第04讲 长方体和正方体的体积-2023年六年级上册数学暑假衔接课（苏教版）

第04讲

长方体和正方体的体积【知识梳理】1、长方体体积计算公式。长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。2、正方体的体积公式。正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。3、运用体积公式解决实际问题。已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。4、体积和容积的区别与联系。物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。【典型例题】例1把棱长2分米的正方体纸盒放在一个长8分米、宽5分米、高6分米的长方体箱内，最多可以放（

）个。A．30 B．24 C．15 D．12【分析】以长8分米为边，最多可以放：8÷2＝4个；以宽5分米为边，最多可以放5÷2＝2（个）……1（分米）；以高6分米为边最多可以放6÷2＝3个，由此再利用长方体的体积公式即可计算最多可以放的总个数。【详解】8÷2＝4（个）5÷2＝2（个）……1（分米）6÷2＝3（个）4×2×3＝8×3＝24（个）答案：B。【点睛】解答此题关键是先分别求出长方体箱子的长宽高处最多能放几个小正方体，再利用长方体的体积公式求出小正方体的总个数。例2一个长方体纸盒长8分米，宽6分米，高5分米，它的占地面积是()平方分米；在它的四周贴上商标纸，商标纸的面积最少是()平方分米；这个长方体纸盒所占的空间是()立方分米。【分析】（1）占地面积就是用长乘宽即可；（2）四周贴上商标纸，商标纸的面积就是四个侧面面积和；（3）求体积，利用体积＝长×宽×高解答即可。【详解】（1）6×8＝48（平方分米）（2）（6×5＋5×8）×2＝70×2＝140（平方分米）（3）8×6×5＝48×5＝240（立方分米）【点睛】本题考查长方体的底面积，侧面积及其体积的计算，掌握好公式是解题关键。例3红星小学新建了一座游泳池。游泳池的长50米，宽16米，深1.3米。（1）在游泳池放水到离池口0.1米处，需要多少立方米水？（2）在游泳池的底面和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？【分析】（1）求需要多少立方米水，就是求这个长方体游泳池的体积；根据长方体的体积公式：长×宽×高；长是50米，宽是16米，高是（1.3－0.1）米，代入数据，即可解答；（2）贴瓷砖面积，就是长方体5个面的面积和，根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。【详解】（1）50×16×（1.3－0.1）＝800×1.2＝960（立方米）答：需要960立方米水。（2）50×16＋（50×1.3＋16×1.3）×2＝800＋（65＋20.8）×2＝800＋85.8×2＝800＋171.6＝971.6（平方米）答：贴瓷砖的面积是971.6平方米。【点睛】本题考查长方体体积公式、长方体表面积公式的应用，关键是熟记公式。【过关检测】一、选择题1．一个长方体的长扩大到原来的2倍，宽和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（

）倍。A．6 B．18 C．2 D．32．一个长方体的底面是一个周长为26cm的长方形，高为5cm，如果长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方体的体积是（

）。A． B． C． D．3．一盒酸奶，外包装是长方体形状，包装纸上标注“净含量650mL”。实际量得外包装长8cm，宽5cm，高15cm。根据以上数据，你认为标注的净含量是（

）。A．无法确定真假 B．真实的 C．虚假的4．把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了32平方分米，原来正方体的体积是（

）立方分米。A．16 B．64 C．96 D．1285．在一个有一定厚度、棱长是1分米的正方体空盒子里装入若干个体积是1立方厘米的小正方体，这个木盒子（

）。A．一定可以装入1000块这样的小正方体B．一定不能装入1000块这样的小正方体C．可能可以装入1000块这样的小正方体D．无法确定二、填空题6．用三个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是()分米，表面积是()平方分米，体积是()立方分米。7．下图是由若干个棱长1厘米的小正方体搭成的，如果想搭成一个大正方体，至少还需要()块这样的小正方体。这个大正方体的表面积是()平方厘米，体积是()立方厘米。我们发现面积的大小就是含有()的数量；体积的大小也就是含有()的数量。

8．乐乐用几个棱长是1cm的正方体木块摆成一个几何体，摆好后，他从正面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是，乐乐摆出的这个几何体的体积是()cm3。9．用同一块橡皮泥捏成棱长为4厘米的正方体，后捏成一个长为2厘米，宽4厘米的长方体，这个长方体的高为()厘米。10．一个长方体，长、宽、高分别是8cm、5cm和4cm，从中截去一个最大的正方体后，正方体的体积是()cm3，剩下部分的体积是()cm3。三、计算题11．求下面图形的表面积和体积。（1）

（2）

四、解答题12．建筑工地用混凝土浇铸一个长方体的柱子，柱子高30分米，底面是边长为0.5米的正方形。浇铸这根柱子至少需要混凝土多少立方米？如果在柱子的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？13．一个长方体容器装有水，它的长是0.8米，水深0.5米。将一块棱长4分米的正方体铁块放入这个容器中，铁块完全被淹没，这时水面上升到7分米。这块长方体容器的宽是多少分米？14．一个玻璃鱼缸（无盖）里装满水，一块石头扔进鱼缸里，溢出来的水正好盛满了棱长是2厘米的正方体。

（1）这个鱼缸用了多少平方分米的玻璃？（2）这块石头的体积是多少立方分米？15．王叔叔有一张长60厘米、宽40厘米的长方形铁皮，他想在它的四个角各剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图），然后焊接成一个无盖的铁皮盒子。（1）你来帮王叔叔算一算。这个盒子的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计）（2）如果把这个盒子里装满水，再把棱长为4cm的正方体铁块沉入水中，则流出来的水的体积是多少立方厘米？参考答案1．B【分析】假设这个长方体的长是3，宽是2，高是1，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，把数代入公式即可求出去扩大前的长方体的体积，由于长方体的长扩大到原来的2倍，宽和高都扩大到原来的3倍，即此时的长是6，宽是6，高是3，求出扩大后的体积，再除以扩大前的体积即可。【详解】假设这个长方体的长是3，宽是2，高是1，扩大前长方体的体积：3×2×1＝6扩大后的长为3×2＝6，宽为2×3＝6，高为1×3＝3扩大后长方体的体积：6×6×3＝108108÷6＝18即体积扩大到原来的18倍。故答案为：B【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握长方体的体积公式并灵活运用。2．D【分析】底面周长÷2＝长宽和，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定长和宽，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。【详解】26÷2＝13＝9＋4长方体的长9cm、宽4cm、高5cm。9×4×5＝180（cm3）这个长方体的体积是。故答案为：D【点睛】关键是理解质数、合数的分类标准，掌握并灵活运用长方体体积公式。3．C【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。根据体积、容积的意义可知，一个容器的体积一定大于它的容积。已知这盒酸奶外包装的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个包装盒的体积，然后与所标注的“净含量”进行比较，如果体积小于净含量，那么这个标注的净含量就是虚假的，反之，就是真实的。注意单位的换算：1mL＝1cm3。【详解】650mL＝650cm38×5×15＝40×15＝600（cm3）600cm3＜650cm3我认为标注的净含量是虚假的。故答案为：C【点睛】本题考查体积、容积的意义，长方体体积（容积）公式的运用以及体积、容积单位的换算。4．B【分析】根据题意可知，把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了32平方分米，表面积增加的是两个切面的面积，据此可以求出原来正方体的一个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【详解】正方体一个面的面积：32÷2＝16（平方分米）正方体的棱长，因为4的平方是16，所以正方体的棱长是4分米。正方体的体积：4×4×4＝64（立方分米）即原来正方体的体积是64立方分米。故答案为：B【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．B【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入棱长的数据求出正方体盒子的体积，再除以小正方体的体积1立方厘米，求出可以装入的小正方体的块数。注意体积是从外面测量正方体的棱长，而容积是从里面测量。【详解】1×1×1＝1（立方分米）1立方分米＝1000立方厘米1000÷1＝1000（块）因为棱长是1分米的正方体空盒子的容积要比它的体积小，所以一定不能装入1000块这样的小正方体。故答案为：B【点睛】此题考查了正方体的体积的计算方法，关键是理解体积与容积的意义及它们之间的区别。6．20143【分析】三个正方体拼成一个长方体，长方体的长是1×3＝3分米，宽是1分米，高是1分米；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。【详解】长方体的长：2×3＝3（分米）；宽：1分米；高：1分米。棱长总和：（3＋1＋1）×4＝（4＋1）×4＝5×4＝20（分米）表面积：（3×1＋3×1＋1×1）×2＝（3＋3＋1）×2＝（6＋1）×2＝7×2＝14（平方分米）体积：3×1×1＝3×1×1＝3（立方分米）用三个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是20分米，表面积是14平方分米，体积是3立方分米。【点睛】本题考查立体图形的切拼，关键是求出拼成长方体的长、宽、高的值。7．175427组合体表面小正方形小正方体【分析】由图可知，大正方体的棱长为3厘米，计算出大正方体中小正方体的总数量，再减去原来小正方体的数量求出需要添加小正方体的数量；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把大正方体的棱长代入公式求出大正方体的表面积和体积；大正方体每个面有9个小正方形，一共6个面，6×9＝54，大正方体的表面积刚好等于大正方体表面露出的小正方形的数量，大正方体的体积刚好等于大正方体里面小正方体的数量，据此解答。【详解】3×3×3－10＝27－10＝17（块）3×3×6＝9×6＝54（平方厘米）3×3×3＝9×3＝27（立方厘米）小正方形的数量：6×9＝54小正方体的数量：3×3×3＝27所以，至少还需要17块这样的小正方体，这个大正方体的表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米，面积的大小就是含有组合体表面小正方形的数量，体积的大小也就是含有小正方体的数量。【点睛】确定大正方体的棱长并掌握正方体的表面积和体积的计算公式是解答题目的关键。8．9【分析】根据从上面看到的图形可知，这个几何体的下层有5个正方体；根据从正面和右面看到的图形可知，这个几何体的上层有4个正方体；所以这个几何体一共有5＋4＝9个正方体组成；然后根据正方体的体积公式V＝a3，求出一个正方体的体积，再乘9，即是这个几何体的体积。【详解】结合从正面、右面和上面看到的平面图，可以得出下面的几何体：1×1×1×9＝9（cm3）乐乐摆出的这个几何体的体积是9cm3。【点睛】本题考查几何体体积的计算方法，先根据三视图还原出几何体，然后根据正方体的体积公式解答。9．8【分析】根据题意，先把一块橡皮泥捏成正方体，后又把这块橡皮泥捏成长方体，形状变了，但这块橡皮泥的体积不变；先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这块橡皮泥的体积；再根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可求解。【详解】橡皮泥的体积：4×4×4＝64（立方厘米）长方体的高：64÷（2×4）＝64÷8＝8（厘米）这个长方体的高为8厘米。【点睛】本题考查正方体的体积、长方体的体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。10．6496【分析】根据题意可知，从这个长方体中截去一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，剩下部分的体积等于长方体与正方体的体积差，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【详解】4×4×4＝16×4＝64（cm3）8×5×4－64＝160－64＝96（cm3）则正方体的体积是64cm3，剩余部分的体积是96cm3。【点睛】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．（1）358dm2；420dm3（2）384cm2；512cm3【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可；（2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。【详解】（1）（12×5＋12×7＋5×7）×2＝（60＋84＋35）×2＝179×2＝358（dm2）12×5×7＝60×7＝420（dm3）长方体的表面积是358dm2，体积是420dm3。（2）8×8×6＝64×6＝384（cm2）8×8×8＝64×8＝512（cm3）正方体的表面积是384cm2，体积是512cm3。12．0.75立方米；6平方米【分析】先根据1米＝10分米进行单位换算；要求浇筑这根柱子需要的混凝土就是要求这根柱子体积，长方体的体积＝底面积×高，即可解决问题；要求贴瓷砖的面积就是求出这根柱子的表面积（不包括上面和下面）由此可以解决问题。【详解】30分米＝3米0.5×0.5×3＝0.25×3＝0.75（立方米）0.5×3×4＝1.5×4＝6（平方米）答：浇铸这根柱子至少需要混凝土0.75立方米。贴瓷砖的面积是6平方米。【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。13．4分米【分析】由题意可知，上升的水面的体积就是正方体铁块的体积，即铁块的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出铁块的体积，用铁块的体积除以水面上升的高度，再除以长方体的长即可得到长方体容器的宽。【详解】4×4×4＝16×4＝64（立方分米）0.8米＝8分米0.5米＝5分米64÷（7－5）÷8＝64÷2÷8＝32÷8＝4（分米）答：这块长方体容器的宽是4分米。【点睛】本题考查正方体和长方体的体积，明确上升的水的体积就是铁块的体积是解题的关键。14．（1）176平方分米（2）0.008立方分米【分析】（1）已知长方体玻璃鱼缸无盖，少上面，求这个鱼缸用玻璃的面