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文档简介

湖南省长沙市宁乡市2025届高三第一次(3月一模)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数的对称中心是D.函数的对称轴是2.已知,,则()A. B. C.3 D.43.已知集合,,若,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.44.已知复数(为虚数单位,),则在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.定义在上的偶函数,对,,且,有成立,已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.6.设i是虚数单位,若复数()是纯虚数,则m的值为()A. B. C.1 D.37.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为()A.3 B. C.6 D.8.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.240 B.264 C.274 D.2829.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B. C. D.10.函数的部分图象大致是()A. B.C. D.11.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.712.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若展开式中的常数项为240,则实数的值为________.14.已知各项均为正数的等比数列的前项积为,,(且),则__________.15.的展开式中的系数为________________.16.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲;乙;丙,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取个,求“理想数据”的个数为的概率.18.(12分)函数(1)证明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范围.19.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.20.(12分)已知等差数列的前n项和为,,公差,、、成等比数列,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和.21.(12分)已知数列中,a1=1,其前n项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,若数列为递增数列,求λ的取值范围.22.(10分)已知,,分别为内角,,的对边,若同时满足下列四个条件中的三个:①;②;③;④.(1)满足有解三角形的序号组合有哪些?(2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应的面积.(若所选条件出现多种可能,则按计算的第一种可能计分)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据图象求得函数的解析式,结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得,函数的周期,所以.将点代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函数在上单调递减,当时,函数在上单调递减,故A正确;令,得,故函数在上单调递增.当时,函数在上单调递增,故B错误;令,得,故函数的对称中心是,故C正确;令,得,故函数的对称轴是,故D正确.故选:B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式,同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.2、A【解析】

根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.3、B【解析】

解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解:,.当时,,此时不成立.当时,,此时成立,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.4、B【解析】

分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系,可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【详解】因为时,所以,,所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义,考查学生的计算求解能力,属于基础题.5、A【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解:对,,且,有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为,,所以故选:A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用,基础题.6、A【解析】

根据复数除法运算化简,结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得,因为是纯虚数,所以,∴,故选:A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算,属于基础题.7、A【解析】

根据焦点到渐近线的距离,可得,然后根据,可得结果.【详解】由题可知:双曲线的渐近线方程为取右焦点,一条渐近线则点到的距离为,由所以,则又所以所以焦距为:故选:A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程,以及之间的关系,识记常用的结论:焦点到渐近线的距离为,属基础题.8、B【解析】

将三视图还原成几何体,然后分别求出各个面的面积,得到答案.【详解】由三视图可得,该几何体的直观图如图所示,延长交于点,其中,,,所以表面积.故选B项.【点睛】本题考查三视图还原几何体,求组合体的表面积,属于中档题9、D【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详解】执行该程序可得.故选:D.【点睛】本题考查程序框图.解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论,也可以由程序框图确定程序功能,然后求解.10、C【解析】

判断函数的性质,和特殊值的正负,以及值域,逐一排除选项.【详解】,函数是奇函数,排除,时,,时,,排除,当时,,时,,排除,符合条件,故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象,属于基础题型,一般根据选项判断函数的奇偶性,零点,特殊值的正负,以及单调性,极值点等排除选项.11、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.12、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-3【解析】

依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程,解得即可;【详解】解:∵二项式的展开式中的常数项为,∴解得.故答案为:【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的计算,属于基础题.14、【解析】

利用等比数列的性质求得,进而求得,再利用对数运算求得的值.【详解】由于,,所以,则,∴,,.故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列的性质,考查对数运算,属于基础题.15、【解析】

在二项展开式的通项中令的指数为,求出参数值,然后代入通项可得出结果.【详解】的展开式的通项为,令,因此,的展开式中的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,涉及二项展开式通项的应用,考查计算能力,属于基础题.16、【解析】因为sinα∈[-1,1],所以-sinα∈[-1,1],所以已知直线的斜率范围为[-1,1],由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是.答案:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)乙同学正确;(2).【解析】

(1)根据变量且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点,判断出乙正确.(2)由线性回归方程得到的估计数据,计算出误差,求得“理想数据”的个数,由此利用古典概型概率计算公式,求得所求概率.【详解】(1)已知变量具有线性负相关关系,故甲不正确,,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为:(2)由(1)得到的回归方程,计算估计数据如下表:021212由上表可知,“理想数据”的个数为.用列举法可知,从个不同数据里抽出个不同数据的方法有种.从符合条件的个不同数据中抽出个,还要在不符合条件的个不同数据中抽出个的方法有种.故所求概率为【点睛】本小题主要考查回归直线方程的判断,考查古典概型概率计算,考查数据处理能力,属于中档题.18、(1)证明见详解;(2)或或【解析】

(1)(2)首先用基本不等式得到,然后解出不等式即可【详解】(1)因为所以(2)当时所以当且仅当即时等号成立因为存在,且,使得成立所以所以或解得:或或【点睛】1.要熟练掌握绝对值的三角不等式,即2.应用基本不等式求最值时要满足“一正二定三相等”.19、(Ⅰ)或.(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)分类讨论解绝对值不等式得到答案.(Ⅱ)讨论和两种情况,得到函数单调性,得到只需,代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,变形为或或,解集为或.(Ⅱ)当时,,由此可知在单调递减,在单调递增,当时,同样得到在单调递减,在单调递增,所以,存在满足不等式,只需,即,解得.【点睛】本题考查了解绝对值不等式,不等式存在性问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、(1),();(2).【解析】

(1)根据是等差数列,,、、成等比数列,列两个方程即可求出,从而求得,代入化简即可求得;(2)化简后求和为裂项相消求和,分组求和即可,注意讨论公比是否为1.【详解】(1)由题意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①当时,.②当时,.【点睛】此题等差数列的通项公式的求解,裂项相消求和等知识点,考查了化归和转化思想,属于一般性题目.21、(1)(2)【解析】

(1)项和转换可得,继而得到,可得解;(2)代入可得,由数列为递增数列可得,,令,可证明为递增数列,即,即得解【详解】(1)∵,∴,∴,即,∴,∴,∴.(2).=2·-λ(2n+1).∵数列为递增数列,∴,即.令,即.∴为递增数列,∴,即的取值范围为.【点睛】本题考查了数列综合问题,考查了项和转换,数列的单调性,最值等知识点,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.22、(1)①,③,④或②,③,④;(2).【解析】

(1)由①可求得的值,由②可求出角的值,结合题意得出,推出矛盾,可得出①②不能同时成为的条件,由此可得出结论;(2)在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定

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