圆的方程（原卷版）

专题35圆的方程

【考点预测】

知识点一：基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

知识点二：基本性质、定理与公式

1.圆的四种方程

(1)圆的标准方程：+(y-〃)2=户，圆心坐标为(〃，b),半径为"r>0)

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为[^，一^]，半径

y]D2+E2-4F

r=-------------

2

(3)圆的直径式方程：若A&,%),为)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(%-%1)(%-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

(4)圆的参数方程：

①尤2+y=产(厂>0)的参数方程为尸=“os?%为参数)；

[y=rsmO

2x=a+rco

②(尤一a)+(y-6)2=r\r>0)的参数方程为\^(e为参数).

[y=b+rsmu

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcos0,6+rsin。)(。为

参数，(°,6)为圆心，/•为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题,

然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2.点与圆的位置关系判断

(1)点尸(%,%)与圆(x-a]+(y-b)2=r的位置关系：

®(x-a)2+(y-b)2>^o点P在圆外；

②(x-a)2+(y-6)2=/o点尸在圆上；

③0-“)2+(>_6)2</=点/>在圆内.

(2)点尸(%,%)与圆元2+/+m+与+尸=0的位置关系：

①x；+y；+Dx0+Ey0+F>0<^>点尸在圆外；

②x；+y；+Dx0+Ey0+F—00"点P在圆上；

③片+，；+Dx()+Ey。+F<0=点P在圆内.

【题型归纳目录】

题型一：求圆多种方程的形式

题型二：直线系方程和圆系方程

题型三：与圆有关的轨迹问题

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

题型五：点与圆的位置关系判断

题型六：数形结合思想的应用

题型七：与圆有关的对称问题

题型八：圆过定点问题

【典型例题】

题型一：求圆多种方程的形式

例1.已知。的圆心是坐标原点0,且被直线2x-y+5=o截得的弦长为4,则。的方程为()

A.x2+y2=4B.X2+/=8

C.x2+y2=SD.x2+y2=9

例2.过点(7,-2)且与直线2x-3y+6=0相切的半径最小的圆方程是()

A.(x-5)2+(y+l)2=5B.(x-5)2+(y-l)2=13

C.(X-4)2+(J+4)2=13D.(尤-I?+(>+6)2=52

例3.若圆C与直线乙：x+y=0和4：x+y-8=0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为()

A.%2+(>+4『=8B.x2+(y-4)2=8

2222

C.X+(J+4)=16D.%+(y-4)=16

例4.过点A(3,l)的圆C与直线x-y=0相切于点8(1,1),则圆C的方程为()

A.(x-2)2+y2=2B.(x-2)2+(y-l)2=1

C.(x-3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+l)2=8

例5.已知直线/：2x-y+2=0与以点C(2,l)为圆心的圆相交于A,B两点，且G4LCB,则圆C的方程为

()

A.(x-2)2+"1)2=25B.(尤-2)2+"1)2=20

C.(x-2)2+(y-l)2=10D.(X-2)2+(J；-1)2=5

例6.直线3+4=1与X轴，y轴分别交于点A,B,以线段为直径的圆的方程为()

42

A.x2+y2-4x-2y=0B.x2+y2-Ax-2y-1=0

C.x2+y2-Ax-2y+1=0D.x2+y2-2x-4y=0

例7.过点A(L-1),且圆心在直线％+y-2=0上的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=4B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x-3)2+(y+l)2=4D.(x+l)2+(y+l)2=4

例8.过点P(4,2)作圆f+y2=4两条切线，切点分别为A、B,O为坐标原点，贝UQ4B的外接圆方程是

()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(尤+2产+“+1)2=5D.(X+4)2+(J+2)2=20

例9.已知三个点A(0,0),8(2,0),C(4,2),贝rABC的外接圆的圆心坐标是.

例10.圆心在直线y=—2元上，并且经过点4(2,-1),与直线尤+y=l相切的圆C的方程是.

【方法技巧与总结】

(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(。，6)

和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.

(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半

径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.

题型二：直线系方程和圆系方程

例11.过圆.一+/一2〉一4=0与f+y2-4x+2y=0的交点，且圆心在直线/：2x+4y-1=。上的圆的方程

是.

例12.已知圆C]:X。+—2x—3=0与圆C2:x?+y~—4x+2y+3=0相交于A、8两点.

(1)求公共弦AB所在直线方程；

(2)求过两圆交点A、B,且过原点的圆的方程.

例13.已知圆G:尤2+y2+6x-i6=0C：尤2+y2-4x-5=0.求证：对任意不等于T的实数4,方程

/+、2+6左一16+/1(/+/-4》—5)=。是通过两个已知圆交点的圆的方程.

例14.已知圆G：x~+y~+4x—4y+4=0和圆C2：尤？+K+2x=0.

(1)求证：两圆相交；

(2)求过点(-2,3),且过两圆交点的圆的方程.

【方法技巧与总结】

求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交点，而是利用它

们的直线系方程(圆系方程).

(1)直线系方程：若直线4：4%+用丁+。1=0与直线/2：4尤+32〉+6=0相交于点「，则过点尸的直

线系方程为：4(Ax+Bj+G)+4(4尤+B2_y+G)=o(42+若片0)

简记为：阳+仪=0("+若片0)

当4wo时，简记为：/1+制2=o(不含4)

(2)圆系方程：若圆£:尤2+尸+。俨+£；＞+4=0与圆C2：f+y2+2x+E2y+1=0相交于A，B两

2222

点，则过A,B两点的圆系方程为：x+y+Dlx+Ely+Fl+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0(A^-l)

简记为：G+几。2=0(彳彳-1)，不含C2

当;1=一1时，该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)/:(R-D?)x+(Ei-EJy+耳一B=0

注意:与圆C共根轴/的圆系C/C+刀=0

题型三：与圆有关的轨迹问题

例15.已知点A(o,l),3(2,-1),动点p(x,y)满足尸4依=1，则点尸的轨迹为.

例16.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数依左＞0,左片1)的

点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，4-4,0),8(2,0),点M满

足1^|=2,则点M的轨迹方程为()

A.(x+4)2+y2=16B.(%-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y-4)2=16

例17.若圆G：f+丁=1与圆Q：(＞4+6-4=1的公共弦A5的长为1,则下列结论正确的有

()

A.a2+b2=1

B.a2+b2=14

c.A5中点的轨迹方程为/+y2=]

4

9

D.AB中点的轨迹方程为炉+y;二

例18.己知圆0:/+丁=1,直线/：x+y_2=0,过/上的点尸作圆0的两条切线，切点分别为则

弦AB中点M的轨迹方程为()

0

D.T+(>+£|="任+>%

例19.已知A,2为圆C:d+y2-2x-4y+3=0上的两个动点，P为弦A8的中点，若/ACB=90。，则点

产的轨迹方程为()

A.(尤-1)-+(y-2)2=zB.(x—I)"+(y—2)2=1

C.(尤+1)2+0+2)2=；D(x+l>+(y+2)2=]

例20.(多选题)已知aeR,过定点A的直线为4："+V=。与过定点3的直线4：尤-孙-。+1=。，两条

动直线的交点为P,则()

A.定点4(0,1)

B.定点3(—1,—1)

C.点尸的轨迹方程为V+V+x+ynO

O.|巳4+2M的最大值为8

例21.(多选题)在平面直角坐标系内，已知A(-l,。)，B(l,O),C是平面内一动点，则下列条件中使得点

C的轨迹为圆的有()

A.|AC|=|BC|B.|AC|=2|BC|

c.ACBC^OD.ACBC=2

例22.在边长为1的正方形ABC。中，边AB、8C上分别有一个动点Q、R,且忸。|=|CR|.求直线AR与

。。的交点P的轨迹方程.

例23.已知圆C过点(2,-3),(0,-3),(0,-1).

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知点尸是直线2x+y-l=0与直线x+2y+l=。的交点，过点尸作直线与圆C交于点A,B,求弦

A3的中点M的轨迹方程.

例24.已知圆6:/+'2-4工=0,平面上一动点尸满足：92+「储=6且/（-1，。），阳1,0）.

求动点P的轨迹方程；

例25.已知圆C:Y+y2=4,直线/满足（从①/过点（4,2）,②/斜率为2,两个条件中，任

选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A,8两点，求A8中点M的轨迹方程.

例26.直线/：丫=笈（％-5）信中0）与圆0:尤2+3；2=16相交于4,B两点，。为圆心，当左变化时，求弦

的中点M的轨迹方程.

例27.设不同的两点A,8在椭圆C:/+2y2=3上运动，以线段为直径的圆过坐标原点O,过。作

OMLAB,M为垂足.求点M的轨迹方程；

例28.在平面直角坐标系无Qy中，曲线y=x2-2x-3与两坐标轴的交点都在圆C上.

（1）求圆C的方程；

（2）已知。为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程.

【方法技巧与总结】

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y的等量关系，根据题目条件，直接找到或

转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

例29.若方程/+>2+彳0+2依+4y+5k+2=0表示圆，则上的取值范围为.

例30.设甲：实数。<3；乙：方程/+/一尤+3>+。=0是圆，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例31.已知点A（1,2）在圆C：x2+y2+mx-2y+2=0^,则实数机的取值范围为（）

A.（—3,—2）（2,+oo）B.（-3,-2）u（3,+co）

C.（-2,+co）D.（-3,+oo）

例32.若方程/+;/+6》+机=0表示一个圆，则根的取值范围是（）

A.(-oo,9)B.(-oo,-9)C.(9,+co)D.(-9,-H»)

例33.曲线C:x=J—y2+i6y_i5上存在两点A,3到直线y=-；到距离等于到《0,；）的距离，则

|AF|+|BF|=（）

A.12B.13C.14D.15

例34.“根>6”是“方程炉+/-〃4+4y+m+7=0是圆的方程”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例35.已知点4（2,1）在圆C：尤2+,2-2x+叼+2=。的外部，则实数机的取值范围为（）

A.(-3,-2)(2收)B.(-2,2)1_(3,+<»)

C.(-2,+co)D.(-3,+co)

例36.方程（3x—y+l）（y-Jl—犬）=0表不的曲线为（

A.两条线段B.一条线段和一个圆

C.一条线段和半个圆D.一条射线和半个圆

例37.已知aGR,若方程序―+（0+2）丫2+4彳+8）+5a=0表示圆，则此圆的圆心坐标为（）

A.(-2,-4)

C.(-2,-4)或一「D.不确定

【方法技巧与总结】

方程无②+/+瓜+与+尸=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,故在解决圆的一般式方程的有关

问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为一g）半径一;"意一4/

题型五：点与圆的位置关系判断

例38.已知直线ox+6y+c=0过点M（cosa,sina）,则（）

A.a2+b2<1B.a2+b2>1

C.a1+1）1<c2D.a2+b2>c2

例39.已知点尸（5a+l,12a）在圆（尤-1『+丁=1的内部，则（）

1

A.—1<a<1B.CL<----

13

1111

C.----<Q<一D.----<a<——

551313

【方法技巧与总结】

在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约

束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.

题型六：数形结合思想的应用

例40.（多选题）关于曲线C：x2+/=2|x|+2|y|,下列说法正确的是（）

A.曲线C围成图形的面积为4%+8

B.曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴

C.曲线C所表示的图形是中心对称图形

D.曲线C是以（1』）为圆心，2为半径的圆

例41.直线y=x+6与曲线x=6丁有且仅有一个公共点.则6的取值范围是

例42.若关于x的方程71二？=点+1有且仅有一个实数解，则实数机的取值范围是.

例43.已知函数/（町=而口齐+2的图像上有且仅有两个不同的点关于直线>=1的对称点在丫=履+1

的图像上，则实数上的取值范围是.

例44.已知/（无）是定义在R上的奇函数，其图象关于点（2,0）对称，当xe[0,2]时，/⑺=-J1-（x-1了,

若方程了（均-左（厂2）=0的所有根的和为6,则实数上的取值范围是.

例45.广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平

面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域Y+y2V4.其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的

l,x>0

边界为一个半圆.已知符号函数sgnQ）=<0,x=0,则当/+时，下列不等式能表示图中阴影部分

—1,%<0

的是（）

A.%(%2+(y-sgn(x))2-l)<0B.y((x-sgn(y))2+v2-1)<0

C.x(x2+(y-sgn(x))2-l)>0D.y((x-sgn(y))2+y2-l)>0

例46.已知平面直角坐标系内一动点P,满足圆C:(x-4y+y2=i上存在一点。使得NCPQ=45。，则所

有满足条件的点尸构成图形的面积为()

A.—B.%C.—D.2万

42

【方法技巧与总结】

研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对

代数式进行等价变形，以防出现错误.

题型七：与圆有关的对称问题

例47.若直线，=履与圆(尤+2『+y2=i的两个交点关于直线2x+y+6=0对称，则3匕的值分别是

()

A.-4B.--,4

22

C.y,—4Dg,4

例48.圆/+_/-2》+4>-4=0关于直线x+y-l=O对称的圆的方程是()

A.(x-3)2+y2=16B.x2+(y-3)2=9

C.%2+(y-3)2=16D.U-3)2+y2=9

1?

例49.已知圆(x+l)2+(y+2y=4关于直线6+6y+l=0(o>0,6>0)对称,则上+］的最小值为

ab

)

A.B.9C.4D.8

2

例50.设点A（-2,3）,3（0M）,若直线AB关于>对称的直线与圆（x+3>+（y+2）2=l有公共点，则。的

取值范围是.

例51.若圆/+/+瓜+引+尸=。关于直线4：了一〉+4=。和直线/2"+3，=。都对称，则。+E的值为

【方法技巧与总结】

（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称

（2）圆关于点对称：

①求己知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点

（3）圆关于直线对称：

①求己知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线

题型八：圆过定点问题

例52.点P（x,y）是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点

（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

例53.一动圆的圆心在抛物线V=16y上，且该动圆恒与直线'+4=0相切，则动圆必经过的定点为

（）

A.（0,4）B.（4,0）C.（2,0）D.（0,2）

例54.已知直线/:（机2+m+1）尤+（3-2租）>一2m2-5=。，圆C:*+y2-2x=0,则直线/与圆C的位置关

系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

例55.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数/（x）=x?+2x+6（xeR）的图象与两坐标轴有三个不同的交

点.经过这三个交点的圆记为C.

（/）求实数匕的取值范围；

（〃）求圆C的一般方程；

（/〃）圆C是否经过某个定点（其坐标与匕无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

例56.判别方程/+/+2丘+（4左+10）y+10左+20=0（左为参数，左彳一1）表示何种曲线?找出通过定点

的坐标.

【方法技巧与总结】

特殊值法

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•全国•高三专题练习（文））已知圆（x+l）2+（y+2）2=4关于直线依+勿+2=0（a>0,b>0）对

称，则上1+■2的最小值为（）

ab

AI9

Bn.—C.4D.8

2

2.（2022•全国•高三专题练习）己知P是半圆C：或丫-:/=f上的点,Q是直线x-y-1=。上的一

点，则|PQ|的最小值为（）

c.也-1

A.还B.72-1D.显

222

3.（2022•北京市第十二中学三模）已知直线/过圆苫2-2尤+丁=0的圆心，且与直线2x+y—3=0垂直,

则I的方程为（）

A.x~2y+l=QB.x+2y~l=Q

C.2x+y~2=0D.x—2y—l=0

4.（2022•河南•宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知p：t>\,q：关于x,y的方程

f+y2—6比+89+25=0表示圆，则夕是4的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2022•全国-高三专题练习）己知4（2,0）1（3,3）,。（-1,1）,则ABC的外接圆的一般方程为（）

A.+)2-2%+4y=0B.f+y2-2%+4》+2=0

C.x2+y2-2x-4y=0D.x2+y2-2x-Ay+1=0

6.（2022•全国•高三专题练习）已知集合人=，羽,则集合A中元素的个数为

)

A.3B.4

C.5D.6

7.（2022•全国•高三专题练习）已知V是圆C：x2+y2=1上一个动点，且直线4：mx-y-3m+l=0（mGR）

与直线，2：%+色-3mT=0OeR）相交于点尸，则1PMi的取值范围是（）

A.[^-1,2A/3+1]B.[72-1,372+1]

C.[V2-1,2A/2+1]D.[72-1,373+1]

8.（2022•全国•高三专题练习）已知直线x-y+m=0与圆C：/+;/+-=0相交于A,8两点，若

CACB=0，贝1P"的值为（）

A.Y或0B.T或4C.0或4D.-4或2

二、多选题

9.（2022•全国•高三专题练习）已知定点4（-10）、3（1,0）,P是动点且直线B1、尸8的斜率之积为

4（2H0）,则动点尸的轨迹可能是（）

A.圆的一部分2.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

10.（2022•全国•高三专题练习）已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是

)

A.圆M的圆心为（4,3）B.圆M的半径为5

C.圆Af被x轴截得的弦长为6D.圆M被y轴截得的弦长为6

11.（2022•全国•高三专题练习）已知圆C关于y轴对称，经过点（1,0）且被X轴分成两段，弧长比为

1:2,则圆C的方程为（）

44

33

L4

C.(X-A/3)2+/D.(尤++>2=§

12.（2022•全国•高三专题练习）已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1:2,且被〉轴截得的弦长为

4,当圆心C到直线工+行〉=0的距离最小时，圆C的方程为（）

A.（x+4p+（y-扃=20B.（x-盯+（y+扃=20

C.（尤+4y+（y+南=20D.（X-4）2+（J-V5）2=20

三、填空题

13.（2022•全国•高三专题练习（文））圆心为C（-l,2）,且截直线x+3y+5=0所得弦长为2指的圆的方

程为.

14.（2022•全国•高三专题练习（文））已知圆C的圆心为C（1,1）,且经过直线尤+>=4上的点P,则

周长最小的圆C的方程是.