相似三角形模型（4大模型 高分技法 限时提升练）-2025年安徽中考数学复习专练（解析版）

重难点02相似三角形四种模型

明考情-知方向

2025年考向预测：解答题（必考题型）

重难点题型解读

考向一："8"字模型

模型一：“8”字模型

模型展示：

8字一一平行型

条件：CDWAB,

结论：△以6〜APC。（上下相似）；

左右不一定相似，不一定全等，但面积相等;

四边形26。为一般梯形.

D

条件：CD\\4B，PD=PC.

结论:△/^〜△。。〜△/女上下相似）

△PAAXPBC左右全等;

四边形26。为等腰梯形；

8字一一不平行型

条件：4CDP:乙BAP.

结论：

A4Q6〜△。2C（上下相似）；

ZL4PZ?〜"Pq左右相似）；

1.如图，已知。是BC的中点，M是A。的中点.求AN:NC的值.

【分析】解法1：过点。作AC的平行线交BN于点H,构造"A"型和"8"型，得出ABDHSABCV和

ADHM^AANM,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H,构造"A"型和"8"型，得出^BDM^BCH和

AAMNs△CHV,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H,构造"A"型和"8"型，得出和

AAHNMCBN,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

解法4：过点。作BN的平行线交AC于点”，根据三角形中位线定理得出AN=NH=C",

即可得出答案；

【详解】解法1：如图2,过点。作AC的平行线交BN于点H.

因为OH//AC.

所以ABDIIS^BCN,

^fiu—=—

CNBC

因为。为BC的中点，所以~―――——.

C7VnC2

因为DHUAN,所以GHMs^ANM,

所以黑=DM

AN~AM

E、fM,,,1LL7DHDM1

因为M为的中点'所以南=南=「

所以OH=AN,

所以网」

CN2

解法2：如图3,过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H.

所以黑=BD

CrzBC

因为。为BC的中点，所以器=黑

CrznC2

因为乂为人。的中点，所以=

所以第=

C/12

因为DM//CH,

所以AAMN^ACHN,

所以繇AM

~CH2

解法3：如图4,过点八作8C的平行线交B/V的延长线于点”.

因为A7///3O,所以△AHMs^DBM,

所以箓=第

因为M为A。的中点，所以=所以=

因为AH//BD,所以AAHNsACBN,

所以网=理

CNBC

因为。为BC的中点，且AH=HD,

所噂嘿21

解法4：如图5,过点。作BN的平行线交AC于点H.

在AMH中，

因为M为AD的中点，MN//DH,

所以N为的中点，即AN=NH.

在ACBN中，因为。为BC的中点，DH//BN,所以H为CN的中点，题CN=HN,

所以AN=NH=CH.

日南、IAN1

所以五FF

2.（2024•安徽合肥•一模）已知：如图，两个A/MB和AEBC中，DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC,

且点A、B、C在一条直线上，连接AE、ED,AE与BD交于点,F.

D

DF

(2)若”=CE,求言的值.

BD

【答案】⑴证明见解析;

(2)2^Z1

2

【分析】（1）证明AZMBSAEBC得到黑=段，再证明AAQFSREB尸得到当=冬，推导出第=整

EBBCEBBFBFBC

即可求证;

（2）证明AABFSA4CE得到空=丝，进而由止=CE得到空=丝，又由（1）的结论可得g=三,

CEACDFACDFAC

即得至UM2=AC.BC,得到点B是线段AC的黄金分割点，故而得到生=道二1,推导出空=避二1,利

AC2DF2

用比例的性质即可求解;

本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：S\DA=DB,EB=EC,

DADB

团---=---,

EBEC

国/ADB=NBEC,

也ADABS^EBC,

DAAB

国NDAB=NEBC,

EB~BC9

团AD//EB,

⑦ZDAF=ZAEB,ZADF=ZDBE

回AADFS^EBF,

ADDF

EBBF

DFAB

回----=----

BFBC

即Z＞尸・5C=8户AB；

(2)解：团ADABSAEBC,

⑦ZABD=NBCE,

^\ZBAF=ZCAE,

团Z\ABF^Z\ACE,

BFAB

0----=-----，

CEAC

若DF=CE,

eBFAB

则—=—，

DFAC

由（1）知斯•"，

BFBC

团---=---，

DFAC

ABBC

团---=---，

ACAC

^\AB1=AC.BC,

团点B是线段AC的黄金分割点,

„BC_75-1

uJ-------------,

AC2

回”=旦

DF2

口BF+DF6一1+2

DF2

小+1

凶---=-----，

DF2

回里=上一旦

BD布+12'

3.（1）某学校"学习落实"数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在回ABC中，点。在线段BC上，08/40=30°,E1OAC=75。，AO=6BO：CO=2：1,求AB的长经过

数学小组成员讨论发现，过点B作BDSiAC,交4。的延长线于点D,通过构造蜘BD就可以解决问题（如图2）

AA

、^7\

BoCB'、/OC

V

图1D图2

请回答：SADB°,AB=

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点。，AC^AD,A0=旧,,EMBC=I3ACB=75。，80：。。=2：

1,求0c的长

【答案】⑴75,3小（2）8=殍

【分析】（1）根据平行线的性质可得出回AOB=I3OAC=75。，结合EIBOO=I3COA可得出EIBODEBCOA,利用相似三

角形的性质可求出。。的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出蜘BD=750=EMOB,由等角对

等边可得出AB=AD即可求解；

（2）过点B作BEEM。交AC于点E,同（1）可得出AE=3若，在RKME8中，利用勾股定理可求出8E的长

度，再在RtBCAD中，利用勾股定理即可求出DC的长.

【详解】解：（1）如图2中，过点B作BDEMC,交A。的延长线于点0,

0BD04C,

aa4OB=EIOAC=75°.

S3\BOD=SCOA,

aaBooa3coA,

ODOB

团==2,.

OAOC

又&4。=6,

回0D=2A0=26

回AD=A0+00=3G

的BZD=30°,MD8=75°,

^\ABD=180°-回BAD-回八DB=75°=朋DB,

W\B=AD=3y/j;

故答案为：75,30.

（2）如图3中，过点B作8EM。交AC于点E.

M®。，BEZZ。，

酿D/AC=©B£4=90°.

^\AOD=^\EOB,

回MODHEEOB,

BOEOBE

回===2.

ODAOAD

团BO：OD=1：3,

^\AO=5/3,

团EO=26,

朋E=3S

的4BC=MCB=75°,

团团B/AC=30°,AB=AC,

^\AB=2BE.

在RtMEB中，BE2+AE2=AB2,即(4BE2)2+BE2=(2BE)2,

解得：8E=3,

3

MB=AC=6,AD=-

2

3

在Rt团GAD中,AC2+AD2—CD2即6?+(-)2=CD2,

f2

解得：吁孚（负根已经舍弃）.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平

行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.

4.（2023•安徽合肥•模拟预测）在Rt^ABC中，ZACB=90°,tanZABC^a,。是BC上一点（不与点8,

C重合），连接AD,过点C作于点E,连接8E并延长，交AC于点尸.

⑴如图1,当。=1时，

①求证：ZECD<45°；

②求证：nCD

~CF

（2）如图2,若。是BC的中点,求tan/CEF的值（用含。的代数式表示）.

【答案】（1）①详见解析；②详见解析

⑵T

Ar'

【分析】（1）①由tan/A5C=F=l得，NABC=45。，由外角定理得/包心=45。+义&4£>,从而

BC

ZECD=90°-ZEDC<45°.

②过点B作〃AC,交CE的延长线于H,证明AACD也4CBH,得到BH=CD,再证明ABEH^FEC,

得到普=萼，即可得结论.

EFCF

（2）过点3作3M_LCE,交CE■的延长线于设BC=2m,证明ABCMsAfMC,表示出四、CM、EM

的长…“E/tanN曲二黑求得结果.

【详解】（1）证明：①•.•NACB=90。，tanZABC=4S=h

BC

:.AC=BC,

:.ZABC=45°,

-.­ZEDC=ZABC+ZBAD=45°+ZBADf

「./EDC>45。,

・・・。£，仞于点石，

.•./DEC=900,

ZECD=90°-ZEDC,

/.Z£DC<45°.

②证明：如图1,过点3作BH〃AC,交CE的延长线于H,CH与AB交于G,

・・・NACB=90。，

..ZBCH+ZACE=90°,

•：CEVAD,

.•.ZZMC+ZACE=90°,

:.NDAC=NBCH,

XvtanZABC=——=1,

BC

BC=AC,

.•.△ACZ泾△CSH(ASA),

:.BH=CD.

•.・BH//AC,

:.4BEHSAFEC,

BEBH

~EF~~CF"

BECD

*EF-CF,

(2)解：如图2,过点g作交CE的延长线于M,

图2

贝！JNBMC=9O。,

・・・NACB=90。，

..NBCM+ZACE=9U0,

vCElAD,

ZDAC+ZACE=90°f

,\ZBCM=ZDACf

:.^BCM^^DAC,

.BMBCCM

-CD-AB-AC'

设BC=2m，

•.•。是5c中点，

BD=CD=m,

AC

,「tanXABC==a,

BC

AC=2am,

:.AD=y）AC2+CD2=7（2tzm）2+m2=V^+lm，

BM_2nl_CM

…m"/+i帆2am，

2“2m4am

，BM=---------CM=—{=

J4/4+1'"a2+1'

:BM〃AD,。是BC中点，

,.l「门2am

ME=CE=,.

J4/+1

tanNCEF=tanZBEM==-

MEa'

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识,

综合性比较强，合理添加辅助线，把所学知识串联起来熟练运用是解题的关键.

考向二："A"字模型

模型二：“A”字模型

模型展示：

,.,„AAADAEDE

⑴如图1,DE//BC^^ADE^=—=—

ADACDC

/、上e人人ADAEDE

⑵如图2,AAED=ZB^AADE^AACB^-^=~^—

ACAJJDC

ADACCD

⑶共边共角模型，如图3,/ACMNg丛ADCsAACB-k「行

力。ADbb

证明：VBEXAC,CD1AB,

：.ZAEB=ZADC=90°.

AT)4cAT)AJ7

/A=/A,△AS£°°Z\ACZ).Aj7~AJ)'AAo'

AtADACAo

又,/ZA=ZA,/\ADE^AACB.

2.如图，在AABC中，点2在线段6c上，ZBAD=75°,ZCAD=30°,AD=2,

BD=2DC,求友7的长.

【解析】过点。作。M//M交AC于点M.

又ZADM+ZAMD+ADAM=180,ACAD=30

ZAMD=75,：.ZAMD=ZADM,

/.AD=AM=2.

AMBD

•••DM//AB,

.BPAM_2

又=BD=2DC,

-BC-^4C-3,

.AC=3.

【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识.

3.一块直角三角形木板的面积为1.5m2,一条直角边A5为1.5m,怎样才能把它加工成一个面积最大的正方

形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损

耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.说明见解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合

要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得

到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角

形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求.

【详解】解：作BH朋C于H,交DE于M,如图

团哈管=2

0AC=VAB2+BC2=A/1.52+22=-

2

ABH=9

5

又回DEIiLAC

DEBM

团----=-----

ACBH

6

—xan

回5=七-，解得—行

JUJ/

25

设正方形的边长为x米，如图乙

田D团AB

DECD

团----=----

ABCB

x2-x”=6

回行=亍，解得％

630

0—>—

737

回乙木匠的加工方法符合要求.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立

数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键.

4.(2022•合肥二模)已知：如图，AA5c中，NACB=90。，CD为回边上的高，NABC的平分线BE分

别交CD,AC于点/，E.

(1)求证：ACBFs^ABE；

(2)若AB=1O,BC=6,求ACS尸的面积；

(3)^BC=AD,求乌的值.

AE

C

【分析】(1)根据NA+NACD=NACD+N3c0=90。，可得N4=N3CD,再结合角平分线的定义可得

ZABE=ZCBE,即可得证.

(2)过点E作于点由角平分线的性质可得CE=A1E,利用AAMESAACB,求出ME的值，

进而可得5放=工45-上"=」xl0x3=15,由(1)知，ACBFsAABE,而相似三角形的面积比等于相似

iAvAioc22

比的平方，进而可得出答案.

(3)易知CE=ME,AAMEsAACB,ABC"ABAC,可得也=些，—=—,结合6C=AZ),可

AEABABBC

彳/曰早_C__E____E__M_____B_C_________B__C__________1__________1___可求出生的值，即可得出答案.

'AE~AE~AB~BD+AD~BDBCAB

BCAB

【解答】解：（1）证明：・.・CD为AB边上的高,

.\ZADC=ZACB=90°,

ZA+ZACD=ZACD+ZBCD=90。,

:.ZA=ZBCD,

•.BE平分ZABC,

:.ZABE=/CBE,

:.ACBF^AABE.

(2)过点石作£7以_1钻于点

C

AC=8,

・.・HE是NABC的平分线，ZACB=ZBME=90。,

:.CE=ME,

・.・NA=NA，ZAME=ZACB,

:.^AME^/SACB,

.AEME

…BC'

设CE=ME=x,贝|AE=8—%，

8-x_x

----=一，

106

解得x=3,

S.ARF=-AB-EM=-x}0x3^l5,

AABE22

由(1)知，ACBF^AABE,

.S&CBF_(C3)2_9

一。一AB一五’

(3)由(2)知，CE=ME,AAME^AACB,

EM_BC

…~AE~~AB，

•••/CBD=ZABC,ZA=ZBCD,

..ABCD^ABAC,

BC_BD

AB-BC'

\BC=AD,

CE_EM_BC_BC_1_1

…彘一海—南—BD+AD-BD]JBCI

BCAB

.BCy/5-1

••—,

AB2

.CEA/5-1

..---=-----.

AE2

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答

本题的关键.

5.如图，在蜘BC中，AB=AC,以AB为直径作回。交BC于点D,过点。作回。的切线DE交AC于点E,交AB

延长线于点F.

(1)求证：DEEL4C；

(2)若A8=10,BF=—,求AE的长.

3

【答案】⑴见解析；(2)AE=8.

【分析】(1)连接OD、AD,由AB=AC且EIADB=90。知D是BC的中点，由。是AB中点知ODE1AC,根据

ODIBDE进一步求证即可；

(2)通过证明回ODFEHAEF,可得"="，据此进一步求AE的长即可.

AFAE

【详解】(1)连接OD、AD,

A

回DE切回0于点D,

团0D团DE,

团AB是直径，

团团ADB=90°,

回AB=AC,

团D是BC的中点，

又回。是AB中点，

团ODR1AC,

国OD团DE,

团DE回AC；

(2)团AB=10,

团OA=OB=OD=5,

2540

回OF=BO+BF=——，AF=BF+AB=——，

33

由(1)得OD团AC,

的ODF二团AEF,团F二团F,

的ODF酿AEF,

OFOD

回-------，

AFAE

团AE=8.

【点睛】本题主要考查了切线的性质与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

考向三：“手拉手”旋转型

模型三：“手拉手”旋转型

模型展示：

旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.

1、如图，。为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且N3=/4.求证:

⑴AABDsACBE；

(2)AABCs4DBE.

证明：(1)：NA8C=NQBE,

:./ABC—2DBC=/DBE—/DBC,即N1=N2.

又N3=/4,.'.△ABDSACBE.

(2)VAABDsdCBE,

.ABDB•AB_CB

,,CB=EB"，DB=EB-

大NABC=NDBE,：.AABC^ADBE.

2.(2021•安徽,二模)在数学探究活动中，小梦进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABCCBACB

=90。，AC=BC=13)和ADE(0AZ)E=9O。，AD=DE=5)的锐角顶点A重合，AO在AC边上.

请完成下列探究：

(1)tanISABE的值为；

(2)将她。E绕点A顺时针旋转(旋转角为锐角)，连接BE,当C,D,E三点在同一条直线上时，取线段

8E的中点M,线段。0的长为.

【答案】《6^2.

【分析】⑴因为AABC和AAD石是等腰直角三角形，可以得到NB4E=90。，即可求解；

⑵连接0M并延长至R使=连接8死CF,证明得到ABMF名AEMD,进而进行求解.

【详解】（1）由图形可得，AABC和AADE是等腰直角三角形，

ZACB=ZADE=90°f

^ZBAD=ZDAE=45°,

回NBAE=NEW+ND4£=45。+45。=90。，

.一4AE^AD2+DE2505

在Rt\BAE中，tan/ABE==—/=尸=—,

ABVAC2+BC213613

⑵连接。M并延长至E使FN=DM,连接BECF,

如图所示：

团M是8E中点，

X^FM=DM,ZBMF=ZEMD，

⑦ABMFmAEMD,

0BFIIDE,BF=DE,ZFBC+ZBCE=1SO0,

又团/BCE=ZBCA+ZACD,

团NBC4=90。，

团NFBC+ZACD=90。，

团NC4T>+NACD=90。,

⑦NFBC=/CAD,

^\AD=DE,BF=DE,

^\BF=AD,

在AfiCF和AACD中，

AC=BC,ZFBC=ZCAD,BF=AD,

0ABCF^MCD,

CF=CD,/BCF=ZACD,

ZFCD=ZFCA+ZACD=ZFCA+ZBCF=90°,

在中，

HAASAC=13,AD=549

^CD=yjAC2-Alf=12,

过M作阴7，。。于6,MG是AFCD中位线，

^\MG=-CF=-CD=6,

22

在mACMG中，CG=-CD=6,MG=6,

2

22

^CM=y/cG+MG=672.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，正确作出辅助线，读懂题意是解题的关键.

3.（2023•亳州三模）如图1,在AABD和AACE中，ZBAD=ZCAE,ZABD=ZACE.

(2)如图2,旋转AADE,使点。落在边上，若44C=NZME=9O。，NB=NADE.求证：CE±BC.

AR4D

【分析】(1)①根据两个角相等可得AABD-AACE,得丝=丝，再根据NE4c=可证明结论;

ACAE

②由①知，当AB=AC时，AD=AE,则AADE是等腰三角形；

(2)同理证明AfiMSAG场，得NB=/ACE,再利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明结论.

【解答】(1)①证明：\-ZBAD=ZCAE,ZABD=ZACE,

:.AABD^AACE,

.ABAD

「AC-AE'

目口ABAC

ADAE

又,.・ZBAD=NCAE,

.\ZBAD+ZDAC=ZCAE^-ZDACf

即ZBAC=ZDAE,

.-.AABC^AADE；

②解：AADE是等腰三角形，理由如下：

由①知，空=生，

ADAE

\AB=AC,

AD=AE,

.•.A4DE是等腰三角形；

(2)证明：vZBAC=ZDAE,ZB=ZADE,

..ABAC^ADAE,

.ABAC

…~AD~^E'

.ABAD

…AC-AE'

又・・・44C—NZMC=NZ14E—NZMC,

,\ZBAD=ZCAEf

:.\BAD^\CAE,

:.ZB=ZACE,

・・・"4C=90。，

:.ZB+ZACB=90°,

..ZACE+ZACB=90°,

:.ZBCE=90°,

.\CE.LBC.

【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三

角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

4.（2024九年级下•安徽•专题练习）（1）（问题发现）如图1,VABC和VADE均为等边三角形，点3,D,

E在同一条直线上.填空：

①线段30,色之间的数量关系为;

②NBEC=°.

(2)(类比探究)如图2,VABC和VADE均为等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°,AC^BC,AE=DE,

点、B,D,E在同一条直线上，请判断线段8。，CE之间的数量关系及/3EC的度数，并给出证明.

(3)(解决问题)如图3,在VABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=5,点。在A8边上，DELAC千

点、E,AE=3,将VADE绕点A旋转，当OE所在直线经过点B时，CE的长是多少？(直接写出答案)

图1图2图3

【答案】(1)①BD=CE；(2)60；(2)BD=42CE，ZBEC=45。,见解析；(3)2)或26+：

【分析】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角

三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题，属于中考压轴题.

(1)首先根据"CB和“ME均为等边三角形，可得AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

ZADE=ZAED=6O°,据此判断出=,然后根据全等三角形的判定方法，判断出

△ABD^AACE,即可判断出30=CE,NBDA=NCEA,进而判断出,3EC的度数为60。即可；

(2)首先根据"CB和VADE均为等腰直角三角形，可得AC=BC,DE=AE,ZACB=ZAED=90°,

进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；

(3)根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】解：(1)①•.•△ACB和均为等边三角形，

:.AB^AC,AD=AE,ZBAC=N/ME=60°,ZADE=ZAED=60°,

:.ZBAC-ADAC=NDAE-ADAC,

即=

在△ABD和AC4E■中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

.".AABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,NBDA=NCEA,

；点、B,D,E在同一直线上，

ZADB=180-60=120°,

.-.ZAEC=120o,

ZBEC=ZAEC-ZAED=120-60=60°,

综上，可得/AEB的度数为60。；线段8。与CE之间的数量关系是：BD=CE.

②ZBEC=ZAEC-ZAED=120-60=60°；

故答案为：BD=CE；60；

（2）BD=V2C£，ZBEC=45°.

理由如下：VABC和VADE均为等腰直角三角形，

ABAC=ZABC=ZADE=Z.DAE=45°,ZACB=ZAED=90°,

:.ZBAD=ZCAE,ZADB=135°,

24cAE/o

,/RtAASC和Rt^ADE中，sinZ.ABC=----,sinNADE=------,sin45°=—,

ABAD2

.ACAE_y[2

AB-

.ABAC

,,一,

ADAE

又/BAD=/CAE,

:.AABD^/\ACE,

BDABAD

..ZADB=ZAEC=135°,——=——=——，

CEACAE

・•./BEC=ZAEC-ZAED=45°,

•.ACAE

安后，

AC

BD=^2CE;

(3)如图3中,

图3

/.A,B,C,E四点共圆，

.-.ZCEB=ZCAB=30P,ZABD^ZACE,

\'ZFAE=ZBAC=30°,

:.ZBAD=ZCAE,

.△BAD^ACAE,

，生=生33。。=走,

BDAB2

:.EC=—BD,

2

在RSADE中，，：DE=6ZDAE=30°,

:.AE=6DE=3,

BE=ylAB2-AE2=4，

:.BD=BE—DE=4—6,

:.CE=—BD=2y/3--，

22

如图4中，当。，E,5在同一直线上时，同法可知BDuDE+ESud+g,CE=—BD=2s/3+-,

22

图4

综上所述，CE的长为26-|或26+|.

考向四：“一线三等角“模型

模型四：“一线三等角”模型

模型展示：

(1)“三垂直”模型

如图1,ZB=ZD=ZACE=90°,则△/比S2\功£

(2)“一线三等角”模型

如图2,AB=Z.ACE=ZD,则△切£

特别地，连接力£,若。为M的中点，则次

(1)求证.：AABEsAECD；

(2)若.AB=4,AE.=BC=5,求CO的长.

解：(1)证明：'：AB±BC,DCLBC,.,.NB=/C=90°,

ZBAE+90°.

'：AE±DE,：.ZAED^90°,

：.ZAEB+ZDEC=9Q°,

：.ZBAE=ZDEC,

：.△ABEs^ECD.

(2)在RtAABE中，•.18=4,AE=5,

ADBE433

：.BE=3,：.EC=BC-BE=5-3=2."：AABE^A£CD,上/=宁，六彳=不，:,CD予.

2、如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合)，满足且点

D,歹分别在边AB,AC上.

⑴求证：4BDEs4CEF；

(2)当点E移动到8C的中点时，求证：FE平分/DFC.

证明：⑴：AB=AC,

：・/B=NC.

VZBDE=180°-ZB-ZDEBfZ.CEF=1800-ZDEF-ZDEBf且NDEF=/B,：.ZBDE=ZCRF.

・••△BDEs"EF.

BEDE

Q)・：ABDEs^CEF,A™=—

CEDE

•・•点是的中点，；隹.

E5c.JBE=CE.KCr=£Sr

火/DE.F=/B=/C,：.丛DEFsAECF.

：.ZDFE=ZCFE,即PE平分/DFC.

3.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰MBC中，其中

AB=AC,如图1,进行了如下操作：

第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E,F,如图2；

第二步，分别以点E,F为圆心，大于々EF的长为半径画弧，两弧相交于点。，作射线A。；

第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；

(1)填空；写出回。。与13G4。的大小关系为—;

(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由.

②当A3=AC=6,8C=2时，连接。G,请直接写出等=―；

ACJ

(3)如图3,根据以上条件，点P为的中点，点M为射线/W上的一个动点，连接PM,PC,当NCPM=NB

时，求4W的长.

【答案】⑴EIC4D=EIGAD；

(2)①ACfflBC；②3

(3)9

【分析】⑴根据题目的尺规作图发现A。平分回CAG即可得到配AD=回G/W；

(2)①由A。平分13aG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；

②易证AABC〜A/MG,可得丝=丝=3

AGBC

(3)以M为圆心，的长为半径画弧，交射线8A于点N,由(2)可得/CPM=/B=ZN,

即可用一线三等角模型构造相似解题.

(1)

由尺规作图步骤发现AD平分团CAG

回回。。二回GA。；

(2)

①团AB=AC

团/ABC=/ACB

回团CZ。二团G4。,ZCAG=Z.GAD+ACAD=ZABC+ZACB

^\ZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB

加。团BC

(2)^\DA=DG

^\ZGAD=ZAGD

^1ZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB

BZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB=ZAGD

团小ABC〜△/14G

ADAB

回---=---

AGBC

^AB=AC=6,BC=2

ADABc

团——=—=3

AGBC

(3)

以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N,如图

BC

AAfAB

由(1)(2)^^ZNAM=ZCAM=ZB=ZACB=ZN,——=——=3

ANBC

设4V=%则4^=必/=3彳

回点P为AB的中点

B1PA=PB=-AB=3

2

0ZCPM=ZB

0NCPM=/B=NN

0Z.BCP=ZMPN=ZNPC-ZB

@ABPCfNMP

BPBC

团----=----

MNNP

39

回?==7,解得x=3

3xx+3

SAM=3x=9.

【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图

的步骤判断是作角平分线.

4.(1)问题

如图1,在四边形ABC。中，点P为AB上一点，当/OPC=NA=/B=90。时，求证：ADBC^APBP.

（2）探究

若将90。角改为锐角或钝角（如图2）,其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

（3）应用

如图3,在AABC中，AB=20,NB=45。,以点A为直角顶点作等腰及△ADE.点。在BC上，点E在

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）CD=5

【分析】（1）由EIDPC=EM=B=90°,可得0/WP=ISBPC,即可证到EMOPsI3BPC,然后运用相似三角形的性质即

可解决问题;

（2）由回DPC=M=[3B=a,可得回ADP=I3BPC,即可证至胆lAOP。I3BPC,然后运用相似三角形的性质即可解决

问题;

（3）先证MBDSODFE,求出DF=4,再证EIEFCSMEC,可求FC=1,进而解答即可.

【详解】(1)证明：如题图1,

团团OPC二加二回B=90°,

团蜘DP+团4PD=90°,回BPC+朋PD=90°,

团蜘DP=回BPC,

团蜘DPs团BPC,

.ADAP

^\AD'BC=AP'BPf

(2)结论仍然成立，理由如下，

•//BPD=/DPC+/BPC,

又・・•ZBPD=ZA+ZADP,

Z.DPC+ZBPC=ZA+ZADP,

♦;/DPC=ZA,

设NDPC=NA=a,

:./BPC=ZADP,

:./\ADPs4BPC,

,ADAP

一而一拓’

^1ADBC=APtBP,

(3)vZEFD=45°,

ZB=ZADE=45°,

:.ZBAD=ZEDF,

:.AABDS八DFE,

ABAD

"DF-DE?

・・・VADE是等腰直角三角形，

DE=\f2AD，

・・・AB=2V2，

:.DF=4,

•・•ZEFD=45°,ZADE=45°,

ZEFC=ZDEC=135°,

:.AEFCSADEC,

.FCEC

'~EC~~cb'

・,EC=®CD=DF+FC=4+FC,

:.EC?=FC•CD=FC(4+FC)=5,

;.FC=1,

CD=5.

【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45。角将问题转化为一线三角是解题

的关键.

5.(2022•扬山县模拟)如图1,在四边形ABCD中，AC是对角线，且＞1B=AC.歹是3c边上一动点，

连接AF,DF,DF交AC于点、E,其中NZMF=9O。，ZAFD=ZB.

(1)求证：ACEC=BFCF；

(2)若AB=AC=1O,BC=16.

①如图2,若DF//AB,求旦的值；

AB

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出ZAB尸=NFCE,再根据NAFC=NAFE+NEFC=NABF+NE4B

得出NEFC=NFAB,证AAB尸sAFCE,根据线段比例关系即可得出结论；

(2)①证AAB尸SACR4,得族=4生=122=史，再根据=2C-台尸=老，最后利用平行线分线段成

BC1644

比例得出巨=c匕得出结论即可；

ABBC

②过点A,。分别作A〃J_3C,DNYFC,垂足分别为M,N,过点A作AGLDN于点G,根据三角

函数得出tanNAFD=——=tan5=—,证AAVFSAAGD,根据线段比例关系分别求出CF和DN的值即可

AF4

求出ADCF的面积.

【解答】(1)证明：・.・AB=AC,

,\ZABF=ZFCE,

・：ZAFD=ZB,ZAFC=ZAFE+ZEFC=ZB+ZFAB,

:.ZEFC=/FAB,

.,.AFABs^EFC,

.AB_BF

一正一演’

即至•石。=6FCF；

(2)解：①・.・。尸//AB,

:.ZBAF=ZAFE,

:.ZBAF=ZACB,

又・.ZABF=NCBA,

..AFAB^AACB,

ABBF

BC-AB

...CF=BC—BF=——

4

*：DF1/AB,

.EFCF39

"A3-BC-16-64'

②如图，过点A,。分别作DN1FC,垂足分别为M,N,过点A作AG_LDN于点G,

A一D

A/FNC

在AABC中，AB=AC,AM.LBC,

:.BM=CM=8,则AM=JAB?-3吠=6,

“AM3

..tanB------——,

BM4

\ZAFD=ZB,ZDAF=90°,

AjT)3

/.tanZAFD------=tanB=—,

AF4

・.・ZAMN=Z.GNM=ZAGN=90°,

二.四边形MNG4是矩形，

:.GN=AM=6,NM4G=90。，

又・・・ZEW=90。，则/7^^+/融6=^1146+/以6=90。，

ZFAM=ZDAG.

X•/ZAMF=ZAGD=90°,

「.AE4MsAZMG,

.-G池_3

"AM-AF-4?

3Q

则AG=_AM=_

42

9

?.MN=AG=-

2

Q7

贝(JQV=CM—肱V=8——=—

22

•・DF=CD,

,\CF=2CN=1,

:.FM=CM—CF=\,

由AE4AfsS4G,

-曰DGAD3

得---=——=一，

FMAF4

3

DG=-

4

327

:.DN=DG+GN=-+6=—

44

127189

S=-CFDN=—x7x——=-----

AnrF248

【点评】本题主要考查相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例等知识是

解题的关键.

6.矩形408C中，0B=4,0A=3.分别以08、0Z所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标

系.F是BC边上一个动点(不与B、C重合).过点F的反比例函数y="(k>0)的图象与边AC交于点E.

X

⑴当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为.

⑵连接EF,求回FEC的正切值;

⑶如图2,将团CEF沿EF折叠，点C恰好落在边0B上的点G处，求BG的长度.

【答案】⑴(2,3)

(2)t

⑶:

【分析】(1)求出点F的坐标，进而求出反比例函数的表达式，即可求解;

(2)CF=BC-BF,CE=AC-AE,求出CF、C