中考数学复习重难点与压轴题型训练：全等三角形旋转、一线三等角模型（学生版+解析）

专题07全等三角形旋转、一线三等角模型

方寸【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一全等三角形旋转模型】.............................................................1

【考向二全等三角形一线三等角模型】.......................................................6

【直击中考】

【考向一全等三角形旋转模型】

例题：（2022•山东荷泽・荷泽一中校考模拟预测）如图①，在AABC中，NA=90。，AB=AC,点。，E分

别在边AB,AC上，且=则CE=BD.现将VADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为

«（0°<«<180°）.如图②，连接CE,BD.

图③备用图

（1汝口图②，请直接写出CE与3D的数量关系.

⑵将VADE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与3。的数量关系和位置关系，并加以证明.

⑶在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，a=.（直接写出答案即可）

【变式训练】

一、选择题

1.（2022•重庆璧山・统考一模）如图,在正方形ABCD中,将边绕点8逆时针旋转至点BC,若ZCCD=90°,

CC=2,则线段2C'的长度为（）

5LL

A.2B.—C.D.

2.（2022•四川南充•模拟预测）如图，在中，NB4c=90。，AB=AC,直角NEP厂的顶点尸是3c

的中点，将NEP尸绕顶点P旋转，两边PE,Pb分别交AB,AC于点E,F.下列四个结论：①AE=CF；

②！PE尸是等腰直角三角形；③EF=AP；④S四边形的F=gs3c.在NEPF旋转过程中，上述四个结论

始终正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

3.（2022秋・全国•九年级专题练习）如图，在矩形ABC。中，DE平分/ADC交BC于点E,点F是CD边

上一点（不与点。重合）.点、P为DE上一动点、,PE<PD,将NDP尸绕点尸逆时针旋转90。后，角的两边

交射线于X,G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF坨DP;④

DPDE=DHDC,其中一定正确的是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

二、填空题

4.（2022广西贺州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AQAB为等腰三角形，OA=AB^5,点、B

到了轴的距离为4,若将z/MB绕点。逆时针旋转90。，得到△OA",则点E的坐标为

5.（2022・江苏无锡•模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，ADOE的直角顶点。在边BC的

中点处，其中NA=NOOE=90°,ZB=45。，"=60。，ADOE绕点。自由旋转，且OD,OE分别交AB,AC

于点"，N,当AN=4,NC=2时，MN的长为.

6.（2022•广东广州•统考中考真题）如图，在矩形ABC。中，8C=2AB,点P为边上的一个动点，线段

BP绕点8顺时针旋转60。得到线段BP',连接尸产，CP.当点P'落在边8C上时,HPP'C的度数为；

当线段CP的长度最小时，SPP'C的度数为

三、解答题

7.（2022•山东日照,校考二模）在AABC中，AB^AC,ZBAC=a,点尸为线段C4延长线上一动点，连接

PB,将线段尸8绕点尸逆时针旋转，旋转角为a,得到线段产。，连接08,DC.

⑴如图1,当》=60。时，①求证：PA=DC；②求/DCP的度数;

（2）如图2,当£=120。时，请直接写出出和。C的数量关系.

⑶当。=120。时，若A3=6,BP=y[3i,请直接写出点。到CP的距离为

8.（2022,河北保定•校考一模）如图1,等腰直角三角形ABC中，0A=9O°,AB=AC=\G^2an,D为AB

边上一点，取应ACO=g点尸由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接尸。，将尸。绕点。逆时

针旋转90。，得到线段。。，连接P。.

⑴填空：BC=,BD=；

⑵点尸运动几秒，。。最短；

（3）如图2,当。点运动到直线A8下方时，连接B。，若S/。。=8,求加砸8。0；

⑷在点P运动过程中，若&8尸。=15。，请直接写出8尸的长.

9.（2022秋•九年级单元测试）如图，正方形和正方形CEFG（其中8。＞2。£）,直线2G与DE交于

点H.

⑴如图1,当点G在C。上时，请直接写出线段5G与。E的数量关系和位置关系;

⑵将正方形CEFG绕点、C旋转一周.

①如图2,当点E在直线CD右侧时，求证：BH-DH=yf2CH;

②当SDEC=45。时，若48=3,CE=1,请直接写出线段。H的长.

10.(2022•全国•九年级专题练习)如图，在AABC与中,ZACB=/EDF=90°,BC=AC,ED=FD,

点。在AB上.

⑴如图1,若点/在AC的延长线上，连接A£,探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结

论；

(2)如图2,若点。与点A重合，且AC=30，DE=4,将ADE尸绕点。旋转，连接点G为跳'的中

3

点，连接CG,在旋转的过程中，求:CG+BG的最小值；

(3)如图3,若点。为的中点，连接即、CE交于点M,CE交AB于点、N,且8。:。£:腔=7:9:10,请

直接写出N窝D的值.

11.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）综合实践

问题情境

在图1所示的直角三角形纸片A3C中，。是斜边A2的中点.数学老师让同学们将绕中点。做图形的

旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系.

解决问题

（1）"实践小组"的同学们将AA5C以点。为中心按逆时针旋转,当点A的对应点A与C重合时，8C与它

的对应边BC'交于点O.他们发现：9C.请你帮助他们写出证明过程.

数学思考

（2）在图2的基础上，"实践小组"的同学们继续将AABC以点。为中心进行逆时针旋转，当的对应边

AZ'LAB时，设A0与3C交于点歹，B'C'与AB交于点E.他们认为£»+阳=47.他们的认识是否正

确？请说明理由.

再探发现

（3）解决完上面两个问题后，"实践小组”的同学们在图3中连接OD,他们认为。尸，上与。。也具有一

定的数量关系.请你写出这个数量关系.（不要求证明）

【考向二全等三角形一线三等角模型】

例题：（2023•全国•九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线DE上,

且/WM=/B4C=NAEC=90。，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一

线三等角"模型.

图1图2图3图4

应用：

⑴如图2,RtZsABC中，N/6F=90°,CB=。，直线ED经过点C,过A作AD_L£D于点D,过2作班,即

于点E.求证：^BEC^CDA.

（2）如图3,在“SC中，。是BC上一点，ACAD=90°,AC=AD,

/DBA=ADAB,AB=2也,求点C到AB边的距离.

（3）如图4,在YABCD中，E为边8C上的一点，尸为边上的一点.若

EF

ADEF=/B,AB=10,BE=6,求——的值.

【变式训练】

一、选择题

1.（2022秋•八年级课时练习）如图，在她BC中，A3=AC=9,点£在边AC上，AE的中垂线交8C于点。,

若M。£=团3,CD=3BD,则CE等于（）

9「9

A.3B.2C.D.-

42

二、解答题

2.（2022秋•广东惠州•八年级校考期中）如图1,ZACB=90,AC=BC,AD.LCE,BE±CE,垂足分别为

D,E.

⑵在其它条件不变的前提下，将CE所在直线变换到AABC的外部（如图2）,请你猜想AD,DE,BE三者

之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图3,将(1)中的条件改为：在AABC中，AC=BC,D,C,E三点在同一条直线上，并且有

NBEC=ZADC=NBCA=c,其中a为任意钝角，那么(2)中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若

不成立，请说明理由.

3.(2022秋•云南昭通•八年级校考期末)在AA5C中，ZACB=90。，AC=3C,直线MN经过点C,且

于。，BE1MN于■E.

MM

⑴当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AACD^ACEB；

②DE=AD+BE.

⑵当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD—BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD.BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

4.(2022秋•全国,八年级专题练习)已知，在AABC中，AB^AC,D,A,E三点都在直线机上，且

(2)如图②，判断并说明线段BD,CE与DE的数量关系；

(3)如图③，若只保持=3D=所=7。"，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点。向点E运

动，同时，点C在线段所上以.xcm/s的速度由点E向点歹运动，它们运动的时间为Ks).是否存在x,使

得△"£)与AE4c全等？若存在，求出相应的f的值；若不存在，请说明理由.

5.(2022秋•八年级课时练习)【问题解决】

(1)已知0ABe中，AB=AC,D,A,E三点都在直线/上，且有回8D4=0AEC=[38AC.如图①，当回54c=90。

时，线段DE,BD,3的数量关系为：；

【类比探究】

(2)如图②，在(1)的条件下，当0。＜配4。＜180。时，线段。E,BD,CE的数量关系是否变化，若不变，

请证明：若变化，写出它们的关系式；

【拓展应用】

(3)如图③，AC=BC,0ACB=9O。，点C的坐标为(-2,0),点B的坐标为(1,2),请求出点A的坐标.

专题07全等三角形旋转、一线三等角模型

行府【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一全等三角形旋转模型】.............................................................1

【考向二全等三角形一线三等角模型】.......................................................6

【直击中考】

【考向一全等三角形旋转模型】

例题：（2022•山东荷泽・荷泽一中校考模拟预测）如图①，在AABC中，ZA=90°,AB^AC,

点。，E分别在边A3,AC上，且=则CE=BD.现将VADE绕点A顺时针方向

旋转，旋转角为打（0°<a<180。）.如图②，连接CE,BD.

图③备用图

⑴如图②，请直接写出CE与3D的数量关系.

⑵将VADE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与3。的数量关系和位置关系，并加以证

明.

⑶在旋转的过程中，当△3CD的面积最大时，a=.（直接写出答案即可）

【答案】（l）CE=BD

（2）CE=BD,CE±BD,理由见解析

(3)135°

【分析】(1)利用SAS证明A4CE=AA8£>,可得结论；

(2)设BD与CE相交于点0,证明AACE三AABDGSAS),即可得到CE=BD,/ABD=NACE,

进一步得到NCOB=90°,即可得到结论.

(3)在△BCD中,边3c的长度为定值，当BC边上的高最大时，△BCD的面积最大，则

当点。在BC的垂直平分线上时，△BCD的面积最大，进一步求解即可得到旋转角的度数.

【详解】(1)CE=BD,理由如下：

ZCAB=ZEAD=90°,

Z.CAB-ZBAE=AEAD-ZBAE,

即ZCAE=ZBAD,

在AACE和AABD中，

AC=AB

<NCAE=ABAD,

AE=AD

.-.AACEsAABZXSAS),

CE=BD；

(2)CE=BD^CE±BD.理由如下:

0ZZME=ZBAC=9O°,

^ADAE+/EAB=ABAC+/EAB,

即。4B=NE4C,

^\AD=AE,AB=AC,

回2△E4C,

由CE=BD,ZABD=ZACE,

设3。与CE相交于点O,

图③

由/54C=90。可得：ZACE+ZOCB+ZCBA=90°,

SZABD+ZOCB+ZCBA^90°,

BZCOB=90°,

回CE_L&),

E1CE=3D且CE_L8£＞；

（3）在△BCD中，边BC的长度为定值，当3C边上的高最大时，△3CD的面积最大,

团当点。在BC的垂直平分线上时，△BCD的面积最大，

如图所示,

BAB^AC,ZCAB=90°,£>G_L3C于点G,

SZGAB=45°,

回/ZMB=180°-45°=135°,

即当△BCD的面积最大时，a=135。，

故答案为：135°

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直

平分线的性质等知识，证明二4c是解题的关键.

【变式训练】

一、选择题

1.（2022・重庆璧山•统考一模）如图,在正方形ABCD中,将边BC绕点8逆时针旋转至点BC,

若NCCD=90。，CC'=2,则线段3C'的长度为（）

5LL

A.2B.—C.V6D.y/5

【答案】D

【分析】根据旋转的性质，可知3c=3C.取点。为线段CC'的中点，并连接80.根

据等腰三角形三线合一的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，可证得丝RQ

CCD,从而证得OC=CD,BO=CC'，再利用勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，取点。为线段cC'的中点，并连接80.

D

匚

BC

依题意得，BC=BCr,

:.BO,LCC,

:.^BOC=9Q°,

在正方形ABCD中，

BC=CD,/BCD=90。,

・•.NOCB+NC'CD=9Q0,

又•：/CCD=90°,

.•./CDC+ZCCD=90°,

:.NOCB=NCDC,

在RMOBC和RSCCO中，

ZOCB=ACDC

<ZBOC=/CCD,

BC=CD

:.R^OBC短心△C'CD（AAS）,

:.BO=CC'=2,

:.OC=CD=-CC=1,

2

CC'=2OC=2x2=4,

在Rf^BOC中,

BC=^BO1+OC2=V22+l2=出■

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、

全等三角形的判定和性质及勾股定理的运用等知识，解题的关键是辅助线的添加.

2.（2022・四川南充•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=AC,直角NEP产

的顶点尸是BC的中点，将NE尸尸绕顶点尸旋转，两边PE,Pf分别交A3,AC于点E,b.下

列四个结论：①AE=CF；②！PEF是等腰直角三角形；③EF=AP；④

S四边形在NEPb旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）

A

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】根据等腰直角三角形的性质得：AP±BC,AP=^BC=PC,AP平分可

证==AP^PC,即证得VAPE与ACPF全等，根据全等三角形性

质判断结论是否正确.

【详解】解：回A3=ACZR4c=90。，直角NEPP的顶点P是BC的中点，

^\AP±BC,AP=-BC=PC,ZBAP=ZCAP=45°=ZC

2

0ZAPF+ZFPC=90°,ZAPF+ZAPE=90°,

^\ZFPC=ZEPA,

在△?!£尸与尸中，

'/EAP=NC

<AP=PC,

NAPE=ZFPC

0AAPE^ACPF（ASA）,

^\AE=CF,EP=PF,故①正确；

团！PEF是等腰直角三角形，故②正确；

团融。是等腰直角三角形，尸是3C的中点,

0AP=-BC,

2

团不一定是44BC的中位线，

回EF=AP不一定成立，故③错误；

团AAPE冬QF,

团S&AEP=S^CPF，

又回S四边形AEPF-SjEP+，

团S四边形他尸尸—^AAPC=^AABC，

WS四边形A£p/=；S%c，故④正确・

故选：D.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌

握等腰直角三角形的性质是解题的关键.

3.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，在矩形ABC。中，平分/ADC交8c于点E,

点尸是边上一点（不与点。重合）.点尸为DE上一动点，PE<PD,将/。尸尸绕点P

逆时针旋转90。后,角的两边交射线DA于H,G两点,有下列结论:①DH=DE；②DP=DG；

③DG+DFfDP;®DPDE=DHDC,其中一定正确的是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】D

【分析】根据旋转的性质判断得AGP"三ADPP(ASl),可判断③正确，证"DH〜ACDE

可判断④正确，从而得出结果.

【详解】解：根据旋转的性质可知，NDPH=NGPF=9。。,

平分/ADC,

回N7/DP=45。，

aZDHP=ZPDH=/PDF=45°,

0PH=PD,

fflZDPH=ZGPF=90°

®NGPH=/DPF

在AGP"和ADPF中，

ZGHP=ZFDP

0PH=PD

ZGPH=NDPF

团AGP”三ADPb(ASA)

SHG=DF

ElZPDH=45°

0DH=4iDP

^DF+DG=GH+DG=DH=yf2DP

故③正确；

EZ.PDH=/PDF=45°,ZDPH=ZDCE=90°

0APDH-ACDE

DHDP

团---=---

DECD

故④正确；

根据已知条件无法证明①£>%£>£,②DP=DG.

故选：D.

【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应

用是解题的关键.

二、填空题

4.（2022•广西贺州・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A。钻为等腰三角形，

（M=AB=5,点2到x轴的距离为4,若将AOAB绕点。逆时针旋转90。，得到△OAE,

则点8'的坐标为.

【分析】过8作于C,过夕作双〃了轴于O,构建=AO3C,即可得出答

案.

【详解】过2作于C,过"作BDLx轴于。，

团N2+N3=90°,

由旋转可知乙BOB'=90。，OB=OR,

E]Zl+Z2=90o,

0Z1=Z3,

SOB=OB,Z1=Z3,ZB'DO^ZBCO,

S\AOB'D=^OBC,

SB'D^OC,OD=BC=4,

0AB=AO=5,

0AC=VAB2-BC2=V52-42=3，

I3OC=8,

EB'D-8,

回£（-4,8）.

故答案为：（-4,8）.

【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三

角形求得线段长度是解题的关键.

5.（2022・江苏无锡•模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，ADOE的直角顶

点。在边BC的中点处，其中乙4=/。。£=90。,/3=45。，ZD=60°,应见绕点。自由旋

转，且。。，OE分别交AB,AC于点V,N,当AN=4,NC=2时，MN的长为.

【答案】2小

【分析】连接AO,证明AAOM丝ACONH&I）,得AM=NC=2,在利用勾股定理求出MN

的长即可.

【详解】如图，连接AO,

回由题意可知AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,。是边8C的中点

0Z5=ZC=45°,OA=OB=OC,AOIBC,ZBAO=ZCAO=-ZBAC=45°

2

0ZAON+ZCON=90°,ZBAO=ZC=45°

ISZDOE=90°,

ZAOD+ZAON=90°,

SZAOD^ZCON,

回AAOM均CON（AS4）,

SiAM=NC=2,

团在吊△AMN中，由勾股定理得：MN2=AM2+AN2,

QMNAAM2+AN?=@+42=2后，

故答案为：2后.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，和勾股定理，正确作出辅助线是

解答本题的关键.

6.（2022・广东广州•统考中考真题）如图，在矩形ABC。中，BC=2AB,点P为边上的一

个动点，线段8尸绕点2顺时针旋转60。得到线段2P,连接PP,CP'.当点P落在边BC

【答案】1200##120度75°##75度

【分析】由旋转性质及旋转角知回2尸尸,为等边三角形，得到回尸尸3=60。；当点尸，落在边2C

上时，0PP,C=18OO-EPP'S=12O°；将线段BA绕点B逆时针旋转60。后点A落在点E,连接BE,

得至l]0ABPa3E2P（SAS）,再证明0ABp为等腰直角三角形，进而得到MPB=0APB=45°,

最后当于H时，CP有最小值，由此可以求出EIPPC=I3EPC-EI£PP=9O<M5<）=75。.

【详解】解：由线段绕点B顺时针旋转60。得到线段可知，贴PP为等边三角形，

aapp'8=60°,

当点尸,落在边BC上时，SPP'C=18O°-0PP,5=180°-60°=120°；

将线段8A绕点B逆时针旋转60。，点A落在点E,连接8E,设EP交BC于G点，如下图

所示：

APD

贝U0AB尸=0ABE-[3PBE=6O°-EIP8E,SEBP'=^PBP'-^PBE=60°-^PBE,

00ABP=0£BPz,

MBA=BE,BP=BP',

^iABP^EBP'(SAS),

SAP=EP',曲她=90°,

由点P落在边BC上时，回尸产'。=120。可知，EIEGC=120°,

00CGP,=0EGB=180°-l20°=60°,

EHEBG与EIPCG均为30。、60。、90。直角三角形，

设EG=x,BC=2y,

IjllJBG=2EG=2x,CG=BC-BG=2y-2x,GP'=^CG=y-x,

SEP'=EG+GP'=x+(y-x)=y=1BC,

又已知AB=IBC,

SEP1=AB,

又由MBPEBEBP'知：AP=EP',

^AB=AP,

瓯ABP为等腰直角三角形，

EBEP8=0APB=45°,EIEP'P=60°-EIEP'8=60°-45°=15°,

当CPISEF于"时，C尸有最小值，

此时团PPC=I3EP'C-I3EP'P=9O°-15°=75°,

故答案为：120°,75°.

【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质及等腰三角形的性质，

属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键.

三、解答题

7.(2022•山东日照•校考二模)在AABC中，AB^AC,/BAC=a，点尸为线段C4延长线

上一动点，连接收，将线段PB绕点尸逆时针旋转，旋转角为。，得到线段PD,连接D8,

DC.

⑴如图1,当夕=60。时，①求证：PA=DC；②求/OCP的度数；

(2汝口图2,当&=120。时，请直接写出上4和。C的数量关系.

⑶当＜=120。时，若AB=6,BP=后,请直接写出点。到CP的距离为

【答案】⑴①见解析；②60。；

(2)CD=XPA；

⑶乎或平.

【分析】(1)①证明△PB/gADBC(SAS)可得结论.②利用全等三角形的性质解决问题即

可.

(2)证明ACBZ3AABP,可得色2="=若解决问题.

PAAB

(3)分两种情形，解直角三角形求出8即可解决问题.

【详解】(1)①证明：如图1中，

图1

•••将线段依绕点?逆时针旋转，旋转角为。，得到线段尸

:・PB=PD,

・.・AB=AC,PB=PD,NBAC=NBPD=60。,

/.AABC,AP&)是等边三角形，

:.ZABC=ZPBD=60°,

・・/PBA=/DBC,

・.・BP=BD,BA=BC,

/.APBA^ADBC(SAS),

:.PA=DC.

②解：如图1中，设8。交尸C于点0.

•3BA/^DBC,

:.NBPA=NBDC,

-,-ZBOP=ZCOD,

ZOBP=ZOCD=60°,即ZDCP=60°.

(2)解：结论：CD=6PA.

理由：如图2中，

■.■AB=AC,PB=PD,NBAC=NBPD=120°,

BC=2AB-cos30°=y/3BA,BD=28P-cos30°=eBP,

尸①s

BABP

・・•ZABC=/PBD=30。,

:.ZABP=ZCBD,

：^CBD^\ABP,

・•・乌=空=6

PAAB

CD=6PA.

(3)过点。作。M_LPC于M,过点8作BN_LCP交CP的延长线于N.

如图3-1中，当AP胡是钝角三角形时，

在用AABN中，,.•”=90。，AB=6,ZBAN=60°,

AN=AB-cos60°=3,BN=AB-sin60°=36，

PN=\/PB2-BN2=V31-27=2，

:.PA=3-2=1,

由(2)可知，CD=y/3PA=s/3,

ZBPA=/BDC,

:.ZDCA=ZPBD=30°,

•.DM工PC,

:.DM=-CD=—

22

如图3-2中，当AAB尸是锐角三角形时，同法可得PA=2+3=5,CD=5y[3,DM=-CD=^-,

22

图3-2

综上所述，满足条件的DM的值为3或现.

22

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学

会用分类讨论的思想思考问题注意一题多解.

8.(2022•河北保定•校考一模)如图1,等腰直角三角形ABC中，0A=90。，AB=AC=10夜

cm,。为AB边上一点，加碱ACO=g,点尸由C点出发，以2cMs的速度向终点2运动，

连接PD,将尸。绕点。逆时针旋转90。，得到线段。。连接尸。.

OZZ/I

BDABE^DA

o1^

图1

(1)填空：BC=,BD=；

⑵点尸运动几秒，。。最短；

(3)如图2,当Q点运动到直线A8下方时，连接8。，若以8。。=8,求切龙2。0；

⑷在点P运动过程中，若&8尸。=15。，请直接写出8尸的长.

【答案】⑴20CTO,8枝cm

⑵4秒

(3)7

件…或8+半

【分析】(1)利用勾股定理求出BC,利用三角函数求出AD,即可得到BD；

(2)当尸。回BC时，尸。最短，即。。最短，利用面积求出产£),即可得到运动时间；

(3)分别过点。、尸作的垂线，垂足分别为点G,H,证明aOGQ[3aPHD,推出QG=DH,

DG=PH,利用面积求出。乐。G=75,求出。G即可求出结果；

(4)过点。作功于点M,贝|河。=知3=券8。=8,分两种情况，①当点。在BC左

侧时，得回=30°,求出即可；②当点。在8C右侧时，得到回BPD=60°,求出PM

即可.

(1)

解：团等腰直角三角形ABC中，0A=9O°,AB=AC=10y/2cm,

0BC=及AB=20cm,

团口施4c£>=—,

ADAD1

回就=标=?,

解得Ar>=20c〃3

SBD=AB-AD=8y/2cm,

故答案为：20cm,8叵cm；

(2)

如图，当PDEIBC时，PD最短,即。。最短，

回Snrn=-2B2CPD=-BDAC,

回20P£)=8&x100，

得尸。=8,

团点尸运动8+2=4秒，

回点尸运动4秒时3。最短；

(3)

分别过点。、尸作AB的垂线，垂足分别为点G,H,则BH=PH,SiQGD=SPHD=90°,

EBQDG+SDQG=90°,SQDG+SPDH=90°,

^\DQG=BPDH,

又EPD=QD,

BSDGQSEPHD,

SQG-DH,DG=PH,

回SABD2=；8DQG=8,20=8五,

回DH=QG=母,

SDG=PH=BH=BD-DH=7直,

QGJ

团tan/BDQ=

DG-7

(4)

过点。作DMSBC于点M,则MD=MB=叵

BD=8,

2

分两种情况,

①当点。在BC左侧时，如图(1),

由题意知回。尸0=45。,

又国BPQ=15°,

团团3尸。二30。，

团尸M二后Af£)=8若，

^\BP=BM+PM=S+8^;

②当点。在BC右侧时，如图(2),

瓯。尸£)=45°,BPQ^15°,

SEBPD=60°,

SPM=^MD=^~,

33

^BP=BM+PM=S+^-；

3

故2尸的长度为8+8档或8+如叵.

3

【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，垂

线段最短的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及掌握锐角三角函数是解题的关键.

9.(2022秋•九年级单元测试)如图，正方形A8CZ)和正方形CEFG(其中3ZA2CE),直线

BG与DE交于点、H.

⑴如图1,当点G在C。上时，请直接写出线段8G与DE的数量关系和位置关系;

⑵将正方形CEFG绕点C旋转一周.

①如图2,当点£在直线C£)右侧时，求证：BH-DH=^2CH;

②当SDEC=45。时，若AB=3,CE=1,请直接写出线段。H的长.

【答案】⑴BG=DE,BGBDE

(2)①见解析；②后+二或后一企

22

【分析】(1)证明△BCGEIADCE可得结论；

(2)①在线段8G上截取BK=DH,连接CK.证明ABC相］△£>CH(S4S),推出CK=CH,^BCK

=SDCH,推出AKC”是等腰直角三角形，即可解决问题；

②分两种情形：当。，G,E三点共线时SDEC=45。，连接BD；和当。，H,E三点共线时

SDEC=45。，连接8D,分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题.

(1)

解：BG=DE,BG^DE,理由如下：

回四边形ABC。和四边形CE尸G都为正方形，

回8C=C£),回BCG=回。CE=90°,CG=CE,

0ABCG0A£)CE(&4S),

BBG=DE,SCBG=SCDE.

EEICDE+0r)EC=9Oo,

00HBE+0B£//=9O°,

^\BHD=90°,即3GJ_r)E.

综上可知BG和OE的关系为BG=且3G，DE.

故答案为：BG二DE且BGLDE；

(2)

①证明：如图，在线段2G上截取连接CK.

回四边形ABC。和四边形CE/G都为正方形，

BBC=CD,EBCD=EGCE=90°,CG=CE,

aS2CG=回。CE,

B^BCGS^DCE(SAS),

S^CBK^SCDH,

^BK=DH,BC=DC,

^EBCKSEDCH(SAS),

SCK=CH,国BCK=0DCH,

^BCK+SKCD=^\DCH+^KCD,即回KC"=0BCD=9O",

03KCH是等腰直角三角形，

0HK=^CH，

^BH-DH=BH-BK=KH=42CH;

②如图，当D,G,E三点共线时aDEC=45。，连接BD

由（1）同样的方法可知，BH=DE,

团四边形CEFG为正方形

SCE=CH=1,

0EH=s/2CH=V2.

0AB=3,

@BD=6AB=36，

设DH=x,贝ljBH=£)E=x+0，

在R/fflB。，中，BH2+DH2=BD2，即(x+&)2+/=(30)2,

解得：%="且，X?=*母（舍）

故此时以=乎

如图，当H,£重合时,0D£C=45°,连接

SiBG=DH,

®BH=DH-HG=x-五,

在中，BH2+DH2=BD2,即(x-应>+/=(3底了

解得：%尸6,甘一丹也(舍)

故此时DH=后+>；

2

综上所述，满足条件的DH的值为乒质或扃+也.

22

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论

的思想思考问题是解题的关键.

10.(2022•全国•九年级专题练习)如图，在AABC与ADEF中，ZACB=NEDF=90°,

3c=AC,£D=fZ),点。在A3上.

(1汝口图1,若点/在AC的延长线上，连接AE,探究线段反、AE、AO之间的数量关系,

并证明你的结论；

⑵如图2,若点。与点A重合，且AC=3应，DE=4,将卯绕点。旋转，连接3尸，

3

点G为防的中点，连接CG,在旋转的过程中，求=CG+BG的最小值；

(3)如图3,若点。为的中点，连接3八CE交于点M,CE交AB于点N,且

ND

BC:DE:ME=79.10,请直接写出一的值.

【答案】（1）AE+0AO=AF，证明见解析

（2）|CG+BG的最小值是=与

⑶5近一用

【分析】（1）过/作于过E作£015于3,结合K字型全等，等腰直角三

角形，四点共圆即可得到答案；

4

（2）第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取A3的中点。，连接。G,在。8上取O»=g,连

接GH,构建相似，转化线段即可得到答案；

（3）过点C作跳'平行线，点P作3C平行线交于点G；过点G作于点H,过点

K作KZ_LFG,证明△BDF'ZACDE,设BC=7t,则DE=9f,ME=\Qt,结合勾股定理、

相似三角形及解直角三角形的知识进行计算.

【详解】（1）解：（1）线段”、AE,AD之间的数量关系：AE+y/2AD=AF证明如下：

过/作FH_LAB于"，过E作EG_LAB于G,如图：

0FH±AB,EG±AB,NEDF=90°,

0ZFHD=ZDGE=90°,ZFDH=90°-ZEDG=ZDEG,

又回D尸=DE,

⑦AFHD^ADGE(AAS),

SFH^DG^AD+AG,

回ZACB=ZEDF=90°,BC=AC,ED=FD,

©NFAB=NFED=45。,

回点八D、A、E四点共圆，

^\ZFAE=ZFDE=90°,/EAG=NDFE=45。,

^]FH±AB,EG±AB,ABAC=45°,

回和4G为等腰直角三角形，

©AF=-jiFH，AE=y/2AG-

0AF=V2(AD+AG)=应AD+&AG=①AD+AE；

4

(2)取A3的中点。，连接。G,在。8上取=连接GH,如图:

回G为防的中点，。为A3中点,

回0G是△ABF的中位线，

^OG=-AF=-DF=-DE=2,

222

团AC=30，

^\AB=y[2AC=6,OB=-AB=3,

2

4

2

ffijOH=3=，

~OG~1~3

OGOH

0一=

OBOG

又/HOG=/GOB,

0A//OG0°AGOB,

HGOG2

回——二

BGOB3

^\HG=-BG

3f

3CG+2BG=3CG+HG

团一CG+BG=l[|jl^^，

232

3

要使］CG+5G的最小，需。G+HG最小，

333

团当H、G、C二点共线时，^CG+BG的最小，；CG+5G的最小值是jC”，如图:

zz乙

^\OC=-AB=3,OH=-f

SCH=y/OH2+OC2=—,

3

回。CG+BG的最小值是301=，叵=叵.

22232

(3)过点C作防平行线，点f作BC平行线交于点G；过点G作G"，BF于点H,过点

K作KZ_LPG,如图：

a/BDC=/FDE=90°,

0ZBDC+ZCDF=ZFDE+ZCDF,即=/CDE,

又S1CD=BDDE=DF,

EIA5DF^ACDE（SAS）,

SBF=CE,ZDEC=ZDFB,

0ZDEC+Z.DPE=90°,NDPE=ZMPF,

SZDFB+ZMPF=90°,

SZFME=90°

由3C:DE:ME=7:9:10,设BC=7/,则DE=9r,ME^lOt■,

©EF=®DE=9®

^\CG//BF,FG//BC,

回四边形BFGC为平行四边形，

BCE=BF=CG,NECG=NFME=90°,

回AECG为等腰直角三角形，

回NCGE=45°=NGKW,

回△GKH为等腰直角三角形,

GEFGBCr-EFr-

团=Jr2,=----=<2,=<2,

CECDCDDE

GEFGEF

团——=

CECD~^E

回ACDES^GFE,

国NDCE=NFGE,

团——=sinZDCE=sinZFGE；

CN

RtZkMF石中，MF=y/EF2-ME2=762^

^FK=MK-MF=ME-MF=g—庖t,FG=BC=7t,

设NG"/=a,ZKGI=ZNCD=J3,

,GH.KIDN

团sma=,smpn=----=

FGKGCN

RtAFKI中，sina=----,

FK

BKI=FKsina=FK——,

FG

KG

®KI=FK•显FEKG,

FG6FG

FKKG

团.AK/正FGFK10,一扃5V2-V31

sinB=----=--------=—f=——=——产----=----------

KGKG近FGy/2-lt7

/D572-731

团---=---------.

CN7

【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角

形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用

与转化能力要求很高，难度较大，属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或

相似三角形.

11.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）综合实践

问题情境

在图1所示的直角三角形纸片ABC中，。是斜边AB的中点.数学老师让同学们将AABC绕

中点。做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系.

解决问题

（1）"实践小组"的同学们将AABC以点。为中心按逆时针旋转，当点A的对应点A与C重

合时，BC与它的对应边B'C'交于点O.他们发现：