圆与正多边形（9大题型）原卷版-2024-2025学年沪教版九年级数学下册

同与正多边形压轴题专练（9大题型45道）

压轴题型一垂径定理问题

1.如图，在。。中，直径48垂直于弦8,垂足为点£,连接AC、DO,延长。。交NC于点尸.

⑴求证：AF2=OFDF-,

(2)如果CO=8,BE=2,求OF的长.

2.如图，在△/2C中，AB=AC=10,BC=12,ADJ.BqD,。为4D上一点，以。为圆心，04为半

径的圆交48于G,交8c于£、F,且/G=4D.

(1)求E尸的长；

(2)连接。G,求ZRDG的余切值.

3.如图，已知平行四边形的三个顶点A、B、C都在半径为5的。。上，且/OL3C,垂足为点

(1)求平行四边形的边的长；

(2)延长线段5。交/。于点尸，求点尸到CD的距离.

4.如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面AB=274cm（台面厚度忽略不计）与地面平

行，且高度为76cm（台面与地面之间的距离），直线型支架PE与。尸的上端E,尸与台面下方相连,

尸尸与0尸的下端尸，。与直径为4cm的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架CG

与ZW的上端C,。与台面下方相连，下端G,H与PE,。尸相连，圆弧形支架G8分别与PE,。尸在

点G,8相连，RPC±AB,0Q1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,己知斯=106cm,

—tanZECG=tanZFDH=-

CE93

（2）当初所在的圆经过点尸、。时，求：南所在的圆的圆心到台面42之间的距离

5.新定义：如果一个三角形中有两个内角方满足a+2)=90。，那我们称这个三角形为“近直角三角

形

⑴若△4BC是“近直角三角形”，48>90。，ZC=50°,则乙1=度；

(2)如图1,在RtZi/BC中，ABAC=90°,AB=3,AC=4.若5。是入L8C的平分线，在边NC上是否存

在点E(异于点。)，使得ABCE是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,在RtZ\48C中，NA4c=90。，点。为NC边上一点，以AD为直径的圆交3c于点E,连接NE

交BD于点、尸,若△BCD为“近直角三角形“，且43=5,AF=3,求tanNC的值.

压轴题型二圆周角与圆心角问题

6.如图，点、A,B,C在。。上，顺次连接48,BC,CA,且彳癌=210。，AC=150°-

(1)求/氏4。的度数；

(2)若。。的半径为2,求△ABC的面积.

(2)如图2,如果NO_LO2,求ND：D8的值；

(3)延长线段49交弦3c于点E,如果AEOB是等腰三角形，且。。的半径长等于2,求弦2c的长.

8.如图，以48为直径的圆。中，点。为圆心，C为弧48的中点，过点C作CO〃48且CD=02.连接

AD,分别交。C,BC于点、E,F,与圆。交于点G,连接AD.

(1)求证：BD1AB-,

(2)连接BE,OF,求证：BEVOF.

9.如图，48是。。的直径，以为腰作等腰△48C,底边8c交。。于点。，连接4。，延长C4交。O

于点E,连接BE、DE.

⑴求证：ACAD=ABED；

24

⑵若BD=20,tanZBDE=—,求。。的半径长.

10.如图，△48C的边是OO的直径，点C在。。上，点。是边上的一点，点E和点。关于3c对

称，DE交边BC于点M,过点。作DE的垂线交EC的延长线于点尸，线段。尸交/C于点N.

(1)求证：四边形CMJN是矩形;

(2)联结C。，当CD1/3时，求证：EF-CB=2AB-ME.

压轴题型三直线与圆的位置关系问题

II.如图，在平行四边形4BCD中，AD=9,48=15,BDLBC,点尸在边CO上运动，以尸为圆心，FD

为半径的圆尸与边。5交于。、E两点.

图1图2

(1)当圆厂与边2C相切时，求£0的长；

(2)设ED=x,△必£的面积为了，求了关于x的函数解析式，并写出定义域;

(3)当圆F与平行四边形ABCD的边有4个交点时，求x的取值范围.

12.如图①，已知：在矩形48co的边4D上有一点O,OA=^3,以。为圆心，CM长为半径作圆，交AD

于恰好与AD相切于“，过"作弦HP〃/8,弦HP=3.若点£是CO边上一动点(点、E与C,。不

重合)，过£作直线EF//BD交于F,再把ACEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G.设CE=x,AEFG

与矩形48。重叠部分的面积为S.

图①备用图

(1)求矩形ABC。的周长；

(2)AEEG的直角顶点G能落在OO上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由;

(3)求：S与x之间的函数关系式及其定义域，并直接写出尸G与O。相切时，S的值.

13.如图1,在边长为6的正方形48CD中，£是边CD的动点，以E为圆心，DE为半径作圆，AF^QE

相切于点尸，连接E尸并延长交2c于点G,连接4E、AG.

⑴求证：△ABGg^AFG；

(2)如图2,NE与OE相交于点〃，连接3〃并延长交AD于点K,当满足DK+EG+CG=12时，试判断3K

与OE的位置关系并说明理由.

14.如图，42是OO的直径，连接8c交。。于点。，连接NC、AD,使得AB?=BDBC.

(1)试判断AC与O。的位置关系并说明理由

(2)若点E是丽的中点，AE与BC交于点、F,求证：CA=CF.

15.如图1,。是正方形/BCD对角线上一点，以。为圆心，0C长为半径的。。与4。相切于点£,与/C

相交于点尸.

(2)若正方形的边长为行+1，点"是半径OC上的一个动点，过点M作交近于点N.当

QW:FW=1:4时，求CN的长

压轴题型四正多边形问题

16.【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的

【操作实践】

(2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边“、b,c、d之间存在某种数量关系.小昕按所

示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点尸为端

点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】

(3)如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将△尸。C绕点尸逆时针旋转，他发现旋转过程中4P存在最

大值.若PE=8,PF=5,当ND4P最大时，求的长；

E

BC

图5

17.阅读与思考

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.

关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组

研究对象：等边半正多边形

研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究.

研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明

研究内容：

【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我

们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，

类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形……

【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：

概念理解：如图②，如果六边形/3CDEF是等边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA,

ZA=NC=/E,ZB=ZD=ZF,5.ZB.

内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为上。.

对角线：……

⑴直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：.

（2）如图③，六边形/3CDEF是等边半正六边形.连接对角线/D,猜想NA4Z）与NE4D的数量关系，并说

明理由；

（3）如图④，已知是正三角形，是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形/BCDEF（要

求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).

18.在圆内接正六边形48COEb中，AC,EC分别交AD于点X,G.

(1)如图①，求证：点”，G三等分AD.

(2)如图②，操作并证明.

①尺规作图：过点。作/C的垂线，垂足为K,以点。为圆心，0K的长为半径作圆；(在图②中完成作图,

保留作图痕迹，不需要写作法)

②求证：CE是①所作圆的切线.

19.如图，M,N分别是O。的内接正三角形N3C、正方形48cD、正五边形4BCDE的边4g、8c上的

点，S.BM=CN,连接。Af、ON.

E

(1)图①中NMON的度数是；

(2)图②中NMCW的度数是,图③中NMCW的度数是；

⑶若M、N分别是正"边形4BCQE…的边/8、5c上的点，且BM=CN,连接ON、ON,则NMON的

度数是

20.【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方

形草坪(如图1)中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的

安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面.喷洒覆盖率s为待喷洒区域面积，k为

S

待喷洒区域中的实际喷洒面积.

图1

【数学建模】

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

(1)如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率P=

9

(2)如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为2m的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径

9

均为3m的自动喷洒装置;,以此类推，如图5,设计安装/个喷洒半径均为-m的自动喷洒装置.与

n

(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出

理由.

(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率

0=1.已知正方形48CD各边上依次取点尸，G,H,E,使得力E=BF=CG=DH,设/E=x(m),Q0,

的面积为/(m?),求V关于x的函数表达式，并求当了取得最小值时厂的值.

——^\r?

图6

【问题解决】

(4)该公司现有喷洒半径为3亚m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷

洒覆盖率。=1?(直接写出结果即可)

压轴题型五弧长、扇形面积问题

21.定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”.

(1)如图1,是。。的一条弦(非直径)，若。。在上找一点C,使得是“圆等三角形”，则这样的点

C能找到个.

⑵如图2,四边形48。是。。的内接四边形，连结对角线3。仙48。和△BCD均为“圆等三角形”，且

AB=AD.

①当4=140。时，求—4DC的度数；

②如图3,当NN=120。，22=6时，求阴影部分的面积.

22.如图1,扇形NO6中，ZAOB^O°,。/=13,点P在半径上，连接相.

⑴把AN。尸沿的翻折，点O的对称点为点Q.

①当点0刚好落在弧N8上，求弧40的长；

②如图2,点。落在扇形/O8外，/。与弧交于点C,过点0作叫，。4,垂足为H,AH=3,求/C

的长，猜想并直接写出。》、AH,QC三者之间的数量关系；

⑵如图3,记扇形408在直线的上方的部分为图形M把图形少沿着个翻折，点8的对称点为点E,弧

4E与。4交于点尸，若。尸=3,求P。的长.

23.如图，在△NBC中，AB=AC,以48为直径作半圆。，交BC于点D,交/C于点E.

(1)求证：BD=CD.

(2)若NBNC=50。，求丽、DE蓝的度数.

(3)过点。作。尸，48于点尸，若BC=8,AF=3BF,求访的长.

24.如图，△ASC内接于OO,N2为直径，//C2的平分线交。。于点。，交4B于点尸，过点。作

DE//AB,交CA的延长线于点E.

(1)求证：DE是。。的切线；

⑵若。尸=10,CF=6,求图中阴影部分的面积.

25.如图，在△NBC中，zS=90°,4c4=60。.过点A,C与48交于点。，连接DO并延长，交4c

于点尸，交。。于点E,连接CO并延长，刚好过薪的中点〃，交弦4E于点尸，且标=2丽，连接C”

⑴求证：5C是。。的切线；

(2)求证：AAPEsADPC；

(3)若。。的半径为2cm,求图中阴影部分的面积.

压轴题型六圆中多结论问题

26.图1是一张圆形纸片；如图2,将圆形纸片作两次对折，且折痕垂足为点M；如图3,把

纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点8,M重合，折痕斯与48相交于点N,连接/E,AF,

BE,BF.下列四个结论中错误的是（）

A.四边形MEAF是菱形B.A/E尸为等边三角形

C.EN-FN—AM2-BN2D.S四边切理尸：S扇形斯=3庭:2兀

27.已知正方形/BCD的边长为4,点P是平面内的一动点，连接3尸，且BP=/B,点。是上一点，

BQ=l,连接DP,CP,下列结论错误的是（）

A.的最小值是3B.DP的最小值是4收-4

C.尸£）+依的最大值是8+2后D.尸的最小值是5

28.如图，正方形4BCD中，£是48上一点，将沿翻折得△。尸£,点力的对应点是点R直线

AF与DE交于点H,与/CZ（斤的平分线交于点G,连接BG,下列说法：®DH=GH-②N/G2=45。；③

若连接CG,则CGLNG；④若正方形边长为2,£为的中点，则〃G=延.其中正确的个数是（）

29.如图，在菱形488中，NBAD=120。，对角线NC,5。交于点。，动点P在边8c上（不与点C重

合），连接的，羽的垂直平分线交相于点E,交BD于点、F,连接尸P,CE,OE,现有以下结论：①点

CF1

A,E之间的距离为定值；②FP=2FE；③。的值可以是二；④NEOF=30。或150。.其中正确的

BC3

是.（写出所有正确结论的序号）

30.如图，点C在以4B为直径的半圆上，AB=6,/C胡=30。，点。在线段4B上运动，点E与点。关

于NC对称，DF工DE于点、D,并交EC的延长线于点尸.下列结论正确的.(填序号)

①CE=CF；②当E尸〃相时，点尸恰好落在弧3c上；③当E尸与半圆相切时，40=2;④当点。从点A

运动到点3时，线段E尸扫过的面积是6G.

压轴题型七圆中翻折、旋转问题

31.如图，在等边三角形/BC中，AB=8,点E是射线48上的一个动点，点。随着点E的运动而在射线

(1)为如图1,若点。在边NC上，求证：CE是。。的切线；

(2)如图2,若圆心。在边N3上时，求工。的长；

(3)如图3,当点£运动到边N8的延长线上时，将O。的优弧DE沿直线OE翻折，交2。的垂线4尸于点R

若AF〃DE,求弧E尸的长.

32.点。是以/C为直径的。。上一点，点2在C。延长线上，连接4B交。。于点£.

(1)如图1,当点E是石的中点时，连接CE,求证：AC=BC；

(2)连接40,。区将ABDE沿。£所在的直线翻折，点8的对应点落在。O上的点尸处，作尸G〃BC交4B

于点G.

①当£,G两点重合时(如图2),求与△FEO的面积之比；

②当BC=10,EG=行时，求48的长.

33.在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质.

【操作探究】（1）如图1,已知△/8C,ZC=90°,将△ABC绕着直角边NC中点G旋转，得到SE尸，当

GEF的顶点。恰好落在44BC的斜边上时，斜边DE与AC交于点H.

①猜想：ZADC=°；

②证明：ADGHsxADH；

【问题解决】（2）在（1）的条件下，己知4=30。，BC=2道,求CH的长;

【拓展提升】（3）如图2,在菱形48co中，AC=S,BD=6,将菱形48co绕着48中点M顺时针旋转,

得到菱形EFGH,当菱形EFGH的顶点E分别恰好落在菱形ABCD的AD边和对角线AD上时，菱形EFGH

的边与3c边相交于点N,请直接写出的V的长.

34.【问题背景】

已知点/是半径为r的。。上的定点，连接CM,将线段CM绕点。按逆时针方向旋转々（0°<«<90。）得到

OE,连接NE,过点/作。。的切线/,在直线/上取点C,使得NC4E为锐角.

（1）如图1,当NC4E=20。时，a=_°；

【问题探究】

（2）以线段/C为对角线作矩形4BCD,使得边4D过点E,连接CE,对角线NC,3。相交于点尸.

①如图2,若/£=DC,求证：AC=2r

42

②如图3,当=CE=丁时，请仿照图2补全图形.

（。）判断过点。、E、C三点能不能作一个圆，并说明理由;

（6）探究与3c之间的数量关系，并写出探究过程.

35.已知在等边△/BC中，将线段4c绕点A旋转a(0°<a<60。)，得到线段4。，连接CD,BD.

CC

图1图2图2备用图

(1)如图1,将线段4c绕点A顺时针旋转30。，若4B=4,则4BDC=_。，四边形4BDC的面积为」

(2)①在图2中依题意补全图形，并求/ADC的度数；

②取8。的中点E,连接NE,交直线CD于点尸，连接叱.用等式表示线段2月，CD,q之间的数量

关系，并证明.

压轴题型八圆中新定义问题

36.新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形.

【问题提出】

(1)如图1,若四边形是美好四边形，且4D=AD,//5C=90。，AB=4,BC=3,求四边形4BCD

的面积；

【问题解决】

(2)如图2,某公园内需要将4个信号塔分别建在A,B,C,D四处，现要求信号塔C建在公园内一个

湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为OE.已知点A到该湖泊的最近距离为500m,

是否存在这样的点。，满足4C=8。，使得四边形N8co的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，

请说明理由.

BAB

图I图2

37.我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似,

且相似比为1:2，则原三角形叫做“友好三角形”;

图1图2图3

(1)如图1,已知在△23C中，AB=2,BD=^BC=1,求证：△4BC是“友好三角形”;

(2)如图2,在5x5的网格图中，点/、3在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”△48。，要

求点C在格点上;

(3)如图3,在(1)的条件中，作ANC。的外接圆。。，点E是。。上的一点，CE=CA,连接

①设/D=x,AE=y,求了关于x的函数关系式；

②当CE〃48时，求。。的半径.

38.在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”.

(1)如图1,48是。。的弦，作作。CLCM、ODLOB,分别交。。于点C,。，连接CD交于点£.求

证：48、CD是。。的等垂弦；

RF1

⑵如图2,O。的半径为5,48、8是O。的等垂弦，4B与CD交于点E,—求48的长.

AE3

39.定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面.其中，能完全覆盖平面图形的最

小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.

例如：如图1,线段的最小覆盖圆就是以线段N8为直径的圆；

图I

【初步思考】

（1）边长为1cm的正方形的最小覆盖圆的半径是cm；

（2）如图2,边长为1cm的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是cm；

【深入研究】

（1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

图3

（2）如图4,在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，△/BC的顶点A位于坐标原点，顶点8、C的坐

标分别为（4,0）、（3,3）.则△4BC的最小覆盖圆的圆心坐标为,半径长为；如图5,钝角△ACVP

中，MN=5,/MPN=123°,则△肱VP的最小覆盖圆的半径为.

某地有四个村庄A,B,C,D（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村

庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量

得到。=8km及图中相关各角度等数据，四边形N5CO区域最小覆盖圆的半径为.

40.(1)如图1,在中，OA=OB,ZAOB=120°,AB=12,若O。的半径为2,点尸在。。上，M

是线段上一动点，连接尸“，求线段尸河的最小值，并说明理由.

图1

新定义：在平面直角坐标系中，已知点"为定点，对点A给出如下定义，在射线上，若MN=hMA

(%>0,且左为整数)，则称N是点A的“上倍点”.

(2)如图2,点A是半径为1的。。上一点，且M(3,l),N是点A的“二倍点”，点尸为直线丁=瓜上一

点，是否存在点P，使得线段PN最小；若存在，请求出尸N的最小值，并直接写出此时N点的坐标；若不

图2

压轴题型九圆中各类最值问题

41.如图，是。。的直径，"N=6,点A在。。上，ZAMN=30。,8为京的中点，尸是直径上W上

一动点.

(1)在图中确定尸点的位置，使尸N+P8最小.

(2)求R4+PB的最小值.

42.问题提出

(1)如图①，半圆O的直径/3=10,C是标的中点，点。在前上，且而=2而，P是48上的动点,

试求PC+PZ)的最小值.

问题解决

(2)如图2,扇形花坛/O8的半径为20m,乙4OB=45。.根据工程需要，现想在篇上选点P,在边04

上选点E,在边03上选点尸，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个A