辽宁省2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷及答案

辽宁省名校联盟2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．4 B．60 C．68 D．524．学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（

）A． B． C． D．5．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．对任意，都有，且不恒为0，函数，则（

）A．0 B．2 C．4 D．68．已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（

）A． B．C． D．10．若，记为不超过的正整数中与互质（两个正整数除1之外，没有其余公因数）的正整数的个数，例如，则下面选项正确的是（

）A．B．C．若是质数，则D．11．在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（

）A．B．若平面，则点的轨迹长等于C．D．当时，四点构成的图形为直角梯形三、填空题12．已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则.13．设复数满足，则.14．的最大值为.四、解答题15．如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的正切值.16．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若对恒成立，求实数的取值范围.17．在中，角所对的边分别是，且满足(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值；(3)求的取值范围.18．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.(1)求和；(2)求证：是等比数列；(3)求的数学期望（用表示）.19．已知圆为坐标原点，过圆上一动点作圆的切线交圆于两点，直线交圆于两点.(1)四边形的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；(2)对平面上所有点进行如下变换，（即：原坐标在这个变换下的新坐标为），圆、圆、直线分别变换成，点变换成.①写出的方程，与是否相切，证明你的结论；②四边形的面积是否是定值，请说明理由.参考答案1．C【详解】，，.故选：C2．A【详解】或，或，但或，故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误.故选：A3．D【详解】，∴，∴，故选：D.4．C【详解】甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择，其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为.故选：C5．B【详解】的定义域为，，因为函数在其定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选：B6．B【详解】点在上，则，且或，因，则，，则，解得，故或.故选：B7．B【详解】令，可得，所以，令，可得，因为不恒为0，所以，所以是奇函数，因为，所以.故选：B.8．C【详解】延长至，使，则，所以共线，又的最小值为，且，所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，

所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号，所以，即的最小值为.故选：C9．ABC【详解】对于A选项，由平均数的性质可得，A对；对于B选项，不妨设，若为奇数，设，则数据、、、的中位数为，若，新样本数据由小到大依次为、、、，这组数据的中位数为；当，新样本数据由小到大依次为、、、，这组数据的中位数为；若为偶数，同理可知，，B对；对于C选项，由方差的性质可得，C对；对于D选项，若、是、、、中最大值、最小值，当时，则为、、、中的最大值，为、、、中的最小值，此时，；当时，则为、、、中的最小值，为、、、中的最大值，此时，，D错.故选：ABC.10．BC【详解】不超过14且与14互质的正整数有，共6个，即，A选项错误；不超过16且与16互质的正整数有，共8个，即，B选项错误；若是素数，与前个正整数均互素，可得，所以C选项正确；若，则，然而必为偶数，故比小的数中所以偶数与不互质，而且为奇数也与不互质，此时，当为合数时，还会存在至少1个数与不互质，此时.例如时，，，∴，，此时，D选项错误.故选：BC.11．AC【详解】A选项，显然⊥底面，取的中点，连接，过点作，交于点，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，则，所以，故，A正确；B选项，取的中点，连接，，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故当在上时，满足平面，故的轨迹长度为，其中，由余弦定理得，点的轨迹长不等于，B错误；C选项，，，，，又棱台的体积为，所以，C正确；D选项，四边形为等腰梯形，当与重合，时，，但此时与平行，故与不平行，此时四点构成的图形不为直角梯形，D错误.故选：AC12．2【详解】由焦半径公式得，点到抛物线的焦点的距离，解得.故答案为：213．【详解】因为对任意复数，都有，又，所以，所以，所以.故答案为：.14．25【详解】设.则在椭圆上，在圆上..设是上一点，，∵，∴，即，∴当共线的时，取最大值，此时最大，最大值为5，∴.15．(1)证明见解析(2)【详解】（1）在图1的中，，所以，，且，，因为，所以，，则，，在中，，，，则，在图2的中，，，，满足，所以，，因为，，，、平面，所以，平面.（2）解法一：因为平面，，以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，设平面一个的法向量，则，取，可得，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，设平面与平面所成角为，则，所以，，.因此，平面与平面所成角的正切值为；解法二：过在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由（1）知平面，因为平面，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，所以，为平面与平面所成的角，设.在中，，，，，所以，，，在中，，，，，所以，，则，在中，，所以，平面与平面所成角的正切值为.16．(1)答案见解析(2).【详解】（1）解：由函数，其中，可得，当时，令，解得，所以的单调递增区间为；当时，令，解得或，所以的单调递增区间为及；当时，恒成立，所以的单调递增区间为；当时，令，解得或，所以的单调递增区间为及.综上可得：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为及；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为及.（2）解：由（1）知，当，在单调递增，所以，令，可得，所以；当时，函数在单调递减，在单调递增，所以，令，可得，令，可得，所以为单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，因为且，所以，综上可得：实数的取值范围为.17．(1)(2)(3)【详解】（1）由正弦定理得，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以.（2）由余弦定理得：，代入得：，根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，的面积为：，故面积的最大值为.（3）令，则，所以可化为：因为，由二次函数的图像性质得到，当时，原式大于，当时，原式取得最大值，故的取值范围为18．(1)，；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）依题意，，，，.（2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，当时，则，，，，因此，即，，所以是为首项为公比的等比数列.（3）依题意，的分布列为012期望，由（2）得，所以.19．(1)是，(2)①，与相切，证明见解析；②四边形的面积是定值，理由见解析【详解】（1）由与垂直，四边形的面积，四边形对角线互相