中考九年级数学三轮冲刺练习《三角形》压轴题综合训练（含答案）

九年级数学中考三轮冲刺练习三角形压轴题综合训练

2.如图，在△ABC中，。是AC的中点，CE±AB,BD与CE交于点O,且下

列说法错误的是（）

A.BD的垂直平分线一定与A2相交于点E

B./BDC=3/ABD

C.当£为AB中点时，△ABC是等边三角形

D.当E为A8中点时，也也£=三

SLABC4

3.如图，ZVIBC是等腰直角三角形，ZABC=9Q°,AB=4,点。，E分别从

在AC,BC边上运动，连结AE,BD交于点F,且始终满足4。=?成，

ZEn~

则下列结论：®—=V2；②/。/茁=135°；③△ABB面积的最大值是

BD

4V2-4；④CT的最小值是2内-2鱼.其中正确的是（）B

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

A.-B.-C.—D.-

5555

二、填空题

6.如图，在△ABC中，AEi,BEi分别是内角NC48,外角/C8。的三

C

等分线，且NEiB£)=称NCBD,在△ABE1中,AE2,A

8及分别是内角/E1AB,外角NELBD的三等分线，且NE2AD=：N乙

1ABD

EiAB,ZEiBD^^ZEiBD,•■­,以此规律作下去，若NC=M,贝U

NEn=度.

8.如图，四边形A8CD的两条对角线AC,8。互相垂直，AC=4,BD=6,

贝ijAD+BC的最小值是.

9.如图，DE平分等边AABC的面积，折叠△BDE得到△"£,AC

分别与。R跖相交于G,X两点.若DG=m,EH=n,用含

n的式子表示GH的长是

10.如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它

是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AP=a,DF=

标q2

b,连接AE,BE,若AAOE与△3EH的面积相等，则=+涓=_______.

azbz

三、解答题

11.综合与实践

如图1,在△ABC中，8。是NA8C的平分线，8。的延长线交外角/CAM的平分线于点

E.

【发现结论】

结论1：NAEB=ZACB；

结论2：当图1中/ACB=90°时，如图2所示，延长8C交AE于点F,过点E作AF

的垂线交BF于点G,交AC的延长线于点H.则AE与EG的数量关系是.

【应用结论】

(1)求证：AH=GF；

(2)在图2中连接F”,AG,延长AG交口/于点N,补全图形，求证：FN=NH+V2AE.

图1图2

1

12.已知△ABC是等腰三角形，AB^AC,ZMAN=^ZBAC,/AMN在/BAC的内部，点

M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MV之间的数量关系.

(1)如图①，当NR4C=90°时，探究如下：

由/3AC=90°,AB=AC可知，将AACN绕点A顺时针旋转90°,得至!)△A3P,贝UCN

=BP且/P8M=90°,连接PM,易证可得MP=MN,在RtAPBM

中，BM1+BP2=MP-,则有8序+NC2=A/N2.

(2)当/BAC=60°时，如图②：当NBAC=120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、

MN之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明.

5/M~K

13.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

401

在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,。是48边上一点，且一=一(〃为正整数)，E

BDn

是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.

【初步感知】

(1)如图1,当〃=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=~-\B,请写出证明过程.

【深入探究】

(2)①如图2,当〃=2,且点/在线段8c上时，试探究线段AE,BF,之间的数量

关系，请写出结论并证明；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,A8之间数量关系的一般结论(直接

写出结论，不必证明).

【拓展运用】

(3)如图3,连接EE设防的中点为若AB=2近,求点E从点A运动到点C的

14.如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点M使CN=AM,

连接MN交AC于点尸，M/_LAC于点

(1)求证：MP=NP；

(2)若求线段PH的长(结果用含。的代数式表示).

15.如图，已知矩形ABC。中，A8=8,BC=x(0<x<8),将△ACS沿AC对折至I「△ACE

的位置，AE和a)交于点?

(1)求证：ACEF^AADF：

(2)求tan/D4F的值(用含x的式子表示).

参考答案

一、选择题

题号12345

答案ADDBA

二、填空题

6.答案为：三小.

7.30°；1V3.

8.答案为：2g

9.答案为：Vm2+n2.

10.答案为：3.

三、解答题

11.【解答】【发现结论】解：结论1：・・,5。是NABC的平分线,

・•・ZABC=2ZABEf

・・・AE是NC4M的平分线，

：.ZCAM=2ZEAM,

'：ZCAM=ZACB+ZABC,

：.2ZEAM=NAC3+2NA3E,

ZEAM=NAEB+/ABE,

：.2(NAEB+NABE)=ZACB+2ZABE,

1

・・・ZAEB=^^ACB,

，1

故答案为：二；

2

i

结论2：由结论1知，ZAEB=^BCB,

VZACB=90°,

1

ZAED=iZACB=45°,

*：EH±AFf

：.ZAEH=90°,

・・・ZAEB=ZBEG=45

♦：NABE=NGBE,BE=BE,

:.AABE义AGBE(ASA),

：.AE=EG；

故答案为：AE=EG；

【应用结论】证明：(1)在RtZXAbC中，NEFG+NEAH=90°,

在RtZVkE”中，ZAHE+ZEAH=90°,

：・NEFG=/EHA,

在尸G和△MA中，

ZEFG=乙EHA

乙FEG=/-AEH,

EG=AE

：./\EFGAEHA(AAS)；

：.FG=HA；

(2)证明：补全图形如图所示，

图2

在Rt2\AEG中，

9：ZEAG=ZEGA=45°,

：.AG=mAE,

ARtAEFG^RtAEHA(HL),

；・EF=EH,

9：ZFEH=90°,

：・NEFH=NEHF=45°,

:・/AFN=/FAN=45°,ZNGH=ZAGE=45°,

:・FN=AN,NNGH=/NHG=A5°,

:・GN=HN,

又•：AN=AG+GN,

：.FN=yj2AE+HN.

12.【解答】解：图②的结论是BM2+NC2+BM.NC=MN2.

证明：'：AB^AC,ZBAC=60°,

/.△ABC是等边三角形，

/.ZABC=ZACB=6Q°,

以点8为顶点在△ABC外作NABK=60°,在8K上截取8Q=CN,连接Q4、QM,过

点。作垂足为

:0HL8C,X,

A

HBMN\CB

/图②'

"：AB=AC,ZC=ZABQ,CN=BQ,

:.AACN咨AABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB,

又：NCAN+N8AM=30°,

：.ZBAM+ZQAB^3Q°,

即ZQAM=/MAN,

又

/\AQM^AANM(SAS),

:.MN=QM；

'：ABQ=60°,ZABC=6Q°,

；.NQBH=60°,

：.ZBQH=30°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

：.HM=BM+BH=BM+^BQ,

在Rt/XQHM中，可得：QH2+HM2=QM2,即当BQ)2+(BM+^BQ)2=QM2,

整理得BM1+BQ1+BM'BQ=QM2.

：.BM2+NC2+BM'NC^MN2.

图③的结论是：BM2+NC2-BM-NC=MN1.

证明：以点8为顶点在△ABC外作NA8K=30°,在BK上截取BQ=CN,连接

过点。作QHLBC,垂足为"

:.△ACNQXABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB,

又Y/CAN+/8AA/=60°,

AZBAM+ZQAB^60°,即/QAM=NM4N,

又

AAAQM^AANM(SAS),

：.MN=QM,

在RtZ^B。#中，/QBH=60°,/BQH=3Q°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

1

HM=BM-BH=BMQ,

在RtAQfflW中，可得：QH2+HM2=QM2,即(—BQ)2+(BM-^BQ)2^QM2,

2N

整理得BM2+BQ2-BM'BQ^QM2.

：.BM2+NC2-BM-NC=MN1.

13.【解答】(1)证明：连接CD,

图1

VZC=90°,AC^BC,AD=DB,

：.AB=V2AC,ZA=ZB=ZACD=45°,AD=CD=BD,CD±ABf

VEDLFD,

：.ZEDF=ZCDB=90°,

；・NCDE=NBDF,

：./\CDE^/\BDF(ASA),

CE=BF,

：.AE+BF=AE+CE=AC=

(2)@AE+^BF=^AB,理由如下:

过点。作DNJ_A。于N,DH_LBC于H,

C

图2

VZC=90°,AC=BC,

：.ZA=ZB=45°,

■:DN1AC,DH±BC,

：.△AON和△3。”是等腰直角三角形，

:.AN=DN,DH=BH,AD=V2ANfBD=y[2BH,ZA=ZB=45°=/ADN=/BDH,

：.丛ADNs丛BDH,

tADAN1

,•DB~DH~2

设AN=DN=x,BH=DH=2x,

.\AD=y/2x,BD=2y[2x,

.'.AB=3V2x,

♦；DN1AC,DHLBC,NAC3=90°,

・・・四边形OHCN是矩形，

AZNDH=90°=/EDF,

：.ZEDN=NFDH,

又.：/END=/FHD,

:.AEDNsAFDH,

.ENDN1

*'FH~DH~2f

:・FH=2NE,

：.AE+^BF^x+NE+1(2x-FH)=2x=当&

②如图4,当点尸在射线8C上时，过点。作。ALLAC于MDH_LBC于H,

图4

VZC=90°,AC=BC,

：.ZA=ZB=45°,

\'DN±AC,DH1BC,

...△AOV和△BOH是等腰直角三角形，

:.AN=DN,DH=BH,AD=V2AN,BD=&BH,ZA=ZB=45°=/ADN：NBDH,

：.AADNS£\BDH,

,ADAN1

,•DB~DH~n

设AN=DN=x,BH=DH=nx,

.\AD=y[2x,BD=y/2nx,

.\AB=V2(n+1)x,

'：DN.LAC,DH±BC,ZACB=90°,

・・・四边形O"CN是矩形，

:./NDH=90°=NEDF,

:・NEDN=/FDH,

又丁/END=NFHD,

:.AEDNsAEDH,

.ENDN1

•,FH~DH~n

：.FH=nNE,

.•.4£+(2歹=尤-NE+：=2x=名48；

当点尸在CB的延长线上时，如图5,

图5

VZC=90°,AC=BC,

：.ZA=ZB=45°,

'：DN±AC,DHLBC,

.•.△AON和△BOX是等腰直角三角形，

：.AN=DN,DH=BH,AD=s/2AN,BD=y/2BH,ZA=ZB=45°=ZADN=ZBDH,

：.AADNsABDH,

#ADAN1

"DB~DH~n

设AN=DN=x,BH=DH=wc,

'.AD=V2x,BD=V2/ir,

'.AB=V2(n+1)x,

：DALLAC,DHA.BC,ZACB=90°,

，四边形DHCN是矩形，

/.ZNDH=90°=ZEDF,

：.NEDN=ZFDH,

又,：Z.END=/FHD,

：.^EDN^/\FDH,

.ENDN1

"FH~DH~n

：.FH=nNE,

：.AE--BF^x+NE--QFH-nx)=2x=%AB；

nnn+1

综上所述：当点尸在射线BC上时，AE+^-BF^^AB,当点尸在CB延长线上时，

nn+1

AE-n1BF=^/2lAB^

1

CM=DM=尹F,

・••点M在线段CD的垂直平分线上运动，

如图，当点E与点A重合时，点口在3。的延长线上,

当点E'与点。重合时，点F〃在CB的延长线上，

过点M作时氏_1尸。于R,

图4

：.NTR//AC,

.MtRMiFi1FiR

**AC~AFt~2~FfC

：.NfR=l,FR=CR,

由图2,设AN=DN=x,BH=DH=nx,

.\AD=y[2x,BD=y[2nx,

：.AB=V2(〃+l)x=2位,

,_2

,“一币’

'：FD=BD=y[2nx,

FB=2nx,

CF=2nx-2,

由（2）可得：CD=7DN2+CN2=x71+泞,DF"=nDE"=wc-^l+n