整式（练习）学生版-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第02讲整式［3大考点13大题型】

【题型1实际问题中的代数式】

1.（2024中考・湖北宜昌・中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租

给租户张老汉.第二年，他对张老汉说："我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形

土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？"如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）

A.没有变化B.变大了C.变小了D.无法确定

2.（2024中考・浙江台州•中考真题）将x克含糖10%的糖水与了克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含

糖（）

A.20%B.100%C.100%D.100%

3.（2024中考•浙江金华•中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调

价后售价最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提价50%,再打六折

C.先提价30%,再降价30%D.先提价25%,再降价25%

4.（2024中考•吉林・中考真题）篮球队要购买10个篮球，每个篮球M元，一共需要元.（用含m

的代数式表示）

5.（2024中考・重庆•中考真题）某销售商五月份销售N、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4,4、B、C

三种饮料的单价之比为1：2：1.六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当

的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的2，

B、C饮料增加的销售额之比为2：1.六月份/饮料单价上调20%且N饮料的销售额与8饮料的销售额之

比为2：3,则/饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为.

【题型2求代数式的值】

1.（2024中考•湖北鄂州•中考真题）已知不等式组｛二7宗的解集是一1＜久＜1，则（口+6严3=（

A.0B.-1C.1D.2023

2.（2024中考・安徽芜湖・中考真题）若|ni-3|+|九+2|=0,则?n+2n的值为（）

A.-4B.-1C.0D.4

3.（2024中考,四川雅安・中考真题）在平面直角坐标系中，点（4+2,2）关于原点的对称点为（4,-b）,

则ab的值为（）

A.-4B.4C.12D.-12

432234

4.（2024中考•贵州六盘水•中考真题）已知Q+y）4=arx+a2xy+a3xy+a4xy+a5y,则由+a2+

。3+44+£15的值是（）

A.4B.8C.16D.12

5.（2024中考•内蒙古赤峰•中考真题）已知（％+2）（x—2）-2%=1,贝!J2/—4K+3的值为（）

A.13B.8C.-3D.5

6.（2024中考・山东烟台•中考真题）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为-3,则输出y的

结果为.

7.（2024中考・山东烟台・中考真题）若一元二次方程2久2—4乂-1=0的两根为m,n,则3机2-4根4-7』的值

为.

【题型3与代数式有关的规律探究】

1.（2024中考・广东广州•中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木

棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒......若按照这样的方法拼成的第n个图

形需要2022根小木棒，则n的值为（）

第1个图形第2个图形第3个图形

A.252B.253C.336D.337

2.（2024中考,新疆•中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵:

2

46

81012

14161820

2224262830

■•••••

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

A.98B.100C.102D.104

3.（2024中考•山东聊城・中考真题）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成,

如图中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图髓表示,

那么图中的白色小正方形地砖的块数是（）.

A.150B.200C.355D.505

4.（2024中考•内蒙古呼和浩特•中考真题）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:

第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（）根火柴.

第1个第2个第3个第4个

A.156B.157158D.159

5.（2024中考•江苏徐州•中考真题）如图，四边形ZBCD与力EGF均为矩形，点E尸分别在线段4B/D上.若

BE=FD=2cm,矩形4EGF的周长为20cm,则图中阴影部分的面积为cm.

6.（2024中考•山东潍坊•中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，曲线遇?…是由一段段9。度

的弧组成的.其中：的圆心为点A,半径为4D；

不瓦的圆心为点B,半径为B①；

国7的圆心为点C,半径为CBi；

27员的圆心为点D,半径为DC1；...

D&,五耳，瓯…的圆心依次按点A,B,C,D循环.若正方形4BCD的边长为1,则通荷瓦诙的长

是.

7.（2024中考・安徽•中考真题）【观察思考】

◎

◎

◎◎*◎◎**©

◎◎*◎◎**◎◎***◎

◎*◎*◎◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【规律发现】

请用含兀的式子填空：

⑴第九个图案中"◎"的个数为_；

（2）第1个图案中“★”的个数可表示为黄，第2个图案中"★"的个数可表示为詈，第3个图案中“★”的个数可表

示为罢，第4个图案中"★"的个数可表示为等，……，第n个图案中"★"的个数可表示为

【规律应用】

⑶结合图案中"★"的排列方式及上述规律，求正整数n,使得连续的正整数之和1+2+3+-+n等于第n个

图案中"◎”的个数的2倍.

考点二I整式及其运算

【题型4整式的相关概念】

1.（2024中考•海南•中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（）

A.%2+1B.xyc.x2yD.-3x

2.（2024中考•云南・中考真题）按一定规律排列的单项式：x,3x2,5x3,lx4,9x5,，第"个单项式是

（）

A.（2n-l）xnB.（2«+l）xnC.（«-l）xnD.（n+l）xn

3.（2024中考•四川绵阳•中考真题）若多项式町皿一面+（n—2）久2y2+i是关于x,y的三次多项式，则

mn=.

【题型5整式的加减与塞的运算】

1.（2024中考•浙江•中考真题）下列计算正确的是（）

A一6n6.2_3r'2x3-6卜3।2_5

A.ci,ci-ciB.ci~ci-ciC.（—ci）——ciD.a+a—a

2.（2024中考•青海・中考真题）计算12久-20%的结果是（）

A.8xB.-8%C.-8D.%2

3.（2024中考•四川广元•中考真题）如果单项式--巧？与单项式2/y2f的和仍是一个单项式，则在平面

直角坐标系中点（以死）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2024中考•山西・中考真题）下列各式中，运算结果为6m4的是（）

A.3m+3m3B.（-3m2）2C.12m52mD.-2m3-3m

5.（2024中考•四川成都,中考真题）下列计算正确的是（）

A.（3x）2=3/B.3x+3y=6xy

C.（x+y）2=/+y2D.（%+2）（x-2）=x2-4

【题型6整式的乘除】

1.（2024中考・山东青岛・中考真题）计算：8dy+（2x）2=.

1

2.（2024•江苏苏州•一模）已知%2-4%+1=。，则％2+2的值是.

3.（2024•浙江杭州•模拟预测）计算：（5%3y2-4盯2+3%）+（-3%）=.

4.（2024•吉林・一模）若3,+依2+4被3支一1除后余3,贝妹的值为.

5.（2024中考.江苏南京•中考真题）+|+1+1+

（I+1+Z+1）的结果是------

6.（2024中考•江苏盐城•中考真题）如图，正方形卡片4类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个

长为（a+2b），宽为（a+6）的大长方形，则需要。类卡片张.

【题型7乘法公式的应用】

1.（2024中考,四川广元•中考真题）如图①，在△2BC中，N4C8=90。，点P从点/出发沿/玲Cf8以

lcm/s的速度匀速运动至点8,图②是点P运动时，AABP的面积?（cn?）随时间x（s）变化的函数图象，

则该三角形的斜边AB的长为（）

A.5B.7C.3近D.2百

2

2.（2024中考・江苏南通・中考真题）已知实数m,n满足+n=2+mn,则（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）

的最大值为（）

4416“

A.24B.yC.yD.-4

3.（2024中考•四川南充•中考真题）已知a>6>0,且a2+62=3a6,则&+/+©_*）的值是（）

A.V5B.-V5C.当D.普

222（

4.（2024中考・江苏泰州•中考真题）已知。=2血一根九力=71m-2/1=租一九7n士九）用〃〈〃表示仄c

的大小关系为.

5.（2024中考,广东•中考真题）若无+工=”且0<久<1,则必―1=.

6.（2024中考・浙江杭州•中考真题）设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=l,N=2,则尸=.

7.（2024中考・四川内江・中考真题）若代数式/-6%+b可化为（久-砌2-1,贝必-a的值是.

8.（2024中考•湖南张家界•中考真题）阅读下面材料：

将边长分别为a,a+VF，a+2近,a+3立的正方形面积分别记为Si，S?,S3，S4-

则S2-Si=（a+VK）—a2

=[（a+VF）+a]-[（a+Vb）—a]

=（2a+Vb）-VF

=b+2aVb

例如：当a=l,b=3时，S2-51=3+2行

根据以上材料解答下列问题：

（1）当a=1,b=3时，S3—$2="S4—S3=;

（2）当a=l,6=3时，把边长为a+n互的正方形面积记作Sn+「其中"是正整数，从（1）中的计算结果，

你能猜出又+i-Sn等于多少吗？并证明你的猜想；

（3）当a=1,b—3时?令t[=52-S、,t2=S3一52，:%=S4—S3'…'tn—Sn+i—Sn,且T=11+12+打”+

t50-求T的值.

9.（2024中考•河北•中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（a>1）.某

同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3,其面积分别为Si，S2.

图1

乙乙乙乙乙丙

图2图3

⑴请用含a的式子分别表示S],52；当a=2时，求Si+52的值;

⑵比较Si与52的大小，并说明理由.

【题型8化简求值】

1.（2024中考•吉林长春•中考真题）先化简，再求值：（a-3）2+2（3a一1）,其中a=VL

2.（2024中考・四川凉山・中考真题）先化简，再求值：（a+3）2-（a+l）（a-l）-2（2a+4）,其中a=—《

3.（2024中考・湖南邵阳・中考真题）先化简，再求值：（a-2b）（a+2b）(a-2b)2+8b2,其中a=-2,

b4-

4.（2024中考・湖南娄底・中考真题）先化简，再求值:

（a+6）（a—坊+9一4―Ra?—ab）,其中a,6是一元二次方程/+x—2=0的两个实数根.

5.（2024中考・湖南长沙•中考真题）先化简,再求值：（x+y）（%_y）T（x+y）+2xy,其中尤=（3—兀）°,y=2.

6.（2024中考•湖北随州•中考真题）先化简，再求值：（2+a）（2-a）+a（a—5b）+3a5b3-（—a2b）2,其中

ab=~.

7.（2024中考・北京・中考真题）已知2a2+34-6=0.求代数式3a（2a+l）—（2a+l）（2a-l）的值.

【题型9用图形面积验证乘法公式】

1.（2024中考•四川攀枝花•中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4

组图形及相应的代数恒等式:

②(a-b)2=a^—lab+b2

③(a+()(a—b)

④(a—炉=(a+b)2-4ab

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2024中考•四川资阳・中考真题）4张长为°、宽为6（a>b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长

为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为Si，阴影部分的面积为若SI=2S2,则。、6满足（）

A.2a=5bB.2a=3bC.a=3bD.a=2b

3.（2024中考,四川眉山,中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家

赵爽的“弦图"，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现

将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

4.（2024中考•湖北孝感,中考真题）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方

形，图2,是一个边长为（a-1）的正方形，记图1,图2中阴影部分的面积分别为Si，S2，则尚可化简为—.

5.（2024中考•浙江宁波,中考真题）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则

图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用°、6的代数式表示）.

①②

6.（2024中考•浙江衢州•中考真题）如图，从边长为Q+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,

剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是.

7.（2024中考•河北•中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为;

（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片

块.

8.（2024•吉林长春・一模）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容.如图,

在正方形力BCD中，CE1DF.

⑴求证:CE=DF.

⑵【结论应用】如图②，设CE,相交于点G,若2B=3,图中阴影部分的面积和与正方形力BCD的面积

之比为2:3,则△DCG的面积为，CG+DG的长为

图②

9.（2024•浙江杭州•模拟预测）（1）①如图1,从动长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,

设图1中的阴影部分面积为s,贝卜=（用含a,b代数式表示）

②若把图1中的图形，沿着线段4B剪开（如图2）,把剪成的两张纸片拼成如图3的长方形，请写出上述

过程你所发现的乘法公式.

（2）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a,宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正

方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式.

考点三、因式分解

【题型10提公因式法因式分解】

1.（2024・广东佛山•一模）将ma+mb+nw因式分解的结果是（）

A.mabcB.m（a+b+c）C.m（a+b）+meD.abc

2.（2024中考・浙江•中考真题）因式分解：az-7a=

3.（2024•安徽•模拟预测）已知实数a,b,满足a-力=6,ab=-8,贝！jYb-q//的值为

4.（2024,湖南长沙•模拟预测）已知（久+3）（%—2）+%（无—2）可因式分解成①久+6）（2久+c）,其中a,b,c

均为整数，求的值.

5.（2024•浙江宁波•模拟预测）用两种不同的方法计算：（a+2猿-a（a+2>（方法一：运用完全平方公

式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做）

【题型11直接运用公式法因式分解】

1.（2024中考・广西柳州,中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）

A.a2-b2B.-a2-b2C.a2+b2D.a2+2ab+b2

2.（2024中考•四川凉山•中考真题）已知&2-y=12,且a—b=—2,则a+6=.

3.（2024中考・浙江杭州•中考真题）若整式*2+小、2（6为常数，且小中。）能在有理数范围内分解因式，

则小的值可以是（写一个即可）.

4.（2024中考•浙江丽水•中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN,已

知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.4E==6,且a>b.

①

P

0

③

④

X

XI

②

B

（1）若a,6是整数，贝叶Q的长是；

（2）若代数式。2-2就-反的值为零，则尹竺生的值是

5.（2024中考,安徽•中考真题）观察以下等式：

第1个等式：（2X1+1）2=（2X2+1猿一（2X2产

第2个等式：（2x2+1）2=（3x4+1）2-（3X4猿，

第3个等式：（2x3+I?=（4x6+1）2-（4x6）2,

第4个等式：（2X4+1猿=（5X8+1）2-（5X8产

按照以上规律.解决下列问题：

⑴写出第5个等式：;

（2）写出你猜想的第〃个等式（用含〃的式子表示），并证明.

6.（2024中考•河北•中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的4区就会自动加上a2,同时B区就会

自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知4B两区初始显示的分别是25和一16,如图.

如，第一次按键后，A,B两区分别显示：

A区呕

25+8-16-3a

（1）从初始状态按2次后，分别求4B两区显示的结果；

（2）从初始状态按4次后，计算4B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.

【题型12提公因式后应用公式法因式分解】

1.（2024中考・广西贺州,中考真题）把多项式4久2y—4町2——分解因式的结果是（）

A.4xy（x-y）-x3

B.—x（x—2y）2

C.x（4xy-4y2—x2）

D.—x（—4xy+4y2+%2）

2.（2024中考•黑龙江绥化•中考真题）分解因式：X3-4X2+4X=.

3.（2024中考,贵州黔东南•中考真题）分解因式：2022%2_4044X+2022=.

4.（2024中考•山东威海・中考真题）分解因式：-3X2+2X—：=—.

5.（2024中考・湖北十堰,中考真题）已知xy=2,x-3y=3,贝版/y一直一产+18%/=.

【题型13因式分解的实际应用】

1.（2024•江苏苏州•一模）计算（一2尸°°+（—2）99的结果为（）

A.-299B.299C.-2D.2

2.（2024•河北秦皇岛•模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福

数”.下列数中为"幸福数”的是（）

A.268B.330C.512D.588

3.（2024•河北沧州•一模）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足c?—r。2c2—b2c2,则△说是（