中考数学复习重难点提升训练：相交线与平行线热考模型（10种题型+10种模型解析）（解析版）

第四章三角形

重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型

（10种题型汇总+专题训练+10种模型解析）

【题型汇总】

已知图示结论（性质）

1）同位角有4组，如：/I与N5、N2与/6、N3与N

E

直线AB、CD被直线7、/4与N8；

EF所截，且AB与CDA2）内错角有2组，如：N3与/5、N6与N8；

不平行3）同旁内角有2组，如：N3与N6、N4与N5；

4）对顶角有4组，如：N1与N3、/2与/4、N5与/

7、/6与N8.

F

1）同位角相等：/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8；

E

2）内错角相等：/3=/5、Z6=Z8；

直线AB、CD被直线3）同旁内角互补：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

4-匏，B

EF所截，且AB〃CD4）对顶角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.（2022.青海・中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被

截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

【答案】D

【分析】两条线人b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称

为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；

两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即

可.

【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角.

故选：D.

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区

别它们.

2.（2023・河北唐山•二模）下列图中，N1和42不是同位角的是（）

【答案】B

【分析】根据同位角的定义（在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角）进行判断.

【详解】A选项：41与N2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，

B选项：N1与N2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，

C选项：N1与42有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，

D选项：41与N2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角.

故选：B.

【点睛】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被

截线的同一方的两个角是同位角.

3.（2024•内蒙古・中考真题）如图，直线％和％被直线G和〃所截，41=42=130。，43=75。，贝叱4的度数

为（）

105°C.115°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键.先利用=42=

130。判定人||Z2,再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解.

【详解】解：・・・41=乙2=130。,

••II，2，

・35+/4=180°,

VZ3=Z5=75°,

・"4=180°-75°=105°,

4.(2024・陕西・中考真题)如图，ABWDC,BC\\DE,Z,B=145°,则ND的度数为()

B

AD

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先根据“两直线平行，同旁内角

互补”，得到/。=35。，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案.

【详解】-ABWDC,

・•・乙B+LC=180°,

•・•乙B=145°,

・•・ZC=180°-ZB=35°,

•・•BCWDE,

Z.D—Z.C—35°.

故选B.

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）

条件AB〃DEa〃b

图示AB

•:ABaAi

*A21

^.A3

A4，＜^-A

上5

DE

DE

b

-----------------

结论ZB+ZE=ZBCENB+NCMN+NE=NBCM+NMNE

4++Z4+...+Z24n

—/4+/4+…+/A-i

左拐角之和二右拐角之和

辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.

1.（2024•江苏南通・中考真题）如图，直线a||6,矩形A8CD的顶点A在直线6上，若42=41。，则41的度

数为（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE||a,得到BE||a||b,推出乙4BC=zl+Z2,

进行求解即可.

【详解】解：：矩形

：./-ABC=90°,

过点8作BE||a,

c

a

一

A

VaIIb,

：.BE||a||b,

Az.1=/.ABE,Z2=乙CBE,

：.Z.ABC=/.ABE+乙CBE=Z1+z2,

VZ2=41°,

Azl=90°-41°=49°；

故选c.

2.（2021九年级.全国.专题练习）在图中，AB//CD,+NG与NB+NF+又有何关系？

【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导.

【详解】分别过E,F,G作的平行线，

AB//EM//FN//GH//CD,

则41=Z.B,z2=z3,z.4=z.5,z.6=乙D,

z.1+z.2+z.5+z.6=Z-B+z.3+z.4+乙D,

即，Z-E+Z-G=Z-B+Z-F+Z.D.

【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明.

3.（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答,

今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即

已知：如图1,ABWCD,E为AB、CD之间一点，连接AE,CE1得至UN/EC.

求证：/.AEC=^A+^C

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点E作EFIMB

VZ1=

VXBIIC/),EFWAB

：.EF\\CD

Az2=ZC

J.Z.AEC=Z1+Z2

Z.AEC=Z-A+Z-C

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)如图，若ABIICD,ZE=60°,求NB+NC+NF；

(2)如图，ABWCD,BE平分4ABG,CF平分NDCG,NG=N”+27。，求NH.

H

【答案】（1）240°

（2）51°

【分析】（1）作EMIL48,FNWCD,如图，根据平行线的性质得EM|4B||FN|£D,所以48=N1,42=43,

44+NC=180°,然后利用等量代换计算ZB+Z.F+ZC=240°；

（2）分别过G、"作48的平行线和RS,根据平行线的性质和角平分线的性质可用乙4BG和NDCG分别

表示出N”和NG,从而可找到NH和NG的关系，结合条件可求得N"=51。.

【详解】（1）作EMII4B,FNWCD,如图，且4BIICD

：.EM\\AB\\FN\\CD

."8=N1,N2=N3,N4+NC=180°

乙B+Z.CFE+zC=zl+z3+z4+zC=乙BEF+z4+zC=乙BEF+180°,

■:4BEF=60°,

:.乙B+乙CFE+ZC=60°+180°=240°；

(2)如图，分别过G、〃作AB的平行线MN和RS,

RHS

平分N4BG,CF平分NDCG,

11

:•(ABE=-/.ABG,乙SHC=乙DCF=LDCG,

22

9：AB\\CD

：.AB\\CD\\RS\\MN

:'乙RHB=/.ABE=-Z.ABG,乙SHC=乙DCF=-A.DCG,

22

:•乙NGB+乙ABG=乙MGC+乙DCG=180°,

."BHC=180°-乙RHB-Z.SHC=180°+乙DCG),

乙BGC=180°-乙NGB-4MGC=180°-(180°-/.ABG')-(180°-zPCG)=^ABG+乙DCG-180°

:'乙BGC=360°-2乙BHC-180°=180°-2(BHC,

VZ.BGC=乙BHC+27°,

：.180°-2乙BHC=乙BHC+27°,

•"BHC=51°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，

注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦

然.

题型03铅笔头模型

铅笔头模型铅笔头模型-进阶

条件AB//DEAB〃DEa〃b

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点万点,G点,H点作L1,L2,£3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

则N1+42+43+N4++N6=180°x5=900".

故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图

2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知4B||CD,CG||EF,乙BAG=150。/。"=130°,

则乙4GC的度数是.

CED

B

图1图2

【答案】80。/80度

【分析】过点p作PMIICD,因为4BIIC0,所以4BIIC0IFM,再根据平行线的性质可以求出NMF4,4EFM,

进而可求出AEFA,再根据平行线的性质即可求得乙4GC.

【详解】解：如图，过点F作FMIICD,

,：AB\\CD,

：.AB\\CD\\FM,

:.乙DEF+Z.EFM=180°,Z.MFA+乙BAG=180°,

'：^BAG=150°,/.DEF=130°,

：.Z.MFA=30°,ZFFM=50°,

，/.EFA=4EFM+/-AFM=80°,

\"CGIIEF,

C./.AGC=AEFA=80°.

故答案为80。.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.

3.如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（AB4E、

N4EC、乙ECD）,贝IJ/BAE+N力EC+ZECD=（度）；

N._____________

B-----------Br---^---------B/B

M———

DCDCDCD

图①图②图③图④

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角QB4E、乙4EF、乙EF、乙FCD）,贝此B4E+“EF+

4EFC+Z.FCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NBAE、N4EF、乙EFG、乙FGC、乙GCD）,则+

AAEF+乙EFG+NFGC+乙GCD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪九刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是（度）.

【答案】360540720180w

【分析】过点E作EHWB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍；

（1）分别过E、F分别作4B的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的三

倍；

（2）分别过E、F、G分别作4B的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的

四倍；

（3）根据前三问个的剪法，剪九刀，剪出n+1个角，那么这几+1个角的和是180几度.

【详解】过E作EHIMB（如图②）.

••,原四边形是长方形，

J.ABWCD,

又

：.CD\\EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.

...NBAE+N1=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

,/CDWEH,

；.N2+ADCE=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

J./.BAE+41+42+4ECD=360°,

又+42=/.AEC,

：.ABAE+/LAEC+乙ECD=360°；

（1）分别过E、尸分别作4B的平行线，如图③所示,

用上面的方法可得NB4E+AAEF+乙EFC+乙FCD=540°；

（2）分别过E、F、G分别作4B的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得NB4E+乙4EF+4EFG+乙FGC+乙GCD=720°；

（3）由此可得一般规律：剪n刀，剪出ri+1个角，那么这几+1个角的和是180几度.

故答案为：360；540；720；180n.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键,

总结规律求解是本题的难点.

4.（1）如图（1）AB||CD,猜想ZBPD与ZB、AD的关系，说出理由.

（2）观察图（2）,已知||CD,猜想图中的N8PD与的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知2B||CD,猜想图中的NBPD与NB、ND的关系，不需要说明理由.

(1)

【答案】(1)NB+/BPD+ND=360°,理由见解析；（2）乙BPD=AB+乙D,理由见解析；（3）图（3）

乙BPD=ND—NB,图(4)乙BPD=NB—ND

【分析】(1)过点P^EF||AB,得至+乙BPE=180°,由4B||CD,EF||AB,得至IjEF||CD,得至Ij/EPD+

乙D=180°,由此得到NB+乙BPD+ZD=360°；

(2)过点尸作PE||AB,由PE||AB||CD,得至Ij/l=Z5,Z2=ND,从而得至lj结论NBPD=Z1+Z2=ZB+

乙D；

(3)由ZB||CO,根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得4与乙8、的关系.

【详解】(1)解：猜想48+4BPO+40=360。.

理由：过点尸作EF||48,

:.乙B+乙BPE=180°,

*：AB||CD,EF||AB,

：.EF||CD,

：.^EPD+LD=180°,

:•乙B+乙BPE+(EPD+40=360。，

:,乙B+4BPD+Z.D=360°；

(2)(BPD=乙8+40.

理由：如图，过点尸作PEII48,

(2)

9：AB||CD,

：.PE||AB||CD,

zl=Z-B,z2=乙D,

Z-BPD=zl+z2=Z-B+乙D；

(3)如图(3)：乙BPD=LD一乙B.

理由：9CAB||CD.

P

⑶

zl=Z-D,

Vzl=乙B+乙P,

Z-D=Z-B+乙P,

即NBPD=zD-zB；

如图（4）：/-BPD=KB—乙D.

理由：'：AB||CD,

⑷

zl=Z.B,

Vzl=N。+4P,

/.B=Z.D+Z.P,

即NBPD=LB一乙D.

【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解

题的关键.

1.（20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习）如图，已知ABIDE,N2BC=80°,zCD£=140°,则NBC。=.

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质.过点C作CFII4B,根据平行线的性质和角的和差，求解即可

得到结论.

【详解】解：如图，过点C作CFII4B,

5L-：ABWDE,

DEWCF,

•••乙DCF+乙CDE=180°,

•••乙DCF=40°,

•••乙BCD=乙BCF-乙DCF=80°-40°=40°.

故答案为：40°.

2（2021九年级•全国.专题练习）己知AB//C。，求证：NB=NE+/D

【答案】见解析

【分析】过点E作EF〃CD,根据平行线的性质即可得出根据平行线的性质即可得出

/BOD=/BEF、/D=/DEF,结合角之间的关系即可得出结论.

【详解】证明：过点E作所〃CD,如图

AB

'：AB//CD,

：.ZB=ZBOD,

\'EF//CD（辅助线）,

（两直线平行，同位角相等）；/。=/。跖（两直线平行，内错角相等）；

NBEF=NBED+NDEF=NBED+/D（等量代换），

：.ZBOD=ZE+ZD（等量代换），即

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.

3.（2021•全国•九年级专题练习）如图，如果4B〃EF,EF//CD,则/I,Z2,/3的关系式.

___B

【答案】Z2+Z3-Z1=180°

【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可.

【详解】解：EF//CD,

；./2+/BOE=180°,Z3+ZCOF=180°,

N2+N3+N2OE+/CO尸=360°,

"?ZBOE+ZCOF+Z1=180°,

ZBOE+ZCOF=ISO°-Zl,

/.Z2+Z3+（180°-Zl）=360°,

即N2+N3-Zl=180°.

故答案为：Z2+Z3-Zl=180°.

【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.

4.①如图1,AB//CD,贝l]NA+NE+NC=36O。；②如图2,AB//CD,则NP=NA-NC；③如图3,AB

//CD,则NE=NA+Zl；④如图4,直线48〃CD//EF,点。在直线E尸上，则4-4+々=180。.以

图3图4

图1

A.1个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】①过点E作直线所〃AB,由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；

②如图2,先根据三角形外角的性质得出N1=/C+NP,再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；

③如图3,过点E作直线所〃AB,由平行线的性质可得出NA+NAEC-/1=180。，即得乙4£。=180。+/1

-NA；

④如图4,根据平行线的性质得出Na=NBOF,Zy+ZCOF=\SO°,再利用角的关系解答即可.

【详解】解：

B

kr

图3图4

图1图2

①如图1,过点E作直线EF//AB,

,JAB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZA+Z1=180°,/2+/C=180°,

/A+/B+NAEC=360。，

故①错误；

②如图2,是△CEP的外角，

・・・N1=NC+NP,

9：AB//CD,

：.NA=N1,

即/尸=NA-ZC,

故②正确；

③如图3,过点E作直线跖〃AB,

'：AB//CD,

J.AB//CD//EF,

ZA+Z3=18O°,Z1=Z2,

AZA+ZAEC-/I=180。，

BPZAEC=180°+Zl-ZA,

故③错误；

④如图4,,：AB//EF,

：.Za=ZBOF,

,JCD//EF,

：.Zy+ZCOF=180°,

,：ZBOF=ZCOF+Z^,

：.ZCOF=Za-Zp,

AZy+Za-Zp=180°,

故④正确；

综上结论正确的个数为2,

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线

是解答此题的关键.

题型05蛇形模型

条件AB/7CD

图示ABAB

DEDE

结论ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°

1.（21-22八年级上.黑龙江哈尔滨•期中）已知直线ABIICD,P为平面内一点，连接PA、PD.

(1)如图1,已知乙4=50。,ND=150。,求乙4PQ的度数;

(2)如图2,判断NP4B、乙CDP、N4PD之间的数量关系为_.

(3)如图3,在(2)的条件下，AP1PD,DN平分4PDC,若“AN+=N4PD,求“ND的度数.

【答案】(l)NAPD=80°

(2)ZPXB+乙CDP-/.APD=180°

⑶乙AND=45°

【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用.

(1)过点P作EFII4B,根据平行线的性质可得乙4PE=乙4=50°,4EPD=180°-150°=30°,即可求出

“PD的度数；

(2)过点P作EFII4B,则2BUEFIIC0,根据平行线的性质可得NCOP=NDPF,AFPA+Z.PAB=180°,又

Z.FPA=4DPF-/.APD,即可得出NCDP4-/.PAB-/.APD=180°；

(3)PDMN于点0,由4P1PD,得出N4PD=90°,由NP4N+=90。得出4P2N+[NPAB=Z.APD,

由4PO4+ZJMN=90。，得出NPQ4=，PAB,由对顶角相等得出NNOD=由角平分线的性质得

出乙ODN=》PDC,即NANO=180°—：(ZJMB+NPDC),由(2)得：Z.CDP+/.PAB-/.APD=180°,

代入计算即可求出乙4Mo的度数.

【详解】(1)解：如图1,过点P作EF||AB,

：.N4PE="=50°,

ABWCD,

EF||CD,

：.4CDP+乙EPD=180°,

•・・ZD=150°,

乙EPD=180°-150°=30°,

・•.Z.APD=/.APE+乙EPD=50°+30°=80°；

(2)如图2,过点P作EF||48,贝！J/B||EF||CD,

图2乙CDP="PF,Z.FPA+^LPAB180°,

z_FPA=乙DPF-Z.APD,

•••Z-DPF-Z-APD+乙PAB=180°,

・•・(CDP+Z.PAB-AAPD=180°,

故答案为：乙CDP+"AB-Z.APD=180°；

(3)如图3,设PD交ZN于点。，

N

・•・^LAPD=90°,

i

•:4PAN+-^PAB=^APD

2

A^PAN+-^PAB=90°,

2

LPOA+乙PAN=90°,

.­./.POA^-/.PAB,

2

•••Z-POA=乙NOD,

.­.乙NOD=-Z.PAB,

2

•••D-PDC,

.­.乙ODN="Z)C,

2

••・乙AND=180°-乙NOD一乙ODN

=180°-i(乙PAB+乙PDC),

由(2)得：Z.CDP+^PAB-^APD=180°,

・•・乙CDP+乙PAB=180°+Z/1PD,

1

・•・乙AND=180°--{Z.PAB+4POC)

1

=180°--(180°+Zi4PZ))

1

=180°--(180°+90°)

=45°.

图①图②图③

(1)求证：ZB+zC-=180°：

(2)如图②，AQ.BQ分另ij为乙D4C、NEBC的平分线所在直线，试探究4c与乙4QB的数量关系；

(3)如图③，在(2)的前提下，且有4CIIQ8,直线AQ、BC交于点P,QP1PB,直接写出

/-DAC：Z.ACB：(CBE=.

【答案】(1)见解析

(2)2乙4Q8+ZC=18O°,理由见解析

(3)1：2：2

【分析】(1)过点C作。“凶。，贝UCFIIBE,根据平行线的性质可得出Z2CF=乙4、4BCF=180。一4B,据

此可得；

(2)过点。作QMII4D,贝UQMIIBE,根据平行线的性质、角平分线的定义可得出N4QB=|(zCSE-ACAD),

结合(1)的结论可得出2乙4QB+4c=180。；

(3)由(2)的结论可得出NC4D=(ZC8E①，由QPJ.PB可得出NC4D+/CBE=180。②，联立①②可求

出NC4D、NCBE的度数，再结合(1)的结论可得出N4CB的度数，将其代入NEMC：Z4CF：NCBE中可求

出结论.

【详解】(1)在图①中,过点C作CFII20,则CFUBE.

AD

图①

CF\\AD\\BE,

：.Z.ACF=(BCF+=180°,

J乙ACB+—=AACF+Z,BCF+48-4/=+180°-=180°.

(2)在图2中，过点。作QMIL4D,则QM|山及

VQMIMD,QM\\BEf

：.^AQM=^NAD,乙BQM=CEBQ.

・.・/、平分乙。/0,BQ平分乙CBE,

ii

:,(NAD=乙CAD,乙EBQ=^CBE,

：.^AQB=乙BQM-N4QM=-/LCAD}.

•:乙C=180°-(乙CBE-ACAD)=180°-25QB,

：.2/-AQB+ZC=180°.

(3)U：AC\\QB,

：./LAQB=/.CAP=^CAD./LACP=乙PBQ=三乙CBE,

i

・•・^ACB=180°-乙4cp=180°--乙CBE.

2

\92^AQB+^.ACB=180°,

：.Z-CAD=-/-CBE..

2

又■:QP1PB,

：.^.CAP+Z.ACP=90°,BPzCAD+乙CBE=180°,

C.2LCAD=60°,^LCBE=120°,

J.Z-ACB=180°-(乙CBE-/.CAD)=120°,

：.^DAC：Z.ACB：ACBE=60°：120°：120°=1：2：2,

故答案为：1：2：2.

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行

线.

3.(23-24七年级下•辽宁营口•阶段练习)如图，AB||DC,点E在直线AB,DC之间，连接OE,BE.

⑴写出乙4BE,乙BED,4EDC之间的数量关系，并说明理由；

(2)若乙EDC=21°,乙BED=2(B,求的度数；

【答案】(l)NBEO+乙ABE-乙EDC=180°,证明见解析

(2)ZB=67°

【分析】(1)过点E作EFIICO,利用平行线的判定及性质即可得解；

(2)由(1)得乙BED+^ABE-乙EDC=180°,将4BED=248代入即可得解.

本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】(1)解：^BED+^ABE-Z.EDC=180°,

理由如下：过点E作EFIICO,如图，

C.Z.EDC=乙DEF,

\9AB||CD,

：.AB\\EFf

:•乙ABE+乙BEF=180°,

AZ-BEF=180。一4/BE,

乙BED=Z-BEF+乙DEF=乙EDC+180°-^LABE,

:.乙BED+乙ABE-乙EDC=180°；

(2)解：由(1)^Z.BED+LABE-Z.EDC=180°,

2乙B+NB—4EDC=180°,

：.3^B-21°=180°,

解得NB=67°.

题型06平行平分三等角

解题大招：平行平分得三等角.

1.（2024.山东淄博・中考真题）如图，已知力DII8C,BD平分Z71BC.若乙4=110。，贝吐。的度数是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性

质是关键.依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可.

【详解】解：•.♦4DIIBC,

：.乙ABC=180°一乙4=180°-110°=70°,4D=4DBC；

•••BD平分4BC,

ADBC=-/.ABC=iX70°=35°.

22

4D=35°.

故选:C

2.（2024•四川,中考真题）如图，ABWCD,2D平分NB4C,21=30°,贝此2=（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据4艮4。=41、42=NB4D即可

求解.

【详解】解：：4B||CD,zl=30°,

J./.BAD=N1=30°

平分NB4C,

."2=/.BAD=30°

故选：B

3.（2023・湖南张家界•中考真题）如图，已知直线48||CD,EG平分乙BEF,Z1=40°,则42的度数是（）

A.70°B.50°C.40°D.140°

【答案】A

【分析】根据平行线的性质可得NEFG=Z1=40°,乙EFG+乙BEF=180°,乙EGF=乙BEG,推得=

140。，根据角平分线的性质可求出N8EG的度数，即可求得N2的度数.

【详解】VXB||CD,

:.乙EFG=Z1=40°,乙EFG+乙BEF=180°,乙EGF=4BEG,

:.乙BEF=180°-40°=140°,

又；EG平分NBEF,

1

:.乙BEG=-^BEF=70°,

2

?.Z2=乙BEG=70°

故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质.熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题

的关键.

4.（2023・四川资阳•模拟预测）如图，直线力B||CD,BC平分N4BD,41=54。，则42=.

【答案】72。

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键.

根据平行线的性质得到N1=4CBA=54。，由角平分线得到NCBD=MBA=54。，即可运算求解.

【详解】解：*.NBIICD,

Azi=^CBA=54°,

平分N4BD,

J./-CBD=MBA=54°,

；.N2=乙CDB=180°-Z1-乙CBD=180°-54°-54°=72°,

故答案为：72。.

题型07平行线折叠问题

记住三句话：①折叠前后对应角，对应边相等.

②折叠不改变原先的平行关系.

③以折线为对称轴.

1.（2024.黑龙江大庆•中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和

小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿4B折叠，量得N1=42=59。；小铁把纸带②沿折叠，发

现GD与GC重合，与HE重合.且点C,G,D在同一直线上，点E,H,尸也在同一直线上.则下列判断

A.纸带①、②的边线都平行

B.纸带①、②的边线都不平行

C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

【答案】D

【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得41=4ADB=59。，利用三角形内角和定理求得ND84=62°,

再根据折叠的性质可得乙4BC=4DBA=62°,由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得,

Z.CGH=Z.DGH,Z.EHG=Z.FHG,由平角的定义从而可得4EHG=NFHG=90。，/.CGH=Z.DGH=90°,

再根据平行线的判定即可判断.

【详解】解：对于纸带①，

Vzl=42=59°,

Azi=^ADB=59°,

J./-DBA=180°-59°-59°=62°,

由折叠的性质得，/.ABC=/.DBA=62°,

Az2丰Z.ABC,

二力。与BC不平行，

对于纸带②，由折叠的性质得，乙CGH=CDGH,乙EHG=LFHG,

又：点C,G,D在同一直线上，点E,H,尸也在同一直线上，

"CGH+乙DGH=180°,EHG+乙FHG=180°,

，乙EHG=乙FHG=90°,乙CGH=乙DGH=90°,

J./.EHG+/.CGH=180°,

CDWEF,

综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，

故选：D.

【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定

和折叠的性质是解题的关键.

2.（2024.山西大同.模拟预测）如图1,四边形4BCD是一张矩形纸片，点。是BC上一点，将矩形纸片4BCD折

叠得到图2,使得。8与。C重合.若n2=50。，则N1的度数为（）

D.55°

【答案】B

【分析】本题考查了折叠的性质,平行线的性质，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键.根据折叠的性

质可得N2=N3,44=45,根据平角的定义可得42+43+44+45=180。，从而得出42+/4=90。，求

出N4的度数，再根据平行线的性质即可求出41的度数.

【详解】解：如图

B

根据折叠的性质可得，42=43,Z4=z5

•••42+43+44+45=180°

2(z_2+z_4)=180°

•••N2+N4=90°

乙2=50°

Z4=90°-50°=40°

•••矩形的对边平行

z.1=44=40°

故选:B.

3.（2023•江苏盐城・二模）如图,将平行四边形4BCD折叠，使点C落在力D边上的点处,N1=58。/2=42°,

则NC的度数为（）

C.126.5°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答

本题的关键.根据平行线的性质求出NC'EC的度数，根据折叠的性质求出ZCEF的度数，利用三角形内角和

求出NC.

【详解】解：设折痕与平行四边形4BCD交点为E,F,如图所示,

四边形4BCD是平行四边形,

乙C'EC=Z1=58°,

根据折叠可得NCEF=Q'EC=29°,

ZC=1800-Z.CEF-Z.2=180°-29°-42°=109°.

故选：B.

4.（2024.四川凉山•模拟预测）如图，把矩形4BCD纸片沿EF折叠后，点、D,C分别落在L的位置.若

^AED'=50°,则N£TC的度数为.

【答案】115。/115度

【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识.根

据折叠的性质可得4。上尸=4。5尸=竺亭型，从而求得乙=+再根据矩形的性质可

知ADIIBC,即可得到NEFC=NAEF,从而得到NEFC的度数.

【详解】解：•••四边形4BCD为矩形，四边形为四边形EFCD折叠而成，

AD'EF=乙DEF,AD||BC,

•••^AED'=50°,

,rvzrir,nirir180o-^AEDr-

•••Z-DEF=乙DEF=-------------=6r5°o,

2

・•・Z,AEF=^AEDr+"EF=115°,

•••AD||BC,

乙EFC=Z.AEF=115°,

故答案为：115。.

题型08三角板拼接模型

常见的三角板与三角板（平行）拼接模型：

【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.

1.（2023•江苏盐城・中考真题）小华将一副三角板（4。=4。=90。，48=30。，乙E=45。）按如图所示的

方式摆放，其中ABIIEF,则41的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】根据平行线的性质得出乙4GF=4F=45。，然后根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：如图：设FO交于点G,

9

：AB\\EFf

：.£.AGF=Z-F=45°,

•・,乙4=60°,

Azl=180°-L.A-^AGF=180°—60°-45°=75°.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

2.（2024・四川凉山・中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在48的延长线上，当。尸||48时,

的度数为（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键.证明乙4ED=

乙FDE=30°,再利用NEDB=乙4BC-AAED,进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：NEOF=30。，N4BC=45。，

'：DF\\AB,

：.^AED=乙FDE=30°,

:.乙EDB=Z.ABC-Z.AED=45°-30°=15°；

故选B.

3.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则N1的大小为（）

【答案】B

【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得43=Z2=30°,根据N1=180。—N3-45。即可求

解.

【详解】解：如图所示：

由题意得：N3=42=30°

Z.1=180°-Z3-45°=105°

故选：B.

4.（2023•黑龙江绥化•中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，41=25。，42=30。，则

N3的度数为（）

2

3

A.55°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解.

【详解】解:依题意，zl+90°=z3+45°,

Vzl=25°,

.\Z3=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

题型09直尺与三角板拼接模型综合

【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.

1.（2024.四川巴中•中考真题）如图，直线小旧，一块含有30。的直角三角板按如图所示放置.若41=40。,

则N2的大小为（）

m

3(P

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质.利用对顶角相等求得43的度数，再利用三角形的

外角性质求得N4的度数，最后利用平行线的性质即可求解.

Vm||n,

・・・42=Z4=70°,

故选：A.

2.(2024•内蒙古通辽•中考真题)将三角尺4BC按如图位置摆放，顶点A落在直线4上，顶点8落在直线"上,

若川七，41=25°,则42的度数是()

A.45°B.35°C.30°D.25