相交线与平行线40道压轴题型专项训练（8大题型）解析版-2024-2025学年人教版七年级数学下册

相交线与平行线压轴题型专项训练

(8大题型40道)

旨【题型目录】

压轴题型一相交线压轴题

压轴题型二平行线的判定压轴题

压轴题型三平行线的性质压轴题

压轴题型四利用平行线的性质探究角的关系

压轴题型五平行线中动点问题

压轴题型六平行线中的翻折问题

压轴题型七平行模型

压轴题型八利用平移的性质解决问题

Joo压轴满分题型

以【压轴题型一相交线压轴题】

1.已知直线42,相交于点O,OE平分一/OC,射线OFLCD于点O,且N2O尸=40。，贝|

ZCOE=.

【答案】65。或25。

【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算.熟练掌握垂线定义，角平分线定义，余角补角定义,

分类讨论，是解本题的关键.

当点尸和点C在43同侧时，根据垂直定义得/C。尸=90。，结合N8O少=40°,得//OC=50。，根据角平

分线定义，得NCOE=25。；当点尸和点。在48异侧时，可得/BOC=50。，得44。。=130°,得

NCOE=65°.

【详解】解：当点尸和点C在42同侧时，

・••O尸，CD于点O,

NCOF=9。°,

■:ZBOF=40°,

.-.ZAOC^l80°-(ZCOF+ZBOF)=50°,

■.■OE^^-ZAOC,

.-.ZCOE=-ZAOC=25°；

2

当点F和点C在N8异侧时，

•：NCOF=90°,

ZBOC=ZCOF-ABOF=50°,

ZAOC=180°-ZBOC=130°,

ZCOE=-ZAOC=65°.

2

故答案为：65。或25。.

2.平面内不过同一点的〃条直线两两相交，它们交点个数记作并且规定q=0,则出=

【答案】1.n-l.

【分析】2条直线相交只有一个交点，3条直线相交，交点数是1+2,〃条直线相交，交点数是

1+2+3H----H(n-1),即a"=l+2+3d-----l-(w-l)=,可写出的，的解.

【详解】解：求平面内不过同一点的〃条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，

当2条直线相交时，交点数只有一个；

当3条直线相交时，交点数为两条时的数量+第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是1+2；

同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是1+2+3+…+(〃-1),即

a“=1+2+3+，-+(72-1)=--1),

a2=—x2x(2—1)=1,

a.--1)-5("-1)("-2)=w—1,

本题的答案为：1,n-\.

【点睛】本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步

应用接触，此方法在推导证明中比较常用.

3.如图1,々08=140。，射线0c在平面内.

图1

(1)如图，0c垂直。5,OM■平分/CCM,则NM08的度数为；

(2)若//OC与/8OC互补，求/2OC的大小；

⑶若射线OC绕点。从射线。4的反向延长线的位置出发，以每秒1。的速度顺时针旋转；同时射线CM以每

秒5。的速度绕点。逆时针旋转，各自旋转180。后停止转动，请直接写出使得射线CM,OB,0c中某一条

射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间.

【答案】⑴115。

(2)20。或160°

⑶25秒或80秒或32了0秒或2亍20秒

【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用.

(1)根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论；

(2)根据题意需要分两种情况：①当OC在的左侧时；②当OC在。4的下方时，分别画出图形求解

即可得出结论；

(3)根据题意需要分三种情况：当为N/OC的角平分线时(分。4停止前和停止后)；当OA为/BOC

的角平分线时；当OC为/AOB的角平分线时分别求解即可得出结论.

【详解】(1)解：如图1

图1

OC垂直OB,

/.ZBOC=90°f

・.・N/O5=140。，

：,AAOC=ZAOB-ZBOC=50°,

-OM平分/CQ4,

ZCOM=25°,

/MOB=ZBOC+/COM=115。；

故答案为：115。.

(2)解：如图2-1当OC在05的左侧时，设=则N4OC=140。+二，

B

'AA

OA

图2T

由题意可知，a+140°+a=180°,

解得a=20。；

如图2-2,当0c在02的右侧时，设4B0C=a,则//OC=a-140。,

图2-2

由题意可知，«+«-140°=180°,

解得a=160。；

综上，符合题意的NBOC的度数为20。或160。；

(3)解：如图3-1,08为24OC的平分线时,

图3T

由题意可知4O-Z=14O-5Z,

解得t=25,

如图3-2(CM已停止)，为240C的平分线时,

解得t-80；

如图3-3,为N8OC的平分线时,则2(5—140)=407,

图3-3

他,0320

解得'=1T；

如图3-4,0c为乙的平分线时，贝151-140=2(40-。,

图3-4

综上，射线CM,OB,OC中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为25秒或80秒或苦秒

.,.220..

或5-秒.

故答案为：25秒或80秒或320*秒或卷220秒.

点A、B与点C、。分别在直线跖两侧，且4408=120。，ZCOD=70°.

图2

⑴如图1,若0c平分Z8OO,OE平分2/0D,过点。作射线OGLO3,求NEOG的度数;

(2汝口图2,若在，2OC内部作一条射线若NCO〃：ZBOH=2：3,ZDOE=5ZFOH,试判断

与ZDOE的数量关系.

【答案】⑴80。或100。

(2)NAOE=2ZDOE一105°或NAOE=ZDOE-105°

【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义,

(1)根据角平分线定义和周角是360。可得//OC的度数；分两种情况：当OG在防下方时；当OG在跖

上方时，计算即可;

(2)由=2:3,/D0E=5/F0H,设/D0E=5a,贝i」NR9〃=a,再结合角平分线的性质

可用a表达出ZCOH/BOC的度数，求出NAOE与/DOE的度数.

【详解】(1)・・・。。平分/5。。，

ZBOD=2/C0D=2x70。=140。，

\ZAOB=120°f

...ZAOD=360。一ZAOB-ZBOD=360°—120。一140。=100°.

•.•OE平分4。。，ZAOD=100°,

图1

/.ZAOE=-ZAOD=50°

2f

•/OG1OB,

N5OG=90。，

/.ZAOG=NAOB-/BOG=120。-90°=30°,

.../EOG=ZAOG+ZAOE=80°.

•・•OGVOB,

/BOG=90°,

•・•ZAOE+ZAOB+/BOG+/EOG=360°,AAOB=120°,

/./EOG=360。—50°-120°-90°=100。；

(2)设ZDOE=5a,贝i」/尸W=

D

NCOH=180°-/DOE-ZCOD-ZFOH=110°-6a

图3

•:NCOH/BOH=2:3,

ABOC=-ACOH=275°-15a,

2

ZAOD=360°-ZCOD-ZBOC-ZAOB=360°-70°-(2750-15a)-120°=15«-105°,

AZAOE=ZAOD-NDOE=10a-105°,

ZAOE=2ZDOE-105°.

当OH在。尸的下方时，同理可得

ZCOH=180°-ZDOE-ZCOD+ZFOH=110°-4a,

•:/COH:/BOH=2:3,

ZBOC=-ACOH=275°-10a,

2

NAOD=360°-ZCOD-ZBOC-ZAOB=360°-70°-(275°-1Oa)-120°=1Oa-105°,

NAOE=NAOD-ZDOE=5c-105°,

ZAOE=ZDOE-105°.

综上所述：NAOE=2ZDOE-105°或乙1OE=ZDOE-105°

5.点。为直线42上一点，在直线42同侧任作一个NCOQ,使得/COD=90。.

图1图2备用图

（1）如图1,过点。作射线OE,当。£恰好为乙40。的角平分线时，请直接写出N8O。与/COE之间的倍数

关系，即NBOD=ZCOE（填一个数字）；

（2）如图2（乙4。。＜30。），过点。作射线OE,使0c恰好为/ZOE的角平分线，另作射线。尸，使得。尸平

分乙4OD,求NFO3-NCO尸的度数；

⑶在（2）的条件下，^ZAOC+ZFOD-ZEOF=30°,作射线OG,使得NDOG=N/OC,求NCOG的度

数.

【答案】（1）2

(2)90°,详见解析

(3)80。或100。,详见解析

【分析】(1)由题意得出44OC=90。，ABOD=\^°-ZAOD,再由角平分线的定义进行计算，即

可得出结果；

(2)设44OC=/COE=x,由角平分线定义和已知得出乙=Z尸。。+480。=135。-)》，

ZCOF=45°-1x,即可得出结果；

(3)分别用x表示出NEOF,列方程求出x,再分别讨论0G的位置即可得解.

【详解】(1)ZBOD=2ZCOE；理由如下：

•••ZCOD=90°.

.-.ZBOD+ZAOC=9Q°,

・；OE平分NAOD,

.-.ZAOE=/DOE=-ZAOD,

2

又7/BOD=180。-NAOD,

:"COE=ZAOE-ZAOC=^ZAOD-(900-ZBOD)=^(180°-ZBOD)-900+ZBOD=|NBOD,

.•・ZBOD=2ZCOE；

故答案为：2；

(2)・.・OC为/4OE的角平分线，OF平分/AOD,

.^ZAOC=ZCOE=xf

_i_xi

.・.ZAOF=ZDOF=--------=45°+-x,

22

/FOB=AFOD+ZBOD=45°+-x+90°-x=135°--x,

22

ZCOF=ZAOF-ZAOC=45o+-x-x=45°--x

22

oo

­.ZFOB-ZCOF=135°--x-45°--x]=135--x-45+-x=90°;

2{2J22

113

(3)由(2)知，ZEOF=-ZAOD-2ZAOC=45°+-x-2x=45°——x,

222

••・ZAOC=x,/FOD=45°+1x,

.・.ZAOC+ZFOD-/EOF=30°,

3

.・./EOF=ZAOC+ZFOD-30°=15°+-x,

2

33

.-.45°——x=15°+-x,

22

・・.x=10。

・•・N/OC=10。，

当OG在OQ左侧时，ZCOG=90°-10°=80°,

当OG在。。右侧时，ZCOG=90°+10°=100°.

【点睛】本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义、角的计算及解一元一次方程等知识点;

熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键.

◎【压轴题型二平行线的判定压轴题】

6.上周末，小金研究的一道几何题如下：

如图，点G在。上，已知/8/G+//GD=180。，EA平分/BAG,FG平分4GC,请说明NE〃GF的

理由.

(1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等"得到/A4G=//GC,再根据"角平分线的定义”，得到

/3=/4,然后根据“内错角相等，两直线平行"，得到"E〃Gb.你认为小金的思路是—的("正确"或"错

误”).

(2)请你用整合教材学到的"框图”方式分析本题(不写说明过程).

已知条件要说明的

/BAG+//GD=180°EA平分ABAG

AE//GF

尸G平分乙1GC

【答案】⑴错误

⑵详见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定，能正确判断内错角是解决本题的关键.

(1)根据N3与N4不是内错角，故/3=/4不能证明/£〃G尸，即可得到答案；

(2)先根据同角的补角相等得到/B/G=44GC,由角平分线定义得到=Z2=1z^GC,贝ij

Zl=Z2,即可证明结论.

【详解】(1)解：小金的思路不对，N3与N4不是内错角，故/3=/4不能证明/E〃G尸；

故答案为：错误；

(2)■：ZBAG+ZAGD=1^0°,ZAGC+ZAGD=180°,

；./BAG=NAGC,

•；E4平分NBAG,

.-.Z1=-ZBAG.

2

FGZAGC,

.-.Z2=-ZAGC,

2

.­.Zl=Z2,

AE//GF.

7.如图，点A在脑V上，点5在尸。上，连接过点A作/交尸。于点C,过点8作2。平分N/2C

交NC于点。，且/M4C+445c=90°.

MNN

PBCQ

(1)求证：MN//PQ.

⑵若乙15C=/M4C+10。，求。的度数.

【答案】⑴证明见解析；

(2)Z5DC=115°.

【分析】(1)根据垂直的定义得到/B/C=90。，推出=根据平行线的判定定理即可得到结

论；

(2)根据三角形的内角和列方程得到/4BC=50。，根据角平分线的定义得到乙48O=g/"C=25。，于

是得到结论；

本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）证明：-.-ACLAB,

：.ABAC=90°,

■.ZABC+ZACB=9Q°,

■■ZNAC+ZABC=9Q°,

ANAC=NACB,

：.MN//PQ.

（2）解：ZABC=ZNAC+100=ZACB+10°,

ZACB+ZABC=9Q°,

；.NACB+//C3+10°=90°,

ZACB=40°,

ZABC=50°,

•:BD平分/ABC,

.-.ZABD=-ZABC=25°,

2

■：ABAC=90°,

.•.ZSDC=90°+25°=115°.

8.阅读下列材料，完成相应任务.

折纸中的数学

综合实践课上，老师出示如下问题：如图1,在一张正方形纸片的两边上分别有4,B两点,连接N8,点P

是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点P作/8的平行线.

兴趣小组作法如下：如图2,过点P沿PC折叠纸片，使尸于点C；在图2的基础上，展平纸片，过

点P沿。E折叠纸片，使DEL折痕PC于点P,得到图3：将图3中的纸片展平，得到图4,则。E〃4B.

任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中OE〃力8的依据的有_（多选）

4同位角相等，两直线平行

8.内错角相等，两直线平行

C同旁内角互补，两直线平行

。平行于同一条直线的两条直线互相平行

E.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

任务二：如图5,在长方形纸片/8CZ（中，AB//CD.将长方形纸片沿E尸折叠.使/D落在处，再将

纸片沿G8折叠，使得BC落在夕C,且B,E,G,。在同一直线上.

图5

【答案】任务一：A,B,C；任务二：见解析

【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可

【详解】解：任务一：如图，

■：PC1AB,

■■.Z.PCA=Z.PCB=90°,

又PC1DE,

；/CPE=4CPD=/.EPM=z90°,

••ZMPE=乙BCP=90°,

DE//AB,

故选项A正确；

,:乙DPC=4BCP=90°

■■.DE//AB,

故选项B正确；

•:乙BCP+乙EPC=90°+90°=180°,

•­.DE//AB,

故选项C正确；

D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误；

E.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误;

所以，能作为判定上述材料中。E〃4B的依据的有A,B,C；

故答案为：A,B,C；

任务二：・・・/B〃CO,

••/DEF=Z-EFG,

由折叠得，乙DEF=2FEG,

'-Z.EFG=Z-FEG,

又乙EGB=乙EFG+Z.FEG

.ZEGB=2/-FEG,

由折叠得，^EGH=Z.BGH,

；ZEGB=2(EGH,

•ZEGH=Z.FEG,

：.EF//GH.

9.如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图.是书写的字母"M".

⑴请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；

(2)E/与N®有何位置关系？CC与HR有何位置关系？为什么？

⑶图中力B所在的直线与RH所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找

出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？

【答案】⑴正面48〃斯(答案不唯一)

上面48〃/Z'(答案不唯一)

右面功?〃(答案不唯一)

(2)EF//A'B,CC//HR,理由见解析；

⑶见解析.

【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行.能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双

慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键.

(1)正面4E、MF、NG、是平行的，MP、3平行，PN、C。平行；上面/4、BB'、CC\DD'

相互平行，AB.AE、CD、C'。'平行；右侧H?、平行，HD、及。平行；据此分别找出一组平行线即可；

(2)防与40都与4B平行，所以平行；CC，与。ZT平行，ZVT与。〃垂直，因为它们不在同一平面内,

所以是异面垂直.

(3)根据平行线的定义作答即可.

【详解】（1）解：正面/£、MF、NG、DH是平行的，AB,防平行；

二正面：AB//EF（答案不唯一），

上面：上面44'、BB'、CC\相互平行，AB、A'B\CD、C'。平行；

■-AB//AB-

右侧：HR、OD平行，HD、R。平行

HR//DD'■,

故答案为：正面：AB//EF-上面：AB//AB■.右侧：HR//DD'；（答案不唯一）

（2）解：•.•犯〃/2',AB//EF,HR//DD',CC//DD',

.■.EF//A'B',CC'//HR（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；

（3）解：图中AB所在的直线与RH所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直

线跖也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意

叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.

10.如图，已知乙45c=70。，ZBAC=4Q°,4D平分/C4E.

⑴求证：AD//BC；

（2）若射线40绕点/以每秒1。的速度顺时针方向旋转得到同时，射线C/绕点C以每秒2。的速度顺时

针方向旋转得到CN,NM和CN交于点尸，设旋转时间为f秒.

①当0<55时，请写出/ZPC与N84P之间的数量关系，并说明理由；

②当0</<70时，若g/4PC+/BCP=180。，请直接写出/的值.

【答案】⑴见解析

⑵①NAPC=NBAP,理由见解析；②60或竽

9

【分析】（1）易得/C/£=140。，根据角平分线的定义得出=70。，即可求证4O〃8C；

（2）①根据题意得出NC4M=70。—，ZBAP=U00-t,ZACP=2t,根据三角形的内角和定理得出

ZAPC=1800-ZCAM-ZACP=110°-t,即可得出结论；

②根据题意进行分类讨论：当0<f<55时，由①可得：ZAPC=U0°-t,ZACP=It,贝ij

ZBCP=100+2t,1^APC+ZBCP=180°,列出方程求解即可；当55Vt<70时，ZACP=2t,

ZACB=70°,推出NBC尸=290。-2/,根据g//PC+/BCP=180。，列出方程求解即可.

【详解】（1）证明：・・,/A4c=40。，

・•・/CAE=180。—ABAC=140°,

v40平分/C4E,

；./DAE=L/CAE=70。,

2

-ZABC=70°f

/./ABC=ZDAE,

AD//BC；

（2）解：①・・・/DAE=/DAC=70。,射线4D绕点4以每秒1。的速度顺时针方向旋转得到,

・・.NGW=70。7，

・••ZBAC=40°,

；"BAP=ABAC+/CAM=40。+（70。一。二110。T,

•・・射线C4绕点C以每秒2。的速度顺时针方向旋转得到CN,

.・.AACP=2t,

.•./ZPC=180。-/CW-/ZCP=180。-（70。-，）-2，=110。-

NAPC=/BAP；

F.

②当0</<55时，

由①可得：ZAPC=U00-tfZACP=2t,

/.ZBCP=100+2t,

•.」N/PC+NBC尸=180。，

5

解得：

9

当55W70时,

vZACP=2t,/ACB=7。。，

/BCP=360°-ZACB-ZACP=360°-70°-2t=290°-2t,

-ZAPC=U00-tf|z^PC+Z5CP=180°,

.•.1(110°-?)+(290°-2。=180。，

解得：t=60,

综上：/的值为60或

【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义,三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用,

解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解.

阴【压轴题型三平行线的性质压轴题】

11.课题学习：平行线的“等角转化"功能.

(1)阅读理解：如图，已知点A是BC外一点，连接48、AC,求++的度数.阅读并补充下面

推理过程.

解：过点A作助〃8C,所以48=,NC=

又因为NEAB+ZBAC+NDAC=180。，

所以N2+NA4C+NC=180。.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有"等角转化”的功能，将/氏4C、NB、凑”在一

起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

(2)方法运用：如图1,已知/5〃CZ),求NB+NBPD+ZD的度数；

⑶深化拓展：已知直线48〃CD,点尸为平面内一点，连接尸/、PD.

①如图2,已知44=50。，ZJD=140°,请直接写出N4PZ)的度数；

②如图3,请判断-P48、NCDP、4之间的数量关系，并说明理由.

」A-------------?:Av--------B■P

CDCDc——b

图1图2图3

【答案】(l)NEAB；/DAC

(2)NB+NBPD+N。=360°

⑶①90°；(2)^PAB+ZCDP-ZAPD=180°,理由见解析

【分析】(1)根据两直线平行内错角相等即可得出结论；

(2)过点P作尸尸〃48,根据两直线平行同旁内角互补得出/D+/FPO=180。，NB+NFPB=180。,即可

得到最后结论；

(3)①N4PZ)的度数为90。，过点尸作尸G〃/3,根据平行线性质求得//PG=50。，ZGPD=40°,即可

求得N4PA的度数；@ZPAB+ZCDP-AAPD=180°,过点尸作尸尸〃根据平行线性质得到

ACDP=ZDPF,ZPAB+ZAPE=180°,即可退出最后结论.

【详解】(1)解：过点A作四〃5C,

Z.B=NEAB,ZC=ADAC,

又因为NEAB+ABAC+ADAC=180。，

所以ZB+N8/C+NC=180。；

(2)解：如图，过点尸作尸尸〃A8,

U

PF//CD,

ZD+ZFPZ)=180°,

---PF//AB,

：.ZB+ZFPB=iS0o,

：.ZB+ZFPB+ZFPD+ZD=360°,

•.ZB+ZBPD+ZD=360°；

(3)解：①乙4PQ的度数为90。；

CD

理由：过点P作尸G〃/8,

:.ZA=ZAPG=50°f

AB//CD,

:.GP//CD,

/G尸。+/D=180。，

vZD=140°,

・•,/G尸。=180。—140。=40。，

NAPD=ZAPG+ZGPD=50°+40°=90°；

②NPAB+ZCDP-ZAPD=180。，

理由：过点〃作P/〃45,

•「AB//CD,

PF//CD,

ZCDP=ZDPF,

•:PF〃AB、

NPAB+NAPE=180。,

•・•ZAPF=ZDPF-ZAPD,

/.ZPAB+ZDPF-ZAPD=180。，

/./PAB+ZCDP-ZAPD=180°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推

理.

12.综合与探究

」D「1

PDCt/F

图1图2图3图4

⑴如图1,AO//CP,OB//PD,则/NOB与/CPZ）之间的数量关系为」如图2,AO//CP,

OB//PD,则N/08与/CPD之间的数量关系为

⑵在图3中，AB//CD,AF//CE,EF\\CD,44=45。，求NE的度数.

⑶在图4中，AD//CF,DE//BC,AB//FG,AD平济NEDH,试探究N\42C、NDHF与NCFG之

间的数量关系.

【答案】⑴NAOB=NCPDZAOB+ZCPD^18Q°

⑵/£=135。

（3）NDHF+ZCFG=ZABC

【分析】（1）根据平行线的性质，同位角相等，等量代换，即可；平行线的性质，内错角相等，同旁内角

互补，即可；

（2）根据平行公理，平行线的性质，即可；

（3）延长48,CF交于点根据平行线的性质，得/2=NCFG,/3=/1,NEZM=,根据等

量代换，得NEDA=N1=N3=NBHM,再根据平角等于180。，等量代换，即可.

【详解】([)•・・/O〃CP,OB//PD,

•.ZAOB=NCEB,ZCPD=ZCEB,

ZCPD=ZAOB,

故答案为：ACPD=AAOB；

•••AO//CP,OB//PD,

ZAOB=NOEP,ZOEP+NDPC=180°,

03+ZDPC=180°,

故答案为：//O3+/DPC=180°.

(2)•••AB//CD,EF\\CD,

AB//EF,

.-.ZA=ZAFE=45°,

AF//CE,

.•.//FE+/E=180°,

.•./E=180°-45°=135°.

(3)延长48,CF交于点

■.■AB\\GF,

AM//GF,,

・•.Z2=ZCFG

AD//CF,

・•.AD//MF,

.・./3=/l,

•・•BC//ED,

・•・NEDA=ABHM,

vAD平分NEDH,

•••NEDA=Z1,

,•"EDA==/BHM,

VZ2+/BCM+ZMBC=180°,/ABC+4MBe=180°,

；22+/BCM=/ABC,

；"DHF+ZCFG=/ABC.

【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，平角的性质.

13.如图，直线直线所分别与45,CD交于点E,F,EM平分乙4EF交CD于点M,若G是

射线上一动点(不与点产重合).

图1图2

⑴如图1,若EG平分乙BEF,试判断与EG的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若EH平分NFEG交CD于点H,过点H作HNLEM于点、N,设HCV=a,乙EGF邛.

①当点G在点尸的右侧时，若£=60。，求a的度数；

②在点G运动的过程中，a和£之间满足怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并说明理由.

【答案】(1)EW与EG垂直，理由见解析

(2)«=1/?,理由见解析

【分析】(1)由角平分线的定义求得NMEG=90。；

(2)由(1)先求得NNEH^ZAEG,进一步可求得a尸.

【详解】(1)解：•••£”,£G分别是N4ER4"的角平分线

ZAEM=ZFEM=工ZAEF,NBEG=ZFEG=|NBEF

22

ZMEG=ZFEM+ZFEG=g(NAEF+NBEF)=1xl80°=90°

.•.EW与EG垂直.

(2)解：①•：AB〃CD,

p=ZBEG=60°,

由(1)知：ANEH=1AAEG=x(180°-60°)=60°,

a=90°-60°=30°,

②理由如下：

由①知，a=90°-ZNEH=90。一；x(180°-ZGEB),

=90。得义(180。_0=".

【点睛】本题考查了角平分线的定义，互余的概念，平行线的性质，解题的关键是要善于把握问题之间的

联系，从而获得思路.

14.将一块三角板CDE(ZCED=90°,/CDE=30。)按如图所示方式放置，使顶点C落在的边。2

上，CE〃OA.经过点。画直线交CM边于点

(1)如图1,若N4W=60。.

①求NEC8的度数；

②试说明：DE平分NNDC；

(2)如图2,DF平分乙MDC,交。边于点尸，试探索/。与/OED之间的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴①/£C8=60。；②见详解

(2)/。即=150-；/。；理由见详解

【分析】(1)①根据河乂〃。3,可得N/MV=NO=60。，再根据CE/ON,即可得出结论；②计算出角

度即可；

(2)设/O=x，根据平行线的性质和角平分线定义把/。，/OED表示出来即可；

【详解】(1)①•\,MN〃OB,

：.ZAMN=ZO=600°f

•；CE〃OA,

.・.ZECB=NO=60°,

(2)-ZCED=90°,ZCDE=30°,ZECB=60°

・•.ZDCE=60°

・•.ZDCO=60°

-MN//OB,

・•.ZNDC=ZDCO=60°,

vZCD£=30°,

・•.ZCDE=ZNDE=30°

DE平分/NDC.

OFCB

•：CE〃OA,

・•.ZECB=NO=x,

：.ZDCB=600+x

-MN//OB,

ZMDC=ZDCB=60。+x,

•；DF平分NMDC,

ZCDF=ZMDF=30°+-x,

2

-MN//OB

ZCFD=ZMDF=30。+L

2

ZOFD=150--x,

2

：.AOFD=X50--AO.

2

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.

15.下图所示的格线彼此平行.小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关

系.他先作出N495=60。，

图1图2图3

(1)①如图1,点。在一条格线上，当41=20。时，Z2=。；

②如图2,点。在两条格线之间，用等式表示N1与N2之间的数量关系，并证明；

⑵在图3中，小明作射线OC,使得NCO8=45。.记。4与图中一条格线形成的锐角为a,0c与图中另一

条格线形成的锐角为力，请直接用等式表示a与8之间的数量关系.

【答案】⑴①40；@Z1+Z2=6O°,证明见解析；

⑵a+£=105。或a-p=15°

【分析】(1)①先标出N3和N4,然后再根据平行的性质可得N1=N3,N2N4,然后再利用角的和差解答即

可；

②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出N3和44,再根据平行的性质可得N1=N3,N2=N4,然后再

利用角和差解答即可；

(2)分两种情况：当射线OC在乙的内部，当射线OC在4102的外部，然后利用平行线的性质和三

角形的外角的性质进行计算，即可解答.

【详解】(1)解：①如图L标出N3和N4

由格线平行，利用平行的性质可得：N1=N3,N2=N4

•.23+44=-08=60°,41=20°

.,.41+42=60°

.­.Z2=60°-20°=40°

证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出N3和44

由格线平行可得N1=N3,N2=N4

vZ.3+z4=zS4O5=60°

(2)解：设。/与图中一条格线形成的锐角为a,0C与另一条格线形成的锐角为尸

当射线OC在乙108的内部，如图：

在图中随意选择两条格线标出a、4且过O点作平行于格线的辅助线，并标出N1和N2

由格线平行可得42=力，Zl+Z2=«

•402=60°,"05=45°

.•.ZJOC=15°即41=15。，Nl+/=a

.-.a=15°+^

即a-£=15°

当射线OC在々108的外部，如图:

•."03=45°,乙405=60°

•••Z^OC=Z^OB+NCO2=105°

由（1）中②知，UOC=a+B

.­•ct+^=105°

综上所述：a+£=105。或aa=15。.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.难点是作辅助线，第（2）要分

类讨论，不要出现遗漏情况.

⑥【压轴题型四利用平行线的性质探究角的关系】

⑴如图1,判断/MPN、/AMP、NCWP之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2,点E为直线48上一点，且点E在点M右侧，ZMPE=ZMEP,/MPN的平分线交直线于

/FPF

点尸，点尸在点E右侧，求吃怒的值.

ZCNP

⑶如图3,ZSPR绕点尸转动，PR与CD交于点K,且尸N始终在ZSPR的内部，尸G平分ZNPK,交直线CD

于点G,PH平分■4MPS,交直线42于点7/,若NSPR=a,4MPN=0,则44心+NCGP=_（用含a、

P的代数式表示）

【答案】⑺NMPN=NAMP+NCNP,理由见解析

【分析】（1）过点P作电|1N3,运用平行公理的推论和平行线的性质即可得解；

（2）先证明/MPP=/FPN=/MPE+/EPF,继而得至!J/EPN=/PEN+2/EP尸，再利用（1）的方法得

到NEPN=/MEP+NCNP,从而得到NCNP=2NEP尸，从而得解；

（3）ZNPG=ZGPK=x,2MPH=2HPS=y,从而得到=x+y+NSPN,又证明

ZSPR+ZMPN=2x+2y+2ZSPN=a+/],从而得到/〃?G="2,利用（1）得方法得到

2

ZAHP+ZCGP=ZHPG,继而得解.

【详解】（1）ZMPN=AAMP+ACNP,理由如下:

过点尸作包||N8,

•••AB//CD,PL\\AB,

.-.PL//CD//AB,

：.AAMP=AMPL,ZCNP=ZNPL,

ZMPN=AMPL+ZNPL=/LAMP+ZCNP；

（2）•:PF平分NMPN,

ZMPF=ZFPN=AMPE+ZEPF,

•••AMPE=ZMEP,

・•・乙EPN=ZNPF+/EPF=乙MPE+2/EPF=ZPEM+2ZEPF,

由（1）同理得=尸+NGVP,

・•.ZCNP=2/EPF,

ZEPF_1

ZCNP~2；

（3）・.・PG平分NNPK,PH*分乙MPS

ZNPG=ZGPK=-ZNPK,ZMPH=ZHPS=-ZMPS,

22

设4NPG=4GPK=x,ZMPH=ZHPS=y,则NNPK=2x,AMPS=,

ZHPG=/NPG+ZHPS+ZSPN=x+y+ZSPN

ZSPR+ZMPN=ZNPK+ZMPS+2ZSPN=2x+2y+2ZSPN=a+,

：.ZHPG=x+y+ZSPN=^^-

由（1）同理得：AAHP+ACGP=ZHPG,

ZAHP+ZCGP=ZHPG=,

2

故答案为：号.

【点睛】本题考查平行公理的推论，利用平行线的性质求角度，角平分线的相关计算等知识，理解和运用

（1）中结论并结合角平分线探究角的关系是解题的关键.

17.已知直线直线4，4分别与4，4交于点3,厂和A,E,点P是直线。上一动点（不与点8,

尸重合），设NA4P=N1,NPEF=N2,ZAPE=Z3.

（D如图，当点尸在8,尸两点之间运动时，试确定Zl,N2,N3之间的关系，并给出证明；

（2）当点尸在8,尸两点外侧运动时，试探究Nl,Z2,23之间的关系，画出图形，给出结论，不必证明.

【答案】⑴/1+/2=/3,理由见解析

（2）/3+/2=/1或/3+/1=22

【分析】（1）首先过点尸作尸。〃4,交NE于点C,由直线（〃/2,可得CP〃/"/4,然后由两直线平行,

同位角相等，求得答案；

（2）分两种情况：①当点尸在班'的延长线上运动时（如图2）,Z3+Z2=Z1；②当点尸在网的延长线

上运动时（如图3）,Z3+Z1=Z2；进行解答即可求解；

此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】（1）解：Z1+Z2=Z3.

证明：如图1,过点P作尸C〃/一交AE于点C,

则Z1=/APC,Za=Zj3,

•.】〃/2，

:.Za=Zy,CP//\//l2

"=々,Z2=ZCPE,

Z1+Z2=ZAPC+ZCPE=ZAPE,

即Z1+Z2=Z3；

（2）解：有两种情况：

①当点尸在火的延长线上运动时（如图2）,/3+/2=/1.

证明：过点P作PC〃/一

〃/2，

：.CP//lx//l2,

NAPC=Z1,/EPC=Z2,

Z3=ZACP-/ECP=Z1-Z2,

/.Z3+Z2=Z1；

②当点P在尸5的延长线上运动时（如图3）,Z3+Z1=Z2.

Z1///2,

NPDB=Z2,

•；N1+N3=/PDB,

.•.Nl+N3=/2；

综上，/3+/2=/l或N3+Zl=/2.

18.已知，AB//CD,点£为射线FG上一点.

⑵如图2,当点E在尸G延长线上时，此时CD与NE交于点则//£〃、NEAF、/EDG之间满足怎样

的关系，请说明你的结论；

⑶如图3,当点E在尸G延长线上时，DP平分NEDC,5.ZEAP:ZBAP=1:2,ZAED=32°,ZP=30°,

求的度数.

【答案】⑴70。

⑵NEAF=ZAED+ZEDG.理由见解析

(3)122°

【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键.

(1)过E作EH//AB,根据平行线的性质得到NEAF=ZAEH=25°,ZEDG=ZDEH=45°,即可求得ZAED;

(2)过过E作瓦0〃48,根据平行线的性质得到NE/尸=180。-/但/,ZEDG+AAED=1800-MEH,即

ZEAF=ZAED+ZEDG；

（3）设NE4/=%,贝IJNR45=3%,通过三角形内角和得到N或）K=%-2。，由角平分线定义及〃CD得到

3x=32°+2x-4°,求出X的值再通过三角形内角和求ZEKD.

【详解】（1）解：过E作EH〃AB,

•・•AB//CD,

图1

:.EH\\CD,

ZEAF=ZAEH=25°,ZEDG=ZDEH=45°,

/AED=ZAEH+ZDEH=70°.

(2)解：/EAF=/AED+/EDG.

理由如下：

过E作瓦l/〃45,

ZEAF+/MEH=180°,AEDG+AAED+MEH=180°,

:.ZEAF=\S00-ZMEH,ZEDG+ZAED=180O-MEH,

/EAF=ZAED+ZEDG.

(3)解：•/NEAP:/BAP=1:2,

设N胡尸=》,贝ljN6ZE=3%,

•••ZAED-ZP=32°-30°=2°,ADKE=ZAKP,

又ZEDK+ZDKE+ZDEK=180。，ZKAP+ZKPA+ZAKP=180。，

/.ZEDK=ZEAP-2°=x-2°,

•••Q尸平分NET)。，

NCDE=2ZEDK=2x-4°,

•・•AB//CD,

ZEHC=ZEAF=ZAED+ZEDG,

BP3x=32°+2x-4°,解得x=28。，

:.NEDK=28°-2°=26°,

.•.NEm=180°—26°-32°=122°.

19.如图，已知直线4〃4，4、,4和4、4分别交于点A