压轴专题 圆的各性质的综合题（学生版）-2025年中考数学压轴题专项训练

备冷发05圆的各德质妁修会墓

-----------------------°(^^9)°------------------------

重点楠现...............................................................................1

压轴题型专练...........................................................................2

压轴题型一鼻径定理及其应用.......................................................2

压轴题型二圈周角与国心角.........................................................4

压轴题型三圈内接四边好...........................................................6

压轴题型四三角形的外按圄与外心..................................................8

压轴题型五切战的性质............................................................10

压轴题型六切线的性质与判定的球合应用...........................................12

压粘题型七弧长的计算............................................................15

压轴题型八扇形面积的计算........................................................16

压轴题型九国体的计算............................................................18

压物题型十三角的内切国与内心....................................................19

压轴题型十一BI的绿恻..........................................................23

（重点梳理）

圈这个考点在初中数学中是“个性”比就明显、容量比枝大的一个重点，这个特点的表现走:黄光国的性质

只能在BB中应用，其次圄的性质的小考点挣别多，与其他重要几何图册的集合出题的可能性也非常大。在其

众多考点中，常在压物题出现的考点有如下几个：

1.三角形的外按圄与外心：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角

形的外心，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；

2.垂径定理及其推论：

垂径定理：垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧；

推论1:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

推论2:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。

3.国心角与圄周角定理:

圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

圆周南定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心南度数的一半。

圆周角定理的重要推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

•••

圆心南与圆周角定理的重要应用：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么它

们所对应的其余各对量都相等。

（但在一些理论性问题中，注意弦所对的圆周角是有2种度数的，并且它们互补。）

4.国内按四边形的性质：

圆内接四边形对角互补（延伸应用：圆内接四边形的一个外南等于与它相邻内角的对南）

5.弧长、扇好面积、Bl律树面积计算公式:

弧长公式：刀=蜀

扇形面积公式：S扇形=嚅・=看）

oOU/

圆锥与圆柱相关计算公式：

6.切线的判定与性质：

直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线;

切线的判定问题解决口诀：有切点，连半径，证垂直。

圆的切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线；

切线的性质问题解决口诀：有切点，连半径，得垂直。

7.三角形的内切圄与内心：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三

角形的内心是三角形三条角平分线的交点；

Q[压轴题型专门O

压轴题型一垂径定理及其应用

圆的计算问题中，只要奉涉到长度的计算，首先想垂径定理相关的“知二得三”模型，具体内容

如下：

[“知二得三”:

由图可得以下5点：

①CD；②AE=E8；③AD过圆心O；④人&=3%；⑤Ab=B%；

以上5个结论,知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2.常做辅助线:连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角

1.（2024•武威三模）如图，。。的半径为5,弦=6,点。在弦48上，延长CO交。。于点。，则CD

的取值范围是（）

A.6WCDW8B.8&CDW10C.9<CE><10D.94CD<10

2.（2024-柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.

小敏同学想到了如下方法:如图，将纸条拉直并紧贴杯底,纸条的上下边沿分别与杯底相交于人、口、

四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,AB=4cm,CD=3cm.请你帮忙计算纸杯杯

底的直径为（）

A.4.8cmB.5cm

3.（2024-高青县模拟）如图，。河的半径为4,圆心双的坐标为（6,8）,点P是。M上的任意一点，E4

，,且上4、与①轴分别交于A、口两点，若点A、点3关于原点O对称，则AB的最大值为

A.13B.14C.12D.28

4.（2024-昆都仑区二模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2,则该半圆

A.（4+V5）cmB.9cmC.4V5cmD.6V2cm

5.（2024•温州模拟）某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高

度，道路交通学习小组展开了以下研究.如图1,经测量得人口=4项,为了确定与弧形拱半径的长

度，学习小组找到一根57n长的笔直杆子，将杆子一端置于点。处，另一端置于上点E处，AE=

1m.如图2,调整杆子位置，直至一端在4B上的点G处，另一端在圆弧上点尸处，FG±AB,GB=

1/n,如图3,某一集装箱大货车宽为2.4小，则该大货车的最大高度（包括货物）

压轴题型二

Sie技漆

1、圆的计算问题中，如果是角度相关计算或证明,则立刻联想圆周角与圆心角的相关

定理推论；

2、圆中最不缺的就是等腰三角形,所以圆的角度计算时，多想想有没有等边对等角，再

结合三角形内角和定理、对顶角相等等综合思考。

6.（2024•重庆）如图，是。。的弦，OC,交。。于点。，点。是。O上一点，连接RD,CD.

若/。=28°,则AOAB的度数为（）

;

A.28°B.34°C.56°D.62°

7.（2024-西藏）如图，AC为。。的直径，点。在。O上,ZABZ)=60°,CD=2,则AD的长为

)

D

A.2B.2V2C.2V3D.4

8.（2024-海南）如图，AD是半圆O的直径，点8、。在半圆上，且检=余=①，点P在历上，若

APCB=130°，则/.PBA等于（）

A.105°B.100°C.90°D.70°

9.（2024-陕西）如图，48为。O的直径，/=尬，乙4=53°,则的度数是.

10.（2024-长春）如图，是半圆的直径，人。是一条弦，。是正的中点，于点E,交入。于点

交人。于点G,连结AD.给出下面四个结论：

①乙4BD=N_DAC；

②AF=FG；

③当。G=2,GB=3时，FG=^^；

④当反）=2防，AB=6时，ADFG的面积是

上述结论中，正确结论的序号有.

5

11.（2024-包头）如图，AB是。。的直径，BC,是OO的两条弦，点。与点。在48的两侧，石是

OB上一点（OE>BE）,连接OC,CE,且ZBOC=2ZBCE.

⑴如图1,若BE=1,无=0,求。。的半径；

（2）如图2,若8。=2OE,求证：BD〃OC.（请用两种证法解答）

压轴题型三圄内接四边形

12.（2024•吉林）如图，四边形ABCD内接于。O.过点B作BE〃AD,交CD于点E.若/8EC=50°,

则/ZB。的度数是（）

A.50°B.100°C.130°D.150°•••

13.（2024•济宁）如图，分别延长圆内接四边形4BCD的两组对边，延长线相交于点E,F.若/E=

54°4Y,/9=43°19，,则乙4的度数为（）

A.42°B.41°20,C.41°D.40°20'

14.（2024•浙江）如图，在圆内接四边形4BCD中，/4DC</BAD,延长4D至点E,使AE

=/C,延长R4至点R,连结跳1,使ZAFE=ZADC.

（1）若乙4FE=60°,CD为直径，求乙48。的度数.

⑵求证:①EFV/BC；

②EF=BD.

F

AB

压轴题型四三角形的外接脚与外心

15.（多选）（2024・潍坊）如图，。。是△ABC的外接圆，AO〃BC,连接CO并延长交。O于点D.分别

以点A,C为圆心，以大于;AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M.直线OM交于点

)

C.ZAOD=ZBACD.四边形49CE为菱形

16.（2024-宜宾）如图，△ABC内接于◎O,BC为。O的直径，4D平分2BAC交©。于。，则

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

17.（2024•河南）如图，。O是边长为4V3的等边三角形ABC的外接圆，点。是丸的中点，连接BD,

CD.以点。为圆心，8。的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

c167r

A—B.4兀D.16兀

3

18.（2024-苏州）如图，△ABC中，=42，。为AB中点，NBAC=/BCD,cos/4DC=卒，QO

是A4CD的外接圆.

（1）求8。的长；

（2）求。。的半径.

压轴题型五切线的性质

19.（2024•扬州）如图，已知两条平行线为，点统是k上的定点，AB，为于点B，点。、。分别是"，，2上

的动点，且满足连接CD交线段于点E,CD于点H,则当/A4H最大时,

sin/R4H的值为

20.（2024.重庆）如图，4B是。O的直径，是©O的切线，点B为切点.连接AC交。。于点。，点

E是。O上一点，连接BE,0E,过点［作AF〃BE交8。的延长线于点尸.若8C=5,CD=3,ZF

=NAOE,则AB的长度是；DF的长度是

21.（2024•青岛）如图，ZVIBC中，=B。，以为直径的半圆O分别交AB,AC于点L>,E.过点E

作半圆O的切线，交AB于点交的延长线于点M若ON=10,cos乙4BC=称，则半径OC

5

的长为.

22.（2024-凉山州）如图，。M的圆心为M（4,0），半径为2,P是直线y=2+4上的一个动点，过点。作

。河的切线,切点为Q,则尸Q的最小值为.

•••

23.(2024-天津)已知△/OB中，AABO=30°,48为。。的弦，直线MN与。O相切于点C.

(I)如图①，若4B〃AW,直径CE与4B相交于点。，求乙408和/8CE的大小；

(II)如图②，若。B〃MN,。3,48,垂足为3,CG与08相交于点尸，O/=3,求线段O尸的长.

•M

压轴题型六切线的性质与判定的综合应用

1、圆的切线的判定，抓住本质--证垂直。故切线判定的问题，重要思想是：要证垂

直，先找垂直。即要证明的直角多是由题目中出现的其他垂直或互余关系转化得来

的。

2、切线的判定问题解决口诀:有切点,连半径，证垂直。

24.（2024•威海）如图，已知AB是。O的直径，点C,。在。。上，且BC=CD.点E是线段4B延长线

上一点，连接EC并延长交射线人。于点尸./9EG的平分线交射线AC于点H,ZH=45°.

（1）求证：即是。。的切线；

（2）若鹿=2,CE=4,求人户的长.

•••

25.（2024-雅安）如图，AB是。O的直径，点C是。O上的一点，点P是R4延长线上的一点，连接47,

ZPCA=ZB.

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）若sinZB=，求证：AC=AP-,

（3）若CDLAB于。，上4=4,口。=6,求40的长.

26.（2024•淮安）如图，在4ABC中，R4=及7,以4B为直径作。。交AC于点。,过点D作DE_LBC,

垂足为E,延长应交4B的延长线于点F

（1）求证：。斤为©O的切线；

（2）若8E=1,BF=3,求sin。的值.

27.（2024•遂宁）如图，AB是。。的直径，AC是一条弦，点。是衣的中点，ON_LAB于点E,交力C

于点F,连结「归交AC于点G.

（1）求证：AF=DF；

（2）延长GL>至点M,使DM=DG，连结AM.

①求证：AM是。O的切线；

②若L>G=6,DF=5,求。O的半径.

M

压轴题型七

28.（2024-包头）如图，在扇形4OB中，乙4OB=80°,半径。4=3,。是叁上一点，连接OC,D是OC

上一点，且连接若BDLOC,则念的长为（）

29.（2024•广安）如图，在等腰三角形ABC中，4B=AC=10,NC=70°,以AB为直径作半圆，与AC,

口。分别相交于点O,E,则庞的长度为（）

C

25兀

~9~

30.（2024•临夏州）如图，对折边长为2的正方形纸片4BCD,（W为折痕，以点。为圆心，OM为半径作

弧,分别交A。，于E,F两点，则防的长度为（结果保留兀）.

31.（2024-兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具,在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在

展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中。Af,ON的半径分别是1cm和10cm,当

©双顺时针转动3周时，。N上的点尸随之旋转K,则n=.

压轴题型八扇形面积的计算

32.（2024-泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若

半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（)

C.[■兀—V3

33.（2024•日照）如图,在菱形ABCD中，4B=2,=120°,点。是对角线AC的中点，以点。为圆心,

04长为半径作圆心角为60°的扇形OEF,点。在扇形OER内，则图中阴影部分的面积为（）

4C-f-JD.无法确定

34.（2024-重庆）如图,在矩形ABCD中，分别以点人和。为圆心，4。长为半径画弧，两弧有且仅有一个

公共点.若40=4,则图中阴影部分的面积为（）

A.32-87：B.16V3-47TC.32-4兀D.16四一8兀

35.（2024-乐山）如图，。。是△ABC的外接圆，AB为直径，过点。作。。的切线CD交R4延长线于

点。，点E为用上一点，且

（1）求证：DC//AE；

（2）若EF垂直平分OB,D4=3,求阴影部分的面积.

36.（2024-山东）如图，在四边形ABCD中，AD〃_BC,ADAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点A为圆

心，以AD为半径作应交于点E,以点口为圆心，以8E为半径作防所交8C于点尸,连接FD

交防于另一点G,连接CG.

（1）求证：CG为EF所在圆的切线；

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留兀）

AEB

压轴题型九IB雉的计算

37.（2024•广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径Z是5,则该圆锥的体

A.岂乎兀B.C.2娓RD.

oo3

38.（2024-呼和浩特）如图是平行四边形纸片48co,8。=36cm,ZA=110°,/BDC=50°,点、M为BC

的中点，若以“为圆心，MC为半径画弧交对角线8。于点N,则N7WC=度；将扇形MCN

纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为cm.

39.（2024•广东）综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

【实践探索】

（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明.

（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留兀）

压轴题型十三角的内切圄与内心

40.（2024-滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，

被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容

方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，以△ABC中，ZC=90°,

AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表

A.d=a+b—cB.d=2》

a+b+c

C.d=J2(c—Q)(c—b)D.d=|(Q—b)(c—fe)|

41.（2024.绵阳）如图，在矩形4BCD中，点E在48上运动，△4DE的内切圆与DE相切于点G,将

△ADE沿0E翻折，点4落在点尸处,连接BF.当点E恰为4B的三等分点（靠近点/）时，且EG=

7^—1,。3=7^+1,则8$/46斤=

42.（2024-内江）如图，在AABC中，ZABC=60°,=8,E是边上一点，且BE=2,点/是△ABC

的内心，的延长线交于点。，P是上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值为

43.（2024-烟台）如图，AB是。。的直径，ZVIBC内接于。O,点/为△ABC的内心，连接C7并延长交

。。于点。，E是就上任意一点，连接AD,RD,BE,CE.

⑴若/ABC=25°,求/CEB的度数；

（2）找出图中所有与。/相等的线段，并证明；

⑶若C7=2四，DZ=粤四，求△ABC的周长.

44.（2024-自贡）在电△ABC中，NC=90°,OO是△4BC的内切圆，切点分别为。，及F

（1）图1中三组相等的线段分别是CE=CR,AF=,BD=；若AC=3,BC=4,则©

O半径长为；

（2）如图2,延长到点河，使4M'=48,过