圆（十三大题型）解析版-2024-2025学年北师大版九年级数学下册

园压轴专练（十三大题型）

题型1:“有直径现直角”

1.如图，己知点C是以48为直径的半。。上的动点（点C不与48重合），点。是介中点，连结

BD、0D,交/C分别于点E、F.

（1）如图1,若22=4,7e的度数为120。，求OF的长.

⑵如图2,若余=前,求差的值.

AF

（3）如图3,连结OE,当△。8£成为直角三角形时，求与AOE/的面积比.

【答案】（1）1

（2）6—1

（3）1或2

【分析】（1）连接OC,等弧等角，得到乙4。。=/。。。=60。，三线合一，得到。尸，NC,根据含30度

角的直角三角形的性质，求出。尸的长即可；

（2）同法（1）求出/巴。尸，进而求出。尸的长，即可得解；

（3）分/EO8=90。和/。£3=90。，两种情况进行讨论求解.

【解析】（1）解：连接。。，贝I）：OA=OC=OD=^AB=2,

丁点。是:中点，元的度数为120。,

AD=CD

：.ZAOD=ZCOD=60°f

OFLAC,

：.ZOAF=30°f

：.OF=-OA=\-

2

(2)连接OC,贝U：OA^OC,

VAB为直径，

，标的度数为180。，

；就=前,

：.ZAOC=90°,

：./CMC=45°,

同法(1)可知：。9_L/C,

/.ZOFA=90°,

：.OF^AF=~OA,

，DF=OD-OF=OA—OF=2一亚OA,

2

(3)①当NEO2=90。时，如图:

为48的中点，

EO垂直平分,

/.EA=EB,AEAO=NEBO

:.BC^Ab=CD<度数均为60。,

/.ZAOD=60°,ZB=ZD=30°,

AEOD=30°=ZD,

DE=OE,

・・•OFYAC,

DF=OF,

'ADEF:S^OEF=DF：OF=1;

当NO£5=90。时，OE上BD,连结3C,

OD=OB,

DE=BE,

VAB为直径，

・•・N/C5=90。，

OFLAC,

；・/DFE=/BCE=90。,尸为力。的中点,

•：/DEF=/BEC,

ADEF之小BEC,

1.DF=BC,

•；OA=OB,尸为/C的中点，

，。尸是△/5C的中位线，

BC=2OF,

/.DF=2OF,

S^DEF-S^OEF=DF:OF=2.

综上：AZ)£F与△OE尸的面积比为1或2.

【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，圆周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的

判定和性质，中垂线的判定和性质，三角形的中位线定理，综合性较强，属于中考几何常见的压轴题.熟

练掌握相关定理和性质，是解题的关键.

题型2：“有垂径现三角形”

2.如图1,点E是。。直径上一点，AE=2,BE=8,过点E作弦。_LA8,点G在砺上运动，连

接CG.

(2)如图2,连接NG,作"CG的角平分线交NG于点F，在点G运动的过程中，/尸的长度是否会发生变

化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值.

(3)如图3,过点8作3〃LCG于〃，连接。求。〃的最小值.

【答案】(1)8

(2)/尸的长度不发生变化；AF=2出

(3)2713-275

【分析】(1)连接O。，根据NE=2,BE=8,确定圆的半径为5,结合CD_L48,根据垂径定理，得到

ED=yJoD2-OE2=4»得8=2ED=8.

(2)连接N2/C,根据垂径定理，得至u4D=AC=TAE?+ED2=2后，利用三角形外角性质，圆周角定

理，证明2。=/。="尸即可.

(3)根据题意，点〃的运动轨迹是以2c为直径的ON上的前，当。、H、N三点共线时，ZW取得最小

值，计算即可.

【解析】(1)如图，连接OD,

AE=2,BE=S,

AB=10,

圆的半径为5,

G

I

・・・CDVAB,

•*-ED=yIOD2-OE2=4，

・・・CD=2ED=8.

(2)4b的长度不发生变化；AF=2#.理由如下:

0(?直径AB,AE=2,BE=8,弦CD1,ED=4,

AD=AC=y)AE2+ED2=2退，

ZADC=ZACD=ZAGC,

・・・ZDCG的角平分线交ZG于点尸，

・•・ZFCD=ZFCG,

VZACF=ZACD+ZFCD,ZAFC=ZAGC+ZFCG,

・•・ZACF=/AFC,

：.AC=AF,

AF=25

故4月的长度不发生变化；AF=25

(3)如图，连接5C,

・.,BHLCG,

G

点H的运动轨迹是以BC为直径的©N上的砺,

当。、H、N三点共线时，。〃取得最小值，

连接DN,交前于点M,

故当X与〃■重合时，D8取得最小值，

EC=4,BE=8,CDLAB,

BC=-JBE2+EC2=4>/5，

NM=2亚,

过点N作尸NLCN于点尸，

则FN//EB,

,CN_CF

••丽一说’

,；CN=NB,

：.CF=FE=-EC=2,NF=-EB=4,DF=6,

22

DN=^DF2+FN2=2V13，

/.DM=DN-MN=2而-2遥，

故DH最小值为2^/13-2V5.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定

理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键.

题型3：题型1和题型2综合

3.已知：是。。的直径，弦CD交AB于点、E,且弧26=弧50.

图3

(1)如图1,求证：CE=DE；

(2)如图2,连接/C,点尸为NC上的一点，连接初，过点。作8,8尸，垂足为点G,若点〃为弧A8的

中点，求NCEB的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接尸〃交4B于点N,若AF=AN,FG=4,求。。的半径.

【答案】(1)见详解

(2)45°

(3)472

【分析】(1)连接BC、BD,可证是CD的垂直平分线，即可求证；

(2)连接8C,可求44cH+4CH=90。，由此可求//CH=45°,由NCGF=90。，即可求解；

(3)连接BC、BH,设立4=2a,可得NBHC=NA=2a,从而可求//VF=/4FN=90。-&,

ZCFH=9G0+a,进而可求NCHF=45。一(z,可证ZCHF=ZBHC,可得45。一a=2a,可求乙1=30。，

即可求解.

【解析】(1)证明：如图，连接8C、BD,

图1

,:前=前,

BC=BD,

・・・OC=OD,

二45是CQ的垂直平分线,

/.CE=DE；

图2

•・•是O。的直径，

:.ZACB=90°,

/.乙4CH+/BCH=90。,

•・,点”为弧的中点,

.•.初=丽，

ZACH=ABCH,

ZACH=45°,

-CH1BF9

ZCGF=90°,

/.NCFB=90。—45。

=45°,

故NCFB的度数为45。；

图3

设41=2a,

-BC=BC^

ABHC=N/=2。，

•「AF=AN,

ZANF=ZAFN

=1（180°-2a）

=90。—。，

:.ZCFH=1S00-ZAFN

=180°-（90°-^）

=900+a,

-ZACH=45°9

ZCHF=180。-NCFH-ZACH

=180°-（90°+a）-45°

=45。—。，

vZCFB=45°,ZFCB=90°,

/./CBF=NCFB=45。,

CF=CB,

•・•CHVBF,

BH=FH,

/CHF=ZBHC,

/FCG=/BCG=-ZACB=45°,

2

/.BG=CG=FG=4,

BC=ylCG2+BG2

=4柩，

45°-a=2a,

解得：a=15。，

.•.4=30。，

AB=IBC,

AB=8>/2,

的半径为40.

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，线段平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及

性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握性质，能根据题意作出适当的辅助线是解题的关键.

题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系

4.如图，在△4BC中，4B=BC/ABC=90。,D是4B上一动点,连接CA,以8为直径的。“交NC于

点E,连接期并延长交NC于点尸，交。”于点G,连接BE.

(1)若/仍G=45。，求证：点E是前的中点.

(2)当点。移动到使，AE'时，求2C:BD的值.

(3)当点。到移动到使G=30。时，求证：AE-+CF2=EF2.

【答案】(1)见解析

⑵行+1

(3)见解析

【分析】(1)根据题意可得/BEG=90。，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案；

(2)根据题意求得//£>£=乙4=45。，再利用勾股定理即可得到本题答案；

(3)根据题意证明出/EMF=90。，利用勾股定理得到ADME是等边三角形，再利用含30。角的直角三角

形三边关系即可得到本题答案.

【解析】(1)解：证明：连接EG,

・.・刚/为。M的直径,

・・・/BEG=90°,

又•・・4EBG=45。，

：./EGB=180。—/BEG-/EBG=45。，

・・BE=EG，

・••点E是数的中点.

(2)解：解：连接。£.

・・・CQ为。M的直径，CD1BE,

・・・血0=90。，BD=DE，

：.ZDEA=90°,BD=DE,

•:AB=BC,ZABC=90°,

N4=/ACB=45°,

・・・ZADE=180。-乙4-ZAED=45°,

ZADE=ZA=45°f

AE=DE,

：.AE=DE=DB,

AD=y/AE?+DE?=6BD,

AAB=AD+BD=C42+r)BD，

：.BC=AB=(42+r)BD,

BC：BD=42+1;

(3)解：证明：连接应0.

・・・ZEMB=2ZECB,

由(2)知N£CH=45。，

・•・/EMB=90。,

...ZEMF=90°,

EM2+MF2=EF2^

­CG=30%

ZCMG=30°,

Z.DME=60°,

"：DM=EM,

ADME•是等边三角形，

/.DE=EM,ZCDE=60°,

由(2)知AE=DE,

：.AE=ME,

■：AAEC=90°,ZCDE=60°,

ZDCE=30°,

:.NDCE=NCMG=3Q°,

：.CF=MF,

EM2+MF2=EF2^

：.AE2+CF2=EF2.

【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质和判定，

等边三角形性质及判定，含30。角的直角三角形三边关系.

题型5：题型1-4综合

5.如图，在△4BC中，点。是/C的中点，以。为圆心，为半径作。。，交5c于点。，交AB于点、E,

弧瓦＞与弧DC相等，点尸在线段BE上，ABAC=2ZBDF.

(2)判断。尸与。。的位置关系，并加以证明；

(3)若OO的半径为5,EB+DF=AO,求AD的长.

【答案】(1)见解析

(2)。尸与。0相切，证明见解析

(3)8。=厢

【分析】该题主要考查了圆周角定理，切线的性质“切线垂直于过圆心的直径或(半径)”和判定，三角形中

位线的性质“三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半”和判定,解题的关键是做出对应辅助

线；

(1)连接4。，根据弧瓦)与弧DC相等，得出NC4D=NR4D,根据/C是。。的直径，得出N4DC=90。,

证出4=即可求证；

(2)连接O。，根据/4DC=90。，得出4D28C,证出是△48C的中位线，得出。。〃48,根据

NBAC=2NBDF,证出=尸，由等量代换得出NN尸。=90。，根据平行线性质得出/。〃尸=90。,

即可证明。尸与相切；

(3)连接DE,CE,根据弧与弧DC相等证出。E=OC,根据CD=8。，得出DE=BD,结合(2)得

出EF=FB,证出。k是ABCE的中位线，得出EC=2。尸，

设E尸长为x,则3E=2x,表示出。尸=5-2x,£C=10-4x,AE=10-2x,根据NC是O。的直径，得

出乙4EC=90。，在RtZi/EC中，运用勾股定理解出x,得出BF=1,DF=3,在Rt△。尸8中，运用勾股定

理解出8£)=布；

【解析】(1)证明：连接4D,

•.•弧EO与弧DC相等；

/.ACAD=NBAD,

是。。的直径；

ZADC=90°,

ZADB=90°,

ACAD+ZACD=90°,ABAD+NABD=90°,

ZACD=/ABD,

：.AB=AC；

(2)。尸与。0相切,

证明：连接。D,

,?ZADC=90°,

：.ADIBC,

AB=AC,

CD=BD,

・・•点。是4。的中点，

.・.0D是的中位线,

OD//AB,

'：/CAD=/BAD,

・・・ABAC=2ZBAD,

・・,ABAC=2/BDF,

:・ZBAD=/BDF,

9：ZADB=90°,

・・・ZADF+ZBDF=90°,

：.ZADF+ZBAD=90°,

・・・ZAFD=90°,

：.ZGEF+乙所D=180°,

・•・ZODF=90°,

・•・ODYDF,

・・・。尸与。。相切；

解：连接。区CE,

・・・弧切与弧。。相等,

・•・DE=DC,

9：CD=BD,

:.DE=BD,

・.,ZAFD=90°,

DFLBE,

：.EF=FB,

二。尸是△5C£的中位线,

・•・EC=2DF,

设所长为x,贝l」5£=2x,

9

：EB+DF=AOf

DF=5-2x,

：.EC=10-4xf

'：AB=AC,

AB=10,

，AE=AB-EB=10-2x1

・・・/C是oo的直径，

・・・//£C=9(T^R34£(F,AE2+EC2=AC2,

即(10-2x『+(10-4x)2=1()2,

解得x=l或尤=5(舍)，

BF=\,DF=3,

在RtADFB中，BF-+DF2=BD1,

解得丽.

题型6：动点问题（列方程；分类讨论）

6.如图1,在RtZ\48C中，乙4c3=90。，/C=12cm,AB=20cm,动点。由点C向点2以每秒3cm速

度在边NC上运动，动点£由点C向点/以每秒4cm速度在边上运动，若点。、点£从点C同时出发，运

动f秒（/>0）,连接。E.

⑴求证：XDCEsxACB;

（2）如图2,设经过点。、C、K三点的圆为OO,连接。。并延长交4B于点

①猜想直线。C与直线的位置关系，并证明你的结论；

②当。。与边48相切时，贝『=；

③在点。、点E运动过程中，若。。与边4B交于点M、N(点〃•在点N下方，如图3),连接CO并延长

交边48于点连接。M，当AOHM与ACAE相似时，直接写出f值.

【答案】(1)见解析

4812

(2)@OC1AB,见解析；②元;③/=《或

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质；

CDAC3

(1)直接证明一=—=-结合NECD=NBCA=90°可得XDCE^AACB；

CECB4

(2)①由OC=OE,可得/O£C=NOCE,由ADCEsMCB可得/CED=NCBA,再证明

ZHAC+ZACH=900BRnT；

②根据/EC。=90。可得DE为直径，当。。与边相切时切点为"，此时CH=5t,再利用面积列方程求

解即可;

③先求出。〃=—OC=£—1%,OM=OD=OC=OE=^t,再分情况讨论，当时,

「口QHoCH4

5r南=于当A。-时，分别代入列方程求解即可.

【解析】(1)证明：由题意得，CE=4t,CD=3t,

.CD3t_3

・•赤―苏一"

,：ZACB=90°,AC=l2cm,AB=20cm,

・•・CB=YIAB2-AC2=7202-122=16cm，

・"_12_3

**CF-T6-4>

.CDAC

**cF-cF,

又,:ZECD=ZBCA=90°,

：.XDCEs/^ACB；

(2)解：®OC±AB.

证明：・・・。。经过点。、C、E三点，

OC=OE,

：.ZOEC=AOCE,

・・,由(1)XDCEsxACB,

・•・/CED=/CBA,

：.ZHAC+/ACH=ZHAC+ZOEC=ZBAC+ZCBA=90°,

・・・ZAHC=90。，

OCLAB；

②・.,CE=4z,CD=3t,

:・DE=VC^2+C£>2=，⑷丫+⑻丫=5t,

：.OD=OC=OE=-t,

2

;。。与边力5相切，

OH=—t,

2

:・CH=5t,

,：ZACB=90°,4C=12cm,^5=20cm,CS=16cm,

：.S=-AC^BC=-CH-AB,

ARC22'

12x16=5^x20,

48

解得”不；

③由=可得8=^^^=当，

2zADJ

485

：.OH=CH-OC=-----1

52

由半径相等可得OM=OD=OC=OE=^t,

485

---------1

当时，——,则二二-'s2，解得,=—■；

DEOM5tb.5

-i

2

48_5

CFOH4/飞"—732

当△OHMs-CZ）时，——=,贝汗丁=?，解得才=*;

DEOM5t"15

-i

2

12T,7

综上所述，当AOffiW与ACDE相似时，”不或冷

7.在矩形4BC。中，AB=6cm,2c=8cm,点尸从点“出发沿4B边以lcm/s的速度向点8移动，同时,

点。从点8出发沿8c以2cm/s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时

间为/秒：

（1）如图1,几秒后，48尸。的面积等于8cm2?

⑵在运动过程中，若以P为圆心、P4为半径的。P与AD相切（如图1）,求f值；

⑶若以0为圆心，尸。为半径作

①如图2,以。为圆心，PQ为半径作。。.在运动过程中，是否存在这样的"直，使。。正好与四边形/BCD

的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由；

②如图3,若。。与四边形C0P。的边有三个公共点，贝心的取值范围为.（直接写出结果，不需说

理）

【答案】（1）2秒或4秒

⑵|

12—

（3）①。或三或-10+8亚；®0<t<-10+2A/41

【分析】（1）由题意可知尸/=，，BQ=2t,从而得到尸3=6T,BQ=2t,然后根据△PQ3的面积为8cm2

列方程求解即可；

（2）如图1所示：连接PE.依据勾股定理可求得3。的长，然后依据切线长定理可知。£=/。=8,从而

可求得3E的长，由圆的半径相等可知==然后在Rt△尸座中依据勾股定理列方程求解即可；

（3）①先判断。。不与3c相切，然后分。。与4。相切；。。与CD相切，根据半径等于产。构建方

程求解即可.

②先求得。。与四边形。尸0c有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围.

【解析】（1）解：由题意知，AP=t,BQ=2t,贝U3P=6-/,

•凡BAQ《BP-BQ=8

.,.!（6-?）-2?=8,

解得，=2或t=4,

故当运动时间为2秒或4秒时，XBPQ的面积为8cm2；

（2）解：如图1,设切点为E,连接尸E.

D

w

图I

ADLAP,

OP与AD相切9

・・・。夕分别与Z。，相切，

・・・AD=DE=8.

•・・OP与相切，

PELBD,

在RtA4BD中，依据勾股定理可得BD=用+心=10-

BE=BD-DE=2.

'：AP=PE,

：.PE=t,PB=6-t.

在RtZV）班中，依据勾股定理可得，（6-Z）2=/2+22,

o

解得f=§;

（3）解：①由题意知。。不与N8,2C相切,

当。。与相切时，设切点为E,连接QE,

则QE=PQ,

则四边形/80E是矩形,

：.QE=AB=PQ,

6?=（67）2+（2/）2,

12

解得"0或

当。。与DC相切时，

Z.（6-『+⑵）2=（8-2。2,

解得4=一10+8夜，=-10-872（舍去），

19

综上，当f的值为0或M或-10+8行时，。。正好与四边形/BCD的一边（或边所在的直线）相切;

当。。经过点。时，。。与四边形。尸0c有两个公共点，则QD=P。，

得方程（67）2+（2f『=36+（8-2^,

解得：％=-10-2a（舍），t2=-10+2A/41,

•♦•当0</<-10+2跖，。。与四边形CDP。有三个公共点.

故答案为：0<l<-10+2面.

【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长

定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于，的方程是解题的关键.

题型7：圆与平面直角坐标系

8.如图，以点P（T,O）为圆心的圆，交x轴于5、C两点（8在C的左侧），交了轴于A、。两点（A在。

的下方），/43c=30°,将UBC绕点尸旋转180。，得到△州（%.

（1）求A、8两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形4CW的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线L从与四重合的位置开始绕点5顺时针旋转，到与3c重合时停止，设直线工与CN交点为£,

点。为班的中点，过点E作EG,2c于G,连接QG.请问在旋转过程中/MQG的大小是否变化？

若不变，求出NMQG的度数；若变化，请说明理由.

【答案】⑴/（0,一6），台（-3,0）

⑵矩形，河卜2,6）

⑶不变，ZMQG^120°

【分析】（1）连接相，根据等边对等角，结合三角形的外角求出N/PO=60。，根据含30度角的直角三角

形的性质，求出。4/尸的长，得到A点，2点的坐标即可；

（2）连接及并延长，交圆尸于点连接的幺CN,即可得到四边形/CW,根据旋转的性质，推出四

边形/CA%为矩形，过点/作MN,2c交3C于点N,证明A/OP之AACVP（AAS）,可得点/的坐标；

（3）结合题意，得NBMC=NBGE=90。；再结合点。是成的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得

QM=QE=QB=QG,从而推导得点E、M、8、G在以点0为圆心、然为半径的圆上，故得MQG=2ZMBG.

再根据=ZPCA=^(180°-ZOAP),即可求解.

【解析】(1)解：如图，连接的.

由题意知，PA=BP,OP=l,

：.ZPAB=NABC=30°,

・・・AAPO=ZPAB+ZPBA=60°,

ZAOP=90°9

：.ZPAO=30°f

AP=2OP=2,OA=4iOP=V3,

/(0,—VJ),BP=CP=AP-2,

：.0B=0P+BP=3,

・•・8(-3,0)；

(2)解：如图，四边形/CW是矩形,

由题意，得：//尸M=180。，AP=PM,

，4尸,河三点共线,

；AP=PM,BP=CP,

，四边形/CWB是平行四边形，

又,:2C为直径，

ABAC=90°,

••・四边形ZCW是矩形.

过点加作MN,5c交8C于点N.

在A/O尸和△肱VP中，

ZAOP=ZMNP

<ZAPO=ZMPN,

AP=MP

:.AAOP^AMVP(AAS),

MN=OA=y[?>,NP=OP=\,

又：尸(TO),

..•点M的坐标为卜2,道)；

(3)解：如图,

结合(2)的结论，四边形/CA=是矩形，/ABM=NBMC=90。,

•••EG1B0,

：.NBGE=90°,

ZBMC=ABGE=90°,

♦..点。是8E的中点，

QM=QE=QB=QG=；BE,

点£、M,B、G在以点。为圆心、Q2为半径的圆上，

AMQG=2ZMBG.

■：NABC=30°,ZABM=90°,

ZMBC=60°,

ZMQG=2ZMBG=120°.

•••在旋转过程中NMQG的大小不变，始终等于120。.

【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜

边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理

等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证.

题型8：圆与二次函数

9.如图1,在平面直角坐标系xQy中，开口向上的抛物线>=依2+云+。与x轴交于4,3(1,0)两点，与歹

轴交于点C,且。/=。。=3。8.

图2

(1)求该抛物线的函数表达式:

(2)若点G为抛物线上一点，当=时，直接写出点G的坐标;

⑶如图2若M为线段48的中点，N为抛物线的顶点，©7经过/,B,C三点.经过圆心7的直线交抛物

线于。，E两点，直线沏交x轴于点尸，直线MT交x轴于点Q.求“尸同。的值.

【答案】（l）.y=—+2x-3

（1013811

⑵-3~~9

=详见解析

【分析】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数与角度问题，二次函数

与定值问题;

(1)由8(1,0)求出/(-3,0),C(0,-3),然后将这三个点代入y=a/+6x+c计算即可；

(2)取点M(-2,l),N(-2,-l),MV交x轴于尸，证明ABOC2AMPB,ABOCANPB,得到

NGBA=/BCO=NMBA=/NBA,点、G为直线BM、5N与抛物线的交点，分别求直线由/、8N解析式，

再与二次函数解析式联立求交点即可；

(3)先求出圆心再设。(加，川+2吁3),E(〃,/+2〃-3),求出经过的直线DE解析

式，再与抛物线联立得到/+(2-左卜-2-左=0,推出加+”="2,mn=-k-2,再求出ND解析式及其与

x轴于点尸，得到〃？=帛+1|=高4

同理.0=^,再代入计算即可

【解析】⑴解：•."(1,0),

OB=\,

：.OA=OC=3OB=3,

二./(-3,0),C(0,—3),

将4(-3,0),5(1,0),C(0,—3)代入＞=办2+bx+c得:

0=9a-3b+c

＜0=a+b+c,

c=-3

a=1

解得＜6=2,

c=-3

•••该抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3；

(2)解：取点ACV交x轴于尸，则/BOC=/MPB=NNPB=90°,

：.ZGBA=ZBCO=ZMBA=ZNBA,

...点G为直线9、8N与抛物线的交点，

设直线BM解析式为y=/x+4，

(、/、fl=—2左+b,

代入8(1,0)得1I解得

IU/C]I

二・直线破解析式为歹=一;x+g,

10

11x=-----

、，、y~—1—x=1,、3

联立《33,解得或<

y二0一13

y=x2+2x-3y=­

9

即直线9与抛物线的交点点G的坐标［-了，］

同理直线3N与抛物线的交点点G的坐标

10138_11

・••点G的坐标

39~~9

(3)解：MPMQ=—；理由如下:

・•・OT经过45。三点,

・•・圆心丁在AB的垂直平分线x=-1,与的垂直平分线y=x的交点处,

・•・T(-L-1).

•••。/为抛物线上两点,

.,.设加，加2+2加—3),+2〃—3),

设经过T(T-1)的直线QE解析式为片人(工+1)-1,

y=k(<x+l^-l

联立得:

y=x2+2x-3

即：%?+(2—左)x—2—左=0,

:.m+n=k-2,mn=-k-2.

•.•N为抛物线的顶点，

二.N(-1,-4),

+2加—3),

.4。表示为y=>+2〃L3+4(X+I)_4,即：j/=(m+l)(x+l)-4

m+1

・・•直线沏交x轴于点尸,

令歹=0,得(加+1)(%+1)-4=0

4

解得马=-7-1

m+1

4

,\MP=\xp+]\=---1+1=

m+1m+1

4

同理，MQ=

n+\

4416=61616

:.MPMQ==

m+1H+1(m+l)(«+l)||mn+m+n+lk-2-k-2+]3

故MPMQ的值为了.

10.如图，已知抛物线了=办2+法+0(℃<0)与X轴交于/、3(/在3的左边)，与y轴交于C,且

OB=4OA.

(1)若点/的坐标是(-1,0),C的坐标是(0,-4),试求抛物线的解析式；

⑵在(1)的条件下，如图1,直线V=x与抛物线y="2+6x+c交于。、£两点，点尸在直线DE下方的

抛物线上，若以尸为圆心作。尸，满足。尸与直线。E相切，求当。尸的半径最大时，点尸的坐标；

(3)如图2,若OB=OC,M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点(M在N的右边)，连接4"、AN、

PB

MN,MV交x轴于点P,点K是MN的中点，若。MW■的内心在x轴上，K的纵坐标为"，试探究——的

n

值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1))=尤2-31

(2)(2,-6)

…士PB1

(3)定值，一=-

n5

【分析】(1)设抛物线的解析式为V=a(x+l)(x-4),将C点坐标代入，即可求解；

(2)过尸作由，OE于〃，过尸作尸。〃了轴，交直线于0,由切线的性质得〃在。尸上，r=HF,

由勾股定理得,设。(优M),尸(加，疗一3俏一4),可求。尸=一加2+4加+4,即可求解；

(3)设/(-加⑼，设抛物线解析式为y=4x+W(x-4加)，将C(0,-4加)代入得，am=\,设直线⑷/解

析式为丁=k(》+小)，联立直线与抛物线的解析式得与=加上+4加，M^mk+4m,mk2+5mk^,同理可求

出N(-mk+-5叫,由中点得K(4加,MP),待定系数法得直线解析式为y=5x+加/-20加,

可求出产(4%-("Ko],由P8=OP-O2可求出PB,即可求解.

【解析】(1)解：的坐标是(T,。)，

0/=1,

OB=AOA,

.­■5(4,0),

.••可设抛物线的解析式为V=a(x+l)(x-4),

VC(0,-4),

a(O+l)(O-4)=-4,

解得：a=l,

y-(x+l)(x-4)

=x~—3x—4,

故抛物线的解析式为y=/-3x-4；

(2)解：如图，过尸作尸8，。£于“，过尸作尸。〃＞轴，交直线。£于0,

在。尸上，r=HF,

•..直线y=x,

/.HOF=45°,

QF=4iHF=6r,

设。（私加），F（m,m2-3m—4^,

QF=-m2+4m+4

=-（m-2）2+8,

v-l<0,

..・当冽=2时，。%乂=8,

*ax=4亚,

2

：.yF=2-3x2-4

=-6,

（3）解：定值，

设/（-加,0）,

•­•OB=4OA,OB=OC,

5（4m,0）,C（0,—4m）,

，设抛物线解析式为>=a（x+»0（x-4%）

将C（0,-4m）代入得，

am=1,

•••&42W的内心在x轴上，

NMAB=/NAB,

设直线/V解析式为：了=Mx+m）,

,[y=Q（x+机）（x―4机），

解得：XM=mk+4m,

M（mk+Am,mk2+5加上）,

•;AP平分NMAN,且。在x轴上,

，直线AM与直线AN关于不轴对称,

「•同理设直线4V解析式为：y=-k（x+m）,

同理可求出N(^-mk+4m,mk2-5mk),

•••K是AW的中点，

xK=；（加左+4加一加左+4机）

=4m,

yK=；（加左2+5加左+加左之一5加左）

=mk?,

：.K(4m,mk2},

设直线MV解析式为：y=k2x+b1,则有

[mk+4冽)左i+4=mk2+5mk

[—mk+4m)k[+々=mk2—5mk'

&=5

解得:

=mk2-20m'

・•・直线跖V解析式为：y=5x+mk2-20m,

当丁=0时，

5x+mk2-20m=0，

解得：x-4m--mk2,

.•小一)可，

1

OP=4m--mk9,

:.PB=OP-OB

=4m-14m--mk2\

I5J

=^mk2,

PB^mk"1.

nmk25

【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，切线的性质，三角形的内心定义，勾股定理等；能熟

练使用待定系数法求函数解析及辅助未知数表示点的坐标，掌握切线的性质，并能利用二次函数性质求最

值是解题的关键.

题型9：新定义题一直线与圆的位置关系

11.在平面直角坐标系xQy中，O。的半径为1.对于O。的弦和一点C,给出如下定义：若直线NC与

。。只有一个公共点，AABC=a,则称点C是弦4B的“a切割点”.

①若点为弦42的“120。切割点”，则加=，点5的坐标为；

②若弦与x轴平行且只有一个点尸为弦N8的“a切割点”，则a的取值范围是；

（2）已知点。为直线y=Gx+6上一点，若存在的弦MN.当1〈儿W＜0时，点。为弦的“90。切割

点直接写出6的取值范围.

【答案】⑴①2；（0,1）；②60。4。＜120°

⑵-2石W6W2石

【分析】（1）①过点/作轴于C,连接CM,解RM/OC得到乙40c=30。，则//OM=60。，根据

题意可得与。。相切，则/CMM=90。，进而可得N/MO=90。一N/（W=30。，求出（W=2O/=2,

则％=2；设OM与。。轴交点为夕，证明为等边三角形，得到N4B'O=60。，贝UN484f=120。，再

由/4BM=120。，可得点5与点9重合，即。、B、"三点都在y轴上，则以0,1）.②如图，先由平行线

的性质得到/CM8=//OC=30。，再由“a切割点”的定义得到NCMP=90。，当点＜在43下方时，可得

0。＜44期＜60。，当点8在N8上方时，可得0。＜/5以＜120。，再由只有一个点尸为弦N3的“a切割

点”，可得60°Va＜120。.

（2）在。。取弦MN',使得W=l,此时点。'为弦MN'的"90。切割点”，连接。。'，OM,ON',贝I]

ZQ'MO=ZQ'N'M=90°,证明△OW是等边三角形，得到NOW=60。，贝I]/Q'AW'=30°,可求出

Q'M=当,则可利用勾股定理求出00=JQ求2+0"=浮,故点0在以点。为圆心，半径为亨的

圆上运动；如图所示，在。。取弦MV",使得MN"3，此时点0〃为弦舫V”的"90。切割点”，连接

OQ",ON",证明△MW是直角三角形，且/NOW=90。，得到/MW=45。，贝I]=45°,即可

推出△Q〃AW"是等腰直角三角形，得到Q"M=4iMN"=2,则Q"O=亚层/庐=石，故点。〃在以点。

为圆心，半径为右的圆上运动；综上所述，当1<MN〈痣时，点。的轨迹是以。为圆心，半径为亨和

半径为6两个圆组成的圆环，那么直线>=后+6一定要与以。为圆心，半径为浮和半径为百两个圆

组成的圆环有交点；求出当直线了=后+6与以。为圆心，半径为右的圆相切时6的值即可得到答案.

【解析】(1)解：①如图，过点N作轴于C,连接。4,

/.ZAOC=30°,

・••点M在y轴上，

/.ZAOM=90°-30°=60°,

・・•点M(0,m)为弦AB的“120。切割点”,

・•・4M与。。相切,

・•・AMLOA,

：./0AM=90°,

/AMO=90°-ZAOM=30°,

・•・OM=2OA=2x1=2,

「・加=2,

设。河与O。轴交点为夕，

OA=OB',

・・・"OB，为等边三角形，

・・・/AB'O=60°,

・•・/AB'M=120。，

・.•点M（0,加）为弦4g的“120。切割点”，

：.ZABM=120°f

・••点5与点9重合，即。、B、河三点都在y轴上,

OB=\,

・•・NOAB=NABP=3。。,

・・・弦4B与x轴平行且只有一个点P为弦AB的“a切割点”,

AP与OO相切于4,

AP10Af

ZOAP=90°,

当点々在下方时，

.・./[45=90。+30。=120。，

0°<ZABPi<60°,

0°<a<60°；

当点g在43上方时，则/£/8=90。-30。=60。，

0°</£8/<120°,

二0°<<z<120°,

•.•只有一个点尸为弦48的“a切割点”，

60°4a<120°.

(2)解:如图所示，在。。取弦MN'，使得W=1,此时点Q'为弦MN'的"90。切割点”,连接OM,ON',

：.AQ'MO=ZQ'N'M=90°,

：。。的半径为1,

OM=ON=MN'=1,

/./\OMN'是等边三角形，

/.NOMN'=60°,

：.ZQ'MN'=30°,

：.QN=*MN=[,

：.QM=2Q'N'=当,

：.Q'O=ylQ'M2+OM2=浮，

点。'在以点。为圆心，半径为呼的圆上运动；

如图所示，在0。取弦使得儿加〃=亚，此时点。〃为弦的"90。切割点”，连接O。"，ON",

：.OM=ON"=1,ZQ"MO=ZQ"N"M=90°,

'/N"M2=2,OM2+N"O2=1+1=2,

N"M2=OM2+N"O2,

△N%。是直角三角形，且NN"OM=90。，

ZN"MN=45°,

：.NQ"MN"=45°,

•••△0"儿W〃是等腰直角三角形，

，Q"M=>/2MN"=2,

Q"O=^Q"M2+OM2=石,

点。"在以点。为圆心，半径为火的圆上运动；

综上所述，当1<MV<0时，点。的轨迹是以。为圆心，半径为浮和半径为右两个圆组成的圆环，

:点。为直线了=底+6上一点，

，直线y=G+b一定要与以。为圆心，半径为孚和半径为百两个圆组成的圆环有交点；

如图所示，当直线丁=岳+6与以。为圆心，半径为石的圆相切于点，G轴上方）时，连接3,设直

线y=+6与x轴，y轴分别交于K、L,则K--y-,0,Z（0,6）,

7

：.OK