直线、平面垂直的判定与性质（原卷版）

专题31直线、平面垂直的判定与性质

【考点预测】

知识点1：直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一1

个平面内的两条相a,bua

a.LI

判断定理交直线都垂直，则>n/_La

b-Ll

该直线与此平面垂acb=P

直

两个平面垂

直，则在一个平面a，0

面_1面n线±ac(3=a

内垂直于交线的直>=>Z?_La

面bu0

线与另一个平面垂7bLa

直

一条直线与两-CI

£

平行平面中的一个

平行与垂直的a11/3

平面垂直，则该直/>=>aJ3

关系aLa

线与另一个平面也

垂直

两平行直线中ab

平行与垂直的有一条与平面垂allb

>n。_La

关系直，则另一条直线—aLa

与该平面也垂直

知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

abalia

垂直于同一平面aufi>=>〃//

性质定理

的两条直线平行ac/3=b

文字语言图形语言符号语言

-a

垂直于同一

垂直与平行的a-La]八

直线的两个平面\na11/3

关系

平行

如果一条直

线垂直于一个平

线垂直于面的

面，则该直线与平/_L%auan/_La

性质

面内所有直线都二J

垂直

知识点4：平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ac£=CD,CO_Ly,且tzc/==,则aJ_6）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过bLa]

}=a_L夕

另一个平面的垂

线，则这两个平面

垂直

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

【方法技巧与总结】

判定定理,判定定理)

线上线'性质定理线上面,性质定理面,面

(1)证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(a_La/utzna_L6)；

⑦平行线垂直直线的传递性Qa1c,alIbnb1c).

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(a_L》,a_Lc,cu(z,Z?utz,bcc=P=>a_L6z)；

③面面垂直的性质(a1/3,ac/3=b,a1b,aua=a1/3)；

平行线垂直平面的传递性(a1a,bllanbla)；

⑤面面垂直的性质(aLy,ac0=l=l

(3)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(aJ_p,aue=>a_1_/).

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位

置.

判面

色口^—丽一^面〃面J

广、判定子”一告判定/—、

（线_1线►（线，面面，面）

J性质7J性质＜5J

【题型归纳目录】

题型一：垂直性质的简单判定

题型二：证明线线垂直

题型三：证明线面垂直

题型四：证明面面垂直

【典例例题】

题型一：垂直性质的简单判定

例1.（2022•江西高三阶段练习（理））如图，在四面体A3CO中，ABLCD,AB=CD=1,BD=C，

BC=AD=6,则四面体中存在面面垂直关系的对数为（）

A

C

A.2B.3C.4D.5

例2.（2023•全国•高三专题练习）已知4,'是平面a内的两条直线，/是空间的一条直线，则

是“/口且/_L4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（2022•安徽省舒城中学三模（理））设小，〃是不同的直线，«,B,7是不同的平面，则下面

说法正确的是（）

A.若aly,则，///

B.若。_L/,mlla,则机_L£

C.若ml1/3,则

D.若mHn,"ua,则”〃//

例4.（2022・全国•高三专题练习（理））已知0是正方体ABC。-A4GR的中心。关于平面ABCR的

对称点，则下列说法中正确的是（)

A.0cl与是异面直线B.01G〃平面A3CA

C.QQ±ADD.。1G_L平面BDD}B[

例5.（2023•全国•高三专题练习（文））如图，正方体ABC£>-A4GQ中，尸是4。的中点，则下列说

法正确的是（）

A.直线PB与直线4。垂直，直线P3〃平面

B.直线PB与直线2c平行，直线尸3_）_平面a。。

C.直线PB与直线AC异面，直线尸3_1_平面ADC4

D.直线PB与直线耳2相交，直线PBu平面ABG

例6.（2021•浙江•高三专题练习）设修，”是两条不同的直线，a,6是两个不同的平面，则下列说法正

确的是（)

A.若"z_L",n//a,贝!I

B.若m〃B，§La,则"z_l_a

C.若rri-Lf）,n.L/3,”J_a,则〃z_La

D.若nL/3,「_La,贝！|"z_La

例7.（2022・四川•模拟预测（文））已知夕,夕是两个不同的平面，/,机是两条不同的直线，有如下四个

命题：

①若贝;I/〃1；②若m工B，l〃m,lua,则a_L/7；

③若a〃dm工a,lu0,贝iJ/_L加；④若afl/?=,贝i]/〃加.

其中所有真命题的序号是（）

A.①③B.②③C.①②③D.②③④

【方法技巧与总结】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

题型二：证明线线垂直

例8.（2023・全国•高三专题练习）如图，已知A3CD和CDEb都是直角梯形，AB//DC,DCHEF,AB=5,

OC=3,EF=\,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸—OC—3的平面角为60。.设M,N分别为的中

点.证明：FNLAD

例9.（2022・上海松江.二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，24,平面ABCD,

PA=AD=1,AB=6,尸是PD的中点，点E在棱C。上.

（1）求四棱锥尸-ABCD的全面积;

(2)求证：PE±AF.

例10.（2023•全国•高三专题练习）已知空间几何体ABCDE中，"（刀与均为等边三角形，平面

ACD_L平面ABC,8C=6,BE=屈,■DE=6,■DE〃平面^BC.求证：AC±BD.

例11.（2022•黑龙江・哈九中三模（文））如图，在三棱柱ABC-A耳G中，CCJ平面ABC,AC±BC,

AC=BC=2,CG=4,点。，E分别在棱AA和棱CG上，且AD=1,CE=3,/为棱A瓦的中点.

（1）求证：GM1B}D；

（2）求三棱锥4-OE4的体积.

例12.（2022.全国•高三专题练习）如图，已知直三棱柱ABC-AB|G，0,M,N分别为线段3C,,

8片的中点，P为线段AG上的动点，M=16,AC=8.

若AO=；BC,试证GNLCM；

例13.（2022・全国•高三专题练习）如图，四棱锥P—ABC。的底面ABC。是边长为2的正方形，B4=

PB=3.

例14.（2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A4G中，平面A3C_L平面

AA^B,AC^BC,四边形是边长为2的菱形，ZBA4,=60°.

例15.（2022.浙江.模拟预测）己知梯形A5CD,AB〃CD,现将梯形沿对角线AC向上折叠，连接80,

问：

若折叠前不垂直于AC,则在折叠过程中是否能使3。LAC?请给出证明;

例16.（2021・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABC。是矩形，AB=2,BC=a,

PA_L底面ABCD.

（1）当。为何值时，平面PAC?证明你的结论；

（2）若在3C边上至少存在一点使PA/_LDM,求。的取值范围.

【方法技巧与总结】

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面n勾股定理（题目中线段数据多）

证明（1Z先看两直线位置关系

2其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

异面n考虑用线面垂直推导异面垂直n找重垂线n在重垂线对应平面内找垂直

题型三：证明线面垂直

例17.（2021・全国•高三专题练习（理））如图，三棱柱ABC—A/B/G的侧面8CC/S是平行四边形,

BCiXCiC,平面4GCA，平面BCCiBi,且E,F分别是BC,A/B/的中点.

（1）求证：BCi±A]C；

（2）求证：EF〃平面A/GCA；

AP

（3）在线段A8上是否存在点尸,使得平面若存在,求出肉的值；若不存在‘请说明理

由.

例18.（2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测）如图，圆台下底面圆。的直径为AB,C是圆。上异

于A,8的点，且ZBAC=30。，MN为上底面圆O'的一条直径，AM4C是边长为2代的等边三角形，MB=4.

M

A

证明：BC_L平面肱IC；

例19.（2022・广东深圳•高三阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A4cl中，平面4BC,ZABC=—,

且42=琥=244,,/为棱AG的中点.

求证：BM_L平面

例20.（2023・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥尸—ABCD中，AB=BC=1,DC=2,PD=PC,

ZDPC=90°,ZDCB=ZCBA=90°,平面PDCJ_平面ABCD.证明：PD_L平面BBC

例21.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABC。为矩形，平面

ABC。，点E在线段PC上，PC_L平面BOE.证明：B£）_L平面P4C

BC

例22.（2022•四川成都・高三阶段练习（文））如图，在三棱锥P-ABC中，已知24,平面ABC,ABAC=90°,

。为PC上一点，MPC=3PD.

（1）若E为AC的中点，求三棱锥P-ABC与三棱锥8-A£E）的体积之比;

（2）若R4=2,AC=2叵,证明：PC,平面ABD

例23.（2022・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥A-BCZ组中，四边形BCDE为菱形，AB=AD=3,

BD=2^3,AE=AC,点G是棱A8上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点.

（1）证明：。尸〃平面CEG；

（2）点H为线段BO上一点，设丽，前，若平面CEG,试确定f的值.

例24.（2022•江西宜春•模拟预测（文））如图所示的五面体ABCD跖中，平面CDEF，平面A3CD,

四边形COEF为正方形，AB//CD,ZADC=ZBCD=nO°,AB=2AD.

（1）求证：8。_L平面ADE；

（2）若AD=1,求多面体ABCDE产的体积.

例25.（2021•全国•模拟预测（文））如图，在正方体中，ADl^AiD=E,CDI^C1D=F.

[//

AB

（1）求证：EF±BD；

（2）在线段5G上，是否存在点a,使得平面血？并说明理由.

例26.（2022•江西九江•三模（理））如图1,矩形PABC中，PC=30PA=^6,D为PC上■点且

CD=2DP.现将沿着AD折起，使得PD^LBD,得到的图形如图2.

例27.（2023・全国•高三专题练习（理））如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,

PA=PB=PC=AC=2近,。为AC的中点.

证明：PO_L平面ABC；

例28.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD,底面A3CD为梯形，且8C=!AO,3C〃AD,

2

等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABC。，BC±PD.求证：3CJ_平面PCD；

例29.（2022.全国•高三专题练习）在平行四边形ABCD中AB=6,JBC=4,过A点作8的垂线交C。的

延长线于点E,AE=2书.连接£B交AD于点尸，如图1,将AADE沿AD折起，使得点E到达点P的位

置.如图2.证明：直线AD_L平面加P.

图1

例30.（2022•全国•高三专题练习）如图，四棱锥3-AEDC中，平面皿）CL平面ABC,尸为BC的中

点，尸为3D的中点，且AE//DC,ZACD=90°,DC=AC=AB=2AE.证明：EP_L平面3a>

例31.（2023•全国•高三专题练习）已知边长为2的等边AABC（图1）,点。和点£分别是边AC,AB

上的中点，将△ABC沿直线DE折到&NDE的位置，使得平面ADE，平面BCDE,点、。和点尸分别是边

DE,BE的中点（图2）.证明：CD_L平面A'OP

A

A'

图1图2

【方法技巧与总结】

垂直关系中线面垂直是重点.

，①垂直两条相交线；

②垂直里面作垂线；

线垂面哪里找4

③直（正）棱柱的侧棱是垂线；

、④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.

[①垂直面里所有线（证线线垂直）；

线垂面有何用[s②过垂线作垂面（证面面垂直）.

证明线面垂直常用两种方法.

方法一：线面垂直的判定.

线线垂直二线面垂直，符号表示为：a±b,a±c,b（z,a,c（^a,bryc-P,那么a_La.

方法二：面面垂直的性质.

面面垂直二线面垂直，符号表示为：aLj3,a^j3^b,a^a,aLb,那么a_L，.

题型四：证明面面垂直

例32.（2022.全国•高三专题练习）如图，四棱锥尸-ABC。的底面是平行四边形，必，平面ABC，

AB=1,BC=C,ZABC=-.求证：平面PCD_L平面B4C；

4

例33.(2022•全国•高三专题练习)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，/为棱AC的中点，AB=BC,

I-uiy

AC=2,AAt=sf2.在棱B耳上是否存在点N,使得平面AQN，平面的CQ?如果存在，求此时试的

值；如果不存在，请说明理由.

例34.(2020•全国•高三专题练习)如图，在直三棱柱ABC-A用G中，M为棱AC的中点，AB=BC,

AC=2,A4,=72.

(1)求证：与C〃平面ABM；

(2)求证：AG，平面ABM；

BN

(3)在棱2四上是否存在点N,使得平面AGNL平面AAGC?如果存在，求此时q的值；如果不

存在，请说明理由.

例35.(2022•青海・海东市第一中学模拟预测(文))如图，在三棱柱ABC-A与G中,

AC=M=2AB=2AC=23C=4,/BA4t=60°.

（1）证明：平面ABC_L平面A41MB.

（2）设尸是棱CG上一点，且CP=2PG，求三棱锥尸耳G体积.

例36.（2022・安徽合肥・二模（理））如图，在矩形ABC。中，AB^2AD,点M为边A8的中点.以CM

jr

为折痕把5cM折起，使点8到达点P的位置，使得=连结R4,PB,PD.

证明：平面PMC_L平面AMCD；

例37.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，四棱锥尸A3CD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=^2,

AD=2,PA=PD=#,E,尸分别是棱AD,尸C的中点，二面角尸一AD—3为60。.

证明：平面尸3C_L平面ABCO

例38.（2022.全国•高三专题练习）如图所示,在斜三棱柱A^G-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC,

侧面底面ABC.

（1）若。是3C的中点，求证：AD±CCl；

（2）过侧面的对角线8C的平面交侧棱于M,若4W=MA，求证：截面MBG，侧面2片。夕.

例39.（2022•云南师大附中模拟预测（理））如图，已知四棱台ABC。-A与GR的底面是矩形，平面

DCCR_L平面ABCD,DD,±CD,M为A3的中点，且MC_LBD1.

证明：平面片MCL平面

例40.（2022・浙江•三模）如图，四面体ABCD的棱ABi平面a,CZ）=&3,

AB=AC=AD=3,cosZ.BAC=cosZ.BAD=—,

3

证明：平面ABCJ■平面ABO；

例41.（2022・全国•高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC-AB|G中，AB=BC=AAl=3,AC=36

尸为棱B片上一点，BF=T,连接ARQF.

G

证明：平面AC/，平面BCG用；

【方法技巧与总结】

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直二面面垂直）.证明时，先从现有的直线中寻找平

面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.

【过关测试】

一、单选题

1.若。和a分别为空间中的直线和平面，则是垂直a内无数条直线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.数学试题）现有边长为力的正四面体O-ABC,其中点M为△BCD的重心，点N,”分别为。0,

AN中点.下列说法正确的有（）

A.AN1DMB.HM=-C.HM=—D.HM//AB

42

3.设小，〃是空间两条不同直线，a,夕是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（）

A.当切/〃时，“〃_La”是“77，尸”的充分不必要条件

B.当“zua时，“机，£”是“al/3”的充分不必要条件

C.当根ua时，“nlla”是“mlln”的必要不充分条件

。.当C尸时，“mlla”是“汕甲”的必要不充分条件

4.数学试题）设a,4是两个不同的平面，力，“，/为三条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若<z_L〃，a^\（3=n,mua,n±m,则

B.若n//a,ILm,/_L〃，贝!J/_La

C.若mu/3,ziua,a±/7,则

D.若nL[3,a//（3,则〃

5.设a,夕，7是互不重合的平面，m,w是互不重合的直线，给出下面四个命题：

①若a，？，八丫,则a〃尸；②若根，£,m，/3,则a〃分；

③若〃?〃,nLa,则〃?〃〃；④若■尸，ac0=m,n±m,则〃_L尸.

其中所有正确命题的序号是（）

A.①②B.②C.@D.②③

6.在三棱锥S-ABC中.作SO_L平面ABC,垂足为0.

①若三条侧棱&ISB、SC与底面ABC所成的角相等，则。是AABC的（）心；

②若三个侧面&4&SBC、SaL与底面ABC所成的二面角相等，则。是AABC的（）心：

③若三组对棱9与3C,SB与C4,SC与A8中有两组互相垂直，则。是AABC的（）心

以上三个空依次填（）

A.外，垂，内B.内，外，垂C.垂，内，外D.外，内，垂

7.棱长为2的正方体ABCO-A用G2中，E，尸分别是棱8C,CR的中点，下列命题中错误的是（）

A.EF=娓B.〃平面BBQQ

C.£尸，平面MCD.四面体的体积等于g

8.试题）p为正方体A8C。-A瓦GA对角线82上的一点，且22=48。（几€（0,1））,下面结论不正确

的是（）

A.AO_LGPB.若平面E4C,贝！M=g

C.若△B4C为钝角三角形，则2<0,£|D.若则△P4C为锐角三角形

二、多选题

9.若/，皿〃是互不相同的空间直线，/£是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（）

A.若alIB，llla,nl10,贝!J///〃B.若a【P，lua,贝!J/_L分

C.若/_L〃,根_L〃，则/〃加D.若/_La,/〃4，则a_L£

10.试题）如图所示，已知四边形ABC。是由一个等腰直角三角形A5C和一个有一内角为30。的直角

三角形AC0拼接而成，将△ACO绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（）

B

A.CDLABB.BC±ADC.BD±ABD.BC±CD

11.在矩形ABC。中，AB=2AD,召为边AB的中点，将AADE沿直线DE翻折成△A。？，若点M为线

段AC的中点，则在AADE翻折过程中，下述选项正确的是（）

A.8A/是定值

B.点/在某个球面上运动

C.存在某个位置，使。

D.存在某个位置，使8M〃平面

12.如图所示，在四棱锥中S-4JCD中，ABCD为正方形，SC=SD=CD=1,E为线段SO的中点，F

为AC与8。的交点，ADLSD.则下列结论正确的是（）

A.8。_1_平面5。£>B.£FP平面5AB

C.平面SCO，平面ABC。D.线段班长度等于线段跖长度

三、填空题

13.已知/，根是两条不同的直线，。,尸是两个不同的平面，写出以/，机,。，尸之间的部分位置关系为条件

（/La除外），