2023-2024学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试题和答案

试题PAGE1试题2023-2024学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）估计15的值在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间3．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，84．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC．若AC＝3，BC＝5，则△ABD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．125．（2分）到三角形三个顶点距离相等的点是（）A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点6．（2分）如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS7．（2分）如图，在△ABC中，点E在BD延长线上，已知AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∠ABD＝25°，∠CAE＝35°，则∠AED的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．70°8．（2分）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE与CD交于点F，连接AF．有以下四个结论：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③EF＝FC；④AF+BF＝FD．其中结论一定正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）64=，3−6410．（2分）直角三角形的两条边为6和8，则斜边上的中线长是．11．（2分）已知△ABC≌△DEF，若BC＝5，DE＝6，DF＝7，则△ABC的周长为．12．（2分）如图，BC平分∠ABD，请添加一个条件，使得△ABC≌△DBC，这个条件可以是．（写出一个即可）13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2．以AC为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠C＝90°，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，则线段CD的长为．15．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，若AC＝BC，AB＝AD＝AE，DE＝CE，则∠ADB的度数为°．16．（2分）如图，O为△ABC内角平分线交点，过点O的直线交AB、BC于M、N，已知BN＝MN＝5，BM＝6，则点O到AC的距离为．17．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，在△ABC边上有一点P，且△BCP是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为．18．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是．三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：16−20．（8分）求下列各式中的x：（1）x2﹣16＝0；（2）（x+1）3＝27．21．（6分）已知：如图，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．22．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）判断△ABC的形状．23．（8分）证明：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC任意上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，E、F为垂足．求证：；证明：24．（8分）如图，四边形CEDF，∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝∠FCE＝90°，CE＝DE＝DF＝CF，A是边DE上一点，过点C作BC⊥AC交DF延长线于点B．（1）求证：BD＝AE+CE；（2）设△ACE三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．25．（8分）过点P用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线l，交∠MAN两边于B、C，使得△ABC为等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）26．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型理解】（1）如图①，△ABC，△ADE共顶点A，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连BD、CE．由∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，得∠BAD＝∠CAE．又AB＝AC，AD＝AE，可以推理得到△ABD≌△ACE，进而得到BD＝，∠ABD＝；【问题研究】（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上．小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE，过点E作EB⊥PE，交b于点B，在a上截取DA＝BE，连接AB．△PAB即为所要求作的等腰直角三角形．请证明小明的作法是正确的；【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上．（3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）

2023-2024学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）估计15的值在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．【解答】解：∵32＝9，42＝16，而9＜15＜16，∴3＜15故选：B．【点评】本题考查噶无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．3．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴能组成直角三角形，故A符合题意；B、∵52+42＝41，62＝36，∴52+42≠62，∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；C、∵52+62＝61，72＝49，∴52+62≠72，∴不能组成直角三角形，故C不符合题意；D、∵72+62＝85，82＝64，∴72+62≠82，∴不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．4．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC．若AC＝3，BC＝5，则△ABD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，然后利用等量代换可得△ABD的周长＝AB+BC，从而进行计算即可解答．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∵AB＝AC＝3，BC＝5时，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝3+5＝8，故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．（2分）到三角形三个顶点距离相等的点是（）A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．（2分）如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【解答】解：用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是：由OB=OABC=ACCO=CO得出△OBC≌△OAC（故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作角平分线的依据．7．（2分）如图，在△ABC中，点E在BD延长线上，已知AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∠ABD＝25°，∠CAE＝35°，则∠AED的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．70°【分析】由∠DAE＝∠BAC，得∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，则∠CAE＝∠BAD＝35°，所以∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，因为AD＝AE，所以∠AED＝∠ADE＝60°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∠ABD＝25°，∠CAE＝35°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，∴∠CAE＝∠BAD＝35°，∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝25°+35°＝60°，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝60°，故选：C．【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的性质等知识，证明∠CAE＝∠BAD＝35°是解题的关键．8．（2分）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE与CD交于点F，连接AF．有以下四个结论：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③EF＝FC；④AF+BF＝FD．其中结论一定正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据等腰三角形的性质利用SAS证明△ADC≌△ABE可得出①正确；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，证明△ADP≌△ABQ，得出AP＝AQ，证出FA平分∠DFE，得②正确；在DF上截取DO＝BF，连接AO，证明△ADO≌△ABF（SAS），则∠DAO＝∠BAF，AO＝AF，可得∠OAF＝∠BAF+∠OAB＝60°，△AOF是等边三角形，即可得AF+BF＝DO+OF＝FD，得④正确；由AF+BF＝DO+OF＝FD，BE＝CD可得EF≠FC，得③不正确；进而可得出结论．【解答】解：①∵三角形ABD与等边三角形ACE是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABE（SAS），∴BE＝CD，①正确；②作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，如图所示：∵△ADC≌△ABE，∴S△ADC＝S△ABE，DC＝BE，∴AP＝AQ，∵AP⊥CD，AQ⊥BE，∴点A在∠PFE的平分线上，∴FA平分∠DFE，②正确；④如图，在DF上截取DO＝BF，连接AO，∵△ADC≌△ABE，∴∠ADO＝∠ABF，在△ADO和△ABF中，AD=AB∠ADO=∠ABF∴△ADO≌△ABF（SAS），∴∠DAO＝∠BAF，AO＝AF，∵∠DAB＝∠DAO+∠OAB＝60°，∴∠OAF＝∠BAF+∠OAB＝60°，∴△AOF是等边三角形，∴AF＝OF，∴AF+BF＝DO+OF＝FD，④正确；③∵AF+BF＝DO+OF＝FD，BE＝CD，∴BE﹣BF≠CD﹣DF，即EF≠FC，③不正确；综上所述：正确的结论是①②④，共3个，故选：C．【点评】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）64=8，3−64【分析】直接利用算术平方根和立方根定义求解即可．【解答】解：∵82＝64．∴64=∵（﹣4）3＝﹣64，∴3−64故答案为：8；﹣4．【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的概念的运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．10．（2分）直角三角形的两条边为6和8，则斜边上的中线长是4或5．【分析】分两种情况：当8为直角三角形的斜边时；当6和8为直角三角形的两条直角边时；然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当8为直角三角形的斜边时，∴斜边上的中线长=1当6和8为直角三角形的两条直角边时，∴斜边长=6∴斜边上的中线长=1综上所述：斜边上的中线长是4或5，故答案为：4或5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，分两种情况讨论是解题的关键．11．（2分）已知△ABC≌△DEF，若BC＝5，DE＝6，DF＝7，则△ABC的周长为18．【分析】先根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝6，AC＝DF＝7，然后计算△ABC的周长．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝6，AC＝DF＝7，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+7+5＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．12．（2分）如图，BC平分∠ABD，请添加一个条件，使得△ABC≌△DBC，这个条件可以是AB＝BD或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DCB．（写出一个即可）【分析】先根据角平分线的性质得到∠ABC＝∠DBC，加上BC为公共边，则可根据“SAS”或“AAS”或“ASA”添加条件．【解答】解：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC，∵BC＝BC，∴当添加AB＝DB时，△ABC≌△DBC（SAS）；当添加∠A＝∠D时，△ABC≌△DBC（AAS）；当添加∠ACB＝∠DCB时，△ABC≌△DBC（ASA）；故答案为：AB＝BD或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DCB．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2．以AC为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是5．【分析】由勾股定理得AC2＝AB2﹣BC2＝5，即可求出正方形的面积＝AC2＝5．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝2．∴AC2＝AB2﹣BC2＝5，∴正方形的面积＝AC2＝5．故答案为：5．【点评】本题考查勾股定理，正方形的面积，关键是由勾股定理求出AC2＝5．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠C＝90°，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，则线段CD的长为3．【分析】由勾股定理得AC=AB2−BC2=6，由折叠得ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°，则12BD•AC=12AB•ED＝S△ABD，所以【解答】解：∵AB＝10，BC＝8，∠C＝90°，∴AC=A由折叠得ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°，∴AC⊥BD，ED⊥AB，∴12BD•AC=12AB•ED＝S∴12×6（8﹣CD）=1解得CD＝3，故答案为：3．【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求出AC的长并且证明ED＝CD是解题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，若AC＝BC，AB＝AD＝AE，DE＝CE，则∠ADB的度数为72°．【分析】设∠C＝x，利用等腰三角形的性质可得∠EDC＝∠C＝x，从而利用等腰三角形的外角性质可得∠AED＝2x，然后利用等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠AED＝2x，从而利用三角形内角和定理可得∠DAE＝180°﹣4x，再利用三角形的外角性质可得∠ADB＝180°﹣3x，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝∠CAB＝180°﹣3x，最后根据三角形内角和定理可得∠C+∠B+∠CAB＝180°，从而可得x+180°﹣3x+180°﹣3x＝180°，进行计算即可解答．【解答】解：设∠C＝x，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C＝x，∵∠AED是△EDC的一个外角，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝2x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝2x，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣4x，∵∠ADB是△ACD的一个外角，∴∠ADB＝∠C+∠DAE＝180°﹣4x+x＝180°﹣3x，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝180°﹣3x，∵CB＝CA，∴∠B＝∠CAB＝180°﹣3x，∵∠C+∠B+∠CAB＝180°，∴x+180°﹣3x+180°﹣3x＝180°，解得：x＝36°，∴∠ADB＝180°﹣3x＝72°，故答案为：72．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．16．（2分）如图，O为△ABC内角平分线交点，过点O的直线交AB、BC于M、N，已知BN＝MN＝5，BM＝6，则点O到AC的距离为2411【分析】连接OB，过点N作ND⊥AB于D，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，设OE＝x，则OE＝OF＝OH＝x，根据等腰三角形的性质得BD＝MD＝3，进而可求出DN＝4，则S△BMN＝12，然后根据S△BMN＝S△OBM+S△OBN得12×6x+12×【解答】解：连接OB，过点N作ND⊥AB于D，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，如图所示：设OE＝x，∵点O为△ABC内角平分线交点，∴OE＝OF＝OH＝x，∵BN＝MN＝5，BM＝6，ND⊥AB，∴BD＝MD=12在Rt△BND中，BN＝5，BD＝3，由勾股定理得：DN=B∴S△BMN=12BM•ND又∵S△BMN＝S△OBM+S△OBN=122BM•OE+12∴12×6x+1解得：x=24∴OH＝x=24∴点O到AC的距离为2411故答案为：2411【点评】此题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等，熟练掌握角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．17．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，在△ABC边上有一点P，且△BCP是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为4．【分析】分情况讨论，即可解决问题．【解答】解：如果BC长是底，作BC的垂直平分线交AB于P1，如果BC长是腰，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于P2，以C为圆心BC长为半径画弧交AB于P3，交AC于P4，∴满足条件的点P的个数是4个．故答案为：4．【点评】本题考查等腰三角形的判定，关键是分情况讨论．18．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是9.6．【分析】如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM．，推出∠DCN+∠DCM＝180°，可得M、C、N共线，由DF+DE+EF＝DM+DE+EN，DM+DE+EN≥MN，可知F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD，求出CD的值即可解决问题【解答】解：如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM．∵∠MCA＝∠DCA，∠BCD＝∠BCN，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠DCN+∠DCM＝180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF＝FM+EF+EN，∵FM+EF+EN≥MN，∴当F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD，∵CD⊥AB，∴AB•CD＝BC•AC，∴CD＝4.8∴DE+EF+FD的最小值为9.6．故答案为：9.6．【点评】本题考查了轴对称﹣路径最短问题，理解转化思想是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：16−【分析】利用二次根式的运算性质，立方根的意义解答即可．【解答】解：原式＝4﹣3﹣2＝﹣1．【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义．正确使用上述性质是解题的关键．20．（8分）求下列各式中的x：（1）x2﹣16＝0；（2）（x+1）3＝27．【分析】（1）先求得x2的值，然后依据平方根的定义求解即可；（2）依据立方根的定义求解的x+1的值，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：x2＝16，∴x＝±4；（2）由题意可知x+1＝3，解得x＝2．【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．21．（6分）已知：如图，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．【分析】根据SSS证明△ABC≌△ADC，根据“全等三角形的对应角相等”即可得解．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，AB=ADCB=CD∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B＝∠D．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）判断△ABC的形状．【分析】（1）根据垂直定义可得∠CDB＝90°，然后在Rt△CDB中，利用勾股定理进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论可求出AB的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答；（3）先在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵BC＝15，CD＝12，∴BD=B∴BD的长为9；（2）∵AD＝16，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，∵CD⊥AB，CD＝12，∴△ABC的面积=12AB•CD∴△ABC的面积为150；（3）△ABC是直角三角形，理由：在Rt△ACD中，AD＝16，CD＝12，∴AC=A∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及勾股定理解题的关键．23．（8分）证明：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC任意上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，E、F为垂足．求证：PE＝PF；证明：【分析】根据题意可填写出求证的结果；根据角平分线的定义可得∠POE＝∠POF，再根据垂直的定义可得∠PEO＝∠PFO＝90°，据此可依据“AAS”判定△PEO和△PFO全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论．【解答】解：求证：PE＝PF．故答案为：PE＝PF．证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∠PEO＝∠PFO＝90°，在△PEO和△PFO中，∠POE=∠POF∠PEO=∠PFO=90°∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE＝PF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，垂直的定义是解决问题的关键．24．（8分）如图，四边形CEDF，∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝∠FCE＝90°，CE＝DE＝DF＝CF，A是边DE上一点，过点C作BC⊥AC交DF延长线于点B．（1）求证：BD＝AE+CE；（2）设△ACE三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【分析】（1）先证△CBF和△CAE全等得BF＝AE，然后根据CE＝DF可得出结论；（2）由（1）可知△CBF≌△CAE，则S△CBF＝S△CAE，BC＝AC＝c，BF＝AE＝a，进而得四边形ACBD的面积＝正方形CEDF的面积，即12AC•BC+12AD•BD＝CE2，而DF＝CE＝DE＝a，AD＝a﹣b，BD＝a【解答】（1）证明：如图所示：∵∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝∠FCE＝90°，BC⊥AC，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∠CFB＝90°，∴∠1＝∠2，∠CEA＝∠CFB＝90°，在△CBF和△CAE中，∠1=∠2∠CEA=∠CFB=90°∴△CBF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，又∵CE＝DF，∴BD＝BF+DF＝CE+AE．（2）证明：由（1）可知：△CBF≌△CAE，∴S△CBF＝S△CAE，BC＝AC＝c，BF＝AE＝a，∴四边形ACBD的面积＝正方形CEDF的面积，∴12AC•BC+12AD•BD＝即AC•BC+AD•BD＝2CE2，∵DF＝CE＝DE＝a，∴AD＝DE﹣AE＝a﹣b，BD＝CE+AE＝a+b，即c2+（a﹣b）（a+b）＝2a2，整理得：c2＝a2+b2．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键．25．（8分）过点P用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线l，交∠MAN两边于B、C，使得△ABC为等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】方法一：作AE平分∠MAN，作PF⊥AE交AM于点B，交AN于点C，△ABC即为所求；方法二：在AN上任意取一点T，作∠RTA＝∠A，过点P作直线JW交RT于点W，作∠JPB＝∠JWT，IB交AM于点B，交AN于点C，△ABC即为所求．【解答】解：如图，△ABC即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型理解】（1）如图①，△ABC，△ADE共顶点A，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连BD、CE．由∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，得∠BAD＝∠CAE．又AB＝AC，AD＝AE，可以推理得到△ABD≌△ACE，进而得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE；【问题研究】（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上．小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE，过点E作EB⊥PE，交b于点B，在a上截取DA＝BE，连接AB．△PAB即为所要求作的等腰直角三