2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）数学期中试题和答案

试题PAGE1试题2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷一、选择题。(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1．（2分）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝0 B．1x2−1=0 C．x2﹣x＝0 D．2x2．（2分）一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（）A．3 B．4 C．9 D．123．（2分）如图，点C在⊙O上，OC平分弦AB，连接OA，BC，若∠A＝40°，则∠C的度数是（）A．50° B．60° C．65° D．70°4．（2分）“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4：2：2：1：1计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（）A．80 B．82 C．84 D．865．（2分）以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（）A．① B．②③ C．③④ D．②③④6．（2分）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（）A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C．(1D．12（28﹣2x）（16﹣2x二、填空题。（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．（2分）方程x2＝4的根是．8．（2分）一组数据7，10，7，2，7的极差是．9．（2分）若将一元二次方程x2+16x＝16化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝．10．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝92°，则点A在以线段BC为直径的圆．（填“上”“内”或“外”）11．（2分）如图，在⊙O中，弦AB的长度是弦CD长度的两倍，连接OA，OB，OC，OD，则∠AOB2∠COD．（填“＞”“＜”或“＝”）12．（2分）小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：环数5678910次数234551那么他成绩的中位数是环．13．（2分）某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为x，根据题意可列方程为．14．（2分）如图，四边形ABCD的各边都与⊙O相切，若AB＝2CD＝8cm，则四边形ABCD的周长为cm．15．（2分）如图，⊙O的半径为2，AB是弦，点C在优弧AB上．将⊙O沿AB折叠后，连接CB，CB交AB于点D．若∠ADB＝108°，则ADB的长是（结果保留π）．16．（2分）在△ABC中，∠A＝135°，AB＝3，AC=2则其外接圆的半径是三、解答题。（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0．18．（6分）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）．（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．20．（7分）如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG．（1）求证DG∥AB；（2）DG的长为．21．（8分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0．（1）当该方程有实数根时，求m的范围；（2）若该方程的两个根x1，x2满足x1+x2＝x1•x2，求m的值．22．（9分）某工厂对新建的两条生产线A，B进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品（每个批次各100个）．其中每个批次产品的合格数量如图．（1）哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A，B的合格产品数量如下表：批次678910生产线A的合格产品数量/个8586868687生产线B的合格产品数量/个9294949892本次调试的效果如何？说明理由．23．（6分）如图，已知直线l和点A，B．在直线l上确定点C，使以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C．）24．（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场销售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价．25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是它的外接圆，点D在AC上且CD=CB，连接AD，BD，CD，BD与AC交于点（1）判断△AED的形状，并证明；（2）当AD＝BE时，求∠BAC的度数．26．（10分）如图①，C，D分别是半圆O的直径AB上的点，点E，F在AB上，且四边形CDEF是正方形．（1）若AB=45，则正方形CDEF的面积为（2）如图②，点G，H，M分别在AB，AB，DE上，连接HG，HM，四边形DGHM是正方形，且其面积为16．①求AB的值；②如图③，点N，P，Q分别在HM，AB，EM上，连接PN，PQ，四边形MNPQ是正方形．直接写出正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比．27．（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．（1）如图，已知△ABC．求作：△ABC的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，直接写出它的准切圆的半径长．

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1．（2分）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝0 B．1x2−1=0 C．x2﹣x＝0 D．2x【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程2x﹣1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程1xC．方程x2﹣x＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；D．方程2x﹣y＝0是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2分）一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（）A．3 B．4 C．9 D．12【分析】设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面积公式S＝πrl得到方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得：π×4×l＝36π，解得l＝9，即该圆锥的母线长是9．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．3．（2分）如图，点C在⊙O上，OC平分弦AB，连接OA，BC，若∠A＝40°，则∠C的度数是（）A．50° B．60° C．65° D．70°【分析】根据等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝40°，根据OC平分弦AB得AC=BC，可得∠AOC＝∠【解答】解：∵OA＝OB，，∴∠OBA＝∠A＝40°，∵OC平分弦AB，∴AC=∴∠AOC＝∠BOC=12∠AOB∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC=1故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质，属于中考常考题型．4．（2分）“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4：2：2：1：1计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（）A．80 B．82 C．84 D．86【分析】由加权平均数进行计算即可．【解答】解：4+2+2+1+1＝10，80×410+100×210+＝32+20+12+10+8＝82．故选：B．【点评】本题考查加权平均数，关键是由加权平均数进行计算．5．（2分）以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（）A．① B．②③ C．③④ D．②③④【分析】根据有四边形外接圆的性质可得：四边形必须对角互补，即可得出答案．【解答】解：根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补，∴正方形、矩形有外接圆，而平行四边形对角不一定互补，所以不一定有外接圆，故选：C．【点评】此题主要考查了四边形有外接圆的条件，根据题意得四边形必须对角互补才有外接圆是解决问题的关键．6．（2分）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（）A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C．(1D．12（28﹣2x）（16﹣2x【分析】根据各边之间的关系，可得出折成的有盖长方体盒子的底面是长为12（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为80cm2，即可列出关于x【解答】解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且折成的有盖长方体盒子的高为xcm，∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为12（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm根据题意得：12（28﹣2x）（16﹣2x故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题。（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．（2分）方程x2＝4的根是±2．【分析】直接开方即可求解．【解答】解：x＝±4∴x＝±2【点评】解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．8．（2分）一组数据7，10，7，2，7的极差是8．【分析】根据极差的定义计算即可．【解答】解：极差＝10﹣2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查极差，一组数据中最大值与最小值的差就是极差．9．（2分）若将一元二次方程x2+16x＝16化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝88．【分析】先配方得出（x+8）2＝80，求出m、n的值，再求出m+n的值即可．【解答】解：x2+16x＝16，配方得：x2+16x+64＝16+64，（x+8）2＝80，即m＝8，n＝80，所以m+n＝8+80＝88．故答案为：88．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记解一元二次方程的方法是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．10．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝92°，则点A在以线段BC为直径的圆内．（填“上”“内”或“外”）【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵直径所对的圆周角是直角，∠A＝92°＞90°，∴点A在圆内．故答案为：内．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．11．（2分）如图，在⊙O中，弦AB的长度是弦CD长度的两倍，连接OA，OB，OC，OD，则∠AOB＞2∠COD．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】过点O作OM⊥AB于M．交⊙O于N，连接AN，BN，根据垂径定理得AN＝BN，由直角三角形的性质可得AN＞AM，BN＞BM，则AN＝BN＞CD，可得∠AOM＝∠BOM＞∠COD，即可得出答案．【解答】解：过点O作OM⊥AB于M．交⊙O于N，连接AN，BN，∴AN＝BN，AM＝BM，AN＞AM，BN＞BM，∵AB＝2CD，∴AM＝BM＝CD，∴AN＝BN＞CD，∴∠AOM＝∠BOM＞∠COD，∴∠AOB＝∠AOM+∠BOM＞2∠COD．故答案为：＞．【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．12．（2分）小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：环数5678910次数234551那么他成绩的中位数是8环．【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两数的平均数即可．【解答】解：∵共20次射击，∴中位数是从小到大排列后第10和第11的平均数，分别为8环、8环，∴中位数为8+82故答案为：8．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13．（2分）某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为x，根据题意可列方程为20（1+x）2＝24．【分析】利用该超市今年十月份的营业额＝该超市今年八月份的营业额×（1+平均每月营业额的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：20（1+x）2＝24．故答案为：20（1+x）2＝24．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2分）如图，四边形ABCD的各边都与⊙O相切，若AB＝2CD＝8cm，则四边形ABCD的周长为24cm．【分析】由切线长定理推出AM＝AN，BN＝BP，CQ＝CP，DM＝DQ，即可得到AB+CD＝AD+BC，由AB＝2CD＝8cm，求出CD＝4cm，得到AB+CD＝12cm，因此四边形ABCD的周长＝AB+CD+AD+BC＝24（cm）．【解答】解：∵四边形ABCD的各边都与⊙O相切，切点分别是M、N、P、Q，∴AM＝AN，BN＝BP，CQ＝CP，DM＝DQ，∴AN+BN+CQ+DQ＝AM+DM+CP+BP，∴AB+CD＝AD+BC，∵AB＝2CD＝8cm，∴CD＝4cm，∴AB+CD＝12（cm），∴AD+BC＝12（cm），∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+AD+BC＝12+12＝24（cm）．故答案为：24．【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，关键是由切线长定理推出AB+CD＝AD+BC．15．（2分）如图，⊙O的半径为2，AB是弦，点C在优弧AB上．将⊙O沿AB折叠后，连接CB，CB交AB于点D．若∠ADB＝108°，则ADB的长是8π5（结果保留π【分析】根据题意求得ADB所对的圆心角，然后利用弧长公式求得即可．【解答】解：连接OA、OB，∵∠ADB＝108°，∴∠AOB＝360°﹣2×108°＝144°，∴ADB的长是144π×2180故答案为：8π5【点评】本题考查了翻折变换的性质，圆周角定理，弧长的计算，求得ADB所对的圆心角的度数是解题的关键．16．（2分）在△ABC中，∠A＝135°，AB＝3，AC=2则其外接圆的半径是342【分析】作△ABC的外接圆O，作直径BD，过C作CH⊥BA交BA延长线于H，连接CD，求出∠CAH＝180°﹣∠BAC＝45°，得到△ACH是等腰直角三角形，因此AH＝CH=22AC＝1，得到BH＝AB+AH＝3+1＝4，由勾股定理求出BC=BH2+CH2=17，由圆内接四边形的性质求出∠D＝45°，由圆周角定理得到∠BCD＝90°，因此△BCD【解答】解：作△ABC的外接圆O，作直径BD，过C作CH⊥BA交BA延长线于H，连接CD，∵∠BAC＝135°，∴∠CAH＝180°﹣∠BAC＝45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∴AH＝CH=22AC∴BH＝AB+AH＝3+1＝4，∴BC=B∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠BAC+∠D＝180°，∴∠D＝45°，∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=2BC=∴△ABC外接圆的半径是342故答案为：342【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，关键是构造△ABC的外接圆，由勾股定理求出BC的长，由等腰直角三角形的性质求出BD的长．三、解答题。（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0．【分析】根据配方法可以解答此方程．【解答】解：x2﹣4x+1＝0x2﹣4x+4＝3（x﹣2）2＝3x﹣2=±∴x1＝2+3，x2＝2−【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．18．（6分）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】移项后提取公因式x﹣2后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【解答】解：3x（x﹣2）＝x﹣2，移项得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0整理得：（x﹣2）（3x﹣1）＝0x﹣2＝0或3x﹣1＝0解得：x1＝2或x2=【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以x﹣2，这样会漏根．19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）．（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．【分析】（1）由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，即可证明问题；（2）由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）根的判别式b2﹣4ac＞0，即可举出一个反例．【解答】（1）证明：∵ac＜0，∴﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：不一定，反例：方程x2﹣3x+2＝0的二次项系数和常数项都是正数，但方程有两个不相等的实数根．【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程，命题与定理，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系．20．（7分）如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG．（1）求证DG∥AB；（2）DG的长为22+2【分析】（1）根据正八边形的性质、圆内接正八边形的性质以及圆周角定理得出∠ABG＝∠BGD，由平行线的判断得出结论；（2）通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系求出MD，DG即可．【解答】（1）证明：∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，∴AB=∴BD=∴∠ABG＝∠BGD，∴AB∥DG；（2）解：如图，连接ODOEOF，过点E、F分别作DG的垂线，垂足为M、N，则MN＝EF＝AB＝2，∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，∴∠DOE＝∠EOF=360°∴∠NGF=12∠DOF＝45°＝∠在Rt△MDE中，∠MDE＝45°，DE＝2，∴MD=22DE同理NG=2∴DG=2+2+2故答案为：22+【点评】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正八边形的性质、直角三角形的边角关系以及圆周角定理是正确解答的前提．21．（8分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0．（1）当该方程有实数根时，求m的范围；（2）若该方程的两个根x1，x2满足x1+x2＝x1•x2，求m的值．【分析】（1）根据Δ≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得出x1+x2和x1x2的值，再代入x1x2+x1+x2＝4得到关于m的方程计算可得．【解答】解：（1）由题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，∴m≤1故实数m的取值范围为m≤1（2）依题意有x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，∵x1x2＝x1+x2，∴m2＝﹣（2m﹣1），解得m1＝﹣1+2（舍去），m2＝﹣1−故m的值是﹣1−2【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．22．（9分）某工厂对新建的两条生产线A，B进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品（每个批次各100个）．其中每个批次产品的合格数量如图．（1）哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A，B的合格产品数量如下表：批次678910生产线A的合格产品数量/个8586868687生产线B的合格产品数量/个9294949892本次调试的效果如何？说明理由．【分析】（1）根据条形统计图分别求出两条生产线A，B的合格产品平均数与方差，选择方差小的即为比较稳定的；（2）根据表格分别求出调试后生产线A，B的合格产品的平均数与方程，判断即可．【解答】解：（1）B条生产线的合格产品数量比较稳定，理由为：∵xA∴S2A=15×[（82﹣86）2+（91﹣86）2+（88﹣86）2+（83﹣86）2=1＝10.8，∵xB∴S2B=15×[（85﹣86）2+（88﹣86）2+（86﹣86）2+（89﹣86）2=1＝6，∵6＜10.8，∴B条生产线的合格产品数量比较稳定；（2）xAS2A=1xBS2B=1则经过调试B条生产线比A条生产线较稳定，但是A条生产线的合格数比B条生产线上升较多．【点评】此题考查了方差，以及平均数，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键．23．（6分）如图，已知直线l和点A，B．在直线l上确定点C，使以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C．）【分析】根据“直径所对的圆周角为直角”和“有一个是直角的三角形是直角三角形”作图．【解答】解：（1）分别过A、B作AB的垂线交l于C1，C4，以AB为直径作圆，交l于C3，C2；点C1、C2、C3、C4即为所求．【点评】本题考查了复杂作图，掌握圆的性质和直角三角形的性质解题的关键．24．（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场销售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价．【分析】根据题意得等量关系为：降价后的销量×每件的利润＝1200，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设月饼每盒降了x元，则：（120﹣80﹣x）（20+2x）＝1200．解得：x1＝20，x2＝10．所以120﹣20＝100（元）或120﹣10＝110（元）．答：降价后该月饼每盒的售价为100元或110元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是它的外接圆，点D在AC上且CD=CB，连接AD，BD，CD，BD与AC交于点（1）判断△AED的形状，并证明；（2）当AD＝BE时，求∠BAC的度数．【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等可得∠BAE＝∠CAD，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABD＝∠ACD，然后利用ASA证明△ABE≌△ACD，从而利用全等三角形的性质可得AE＝AD，即可解答；（2）利用（1）的结论可得AE＝BE，从而可得∠BAE＝∠ABE，再利用三角形的外角性质可得∠AED＝2∠BAE，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝2∠BAE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADE＝∠ACB＝2∠BAE，最后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝2∠BAE，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：（1）△AED是等腰三角形，理由：∵CD=∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD，∴△AED是等腰三角形；（2）∵AD＝AE，AD＝BE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AED是△ABE的一个外角，∴∠AED＝∠BAE+∠ABE＝2∠BAE，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝2∠BAE，∴∠ADE＝∠ACB＝2∠BAE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠BAE，∵∠BAE+∠ABC+∠ACB＝180°，∴5∠BAE＝180°，∴∠BAE＝36°，∴∠BAC的度数为36°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．26．（10分）如图①，C，D分别是半圆O的直径AB上的点，点E，F在AB上，且四边形CDEF是正方形．（1）若AB=45，则正方形CDEF的面积为16（2）如图②，点G，H，M分别在AB，AB，DE上，连接HG，HM，四边形DGHM是正方形，且其面积为16．①求AB的值；②如图③，点N，P，Q分别在HM，AB，EM上，连接PN，PQ，四边形MNPQ是正方形．直接写出正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比．【分析】（1）连接OE，OF，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质得到OC＝OD，设正方形ABCD的边长为a，则OC＝OD=12（2）①连接OE，OH，设OD＝x，则DE＝2x，OG＝OD+DG＝x+4，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，则结论可求；②延长PN，交AB于点K，连接OP，利用正方形的性质和矩形的判定与性质，得到MK＝MD，MN＝DK，设正方形MNPQ的边长为y，则MN＝NP＝DK＝y，OK＝OD+DK＝4+y，PK＝PN+NK＝y+4，利用等腰直角三角形的性质求得y值，再利用正方形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）连接OE，OF，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠FCO＝∠EDO＝90°，FC＝ED．在Rt△FCO和Rt△EDO中，FC=EDOF=OE∴Rt△FCO≌Rt△EDO（HL），∴OC＝OD．设正方形ABCD的边长为a，则OC＝OD=12∵AB=45∴OF=12AB＝2∵FC2+OC2＝OF2，∴a2∴a2＝16，∵a＞0，∴a＝4，∴正方形CDEF的面积为16．故答案为：16；（2）①连接OE，OH，如图，∵四边形DGHM是正方形，且其面积为16，∴MD⊥AB，HG⊥AB，DM＝DG＝HG＝4．由（1）知：OD=12CD=设OD＝x，则DE＝2x，OG＝OD+DG＝x+4，∴OH＝OE=OD∵OH2＝HG2+OG2，∴5x2＝42+（x+4）2，∴x＝4或x＝﹣2（不合题意，舍去），∴OE=5x＝45∴AB＝2OE＝85．②延长PN，交AB于点K，连接OP，如图，∵四边形MNPQ是正方形，四边形CDEF是正方形，四边形DGHM是正方形，∴PK⊥AB，∴四边形MDKN为矩形，∴MK＝MD，MN＝DK，由①知：OP＝45，OD＝4，DM＝DG＝4，设正方形MNPQ的边长为y，则MN＝NP＝DK＝y，∴OK＝OD+DK＝4+y，PK＝PN+NK＝y+4，∴△OPK为等腰直角三角形，∴OP=2OK∴2（y+4）＝45，∴y＝210−∴正方形MNPQ的边长为210−∴正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比=(2【点评】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的面积，连接圆的半径，构造直角三角形是解决此类问题常添加的辅助线．27．（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．（1）如图，已知△ABC．求作：△ABC的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，直接写出它的准切圆的半径长．【分析】（1）利用准切圆的定义作出△ABC的一个准切圆即可；（2）分别作出等边三角形的准切圆与它的外接圆，依据图形写出已知，求证，在证明一项里写出推理过程：利用等边三角形的性质，三角形的内接圆的性质，三角形的准切圆的定义和圆的切线的性质，分别求得两圆的半径即可得出结论；（3）利用分类讨论的思想方法，利用直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）解：①作出∠ABC的平分线BE，②过点A作AF⊥AB，交BE于点O，③以点O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O为所求作的△ABC的一个准切圆（答案不唯一）；（2）已知：等边△ABC，它的外接圆为⊙O，等边△ABC的一个准切圆为⊙O′，如图，求证：∴⊙O和⊙O′为等圆．证明：由（1）在作法可知：点A，O，O′在一条直线上，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴BO平分∠ABC，∴∠OBC=12∠∵⊙O′是等边△ABC的一个准切圆，∴O′C⊥BC，O′C为这个准切圆的半径，∴∠BCO′＝90°，∴O′在⊙O上，即BO′为⊙O的直径，∴BO=12∵O′C⊥BC，∠O′BC＝30°，∴O′C=12∴OB＝O′C．∴⊙O和⊙O′为半径相等的圆，∴等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）解：①△ABC的准切圆与AC，BC边相切时，O，O′为准切圆的圆心，如图，∵O为准切圆的圆心，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°．由题意：OA⊥AB，O′B⊥BC，∴OA＝AC＝3，O′B＝BC＝4，∴△ABC的准切圆与AC，BC边相切时，它的准切圆的半径长为3或4；②△ABC的准切圆与AC，AB边相切时，C为切点，O为准切圆的圆心，过点O作OD⊥AB于点D，如图，AB=A∵O为准切圆的圆心，∴AO平分∠CAB，∵OC⊥AC，OD⊥AB，∴OC＝OD．设OC＝OD＝x，则OB＝4﹣x，∵∠ODB＝∠C＝90°，∠OBD＝∠ABC，∴△OBD∽△ABC，∴ODAC∴x3∴x=3∴OC=3同理求得BD＝2，∴AD＝AB﹣BD＝3．∵OD⊥AB，O′B⊥AB，∴OD∥O′B，∴△AOD∽△AO′B，∴ODO′B∴32∴O′B=5∴△ABC的准切圆与AC，AB边相切时，它的准切圆的半径长为32