探究性问题 专项练习（含解析）-2025年中考数学一轮复习

类型9探究性问题

压轴例题精讲

【例】有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E,F分别在边AB和AD上，

连接BF,DE,M是BF的中点，连接AM交DE于点N.

(1)线段DE与AM之间的数量关系是位置关系是_______；

(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2,其他条件不变，线

段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由.

AFDAD

【解】(1)DE=2AMDEXAM.

(2)仍然成立.理由如下：

如图.延长AM到点H,使MH=AM,连接BH.

G

B

••.点M是BF的中点,；.BM=FM.

又/BMH=NAMF,

/.BH=AF=AE,ZH=ZFAM,

；.AF〃BH,

/.ZFAB+ZABH=180°.

又：ZEAF+ZBAD=ZDAE+ZBAF=180°,

NABH=/DAE.又AB=AD,

△ABH^ADAE,AH=DE.

,/AH=2AM,DE=2AM.

又ZBAH=ZADE,ZBAH+ZDAN=90°,

ZADE+ZDAN=90°,

/.ZAND=90°,

即DEXAM.

1.问题提出如图1,在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点，延长BC至点E使DE=DB,延长ED交AB于点

F，探究徐勺值.

问题探究⑴先将问题特殊化如图2,当/BAC=60。时,直接写出黑的值；

⑵再探究一般情形.如图1,证明⑴中的结论仍然成立.

问题拓展如图3,在4ABC中,AB=AC,D是AC的中点,G是边BC上一点，^=-(n<2),延长BC至点E,

DC71

使DE=DG,延长ED交AB于点F.直接写出笠的值(用含n的式子表示).

2如图，二次函数y=-$2+1”+4的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m.过点P作直线PDLx轴于点D,作直线B

C交PD于点E.

⑴求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)当4CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

⑶连接AC,过点P作直线1〃AC,交y轴于点F,连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P,

使得CE=FD,若存在,请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.

3.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平;

操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30。的角:;

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照⑴中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ.

①如图2,当点M在EF上时,/MBQ=°,ZCBQ=°;

②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合)，如图3,判断/MBQ与/CBQ的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用

在⑵的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时直接写出AP的长.

图1-

APDAPD

BCBC

图2图3

4.在△ABC中,/ACB=90。，翌=m,D是边BC上一点,将△ABD沿AD折叠得到仆AED,连接BE.

⑴特例发现如图1,当m=l,AE落在直线AC上时，

①求证:/DAC=NEBC;

②填空：海勺值为二

CE

⑵类比探究如图2,当m¥l,AE与边BC相交时，

在AD上取一点G,使/ACG=/BCE,CG交AE于点H探究(第勺值(用含m的式子表示)，并写出探究过程；

CE

(3)拓展运用在(2)的条件下，当机=：D是BC的中点时，若EB.EH=6,求CG的长.

图1图2

5.问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题:如图①，在口ABCD中,BELAD,垂足为E,F为CD的中点，连

接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：⑵希望小组受此问题的启发，将口ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C

的对应点为C,连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；

问题解决：⑶智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点B的直线折叠,如图③，点A的对应点为A，，使A^BXC

D于点H,折痕交AD于点M,连接A，M,交CD于点N.该小组提出一个问题：若此nABCD的面积为20,边长AB=

5,BC=2V5,,求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

1.实验与探究

操作一：如图1是一张矩形纸片，点E在边AB上把△BCE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点

F处，连接DF,且点E,F,D在同一直线上.

⑴若/CEB=70。厕/EDC=°;

⑵当AE=4时，求BE的长.

操作二:如图2,矩形纸片中,AB=5,BC=4,点G是BC的中点点E是AB边上的一动点，将ABGE沿EG所在

直线翻折得到△FEG,连接DF,则线段DF的最小值是______.

2.如图1,矩形ABCD中,AB=10,BC=8.E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边的点

C处.

⑴填空AC的长为;

⑵如图2,将ADCE沿线段AB向右平移使点C与点B重合得到△DBE,DE与BC交于点F,DB与DE

交于点G,求EF的长；

⑶在图2中，连接GF,EE,则四边形GEEF是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由.

3.已知抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，且过点((1,:)和点(2,1).);

4

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点D(-l,p)和点E(m-Lq)在抛物线上，试比较p,q的大小；

(3)过点F(0,1)作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B，线段AB的垂直平分线交y轴于点M,试探

究需是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

FM

4.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点P为线段CD上的一个动点，点P从D点出发,以每秒4个单位

长度的速度从点D向点C运动，过点P作AC的平行线交AD于点、,将4PDQ沿PQ折叠，点D落在点E

处，连接DE,AE,如图2,设运动的时间为t秒.

(1)观察猜想:①当点P运动时,NADE的大小是否发生变化？若发生变化，求sin/ADE的变化范围；若不发生

变化，直接写出sinZADE的值；

②在P点运动过程中，线段AE的最小值为(直接写出答案)；

(2)推理探究:设△PQE与AACD的重叠部分的面积为S,请你直接写出S与t的函数解析式，并写出自变量

t的取值范围；

(3)拓展延伸：延长PE交直线AC于点F，交直线BA于点G，在运动过程中，当F为EG的中点时(如图3),

试求出t的值.

BGA

图3

5.如图1,M是线段AB上任意一点(不与点A,B重合)，分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角

三角形AMC和等腰直角三角形BMD,连接CD.取AB的中点E,CD的中点F,连接EF.

猜想验证：

⑴如图2,当点M与点E重合时,试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图3,当点M与点E不重合时，问题

(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

⑶如图3,若AB=2cm.线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由.

图2图3

6.在学习研究完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.问题背景如下：在矩形

ABCD中，AB=4,BC=6.M为BC的中点,P,Q分别是AB,CD边上的点，连接MP,MQ.

操作与发现

如图1,WAMBP沿PM翻折，点B落在点B处，将△MCQ沿MQ翻折，点C落在点C处,连接B'C.

⑴当B'C,^BC时，小组成员发现BP=CQ,请你完成证明；

⑵如图2，小组成员进一步发现当MB1±MC',CQ=1时，还能求出BP的值，请你求出这个值；

(3)如图3，小组成员沿着⑵小题的思路，提出了问题“当△MBC为等边三角形，且CQ=1.5时，求BP的长”.

请你直接写出BP的长.

7如图1,已知抛物线旷=-呆2+乂+4与*轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,作

直线BC,点C关于x轴的对称点是点C.

(1)求点c的坐标和直线BC的表达式；

⑵如图2,点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM,CM,CN,NB,当四边形BMCN是菱形

时，求点M坐标；

⑶如图3,P是抛物线第一象限内一动点，过点P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E,

连接PC交直线BC于点D,连接QC,PB,设点P的横坐标为m,AQCD的面积为Sx,APBD的面积为S?,求工

-52的最大值.

类型9探究性问题

1.问题探究(1);(2)略问题拓展一

44

问题探究⑴证明/ADF=/CDE=NCED=30。,从而证明AF:AD=AD:AB=1:2,即可得AFA;⑵取BC的中点H,连

接DH,证明△DBH^ADEC,AEDH-AEFB,再由相似三角形的性质证明结论；问题拓展利用全等三角形、相似

三角形的判定与性质即可证明.

解：问题探究⑴;

⑵证明:取BC的中点H,连接DH.

是AC的中点,

•••DHAB.DH=-2AB.

TAB二AC,

・・・DH=DC,

JNDHONDCH.

YBD=DE,

JNDBH=/DEC.

I.ZBDH=ZEDC.

・•・ADBH^ADEC.

・・・BH=EC.

EB_3

,,EH——2■

•・・DH〃AB,

・•・AEDH^AEFB.

.FB_EB_3

"DH~EH~2

.FB_3

••AB——4■

tAF_1

"AB-4

另解1:证明/人口尸二/八8口得4ADF^AABD也可求解.

另解2:取AB的中点M,证明△ECD之△DMB也可以求解.

问题拓展早.

4

2.(l)A(-2,0),B(8,0),C(0,4)y=-|x+4(2)(4,6)(3)4或2--2

⑴根据抛物线的函数表达式求出点C,A,B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数表达式即可；⑵

易得点P(m，-加2+孤+4)过点C作CG±PD于点G，由题中已知条件可证得四边形CODG是矩形，再利用

矩形的性质与平行线的性质得到/1=/2,结合/CGE=NBOC,可证得△CGEs^BOC,从而可求出EG,根据等腰

三角形“三线合一”可得PG=EG,然后利用PD=PG+DG建立关于m的方程，解方程即可求出m的值，据此可得点

P的坐标;(3)过点C作CHXPD于点H,易得点P(m--im2+jm+4),先求出直线AC的函数表达式,根据PF

//AC,可得直线PF的函数表达式，从而可得点F的坐标，求出OF的长，利用HL定理证明RtACHE^RtAD

OF,则有NECH=NFDO,进而得/FDO=NCBO,利用等角的正切相等，可建立关于m的方程，解方程即可求出m

的值.

解:(1)由y=—；久2+|久+4得，

当x=0时,y=4.

.••点C的坐标为(0,4).

当y=0时，—^X2+^X+4—0,

解，得-=-2,X2=8.

•.•点A在点B的左侧，

•••点A,B的坐标分别为A(-2,0),B(8,0).

直线BC的函数表达式为y=-|%+4.

⑵•••点P在第一象限抛物线上，横坐标为m,且PDJ_x轴于点D,

点P的坐标为(m，—1/+|m+4),=m.

13

•••PD=——m7+-m+4.

42

•・,点B的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),

・・・OB=8,OC=4.

过点C作CG±PD于点G,则NCGD=90。.

•・・ZPDO=ZCOD=90°,

・•・四边形CODG是矩形.

JCG〃OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

AZ1=Z2.

ZCGE=ZBOC=90°,

.'.△CGE^ABOC.

tEG_CG

••CO-BO"

即吧=2

48

•••EG=-m.

2

在^CPE中,TCP=CE,CG_LPE,

•••PG=EG=-m.

2

.・.PD=PG+DG=-m+4.

2

131

•••——7+-m+4=-m+4.

422

解，得g=4M2=0（舍去）.

m=4.

当m=4时，y=—im2+|m+4=6.

；•点P的坐标为(4,6).

(3)m的值为4或：2V5-2.

3.(1)ZABP或ZPBM或ZMBC或/BME(2)①15,15②/MBQ=NCBQ,理由略⑶*机或||cm

⑴过点M作MHLBC于点H,则易证四边形BEMH是矩形则MH=BE根据折叠的性质可知NABP=Z.PBM

,AE=BE=AB,AB=BM,再利用正弦的定义可得sinZMBH的值从而可得/MBC=30。,结合/ABC=90。,可得

NABP=/PBM=30。从而可得/BME=30。;⑵①根据⑴中结论可得/-MBC=30。,根据HL证明RtAMBQ^RtAC

BQ,从而即可求解;②根据正方形的性质与轴对称的性质得到对应边相等、对应角相等.再根据HL证明RtAMBQ^

RtACBQ,从而即可得结论；(3)分点Q在线段DF上、线段CF上两种情况进行讨论，根据折叠的性质、勾股定理

即可求解.解：(1)/ABP或NPBM或/MBC或/BME.(注:任意写出一个即可)

⑵①15,15.

®ZMBQ=ZCBQ.

(注：若没有写出判断结果，但后续证明正确，不扣分)

理由如下：

:四边形ABCD是正方形，

,>.AB=BC,ZA=ZC=90°.

由轴对称性质彳导BM=AB,ZBMP=ZA=90°.

ZBMQ=ZC=90°,BM=BC.

：BQ是公共边，

/.RtAMBQ^RtACBQ.

ZMBQ=ZCBQ.

(3).cm或2413cm.

4.⑴①略②1⑵m(3)V2

(1)①延长AD交BE于F,由折叠和等角的余角相等即可证明结论；②根据已知条件证明△ADC^ABEC,即

可求解；⑵延长AD交BE于F,根据折叠和等角的余角相等证明两个角相等，并结合已知相等的角，证明△ACG

-△BCE，得比例式,即可求解；(3)根据折叠的性质,结合点D是BC的中点得三角形的中位线，根据平行得同

位角相等、内错角相等，再利用(2)中的相似三角形得对应边成比例，从而求出AC和CD的比值，即可求出CG

和AG的比值，设CG=x,再根据比例式、三角形全等、勾股定理，表示出各边的长，根据EBEH=6,求出x的值，

取正值即可求解.

解：(1)①证明:延长AD交BE于点F.

B

由折叠得/-AFB=90°=乙ACB.

：.ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.

ZADC=ZBDF,

ZDAC=ZEBC.

②丝二L

CE

(2)^=m.

理曲延长AD交BE于点F.

由折叠得^AFB=90°=乙ACB.

：.ZADC+ZDAC=ZBDF+ZCBE=90°.

ZADC=ZBDF,

JNDAC=NCBE.

・・・ZACG=ZBCE,

AAACG^ABCE.

CGAC

—=—=m.

CEBC

(3)由折叠得NAFB=9(F,BF=FE.

YD是BC的中点,

・・・DF〃CE.

.\ZBEC=ZBFD=90o,ZAGC=ZECG,ZGAH=ZCEA.

由(2)知^ACG^ABCE,

・•・ZAGC=ZBEC=90°,

AGCGACV2

——————VT——.

BECEBC2

CD

CG一八A仆DC1

•'«—=t3.Y\.Z-GAC=—=—p.

AGACV2

设CG=x，则AG=V2x,CE=岳,BE=2x.

；.AG=CE.

/.AAGH^AECH.

・・・AH=EH,GH=CH.

I

・•・GH=-x.

2

在RtAAGH中，

由勾股定理得AH=y/AG2+GH2=|x.

VEBEH=6,

•••2x--x=6.

2

解得X-士企(负值舍去).

CG=V2.

5.(1)EF=BF(2)AG=BG,证明略⑶暂

⑴证法一：分别延长AD,BF交于点M,根据平行四边形的性质可得对应角相等，结合中点得对应边相等，

可证△MDF^ABCF，得对应边相等，再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半进行代换，可证明EF=B

F；证法二：过点F作FMXEB于点M,由已知条件结合平行线的判定得AD〃FM〃BC,由平行线分线段成比例

定理，得出EM=MB，进而由线段垂直平分线的性质得EF=BF；⑵证法一：根据折叠得对应角相等和对应边相等，

结合中点和已知角相等进行代换，可证明四边形DGBF是平行四边形，等量代换后可证明AG=BG；证法二:连接C

C交FB于点N,根据折叠的性质得CCLFB,根据平行线的判定得DG〃FB,进而证得四边形DGBF是平行四边

形进而得出AG=BG;⑶过点M作MPLBH于点P,由折叠的性质得小BPM是等腰直角三角形根据SABCD=20

得BH的长，进而可求出AH的长，通过证明△A'HN-ACHB得NH的长，再证△AHNs^APM,进而求得HP,

MP的长,即可求出阴影部分的面积.

解:(1)EF=BF.

证法一：如图①，分别延长AD,BF相交于点M.

AB

图①

•/四边形ABCD是平行四边形；AD〃BC.

.\Z2=ZC,ZM=Z1.

为CD的中点,；.DF=CF.

AMDF^ABCF.

；.FM=FB.即F为BM的中点.

•••BF=-BM.

2

VBEXAD,AZBEM=90°.

.•.在RtABEM中.EF=EF=BF.

证法二如图①过点F作FMLEB于点M,

贝!|NEMF=90。.

VBEXAD,AZAEB=90°.

/AEB=/EMF".AD〃FM.

:四边形ABCD是平行四边形,AD〃BC.

4cLEMDF

•*.ADFMBC.—=—.

MBFC

；F为CD的中点,...DF=FC.

；.EM=MB.

FM_LEB,FM垂直平分EB..\EF=BF.

(2)AG=BG.

证法一：如图②，

由折叠可知：Nl=N2=l^CFC.

FC=FC.

；F为CD的中点，FC=FD=\CD.

.*.FC'=FD..,.Z3=Z4.

1

•••Z.CFC=z3+乙4,・•・z4="CFU.

：.N4=N1.・・・DG〃FB.

.・.四边形ABCD为平行四边形,・・・DC〃AB.

・•・四边形DGBF为平行四边形.

•••BG=DF.：.BG=-AB.：.AG=BG.

2

证法二:连接cc交FB于N.

图②

由折叠可知：FC'=FC,CC'±FB.

.­.乙CNB=90°.

•；F为CD的中点，;FC=FD=|CD

•••FC=FD.■.zl=z2.

：FC'=FC".ZFC'C=ZFCC'.ISADC'C中，Z1+ADC'C+/.DCC=180°,

Z1+Z2+^FC'C+乙FCC=180°.

/.2Z2+2ZFC'C=180°.

/2+/FC'C=90。.ZDC'C=90°.

ZDC'C=ZC'NB.ADG〃FB.

,/四边形ABCD是平行四边形,DC〃AB.

四边形DGBF是平行四边形.

122

BG=FD.BG=^AB.：.AG=BG.(3)y

过点M作MP_LBH于点P,在nABCD中,AB〃DC.

VAB±DC,.,.ABIAB,

由折叠可知/ABM=NMBH=45。，

•••APBM是等腰直角三角形,PM=PB.

又SnABCD=BHDC=5BH=20,Z.BH=4.

由折叠知A'B=AB=5,；.A'H=1.

在RtABCH中，BC=2逐，由勾股定理可得CH=2.

由/A'=/C,NAHN=/BHC=90。,可得△A'HN^ACHB,.—=—,BP-=—NH=2.

CHBH24

设HP=x，贝(]A'P=l+x,BP=MP=4-x,

•••—=二一，解得x=-,

4-x1+x3

4210

MP=4--=—

33

=X5X-X1X2=

••・S圆锥侧=SA'MB~sArNH1Y|y_1=争即阴影部分的面积为y

压轴预测

L操作一。)40(2)2V5-2操作二：例—2

操作一：⑴由四边形ABCD是矩形得CD〃AB,NDAE=90°,由翻折得/CEF=ZCEB=70°,则/AE

D=40。,所以NEDC=NAED=40。。)设BE=x,根据折叠的性质与矩形的性质得到对应边与对应角相等，根据CD//AB

证明△DFCs^EFA根据相似三角形对应边成比例，可建立方程求出x的值，从而可得BE的长；操作二：连接D

G,根据三角形三边关系可知DF>DG-FG,当点F落在DG上时，线段DF=DG-FG,即DF^DG-FG,根据勾股定理求

得DG的长,即可得DF的最小值.

解:操作一：(1)40

(2)设BE=x,

由折叠得/CED=/CEB,EF=BE=x,在矩形ABCD中,CD=AB=x+4,CD〃AB,

/.ZCEB=ZDCE,

ZCED=ZDCE,?.CD=DE,

；.DE=AB,

；.DE-EF=AB-BE,即DF=AE=4.

VCD//AB,.*.ADFC^AEFA,

CD_DF

''AE-EF'

x+4_4

丁二p

解得=2V5-2,X2=-2V5-2(舍)，

；.BE=2V5-2.

操作二：V29-2.

2.(1)6(2)2(3)四边形GEEF不是平行四边形，理由略

(1)由△ACD为直角三角形，利用勾股定理建立方程求得AC的长;(2)由勾股定理求得BE,连接EE,由平移的性

质、相似三角形的判定和性质求得EF；(3)作辅助线，由相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质计算出

D'F与DG的长度，从而得到GE与FE的长度关系，根据平行四边形的判定进行判断.

解:⑴6.

⑵由折叠可知,DC=DC=10.

在RtADAC中根据勾股定理可求得AC'=6,

.*.BC'=AB-AC'=10-6=4.

在RtABEC'中，设BE=x,

根据勾股定理，得（（8-x）2=x2+4*

解得x=3,即BE=3,EC'=EC=5.

连接EE,则由平移可知，

EE'=CB=4,且EE〃AB〃CD,

于是可得^FEE'^AFCD'^AECD,

/.EF:EE'=CE:CD=5:10=1:2.

XEE'=4,/.EF=2.

⑶四边形GEE'F不是平行四边形.

理由如下：

由折叠可知/CDE=/C'DE.

另由平移可知NCDE=/BDE,且DE〃D'E,于是得/BDE-NDGD,

.•"/CDE=ND'GDX[UDD'G是等腰三角形,，DD'=D'G=4.

如图，过点D作DHLDG于点H,

贝!JDH=HG,@.ADD'H^ADEC,

贝！jD'H:DH=EC:DC=1:2.

设D'H=x，则DH=2x.

在RtADD'H中，根据勾股定理，

得比2+（2x）2=42,解得比=?，

DG=—.

5'5

而在RtADCF中,DC=DC-DD=10-4=6,

CF=CE-EF=5-2=3,

根据勾股定理可求得DF=3V5

，DG力D'F,即GE#FE',

故四边形GEEF不可能是平行四边形.

3.(l)y=；久2(2)当m=0或m=2时,p=q;当m<0或m>2时,p<q;当0<m<2时,p>q(3)2

⑴根据抛物线关于y轴对称可确定b的值，再根据已知两点求出a,C的值，即可求出抛物线的解析式；⑵先

求出点D及其关于y轴的对称点的坐标，再根据抛物线的开口方向和对称轴确定横坐标的关系，列出方程或

不等式,求出m的值，从而分情况比较出p和q的大小即可；或由p-q=-；6(机-2)彳导p-q关于m的函

数，进而即可求解；或根据二次函数的图象与性质直接求解即可；(3)设定点A,B的坐标及直线AB的解析式，

将其代入抛物线解析式，得到一元二次方程，求出方程的解(含待定系数k),即可分别求出自变量以及函数值

的和或差，再利用勾股定理、相似三角形的判定与性质即可求解；或设出A,B两点坐标及直线AB的解析式，

将直线AB的解析式代入y=［比2中，得关于x的一元二次方程，得方程的解再设AB的垂直平分线上的任意

一点Q(x,y),再由勾股定理进而即可求解.

解:⑴：抛物线关于y轴对称,，b=0.

又...抛物线过点(1,；),(2,1),

••Ja+c/解得卜.

14a+c=1,1c=0,

•••抛物线的解析式为y=i%2.

4

(2)解法一:：点D(-l,p)在抛物线y="2上，...「=*

•••抛物线图象开口向上，且点D(-0关于y轴的对称点的坐标为((1,

由图象可知，

当m-l=l或即当m=2或m=0时,p=q;当或即当m<0或m>2时p<q;当即0<m

<2时,p>q,

当m=0或m=2时p=q;当m<0或m>2时p〈p;当0<m<2时,p>q.

解法二：p-q=：-：(7H-1)2

44

=—^m(m—2).

把p-q看成关于m的函数，由图象可知，

当m=0或m=2时,p=q;

当m<0或m>2时,p<q；

当0<m<2时,p>q.

解法三：二次函数y=开口向上，对称轴为y轴，

抛物线y=：/上距离y轴越远的点，函数值越大.

:点D到y轴距离为1,

..•由图象可知，

当m-l=±l,即m=0或m=2时,p=q;

当或即m<0或m>2时,p<q;

当--km-lvl,即0<mv2时,p>q.

(3)解法一：器为定值，且定值是2.

设A0),B(X2,y2)，直线AB的解析式为y=kx+l(k#O).

把y=kx+1代入y=*中，得与-4依-4=0.

•・•△=16k2+16>0,

•••/=2k+27k2+I,%2=2k—27k2+1,

2

贝［JXi+x2=4fc,yi+y2=+%2)+2=4fc+2

2

xr—x2=Zk+1,

=

y-L—y2—&)—4k7k2+1.

如图，过点B作BNLy轴过点A作人?^〃丫轴，交点为N.

线段AB中点P的坐标为(2k,2k2+1).

又・・・F(0,1),根据勾股定理，可得

FP=J(2/c)2+(2)2+1-1)2=|2/C|V/C2+1,

2

・•.AN=\yr-y2\=|4fc|Vfc+1.

ZMPF=ZBNA=90°,ZMFP=ZBFO=ZBAN,

:•△FPMS/XANB,

.AB_AN_|4/C|V/C2+1_?

••FM-FP—|2fc|Vfc2+l.'

解法.二：筹为定值，且定值是2.

FM

设A&,yi),B(X2,y2)，直线AB的解析式为y=kx+l(k#0).

2

把y=kx+1代入y=与2中，得x_4kx—4=0.

“4

16k2+16>0,

=2fc+27k2+I,X2—2k—27k2+1,

2

贝!I+比2=4k,g+y2=k(xr+x2)+2-4fc+2

—x2=47k2+1,

7i-y2=-x2)=4k7k2+1.

设AB的垂直平分线上的任意一点Q的坐标为(x,y).

-Q4=QB,QA2=QB2.

根据勾股定理，可得

2222

(x-%!)+(y-yj=(x—x2)+(y-y2),

■■■y=■x+2k2+3.

k

令x=0彳导y=2k2+3,即M(0,2k2+3),

FM=2k2+2=2(fc2+1).

根据勾股定理，可得

AB=一久2尸+(乃一%)2

=J16(H+=4(1+1),

.AB__4(丁+1)_2

"FM~2(fc2+l)-'

2至

4.⑴①|②苔(2)S=6t(0<t<1),(3)

-18t2+48t-24(1<t<2)I)瓦

⑴①由已知条件得/ADE=/ACD,从而判断出/ADE不发生变化并求得sin/ADE;②当AE_LDE时，AE=

放

AD-sin乙4DE,即可求解;⑵当0<t<l时，S=Sp%;当1<长2时.S=SPDQ-SEMN，利用相似三角形的性质及边关系表

示出EM和EN的长，进而求得结果；(3)结合⑵可表示出线段的长，进而表示出PG,过点G作GHLCD于点

H,表示出PH的长，在R3GPH中利用勾股定理列方程求解即可.

解:⑴①由题意知PQ为DE的中垂线，由PQ〃AC知直线DE始终与AC垂直,/ADE=NACD,

AZADE的大小不会发生变化，sin乙4DE=|,

②线段AE的最小值为孩

(2)由题意知PD=4t,PC=8-4t,当点E刚好落在AC上时，P为CD的中点，如图1,

BA

PD

图1

4t=4,t=l.

当0<t<l时，S=[x3tx4t=6t2；当l<t<2时，如图2,

Q

设EQ,PE分别交AC于点N,M.

由折叠知N1=N2.

VPQ//AC,/.Z1=Z4,Z2=Z3,

N3=N4,・•・PC=PM=8-4t,・•・EM=8t-8.

同理(QN=QA=6-3t,EN=6t-6,

•*-S=6t2——(St-8),(6t—6)

=-18产+48t—24,

[6/(0<t<1),

"-l-18t2+48t-24(1<t<2).

(3攻口图3,由题意知PD=PE=4t,PC=PF=8-4t,二EF=FG=GA=8-8t,；.PG=16-12t.

过点G作GHLCD于点H,

则DH=8-8t,PH=12t-8,

...在RtAGPH中,62+（12t-8产=（16-12t「解得t=

16

5.（1）CD=2EF,理由略（2）成立，证明略⑶j

⑴利用直角三角形斜边中线的性质证明即可；（2）延长AC交BD的延长线于点G,连接GM,,利用矩形

的性质，直角三角形斜边中线的性质求解即可；（3）根据CD=2EF,CD=MG>EG求解EF的最小值.

解:⑴CD=2EF.

理由如下：

VAAMC和4BMD都是等腰直角三角形，

ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

N4=^AMC=|(180°-^ACM)=45。，

乙DMB=AB=j(180°-4MDB)=45",

ZCMD=180°-ZAMC-ZDMB=90°.

：F是CD的中点.

MF=|CD,gPCD=2MF.

:点M与点E重合，

；.MF=EF,；.CD=2EF.

⑵成立.

证明：如图，延长AC交BD的延长线于点G,连接GM,GE.

AAMC和4BMD都是等腰直角三角形，

ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

N4=^AMC=j(180°-ZXCM)=45。，

乙DMB=ZB=j(180°-4MDB)=45",

ZMCG=ZAGB=ZGDM=90°,AG=BG,

四边形MCGD是矩形，△AGB是等腰直角三角形,

/.GM=CD.

：E是AB的中点,，GEJ_AB,

.­./.AEG=90°.

是CD的中点,；.F是GM的中点.

在RtAMEG中,F是GM的中点，

EF=^1GM1,：.EF="，即CD=2EF.

⑶3

6.(1)略⑵|(3)1573-24

(1)由等边对等角得.NMB'C'=NMC'B',,由B'C〃BC得.AMB'C=乙BMB'/MC'B'=乙CMC；再利用等腰

三角形两底角相等和折叠的性质得到NBMP=NCMQ,通过三角函数的定义可证得BP=CQ；⑵延长PM与D

C,延长线交于点E，作QFXME于点F,由折叠及对顶角相等可得/QME=45。,在RtACMQ中，利用勾股定理求出

MQ的长，设BP=x,易证得△CME四△BMP,表示出QE,QF,ME的长，再利用等面积法列方程解出x的值，即可

得至I」BP的长度；⑶延长QM交AB的延长线于点H,作PNXMH于点N.由折叠及对顶角相等可得/PMH=6

0。,在RtACMQ中，利用勾股定理求出MQ的长，设BP=x,易证得△CMQgZ\BMH,表示出PN,MH,PH的长，再利

用等面积法列方程解出x的值，即可得到BP的值.

解:⑴证明:：M为BC的中点,；.MB=MC.

由折叠知B'M=BM,C'M=CM,

MB'=MC,乙MBC=乙MCE.

,.•B'CWBC,

.­./.MB'C==/.CMC,

：.乙BMB'=乙CMC'.

由折叠可知，/-PMB=|乙BMB',乙CMQ=|乙CMC',

：.ZBMP=ZCMQ.

四边形ABCD是矩形,ZB=ZC=90°.

在RtABMP和RtACMQ中可得，tan/BMP=翳,tan/CMQ=篙.

MB=MC,ZBMP=ZCMQ,.\BP=CQ.

⑵如图所示，延长PM与DC,延长线交于点E,作QFJ_ME于点F.

VMB'XMC,

.­.乙BMB'+/.CMC=90°.

再由折叠及对顶角相等可得/QME=45。.

：BC=6,M是BC的中点

/.BM=CM=3.

在RtACMQ中，由勾股定理得

MQ=^CQ2+CM2=Vl2+32=V10,

设BP=x，在RtABPM中,由勾股定理得

PM2=BP2+BM2=x2+9.

在4CME和^BMP中，

"?ZCME=ZBMP,CM=BM,

ZMCE=ZMBP=90°,

/.△CME^ABMP,

•••CE=BP=x,ME2=MP2=/+9.

在RtA