玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（原卷版）

重难点08玩转外接球、内切球、棱切球经典问题

【题型归纳目录】

题型一：正方体'长方体模型

题型二：正四面体模型

题型三：对棱相等模型

题型四：直棱柱模型

题型五：直棱锥模型

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

题型七：侧棱为外接球直径模型

题型八：共斜边拼接模型

题型九：垂面模型

题型十：最值模型

题型十一：二面角模型

题型十二：圆锥圆柱圆台模型

题型十三：锥体内切球

题型十四：棱切球

【方法技巧与总结】

技巧总结一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

PA

(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长如图3所示.

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1图2图3图4

技巧总结二：正四面体外接球

如图，设正四面体ABCD的的棱长为“，将其放入正方体中，则正方体的棱长为史■“，显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为氏=曰“・*=手〃’即正四面体外接球半径为氏二手

a.

技巧总结三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可以

通过构造长方体来解决这类问题.

b1+C1=m2222

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,6,c,贝IJ/+02=”2,三式相加可得/+/+="+"一+厂,

2

a2+b2=t2

而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R,则4+°2=4心，所以R=,”六

技巧总结四：直棱柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：确定球心。的位置，Q是AABC的外心，则平面ABC；

第二步：算出小圆。的半径AQ=r,OOX=1A4,=1/Z（然=//也是圆柱的高）；

2

第三步：勾股定理：0T=0.A+=R2=（|）2+/=R=卜十（夕,解出R

技巧总结五：直棱锥外接球

如图，R4_L平面ABC,求外接球半径.

解题步骤：

第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径A",连接PD,则PD必

过球心(9；

第二步：2为AABC的外心，所以OQ_L平面ABC,算出小圆。］的半径。=r(三角形的外接圆直径

算法：利用正弦定理，得‘一=—也=上=2/)，OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2=PA?+(24o2R=1PA2+(2r)2；

(2)7?2=r2+OO；oR=G?+OO：.

技巧总结六：正棱锥与侧棱相等模型

1、正棱锥外接球半径：R=^~.

2、侧棱相等模型:

如图，P的射影是AABC的外心

o三棱锥P-ABC的三条侧棱相等

。三棱锥P-ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取AABC的外心。「则P,0,Q三点共线；

第二步：先算出小圆。的半径=再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：0A"2=①一"产+产，解出R=）媒”.

技巧总结七：侧棱为外接球直径模型

方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.

技巧总结八：共斜边拼接模型

如图，在四面体ABCD中，AB±AD,CBLCD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形

拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之.设点。为公共斜边的中点，根据直

角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=OC=OB=OD,即点。到A,B,C,。四点的距

离相等，故点。就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边班»就是外接球的一条直径.

技巧总结九：垂面模型

如图1所示为四面体P-ABC,已知平面上48_1_平面ABC,其外接球问题的步骤如下：

（1）找出△PAB和人钻。的外接圆圆心，分别记为。1和Q.

（2）分别过。］和。2作平面R45和平面A6C的垂线，其交点为球心，记为O.

（3）过。|作钻的垂线，垂足记为。，连接Q。，则

（4）在四棱锥A-OQOQ中，AD垂直于平面。O0Q，如图2所示，底面四边形。0。。?的四个顶

点共圆且OD为该圆的直径.

o

o

图1图2

技巧总结十：最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

技巧总结十一：二面角模型

如图1所示为四面体尸-ABC，已知二面角P-AB-C大小为a,其外接球问题的步骤如下：

(1)找出△RIB和A4BC的外接圆圆心，分别记为和

(2)分别过。］和。2作平面皿和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.

(3)过a作AB的垂线，垂足记为。，连接a。，则aOLAB.

(4)在四棱锥4-00002中，垂直于平面。。0。2，如图2所示，底面四边形。00&的四个顶

点共圆且QD为该圆的直径.

技巧总结十二：圆锥圆柱圆台模型

1、球内接圆锥

如图1,设圆锥的高为力，底面圆半径为r,球的半径为A.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来

计算R.如图2,当PC>CB时，球心在圆锥内部；如图3,当PC<CB时，球心在圆锥外部.和本专题前

面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

h2+r2

由图2、图3可知，OC^h-R^R-h,故⑺一封+尸=店,所以R="十'.

2h

p

如图，圆柱的底面圆半径为r,高为力，其外接球的半径为R,三者之间满足§）+/=々.

3、球内接圆台

氏2=方+马”〃,其中小公〃分别为圆台的上底面、下底面、高.

I2/7J

技巧总结十三：锥体内切球

方法：等体积法，即氏=老吐

s表面积

技巧总结十四：棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

【典型例题】

题型一：正方体、长方体模型

［例1］（2025・高一•重庆•期中）正方体内切球与外接球体积之比为（）

A.白：3B.不：9C.1:3D.1:9

【变式1-1］（2025・高一・云南昆明•期中）已知三棱锥尸-ABC,PA,PB、PC两两垂直，PA=1,

PB=BPC=2,则三棱锥尸-ABC的外接球表面积为（）

A.兀B.5兀C.6兀D.8兀

【变式1-2］（2025•天津武清・模拟预测）已知正方体A3CD-A瓦GR的棱长为2,其各面的中心分别为点

E,F,G,H,M,N,则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（）

A.4〃B.8万C.12»D.16〃

题型二：正四面体模型

【例2】（2025•全国•高三专题练习）棱长为。的正方体内有一个棱长为尤的正四面体，且该正四面体可以

在正方体内任意转动，则x的最大值为（）

A.-aB.qiC.走aD.叵a

2263

【变式2-1］（2025•河南•西平县高级中学模拟预测）一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的

体积为（）

A.屈兀B.InC.3%D.20万

【变式2-2］（2025•河南新乡•二模）在正四面体S4BC中，SA=2也,D,E,尸分别为SA,SB,SC的中

点，则该正四面体的外接球被平面。斯所截的圆周长为.

题型三：对棱相等模型

【例3】四面体尸-ABC的一组对棱分别相等，且长度依次为2石，岳,5,则该四面体的外接球的表面

积为（）

2929A/29

A.一兀B.28万C.---------71D.29万

46

【变式3-1］（2025・高一•安徽•阶段练习）为了求一个棱长为友的正四面体体积，小明同学设计如下解

法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体AC42为棱长是&的正四面体，且有

%面体皿闽—%］一跖鼻一%-48］=］KE方体.学以致用：

（1）如图2,一个四面体三组对棱长分别为百，2,小,求此四面体外接球表面积；

（2）若四面体ABC。每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形.

【变式3-2］如图，在三棱锥尸一至。中，PA=BC=6,PB=AC=2,==«，则三棱锥尸—ABC

外接球的体积为（）

A.0万B.兀C.娓兀D.6万

题型四：直棱柱模型

【例4】（2025•天津•一模）如图，在直三棱柱4BC-ABC1中，AB=43AAl=2^,VABC是等边三角

形，点。为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥用-441c/体积之比为（）

2后r56%

Vz.-------------------

336DT

【变式4-1］（多选题）（2025•高一•山东青岛•期中）如图，在直三棱柱ABC-ABIG中，A4,=2,

AB=BC=\,ZABC=90°,侧面A41GC的对角线交点。，点E是侧棱B与上的一个动点，下列结论正确

的是（）

B.直三棱柱的外接球表面积是67t

C.三棱锥E-44。的体积与点E的位置有关

D.AE+的最小值为2衣

【变式4-2］（2025・高二•上海浦东新•期中）己知一个体积为36万的球。1内切于直三棱柱A3C-ABC（即

与三棱柱的所有面均相切），底面的YABC中有ABAC=120。,AB:AC=3:5，则该直三棱柱的外接球02（即

使所有顶点均落在球面上）的表面积为.

题型五：直棱锥模型

【例5】（2025•高一・江苏南京•期末）如图，四棱锥尸-ABCD中，24,面A3CD,四边形ABC。为正方

形，PA=4,尸C与平面ABCD所成角的大小为凡且tan0=2叵，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为

3

B.28K

C.34兀D.14K

【变式5・1】（2025・高一•黑龙江七台河•期中）据《九章算术》记载，“鳖膈”为四个面都是直角三角形的三

棱锥.如图所示，现有一个“鳖膈”，尸底面A5C,ABLBC,S.PA=AB=BC=2f三棱锥外接球表

面积为（）

A.10万B.12万C.14万D.16万

【变式5-2］（2025•高一•河北唐山・期中）已知三棱锥尸-ABC中，PAL面ABC,底面ABC是边长为2的

正三角形，PA=4,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

TT

【例6】（2025•高三•安徽池州•期末）三棱锥尸―ABC中，PA=PB=PC,ZABC=~,AC=及,则三棱

4

锥P-ABC外接球表面积的最小值是（）

A.8万B.4万C.2万D.万

【变式6-1］（2025•高二・江苏南通•阶段练习）已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2相，若半径为1的球

与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥尸-ABC外接球的半径为（）

A.V3B.2C.在D.记

33

【变式6-2］（2025•重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥尸-ABC体积为正，且

6

PA=PB=PC,AB=AC=l,BC=y［3,则三棱锥外接球的表面积为.

题型七：侧棱为外接球直径模型

【例7】（2025•五华区校级期末）已知三棱锥尸-的所有顶点都在球。的球面上，AB=5,AC=3,

BC=4,为球。的直径，尸3=10,则这个三棱锥的体积为（）

A.304B.154C.10A/3D.54

【变式7-1］（2025•红花岗区校级月考）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在同一个球面上，ABCD是边长

为2的正三角形，AC为球。的直径，若该三棱锥的体积为乎，则该球O的表面积（）

A.64万B.48万C.32%D.16%

【变式7・2】（2025•抚顺校级月考）已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC为球O的直径，

且尸CLQ4,PCrOB,AAOB为等边三角形，三棱锥尸-ABC的体积为且，则球。的表面积为（）

A.4%B.8TIC.12TTD.16TT

题型八：共斜边拼接模型

【例8】在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角3—AC—£>,则四

面体ABCD的外接球的体积为（）

4125”125.125125.

A•71LRJ.-----------TCCr-.------TCDn.71

12963

【变式8-1】三棱锥P—ABC中，平面PAC，平面ABC,AC=2,PA±PC,ABLBC,则三棱锥

P-ABC的外接球的半径为

--.2，2-2

【变式8-2］在平行四边形ABCD中，满足AB.AO=AB"2AB=4-3。,若将其沿瓦>折成直二面角

A-BD-C,则三棱锥A-6CD的外接球的表面积为（）

A.16/1B.8%C.4%D.2万

题型九：垂面模型

【例9】（2025・河南•模拟预测）在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD,底面A3C。，且&1=SD,

ZASD^90°,底面A8CD是边长为2的正方形，设尸为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥尸-S4D

的最大体积为（）

/TR2+2A/2「2+V2口I+A/2

AA.1+V2B.-----------C.---------D.--------

333

【变式9-1］（2025•江西南昌•模拟预测）若体积为8的四棱锥P-ASCD的五个顶点都在表面积为20兀的球

面上，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2应的正方形，平面PAC,平面ABCZ）,则棱FA的长为（）

A.3亚或2君B.2K或2有C.或2白D.或3亚

【变式9-2］（2025•高三•山东威海・期末）已知三棱锥ABCQ为2C中点，

尸8=尸。=48=3。=4。=2,侧面尸3。，底面48。，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为,过点。

的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为

题型十：最值模型

【例10】（2025・高一・安徽池州•期中）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点尸、。，若线段PQ的最

小值为26-2,则正方体的外接球的表面积为.

【变式10-1】（2025・陕西西安•模拟预测）已知直四棱柱高A4/为3,底面ABC。为长方

形且面积为7:，则该直四棱柱外接球表面积的最小值为.

【变式10-2】（2025•辽宁抚顺•一模）已知三棱柱ABC-A瓦G的顶点都在球。的表面上，且

27r

AC=BC,ZACB=—,若三棱柱ABC-A4G的侧面积为12+66，贝肝求。的表面积的最小值是（）

A.8兀B.12兀C.24兀D.32兀

题型十一：二面角模型

【例11】（2025•安徽•芜湖一中模拟预测）已知在菱形ABCD中，AB=2,ZA=60°,把△ABD沿3。折起

到位置，若二面角A-3D-C大小为120。，则四面体A3CD的外接球体积是（）

八72828A/21„7®

A.—nBD.——nC.---兀D.——兀

332727

【变式11口】（2025•全国•高三专题练习）在三棱锥A-8CQ中，AB=BC=CD=DA=币，50=2石，二

面角ABD-C是钝角.若三棱锥A-5CD的体积为2,则A-5CD的外接球的表面积是（）

3753

C.——71D.——n

34

题型十二：圆锥圆柱圆台模型

【例12】（2025・高一・浙江宁波・期中）圆台的上下底面半径和高的比为3:4:1,母线长为则圆台的外

接球表面积为.

【变式12・1］（2025・高一・陕西西安・期末）底面半径为右的圆锥侧面展开图的圆心角大小为耳，则此圆

锥外接球表面积为（）

A口16兀C32兀32氐

A.16兀B.-----C.-----D.---------

3327

【变式12-2］（2025•全国•高三专题练习）如图，半径为4的球。中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大

时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（）

A.647rB.48aC.32万D.16〃

题型十三：锥体内切球

【例13】（2025•高二・湖南常德•期中）在棱长为2的正四面体ABCD中，正四面体的内切球表面积为

（）

284

A.2兀B.—7iC.-71D.—71

333

【变式13-1］（2025•高二・浙江宁波・期末）已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为4,侧棱长为而，其内

切球。与两侧面^,&ID分别切于点P,。，则尸。的长度为（）

A2亚口5亚「4后n70

A.------D.------C.-----L）.------

3999

【变式13-21（多选题）（2025•江西上饶•一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2,2,4,4,每个球

都与其他三个球外切，下面结论正确的是（）

A.以四个球球心为顶点的四面体体积为6三4

32

B.以四个球球心为顶点的四面体体积为§

C.若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为r=述一4

3

D.若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为r叵+4

3

题型十四：棱切球

【例14】（多选题）（2025•高三•江苏扬州•开学考试）我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱

（锥）”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1,则下列说法中正确的有

（）

A.正方体的棱切球的半径为亚

TT

B.正四面体的棱切球的表面积为§

C.等长正六棱柱的棱切球的体积为三

D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为五

【变式14-11（多选题）（2025•高一•浙江•期中）已知棱长为2的正方体A3CD-A片GR的棱切球（与正方

体的各条棱都相切）为球0,则下列说法正确的是（）

4

A.球。的体积为1万

B.球。内接圆柱的侧面积的最大值为4万

C.球0在正方体外部的体积小于g（2®-1）"

D.球。在正方体外部的面积大于644-2忘了

【变式14-21（多选题）（2025•高一•山东临沂•期中）如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A5GR中，下

列命题正确的是（）

A.正方体外接球的直径为行

B.点尸在线段上运动，则四面体尸-A4G的体积不变

C.与所有12条棱都相切的球的体积为叵

3

D.M是正方体的内切球的球面上任意一点，则A0长的最小值是史

【过关测试】

1.（2025•高一•江苏盐城•期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑

堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵ABC-AqG中，ACLBC,

AC=6,BQ=1,阳马A-BCG用的外接球表面积为（

A.8兀B.6兀C.4兀D.2兀

2.（2025・高一・四川绵阳•期末）在边长为4的正方形ABCD中,E,尸分别为AB,的中点.将

AAED,/\CFD,ABEF分别沿DE,DF,硬折起，使A,C,B三点重合于则三棱锥A-跖D

的外接球表面积为（）

A.3万B.6兀C.12%D.24〃

3.（2025・高三•全国•阶段练习）如图，在正四棱柱ABCD-ABGQ中，底面的边长为3,与底面所成

2

角的大小为。，且tan6=§,则该正四棱柱的外接球表面积为

2G

A.26万B.28万

C.30万D.32万

4.（2025•高一•四川南充•阶段练习）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由

转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员

发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交

部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为4,则下列说法正确的是（）

甲乙

A.勒洛四面体最大的截面是正三角形

B.勒洛四面体ABCD的体积是8新兀

C.勒洛四面体ABCD内切球的半径是4-n

D.若尸，。是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为2

5.（2025・高一・福建龙岩・期末）已知球。内切于圆台EF,其轴截面如图所示，四边形ABC。为等腰梯

则圆台EF的体积为（）

卜270兀口51缶r570兀n630兀

A.-------------D.---------------

4444

6.（2025•高二•甘肃武威•阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为小々且44=3,则此圆台的内

切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（）

C.9无D.12氐

7.（2025•安徽池州•二模）已知圆锥的底面半径为3,其内切球表面积为12兀，则该圆锥的侧面积为（）

A.9技B.18KC.18后D.27兀

8.（2025•全国•模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2,则其棱切球的体积为（）

A.2"兀B.灰）71c.当

3。・冬

9.（2025•高一・广东佛山・期末）己知正四棱台=半球的球心0在底面的中

心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（）

A.9nB.18TIC.27nD.36兀

10.（多选题）（2025•高一•黑龙江大庆•期末）如图所示，在棱长为2的正方体AB。-A与GR中，E、F

分别为的中点，则（）

A.EF1BD,

B.EP〃平面A23

7T

C.直线52与平面ABC。所成的角为:

4

D.三棱锥耳一防尸外接球表面积为6兀

11.（多选题）（2025•高一・浙江宁波•期中）如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上

底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2,则（）

A.圆锥的底面半径为1

B.圆柱的体积是外接球体积的四分之三

C.该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为16:3

D.圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半

12.（多选题）（2025•高三•湖北武汉•期中）已知球。是三棱锥P-ABC的外接球，

PA=AB=P3=AC=2,则CP=2jL点。是尸B的中点，且CD=V7,则下列说法正确的是（）

A.三棱锥P-A3C最长的棱棱长为2忘B.AC,平面

C.球心。到底面的距离为gD.球。的表面积为等

13.（多选题）（2025•高一•江苏苏州•期中）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半

正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的

棱上，且此正方体的棱长为1,则下列关于该多面体的说法中正确的是（）

B.多面体的表面积为3

C.多面体的体积为g

6

D.多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）

14.（多选题）（2025•高一•四川绵阳•期末）《九章算术》中称一个