统计与概率-2020-2024年高考数学试题分类汇编

冷您13挑计与就隼

五年考情♦探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

统计案例以及数字特征类的

2024全国III运算子近年的考查频率非常

考点01统计案例2023全国I乙卷高，容易与实际情景以及频率

与数据分析2022乙卷甲卷分布直方图相结合，从而考查

2021乙卷全国III统计与概率的相关知识点，将

是高考的一个方向。

古典概型是高考数学中的一

2024I甲卷个重要考查点，难度小。排列

考点02古典概型与2023I卷II卷乙甲卷组合在近年的高考中考查的

排列组合2022乙甲I卷不是很多，一般是排队性问

2021乙卷题，插空类，以及分类讨论性

问题

20241卷II卷甲

2023I卷II卷乙甲卷离散型分布是高考的一个常

考点03正态分布、离2022乙I卷n卷考题型，主要是赛制类问题，

散型分布及应用2021I卷n卷二项分布，超几何分布类问题

2020I卷

考点04事件的独2024I卷条件概率与全概率的应用是

立，条件概率与全概2023甲卷I卷II卷高考在概率方面的一个重要

率公式应用，独立性2022乙卷I卷方向，在新高考中将是一个非

检验2021甲卷I卷常重要的方向

2020I卷

随着新一轮的高考数学改革，

2024I卷

概率与其他知识相结合成为

考点05概率综合应2023II卷乙卷

一个重要的考查方向，概率与

用2021II卷

数列，概率与函数倒数结合将

2020I卷

成为热点。

分考并精准练工

考点01统计案例与数据分析

一、单选题

1.（2024•全国•高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的

亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为10与0-产34=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确；

对于D,由频数分布表可得，平均值为

—x（6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75）=1067,故D错误.

故选；C.

2.（2022•全国•高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽

取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和

讲座后问卷答题的正确率如下图：

*讲座前

•讲座后

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为70%；75%>70%,所以人错;

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率

的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所

以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为10。％-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以D错.

故选:B.

3.（2021•全国•高考真题）为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年

收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

频率/组距

0.20----------------------------I~—

0.14----------------------I—

0.10----------------------------------------------------

0.04----------------------------------------------------------

0.02-----------------------------------------------------------1-----1-----1

0bA2：53：54.’55：56：57：58.’59：590'.511’.5上.5占51；.5危入/万元

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应

的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.

【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可

作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,

故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68

（万元），超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

二、多选题

4.（2023•全国,高考真题）有一组样本数据占,心…其中不是最小值，%是最大值，贝U（）

A.尤2户3，尤4，无5的平均数等于西，无2,…，%的平均数

B.%,马,匕出的中位数等于%,声,…％的中位数

C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于X],…户6的标准差

D.x2,x3,x4,x5的极差不大于网,工2,…,乙的极差

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A:设程不，匕,无5的平均数为加，再户2,…，无6的平均数为"，

皿।X]+X?+%+匕+*5+*6%+*3+*4+%2（X]+%）-（%+X2+X3+尤4）

火1j7?-m——,

6412

因为没有确定2（项+4）,/+%2+工3+的大小关系，所以无法判断加，孔的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,l=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得机=2,〃=?；故A错误;

对于选项B：不妨设石W%2W%4（工5，

可知马,无3,无4，%的中位数等于国，声，…，%的中位数均为区产，故B正确;

对于选项C：因为多是最小值，无6是最大值，

则%,X3，匕,无5的波动性不大于国,超,…％的波动性，即％2,无3，尤4，工5的标准差不大于再,马,…，无6的标准差,

例如:2,4,6,8,10,12,则平均数”=1（2+4+6+8+10+12）=7,

6

4,6,8,10,贝I］平均数加=；（4+6+8+10）=7,

2222

标准差52=^［（4-7）+（6-7）+（8-7）+（10-7）］=旧,

显然晅＞右，即心＞S2；故C错误；

3一

对于选项D：不妨设无1W尤2WX34无44毛WZ，

则％-再2尤5-马，当且仅当项=/户5=%时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

5.（2021•全国•高考真题）有一组样本数据为，%2,....x,,由这组数据得到新样本数据功，外，…，州，

其中乂=x,+c（"l,2,…,"）,c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有项四=£（无）+。、D（y）=D（x）,即可判断正误；根据中位数、极

差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：E（y）=E（x+c）=E（x）+c且cwO,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为王，则第二组的中位数为,=%+c,显然不相同，错误；

C：4了）=。口）+。（。=。（幻，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为Xm〃-X1nhi,则第二组的极差为

X+CX

Vmax一Vmiu=（max）~（^min+。）=^max-min，故极差相同，正确；

故选：CD

6.（2021•全国,高考真题）下列统计量中，能度量样本占,血的离散程度的是（）

A.样本尤1，尤2,…，x”的标准差B.样本再户2,…,X"的中位数

C.样本%,无2,…户”的极差D.样本无1，尤2,…，无”的平均数

【答案】AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

三、解答题

7.(2023・全国•高考真题)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差

异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判

定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为"(c);误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为4(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率0©=0.5%时，求临界值c和误诊率q(。)；

⑵设函数〃C)=MC)+4(C),当ce［95,105］时，求/(c)的解析式,并求/(c)在区间［95,105］的最小值.

【答案】⑴c=97.5,g(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/'(c)=最小值为0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【分析】(1)根据题意由第一个图可先求出再根据第二个图求出c297.5的矩形面积即可解出;

(2)根据题意确定分段点100,即可得出/(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.

【详解】(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以,-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

水)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)当。£［95,100］时,

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0,82>0,02；

当(100,105］时,

/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-l00)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

f-0.008c+0.82,95<c<100

故=1，

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃C)在区间［95,105］的最小值为Q02.

8.(2023・全国•高考真题)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，

每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测

量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为王,

%［=1,2,…,10）.试验结果如下:

试验序号i12345678910

伸缩率不545533551522575544541568596548

伸缩率必536527543530560533522550576536

记4=%%（i=1,2,…,10）,记Z］,z2,…,乙的样本平均数为2,样本方差为52.

⑴求5，一；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果

z>2.—,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否

Vio

则不认为有显著提高）

【答案】（1）7=11,s2=61：

⑵认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出京工，再得到所有的4值，最后计算出方差即可;

（2）根据公式计算出2<二的值，和9比较大小即可.

V10

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548

［详解］（］）x=---------------------------------------------------------------------=552.3,

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536。

y=-------------------------------------------------------------------------=541.3,

“10

亍=亍—歹=552.3—541.3=11,

4=x,-%的值分别为：9,6,8,—8,15,11,19分8,20,12,

222222222

,,2_(9-11)+(6-11)+(8-11)+(-8-11)+(15-11)+0+(19-11)+(18-11)+(20-11)+(12-11)_

RXS——O1

10

(2)由(1)知:彳=11,2J-=2>/61=V247,故有彳221匚，

V10V10

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

9.(2022・全国•高考真题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木

的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：

n?),得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量M0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得£年=0.038,£点=1.6158,»上=0.2474.

i=li=li=l

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

⑶现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

£(不一于)(乂一页)____

附：相关系数厂=IJ“,J1.89671.377.

(玉-君艺(乂-刀

Vi=ii=i

【答案】⑴0.06mZ；0.39m3(2)0.97(3)1209m3

【详解】(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值亍=箸=0.06

样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹=芾=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.060?,

平均一棵的材积量为0.39n?

1010

可5-歹)»a-10或

:(行茂他一寸信-1叫宫-回

0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134八加

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)VO.00018960.01377

则rx0.97

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为KT?,

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得痂解N得y=1209m3.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

10.(2022•全国•高考真题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如

下的样本数据的频率分布直方图：

⑴估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

【答案】⑴47.9岁；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设N={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式尸Q)=1-P(力即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【详解】(1)平均年龄—5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).

(2)设/={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(/)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)xlO=1-0.11-0.89.

(3)设3="任选一人年龄位于区间［40,50)〃，C="从该地区中任选一人患这种疾病",

则由已知得：

尸⑻=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,尸(8|C)=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

P(C\B)=W9=P©P(89=O-OO1XO-23=0.0014375。0.0014

P(B)P(B)0.16

11.(2021•全国,高考真题)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无

提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为最和亍，样本方差分别记为s；和学.

(1)求x，yJ邑，$2；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹一了t2s则认为新

设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

【答案】(1)1=10$=10.3,s；=0.036,s；=0.04；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提

高.

【分析】(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.

・、平际、,、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

【详解］(1)x=-------------------------------------------=10,

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

y=-------------------------------------------------=10.3,

10

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八

S]=-----------------------------------------------0.036,

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22八八“

-------------------------------------------------=0.04.

10

（2）依题意，亍＜=0,3=2x0.15=2,0.152=210.0225,2J0-036+0.04=2^Q0076,

,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

V10

考点02古典概型与排列组合

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样

调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,

则不同的抽样结果共有（）.

A.C：QC短种B.乳种

C.C%C孰种D.C然C机种

【答案】D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x缥=40人，高中部共抽取60x婴=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.

故选：D.

2.（2023•全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有cl种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C1A；=120种，

故选：C.

3.（2023•全国•高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为0,6,c,d,e,

假设。连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A；=12

种方法，

同理："c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

4.（2022•全国•高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，

故所求概率P=321一-7=；2.

213

故选：D.

5.（2022•全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式,

故选：B

6.（2021•全国•高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行

培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘

法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

7.（2021.全国.高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

A.—B.—C.-D.一

3535

【答案】C

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有C=5种排法，若2个。不相邻，则有C；=10种排法，

102

所以2个0不相邻的概率为--=-.

5+103

故选：C.

8.（2020•山东•高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1

名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有点；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有=6x10=60种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

9.（2020・海南•高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至

少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【答案】C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有川=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种

故选：C

二、填空题

10.（2024•全国•高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中,

则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a/,cS),a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

11.(2024•全国•高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,

每次取1个球.记羽为前两次取出的球上数字的平均值，”为取出的三个球上数字的平均值，则m与〃之差

的绝对值不大于!的概率为.

7

【答案】西

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为。力，第三个球的号码为C,则

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为6,第三个球的号码为。，则竺F-审

故12c-(a+小3,故-342c-(a+b)W3,

故〃+6-3«20«。+6+3,

若c=l,则a+645,贝Mdb)为：(2,3),(3,2),故有2种，

若c=2,则14a+b47,则（a,6）为：（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10种，

当c=3,贝！j3Wa+649,贝！］6）为：

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16种,

当c=4,则5W〃+bWll,同理有16种，

当。=5,贝IJ7«Q+6«13,同理有10种，

当c=6,贝”9WQ+6«15,同理有2种，

共机与〃的差的绝对值不超过;时不同的抽取方法总数为2（2+10+16）=56,

故所求概率为言=1.

7

故答案为：~

12.（2023•全国,高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选

修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

13.（2022•全国•高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率

为.

3

【答案】-/0.3

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10种选法;

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率尸=历.

3

故答案为：—.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=而

3

故答案为：—

14.（2022•全国•高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

【答案】*

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有机=6+6=12

个，故所求概率尸=m'=312=白6.

n7035

故答案为：—.

考点03正态分布、离散型分布及应用

一、单选题

1.（2021•全国•高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布下列结论中不正确的是（）

A.b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】对于A,4为数据的方差，所以。越小，数据在〃=1。附近越集中，所以测量结果落在（9910.1）

内的概率越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,

故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果

落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.

故选：D.

二、多选题

2.(2024・全国•高考真题)随着“一带一路"国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推

动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值下=2.1,

样本方差$2=0,01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(L8,012),假设推动出口后的亩收入y

服从正态分布N(月s'),贝|]()(若随机变量Z服从正态分布"(〃，才)，尸(Z〈〃+。)。0.8413)

A.P{X>2)>0.2B.P{X>2)<0.5

C.P(K>2)>0.5D.P(K>2)<0.8

【答案】BC

【分析】根据正态分布的3。原则以及正态分布的对称性即可解出.

【详解】依题可知，于=2.1,$2=0.01,所以y~N(2.1,0.1),

p(y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(y<2.1+0.1)«0.8413>0.5,C正确，D错误：

因为X~N(1.8,0.1),所以P(X>2)=尸(X>1.8+2x0.1),

因为尸(X<1.8+0.1)x0.8413,所以尸(X>1.8+0.1)。1一0.8413=0.1587<0.2,

而尸(X>2)=尸(X>L8+2x0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确，A错误，

故选：BC.

3.(2020・山东•高考真题)信息燧是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…且

P(X=i)=Pt>0(/=1,2,-JA=1,定义X的信息燧砥X)=-£pJog2).则()

1=1J=1

A.若。=1,则H(X)=0

B.若〃=2,则H(X)随着月的增大而增大

C.若P,=-(/=1,2,•■•,/?),则H(X)随着n的增大而增大

n

D.若"=2m,随机变量y所有可能的取值为1,2,…，且尸(y=/)=Pj+%1+»•/=1,2,…,㈤,则H(X)4H(y)

【答案】AC

【分析】对于A选项，求得7/(X),由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选

项，计算出“(X),利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出"(X),H(Y),利用基本

不等式和对数函数的性质判断出D选项.

【详解】对于A选项，若〃=1,则i=l,PI=l,所以〃(X)=-(lxlog21)=0,所以A选项正确.

对于B选项，若〃=2,贝lj，=l,2,Pz=l-p、,

所以〃(X)=-[R-log2A+(1-A)-1°g2(1-A)]，

当Pi=；时，〃(X)=-1glog2；+jlog2'1j，

当Pl1时，”（Xh-g/ogzKlogz；］，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若R」（i=l,2,…㈤,则

n

>

/7（X）=-f--log2-|xn=-log,-=log0n,

\nn）n

则”（X）随着〃的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若〃=2加，随机变量y的所有可能的取值为1,2,…，加，且P（Y=j）=pj.+p2m+l_j.

（j=1,2,…，m.

?吗i

"(X)=-10g2Pi=£,10g2—

i=li=lPi

[1t1,11I

=Pi,log?—+021°§2——+,,,+Plm-\,1°§2----+Pim•1°§2----.

PlPlP2m-lPl,n

H(丫)=(R+02,”).log?---+(0+),bg?----------+…+屹“+4+i),logZ--------

+

Pl+P2mP2+Plm-1P,„Pm+l

,I,1,1,1