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与线段AB关于直线l成轴对称的线段A′B′；（2）在直线l上确定一点P，使PA+PB最短．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接A'B，交直线l于点P，连接AP，此时PA+PB最短．【解答】解：（1）如图，线段A′B′即为所求．（2）如图，连接A'B，交直线l于点P，连接AP，此时PA+PB最短，则点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．20．（7分）如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．【分析】先证出∠CAB＝∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AC=AE∠CAB=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是中线，BF是角平分线，∠C＝70°．求∠BAE和∠1的度数．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，进而解答即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵AB＝AC，AE是中线，∴AE⊥BC，即∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣70°＝20°，∵∠ABC＝70°，BF是∠ABC的平分线，∴∠CBF＝35°，∵∠1是△BPE的外角，∴∠1＝90°+35°＝125°．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．22．（8分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C；求证：△ABC为等腰三角形；证明：【分析】根据题意易得已知，求证，过点A作AD⊥BC，垂足为D．通过证明△ABD≌△ACD可得AB＝AC，进而证明结论．【解答】∠B＝∠C，AB＝AC；证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD与△ACD中，∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，构造全等三角形是解题的关键．23．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，且DC＝BE，G是CE的中点．（1）求证DG⊥CE；（2）若AB＝AC，DG＝2，则AB的长为8．【分析】（1）连接DE，根据三角形中线的性质和直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：连接DE，∵CE是△ABC的中线，∴DE是△ABD的中线．∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∵DE是△ABD的中线．∴DE=12AB＝∵DC＝BE，∴DC＝DE，∵G是CE的中点，∴DG⊥CE；（2）解：方法一、∵DC＝BD，DC＝BE，∴BD＝BE，∵∠ADB＝90°，点E是中点，∴DE＝BE，∴BE＝DE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵CE是中线，∴CE⊥AB，∴∠BCE＝30°，∵DE＝BD＝BD，点G是EC的中点，∴DG⊥EC，∴DC＝2DG＝4，∴BC＝2DC＝8＝AB；方法二、∵AB＝AC，AD是高，∴AD是中线，∵G是CE的中点，∴DG是△BEC的中位线，∴BE＝2DG＝4，∵CE是中线，∴AB＝2BE＝8，故答案为：8．【点评】此题考查直角三角形的性质和等腰三角形的性质，关键是根据直角三角形的斜边中线性质解答．24．（8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，DE交BC于点E，AB＝EC，AC＝DE．（1）求证AC⊥DE；（2）连接AD，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，验证勾股定理．【分析】（1）根据HL证明△ABC≌△ECD得出∠DEC＝∠CAB，即可推出结论；（2）连接AE、AD，由△ABC≌△ECD，得出EC＝AB＝a，DC＝BC＝b，DE＝AC＝c，BE＝b﹣a．再根据四边形ABCD的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC＝∠ECD＝90°，在Rt△ABC和Rt△ECD中，AC=DE，AB=EC．∴△ABC≌△ECD（HL）．∴∠DEC＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠BCA＝90°．∴∠DEC+∠BCA＝90°．∴∠EFB＝90°，即AC⊥DE．（2）解：如图，连接AE、AD，∵△ABC≌△ECD，∴EC＝AB＝a，DC＝BC＝b，DE＝AC＝c，BE＝b﹣a．∴S四边形ABCD=12（a+b）b=12ab∵AC⊥DE，∴S四边形ACBD＝S四边形AECD+S△ABE=12c2+12a（b﹣a）=12c2∴12ab+12b2=12c2+即a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出四边形ABCD面积的两种方法是解题的关键．25．（8分）如图，已知线段a和∠MAN．在边AM上作点B，在边AN上作点C，分别满足下列条件：（1）在图①中，AB＝a，AC＝BC；（2）在图②中，BC＝a，AB＝AC．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质作图；（2）根据平行四边形的判定定