中考数学二轮复习压轴题：圆的综合（5题型+解题模板+技巧讲义）原卷版+解析

压轴题05

圆的综合

目录

・题型剖析•精准提分

题型一切线的判定

题型二圆中求线段长度

题型三圆中的最值问题

题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

好题必刷•强化落实

题型剖析•精准提分

圆的综合

题型一切线的判定题型三圆中的最值问题

题型二圆中求线段长度题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

题型解读：

考查热度.

圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题

圆的综合

的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高.多考

查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值

问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角

形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，

以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及

以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比

例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.

右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.

题型一切线的判定

解题模板：

根据条件确定是否有明确交点

根据有无交点作出相应的辅助线

利用切线的判朝法进的明

技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°,如已有90°角，可以尝试证平行）

没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，48为的直径，如果圆上的点。恰使/ADC=/3,求

证：直线。与。。相切.

【变式1T】（2023-辽宁-中考真题）如图，4WC内接于。。，A3是。。的直径，CE平分/ACB交。。于

求证：E尸与。O相切；

【变式1-2］（2023-辽宁-中考真题）如图，是。。的直径，点C,E在。。上，NG4B=2NE4B,点厂在

线段48的延长线上，且/AFE=NASC.

4

(2)若BF=l,sin/AEE=g,求的长.

【变式「3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，为。。的直径，E为G）。上一点，点C为泌的中点，过

点C作CDLAE,交AE的延长线于点。，延长。C交AB的延长线于点?

(1)求证：CD是。O的切线;

题型二圆中求线段长度

解题模板：

【例2】(2023-西藏-中考真题)如图，已知A3为。。的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线,

交。O于点E,垂足为点。，AC平分4AD.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若AC=8,BC=6,求DE的长.

【变式2-1](2023-内蒙古-中考真题)如图，AB是。。的直径，E为。。上的一点，点C是外£的中点,

连接BC,过点C的直线垂直于BE的延长线于点。，交出的延长线于点P.

(2)若PC=2030，尸8=10,求3E的长.

【变式2-2](2023-辽宁大连-中考真题)如图1,在。。中，为。O的直径，点C为。。上一点，AD为

/C43的平分线交OO于点。，连接交8c于点£.

图1图2

(1)求NBED的度数；

(2)如图2,过点A作。。的切线交BC延长线于点歹，过点。作DG〃A尸交A8于点G.若AO=2庖,

DE=4,求DG的长.

【变式2-3](2023-湖北恩施-中考真题)如图，AABC是等腰直角三角形，/ACB=90。，点。为的中

点，连接CO交。。于点E,OO与AC相切于点。.

⑴求证：8C是。。的切线；

(2)延长CO交。。于点G,连接AG交。。于点凡若AC=4夜，求FG的长.

题型三圆中的最值问题

解题模板：

根据题目条件判断圆中最值模型

利用模型技巧构造图形并确定动点位置

分析几何特征并代入数值计算

技巧精讲:

1、辅助圆模型

模型问题情境图示结论

。在。。夕卜

当〃,E,。三点共线时,OE有最值，最大值

为d+r,最小值为d-r

点、E为©0上一点，Q0的半径

。在。。上当D,E,0三点共线时,0E有最值，最大值

为r,平面内一定点。与点。的

点圆最值为d+r=2r（即为O。的直径），最小值为

距离求出OE的最大值

d-r=0（O,E重合）

和最小值

。在。0内

当D,E,0三点共线时,0E有最值，最大值

为d+r,最小值为r-d

C在优弧AB上

当J_A8且CH过圆心。时，线段CH的

长即为点C到弦AB的最大距离，此时

SA.C的值最大

48是。。的一条定弦，点C为

崩上一动点

C在劣弧48上

线圆最值当CHA.AB且圆心0在CH的延长线上时，

线段CH的长即为点C到弦AB的最大距

C

◎e

。。与直线/相离，点P为。。

点P到直线/的最小距离是d-r,最大距离

上一动点，设圆心。到直线/

是d+r

的距离为d,。。的半径为r

D

AB是△ABC和的公共边，A,B,C,D四点共圆，圆心0为三角形任意

四点共圆

且点C,D在AB同侧，乙C=乙。尔一组邻边的垂直平分线的交点

'、:B

模型问题情境图示结论

在四边形ABCD中，LABC=

四边形ABCD的外接圆为以AC为直径的

Z.ADC=90°,满足乙ABC+oo

LADC=180°

"B

四点共圆

在四边形ABCD中，满足四边形ABCD的外接圆为00,圆心。为任

AABC+Z.ADC=180°意一组邻边的垂直平分线的交点

D

在。。中，48为一条定弦，点Z.ADB=LACB=Z_AEB（弦4B在劣弧48

C,O,E在圆弧上上也有圆周角）

定角定弦

点C在。。的宿上均可（当4c>90。时，

在O0中MB为一条定弦,C为

点C在劣弧上；当乙C=90。时，点C在半圆

O0上任意一动点且4C=a1)

-一；B上;当乙C<90。时，点C在优弧上）

Z.APB=90°

PP

PMN/i,则AB=2PM^2h,当PMJ.AB或

PA=PBBi,AB有最小值，此时AB=2h

A\M：B1爪、M：Bl

已知直线/外一点P,点尸到直

线48的距离为定值乂定高），

定角定高过点P作PHLl于点",则PH=h,可得

乙APB为定值（定角），M为AB

AAPB=a^90°LAPB=^-Z.AOB=440M=a,设。。的半

的中点，求4B的最小值

径为r,PO+MO=r+r,cosaNPMNPH=

MMh,当PM_LAB或P4=PB时，尸0+MO=

PM=PH=A,则r+r•cosa=/«,此时r有

最小值，则AB的最小值为2rsina

两定点4,8在乙C的一条边上，过两点作圆和点C的另一边相切，当

另有一个动点P在这个角的另点P运动到切点尸,时，乙APB最大（同弧所

最大张角

一条边上,找一点P使得乙APB对的圆周角相等，圆外角小于圆周角，圆内

最大角大于圆周角）

【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在。。中，48为直径，C是。。上一点，AC=3,BC=4.过。分别

作于点H,ODLAC于点。，点分别在线段BC、AC上运动（不含端点），且保持/比>尸=90。.

（1）OC=；四边形CZ）O"是（填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH=

（2）当尸和。不重合时，求证：AOFD^AOEH；

（3）①在图1中，0P是ACEO的外接圆，设0P面积为S,求S的最小值，并说明理由；

②如图2：若。是线段上一动点，且QA：0B=1：〃，ZEQF=90°,0M是四边形CEQ厂的外接圆，则

当〃为何值时，。"的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案.

【变式3-1](2023-安徽-模拟预测)如图，半圆的直径AB=4,弦CD〃AB,连接AC,83Ame.

(2)当AACD的面积最大时，求/C4D的度数.

【变式3-2](2023-四川-中考真题)如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线A8上方旋转，连

接3C,以BC为边在8C上方作RtABDC,且“3c=30。.

(1)若，8DC=90。，以AB为边在A3上方作RtZ\54E,且NA£B=90。，ZEBA=30°,连接OE,用等式表

示线段AC与DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DEJ.AB,AB=4,AC=2,求2C的长；

(3)如图3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,当AD的值最大时，求此时tanNCB4的值.

【变式3-3](2023-陕西西安-模拟预测)【问题情境】

如图1,在"WC中，ZA=120°,AB^AC,BC=5上,则AASC的外接圆的半径值为;

【问题解决】

如图2,点尸为正方形ABC。内一点，且N3PC=90。，若AB=4,求AP的最小值；

【问题解决】

如图3,正方形ABCD是一个边长为4岛1的书展区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE=鬲，

点尸是正方形A3CD内设立的一个活动治安点，到3、E的张角为120。，即/8尸石=120。，点A、。为另两

个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q,使得。到A、。、尸三个治安点的距离和最

小，试求QA+QD+Q尸的最小值.(结果精确到0.1m,参考数据6a1.7,14.323205)

图1图2图3

题型四圆中的阴影部分面积

技巧精讲：

【例4】(2024-西藏拉萨-一模)如图，等腰AABC的顶点A,C在。。上，BC边经过圆心0且与。。交

于。点，ZB=30°.

(1)求证：是。。的切线;

(2)若AB=6,求阴影部分的面积

【变式4-1](2023-陕西西安-一模)如图，正六边形45co所内接于。O.

(1)若尸是CD上的动点，连接3尸，FP,求/以平的度数；

(2)已知△人■的面积为2/，求。。的面积.

【变式4-2](2023-浙江衢州-中考真题)如图，在Rt^ABC中，NACb=90。,。为AC边上一点，连结08.以

OC为半径的半圆与A3边相切于点。，交AC边于点E.

(1)求证：BC=BD.

(2)若O3=OA,AE=2.

①求半圆。的半径.

②求图中阴影部分的面积.

【变式4-3](2023-辽宁阜新-中考真题)如图，48是00的直径,点C,。是。。上A3异侧的两点，DELCB,

交CB的延长线于点E,且80平分/ABE.

(1)求证：DE是。。的切线.

⑵若NABC=60。，AB=4,求图中阴影部分的面积.

【变式4-4］（2023-山东枣庄-中考真题）如图，A3为。。的直径，点C是AD的中点，过点C做射线8。的

垂线，垂足为£.

⑴求证：CE是。O切线；

（2）若3E=3,AB=4,求的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有兀的式子表示）.

题型五圆中的比值（相似）问题

技巧精讲：

【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB为。。的直径，点。为。。上一点，过点2作。。切线交

AD延长线于点C,CE平分/ACB,CE,BD交于F.

A

(1)求证：BE=BF；

3

(2)若。O半径为2,sinA=-,求。尸的长度.

【变式5-1](2023-湖南湘西-二模)如图，是。。的直径，点C,。在。。上，AD平分/C4B,交BC

于点E,连接50.

3

(2)当tanZA2C=：,且AB=10时，求线段8。的长.

(3)点G为线段AE上一点，且BG平分ZABC,若GE=拒,BG=3,求CE的长.

【变式5-2](2024-陕西西安-一模)如图，A3是。。的直径8与。。相切于点C,与胡的延长线交于点

D,连接BC,点E在线段。3上，过点E作8。的垂线交0c的延长线于点尸，交BC于点G.

F

(2)若AO=2AD=20,点E为。B的中点，求GE的长.

【变式5-3](2024-陕西西安-一模)如图，AB是。。的直径，点。在直径A3上(。与不重合)，CD1AB

且CD=AB,连接CB,与。O交于点尸，在CD上取一点£,使E尸与。。相切.

(1)求证：EF=EC

(2)若。是0A的中点，AB=4,求BF的长.

好题必刷•强化落实

一、解答题

1.(2024-云南-模拟预测)如图，四边形ABCD内接于。。，对角线AC是。。的直径，过点C作AC的垂

线交AD的延长线于点E,尸为CE的中点，连接30,DF,80与AC交于点P.

(1)求证：是。。的切线；

⑵若/DPC=45。，PD2+PB2=8,求AC的长.

2.(2024-湖北黄冈-模拟预测)如图，平分NAPD,R4与。。相切于点A,延长A。交尸£＞于点C,过

点。作O5LPD,垂足为B.

(1)求证：尸8是。。的切线;

(2)若。。的半径为4,OC=5,求R4的长.

3.(2024-江苏淮安-模拟预测)如图，已知直线/与。。相离，于点A,交。。于点尸，点B是。O

上一点，连接“并延长，交直线/于点C,使得AB=,4C.

0(1)判断直线AB与。AO的位置关系并说明理由；

(2)尸C=2而0A=4,求线段PB的长.

4.(2024-四川凉山-模拟预测)如图，是。。的直径，点尸是CD延长线上一点，且AP与。。相切于点

A,弦ABLCD于点E过。点作于点E.

v求证：/EAD=T/FAD；

(1)

⑵若m=4,PD=2,求。。的半径和DE的长.

5.(2024-四川凉山-模拟预测)如图，在一△ABC中,ZACB=9Q°,以AC为直径的。。交AB于点。，E

为3C的中点，连接OE并延长交AC的延长线于点E

（1）求证：DE是。。的切线；

⑵若NA=30。，DF=3,求CE长.

6.（2024-山东泰安-一模）如图，AB,8是。。的两条直径，过点C的。。的切线交48的延长线于点E,

连接AC,BD.

⑴求证：ZABD=ZCAB；

⑵若8是OE的中点，AC=12,求。。的半径.

7.（2024-福建南平-一模）如图1,点。是AABC的边48上一点.AD=AC,ZCAB=a,G）O是△BCD的

外接圆，点E在。BC上（不与点C,点D重合），且NCED=90。-。.

（1）求证：AABC是直角三角形；

（2）如图2,若CE是。。的直径，且CE=2,折线AD尸是由折线ACE绕点A顺时针旋转。得到.

①当a=30°时，求ACDE的面积；

②求证：点C,D,尸三点共线.

8.（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以BC为直径的。。交AC边于点D,

过点C作。。的切线，交8£＞的延长线于点E.

⑴求证：NDCE=ZDBC；

⑵若AB=2,CE=3,求。。的半径.

9.(2023-湖北黄石-中考真题)如图，为。。的直径，八4和。O相交于点凡AC平分,点C在

上，且CJDLZM,AC交8月于点P.

(1)求证：8是的切线;

(2)求证：ACPC=BC2;

⑶已知6c2=3尸产心C,求——的值.

AB

10.(2023-辽宁鞍山-中考真题)如图，四边形A3CD内接于。。，A3为。O的直径，过点。作。尸±BC,

交2C的延长线于点凡交54的延长线于点E,连接80.若44£>+/9加=180。.

⑴求证：E尸为<30的切线.

2

(2)若3E=10,sinZB£>C=j,求。0的半径.

11.(2023-湖南湘西-中考真题)如图，点D,E在以AC为直径的。。上，4DC的平分线交。O于点8,

连接胡，EC,EA,过点E作EHLAC,垂足为H,交AD于点?

⑴求证：AE2=AFAD;

9R

(2)^sinZABD=,AB=5,求AO的长.

12.(2023-辽宁沈阳-中考真题)如图，AB是。。的直径，点C是。。上的一点(点C不与点A,B重合),

连接AC、BC,点。是AB上的一点，AC=AD,BE交CO的延长线于点E,且BE=BC.

(1)求证：破是。。的切线；

(2)若。。的半径为5,tanE=g,则BE的长为

13.(2023-黑龙江大庆-中考真题)如图，48是O。的直径，点C是圆上的一点，。。，")于点。，交

。。于点歹，连接AC,若AC平分过点歹作于点G,交AC于点H,延长AB,DC交

于点E.

⑴求证：CD是。。的切线；

(2)求证：AFAC^AEAH；

(3)若sin/OE4=±求&■的值.

5FH

14.(2023-四川雅安-中考真题)如图，在中，ZABC=90°,以AB为直径的。。与AC交于点

点E是BC的中点，连接89,DE.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若£)E=2,tanZBAC=1,求AD的长；

(3)在(2)的条件下，点尸是。。上一动点，求心+尸3的最大值.

15.(2023-辽宁营口-中考真题)如图，在AABC中，AB=BC,以8C为直径作。。与AC交于点。，过点

。作DE工至，交CB延长线于点R垂足为点E.

(1)求证：DF为。。的切线;

4

(2)若3E=3,cosC=-,求班1的长.

压轴题05

圆的综合

目录

题型剖析•精准提分

题型一切线的判定

题型二圆中求线段长度

题型三圆中的最值问题

题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

好题必刷•强化落实

题型剖析•精准提分

圆的综合

题型一切线的判定题型三圆中的最值问题

题型二圆中求线段长度题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

题型解读：

考查热度.

圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题

圆的综合

的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高.多考

查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值

问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角

形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，

以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及

以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比

例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.

右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.

题型一切线的判定

解题模板：

根据条件确定是否有明确交点

根据有无交点作出相应的辅助线

利用切线的判定方法进ffffi明

技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°,如已有90°角，可以尝试证平行）

没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，48为的直径，如果圆上的点。恰使/ADC=/3,求

证：直线。与。。相切.

【答案】见详解

【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出NOD4+/ADC=90。，则COLOD,再由切线的判定即可

得出结论.

【详解】证明：如图，连接O。，

,/OA=OD,

:.ZA^ZODA,

•.•AB为O。的直径，

:.ZADB=90°,

.-.ZA+ZB=90°,

ZADC=ZB,

AODA+ZADC^9Q0,

即ZCDO=90°,

:.CD1OD,

•••OD是。。的半径，

直线CD与。。相切.

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握

圆周角定理和切线的判定是解题的关键.

【变式1T】（2023-辽宁-中考真题）如图，内接于。。，A3是。。的直径，CE平分/ACB交。。于

点E,过点E作EF//AB,交CA的延长线于点F.

求证：E尸与。。相切；

【分析】连接。E,由是。。的直径可得NACB=90。，进而可得/ACE=g/AC8=45。，再根据圆周角

定理可得NAOE=2/ACE=90。，进而可证OELAB,OELEF,即可证明所与。。相切；

【详解】证明：如图，连接OE,

­••A3是的直径，

ZACB=90°,

VCE平分，AC5交OO于点E,

ZACE=-ZACB^45°,

2

ZAOE^2ZACE^90°,

：.OE±AB,

EF//AB,

・•.OE±EF,

OE是。。的半径，

•••£F与。O相切;

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定

理是解题的关键.

【变式1-2](2023-辽宁-中考真题)如图，A3是。。的直径，点C,E在。。上，ZCAB=2ZEAB,点尸在

线段48的延长线上，且=

(1)求证：所与。。相切；

4

(2)若BF=1,sinZAFE=-,求BC的长.

【分析】利用圆周角定理得到=结合已知推出NG4B=ZEC®,再证明△OF£sc,推

出/OEb=NC=90。，即可证明结论成立；

【详解】证明：连接OE,

•：BE=BE，；-NEOB=2NEAB,

,/ZCAB=2ZEAB,

：.ZCAB=ZEOB,

：AB是。。的直径，

/."=90°,

ZAFE=ZABC,

：.△OFEs^ABC,

：./OEF=NC=90。,

YOE为。。半径，

.♦.所与。O相切；

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识,

熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【变式1-3](2023-湖北鄂州-中考真题)如图，A8为。O的直径，E为。O上一点，点C为泌的中点，过

点C作CD，A£,交AE的延长线于点。，延长OC交AB的延长线于点色

(1)求证：CD是O。的切线；

【分析】连接OC,根据弦、弧、圆周角的关系可证NZMC=NC4斤，根据圆的性质得NO4c=NOC4,证

明OC〃AT>,得到NOCF="=90。，根据切线的判定定理证明；

【详解】证明：连接OC,

:点C为即的中点，

EC=CB，

：.ZDAC=ZCAF,

---OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA

：.?DAC2coA

：.OC//AD,

：.ZOCF=ZD=90°,

0c为半径，

/.DC为。O切线；

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题

的关键.

题型二圆中求线段长度

解题模板：

分析题目条件