中考数学复习重难点与压轴题型训练：填空题中之分类讨论思想（学生版+解析）

专题06填空题中之分类讨论思想

-一【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】.................................................1

【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】.................................................2

【考向三与矩形有关的分类讨论问题】.......................................................3

【考向四与菱形有关的分类讨论问题】.......................................................4

【考向五与正方形有关的分类讨论问题】.....................................................4

【考向六与圆的分类讨论问题】.............................................................5

【考向七与相似有关的分类讨论问题】.......................................................6

尸J

工,*【直击中考】

【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】

例题：（2022•四川广安•统考中考真题）若（0-3）2+扬=？=0,则以。、6为边长的等腰三角形的周长为

【变式训练】

1.（2022,辽宁朝阳,统考中考真题）等边三角形ABC中，。是边BC上的一点，BD=2CD,以AD为边作等

边三角形AOE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为.

2.（2022•内蒙古通辽,统考中考真题）在RtABC中，NC=90。，有一个锐角为60。，AB=6,若点尸在亶

线AB上（不与点A,8重合），且NPCB=30。，则AP的长为.

3.（2022・浙江绍兴•统考中考真题）如图，在ABC中，ZABC=4O°,ZBAC=80°,以点A为圆心，AC长

为半径作弧，交射线54于点。，连接C。，则N3CD的度数是.

4.（2022•青海西宁•统考中考真题）矩形ABC。中，AB=8,AD=7,点E在42边上，AE=5.若点尸

是矩形ABC。边上一点,且与点4E构成以AE为腰的等腰三角形,则等腰三角形AEP的底边长是.

5.（2022•江西•统考中考真题）已知点A在反比例函数y==（x>0）的图象上，点8在x轴正半轴上，若OAB

为等腰三角形，且腰长为5,则A3的长为

->

X

【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】

例题：（2022•黑龙江哈尔滨,统考中考真题）在ABC中，AO为边8C上的高，ZABC=30°,NC4D=20。，

则ZBAC是度.

【变式训练】

1.（2022・辽宁抚顺•统考中考真题）如图，在Rt_ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=2,点P为斜边A3上

的一个动点（点P不与点人B重合），过点P作尸DLACPELBC,垂足分别为点。和点E,连接

交于点。，连接AQ,当△APQ为直角三角形时，AP的长是

2.（2022・河南・统考中考真题）如图，在R/0ABC中，0ACB=9O°,AC=2C=20,点。为AB的中点，点

P在AC上，且CP=1,将C尸绕点C在平面内旋转，点尸的对应点为点。连接A。，DQ.当劝。。=90。

时，AQ的长为.

【考向三与矩形有关的分类讨论问题】

例题：（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB=0,A£>=3,点E为边上一点，

将△£>€£沿DE翻折，点C的对应点为点E过点f作DE的平行线交AD于点G,交直线于点H.若

点G是边AD的三等分点，则FG的长是.

【变式训练】

1.（2022•辽宁盘锦•中考真题）如图，四边形A2CD为矩形，A3=3,AD=4,AC,2。为矩形的对角线，E

是边的中点，点厂是C。上一点，连接ER将SDEB沿斯折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折痕

EF的长是.

2.（2022•黑龙江绥化•统考中考真题）在长为2,宽为无（l<x<2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个

以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第

二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为.

3.（2022•辽宁沈阳•统考中考真题）如图，将矩形纸片ABC。折叠，折痕为MN,点M,N分别在边A。，

上，点C,。的对应点分别在E,尸且点尸在矩形内部，板的延长线交BC与点G,所交边8C于点X.EN=2,

AB=4,当点”为GN三等分点时，的长为.

4.（2022,黑龙江•统考中考真题）在矩形ABC。中，AB=9,AT>=12,点E在边CD上，且CE=4,点P

是直线BC上的一个动点.若VAPE是直角三角形，则8尸的长为

【考向四与菱形有关的分类讨论问题】

例题：（2022秋,广东梅州•九年级校考阶段练习）如图，已知在菱形ABCD中，AB=5,AC=8,点尸是AC

上的一个动点，过点P作跖交AD于点E,交A3于点尸，将△AEF沿所折叠，使点A落在点A处，

当△4CD是直角三角形时，AP的长为.

【变式训练】

1.（2022秋•浙江金华•九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知，抛物线丁=以2+2依+6上有两点

A（-2,4）,5（1,0）,将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为A,点2的对应点为"，且四边形AAB'B

刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为.

2.（2022・河南信阳•校考一模）如图，在菱形ABC。中，ZZMS=45°,AB=4,点P为线段A3上一动点,

过点P作尸交AO于点E,沿PE将/A折叠，点A的对称点为点尸，连接所、DF、CF,当,CDF

为等腰三角形时，AP的长为.

3.（2022秋・广东梅州•九年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,点E,F在直线AD

上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为—.

【考向五与正方形有关的分类讨论问题】

例题：（2022秋•浙江绍兴•九年级统考期中）正方形ABCD中，E,尸分别是AD,DC上的点，连结所交

DG4DF

对角线于点G,若仍恰好平分即，—则大的值为______.

GB13AE

【变式训练】

1.（2022秋・山东日照•九年级校考期末）等腰：ABC,AB=AC=\G,BC=12,正方形PQWN的两个顶点

在，ABC的一边上，另两个顶点在.ABC的另两边上，则正方形尸QWN的边长为.

2.（2022秋・江西宜春•九年级校考期中）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的AD在V轴正半轴上，边BC

在第一象限，且A（0,3）,5（5,3）.将正方形48c力绕点A顺时针旋转。（0°<0490°）,若点5对应点&恰好

落在坐标轴上，则点C的对应点C'的坐标为.

3.（2021秋,北京东城•九年级校考期末）如图，正方形ABCD的面积为3,点E是。C边上一点，DE=\,

将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线2C上，落点记为F，则尸C的长为.

4叮---------------------1D

【考向六与圆的分类讨论问题】

例题：（2022秋•江苏宿迁•九年级统考期中）如图，将一块三角板放置在：。中，点A、B在圆上，NC为直

角，NABC=60。，点尸为48上一点，则/APB的度数是.

BKO\O

【变式训练】

1.（2021秋•浙江湖州•九年级统考期末）在（。中，弦和弦AC（AB,AC都不是直径）构成的NB4c=50，

M,N分别是A3和AC的中点，则NMON的度数为.

2.（2022秋,辽宁葫芦岛•九年级校考阶段练习）已知AB,CD是。的两条平行弦，48=24,8=1。，O

的半径为13,则弦与8的距离为.

3.（2023秋•浙江宁波•九年级宁波市第七中学校考期末）已知c。半径为1,42是〈。的一条弦，且=

则弦A3所对的圆周角度数是.

4.（2022秋・江苏南京•九年级南京市科利华中学校考期中）已知点P到。上各点的最大距离为10,最小距

离为4,则。的半径为.

【考向七与相似有关的分类讨论问题】

例题：（2022秋•河南南阳•九年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为8,AE=EB,MN=2小,线段MN

的两端在CB、CD上滑动，当时，VADE与工CMV相似.

【变式训练】

1.（2022秋•四川成都•九年级成都七中校考期中）已知点尸是直线A3上一点，且丝=好二1,若线段45

AB2

的长为2,则线段AP的长为.

2.（2022秋•辽宁沈阳•九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点£（-2,-2）,F（3,-3）,EFO与_EFO

位似，位似中心是原点，且“E户。的面积等于,跳。面积的则点尸对应点尸的坐标为.

3

3.（2023秋•上海•九年级校考期末）在Rt^ABC中，NC=90。，AB=5,sin8=g，点。在斜边AB上，

把一ACD沿直线CD翻折，使得点A落在同一平面内的点A处，当4D平行Rt^ABC的直角边时，AD的长

为.

4.（2023秋•四川成都•九年级统考期末）如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=12,点E为AC中点.点

。在AC右侧，DE1AC,S.ZDAE=ZBAC,射线BE交AT）于点若为等腰三角形，则线段E1厂

的长为.

专题06填空题中之分类讨论思想

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目录

【直击中考】...........................................................................1

【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】................................................1

【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】................................................2

【考向三与矩形有关的分类讨论问题】.......................................................3

【考向四与菱形有关的分类讨论问题】.......................................................4

【考向五与正方形有关的分类讨论问题】.....................................................4

【考向六与圆的分类讨论问题】.............................................................5

【考向七与相似有关的分类讨论问题】.......................................................6

*

Q算【直击中考】

【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】

例题：(2022•四川广安•统考中考真题)若(«-3)2+7^5=0,则以°、b为边长的等腰三

角形的周长为.

【答案】11或13##13或11

【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得。的值，进而根据等腰三角形的定

义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解.

【详解】解：0(a-3)2+7^5=0,

团。=3,b—5,

当a=3为腰时，周长为：2a+b=6+5=ll,

当6=5为腰时，三角形的周长为a+2b=3+10=13,

故答案为：11或13.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022•辽宁朝阳・统考中考真题)等边三角形ABC中，。是边8C上的一点，BD=2CD,

以为边作等边三角形AOE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为.

【答案】3或岖.

13

【分析】分两种情况，先证明AC4E=A&W（&15）,再根据全等三角形的性质即可得出答

案.

【详解】解：如图，E点在AD的右边，

A4DE与AABC都是等边三角形，

AC=AB,AE=AD,ZDAE=ZBAC=60°,

ZDAE-ZCAD=ABAC-ZCAD,

即ZCAE=ZBAD.

在AG4E和ABAD中，

AC=AB

<ZCAE=ABAD,

AE=AD

：.ACAE=ABAD(SAS)9

CE=BD=2,

QBD=2CD,

.\CD=1,

:.BC=BD+CD=2+\=3,

二.等边三角形ABC的边长为3,

如图，E点在的左边，

/.BE=CD,ZABE=ZACD=60°,

:.ZEBD=120°,

过点£作石尸15。交C5的延长线于点尸，则@产=60。,

:.EF=^BE=—CD,BF=-BE=^-CD,

2222

7

:.CF=BF+BD+CD=-CD,

2

在RtAEFC中，CE=2,

:.EF-+CF2=CE2=4,

，（¥的+彳处2=4，

-,CD=^^-^CD=-^^-（舍去），

1313

:.BC=巫,

13

.・•等边三角形ABC的边长为巫,

13

故答案为：3或8叵.

13

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明

\CAE三ABAD是解题的关键.

2.（2022•内蒙古通辽•统考中考真题）在Rt.ABC中，NC=90。，有一个锐角为60。，AB=6,

若点尸在禀线A3上（不与点A,B重合），且NPCB=30。，则AP的长为.

【答案】士或9或3

2

【分析】分HABC=60、0ABe=30。两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.

【详解】解：当EABC=60。时，贝腼54c=30。，

0BC=-AB=3,

2

SAC=ylAB2-BC2=3A/3，

当点P在线段4B上时，如图,

SiZPCB=30°,

H3BPC=90°,即PCSAB,

22

当点尸在AB的延长线上时,

0ZPCB=3O°,团PBC二团PC5+团CPB,

团团C尸5=30°,

回团CP3二团尸C3,

0PB=BC=3,

^\AP=AB+PB=9；

当她3030。时，贝腼840=60。，如图,

0AC=-AB=3,

2

0ZPCB=3O°,

^APC=60°,

mCP=60°,

的4PC二团B4C=MCP,

盟L4PC为等边三角形，

0M=AC=3.

9

综上所述，”的长为£或9或3.

故答案为：£或9或3

【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，

等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键.

3.（2022・浙江绍兴•统考中考真题）如图，在,ABC中，ZABC=40°,ZBAC=80°,以点A

为圆心，AC长为半径作弧，交射线54于点。，连接CD,则/BCD的度数是.

【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC=AD,根据等腰三角形的性质和三角形内角

和定理解答即可.

【详解】解：如图，点。即为所求；

在AABC中，ZABC=40°,ABAC=80°,

ZACB=180°-40°-80°=60°,

由作图可知：AC=AD,

ZACD=ZADC=1(180°-80°)=50°,

ZBCD=ZACB-ZACD=60°-50°=10°■,

由作图可知：AC=AD,

ZACD=ZADC,

ZACD+ZADC=ZBAC=80°,

ZADC=AO0,

ZBCD=180O-ZABC-ZADC=180°-40°-40°=100°.

综上所述：/BCD的度数是10。或100。.

故答案为：10°或100°.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题

的关键是掌握基本作图方法.

4.(2022•青海西宁・统考中考真题)矩形ABC。中，AB=8,AD=7,点E在A2边上，

AE=5.若点P是矩形ABC。边上一点，且与点A,£构成以AE为腰的等腰三角形，则等

腰三角形AEP的底边长是.

【答案】5五或46

【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5,点P在边AO上时，由勾股定理可求得底边PE的长；

②当PE=AE=5,点P在边上时，求出BE,由勾股定理求出尸8,再由勾股定理求出底

边AP即可.

【详解】解：回矩形ABCD

034=回2=90°,

分两种情况：

当AP=AE=5,点尸在边AD上时，如图所示：

回团840=90°,

回产£=A/AF+AF=752+52=5A/2;

当尸E=AE=5,点P在边BC上时，如图所示:

0BE=AB-A£=8-5=3,08=90°,

回依=ylPE2-BE2=V52-32=4,

回底边AP=y/AB2+PB2=7s2+42=4A/5；

综上，等腰三角形AEP的底边长是5五或4指

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进

行分类讨论是解决问题的关键.

12

5.（2022•江西•统考中考真题）已知点A在反比例函数y=—（无>0）的图象上，点B在彳轴

x

正半轴上，若一为等腰三角形，且腰长为5,则AB的长为.

【答案】5或2石或加

【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可.

【详解】解：①当A0=A8时，AB=5；

②当时，AB=5；

③当04=02时，贝I|OB=5,B（5,0）,

12

设A（〃，—）（〃>0）,

a

团OA=5,

解得：％=3,%=4,

EIA（3,4）或（4,3）,

0AB=^/（3-5）2+42=2括或AB=｛（4一5?+3?=y/10；

综上所述，42的长为5或20或&6.

故答案为：5或2百或加.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的

思想，当时，求出点的坐标是解题的关键.

【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】

例题：（2022•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）在ABC中，AD为边3c上的高，ZABC=30°,

Z.CAD=20°,则ZBAC是度.

【答案】40或80##80或40

【分析】根据题意，由于A5C类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形

边上和高在三角形外部讨论求解.

【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：

①高在三角形内部，如图所示：

.,在中，AO为边3C上的高，ZABC=30°,

ZBAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=20°,

ZBAC=ZBAD+ACAD=60°+20°=80°；

②高在三角形边上，如图所示：

C(D)

可知NC4D=0。,

ZCAD=20°,

故此种情况不存在，舍弃；

③高在三角形外部，如图所示:

A

在AABD中，A£＞为边3c上的高，ZABC=30°,

ABAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=20°,

ABAC=/BAD-Z.CAD=60°-20°=40°；

综上所述：N54C=80。或40。，

故答案为：40或80.

【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据

题意分情况讨论是解决问题的关键.

【变式训练】

1.（2022・辽宁抚顺・统考中考真题）如图，在RtABC中，NACB=90。,=60。,8C=2,

点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A.8重合），过点尸作PDLACPELBC,垂足

分别为点。和点E,连接。瓦PC交于点。，连接AQ,当△APQ为直角三角形时，”的长

是_____________

【答案】3或2百

【分析】根据题意，由△APQ为直角三角形，可进行分类讨论：①当NAPQ=90。；②当

44。尸=90。两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，

团在RtABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=2,

0ZfiAC=3Oo,

团AB=2BC=2x2=4,

@AC=Jf-22=2百，

回当△AP。为直角三角形时，可分情况进行讨论

①当NAPQ=90。时，如图：

c

贝IjAP_LCP,

^S^c=^AC.BC=^AB.CP,

02A/3X2=4CP,

回CP=J5；

在直角a4cp中，由勾股定理，则

AP=«2®2-（厨=3;

②当NAQP=90。时，如图

SPD±AC,PE±BC,ZACB=90°,

回四边形COPE是矩形，

SCQ=PQ,

E1A20CP,

函4cp是等腰三角形，即AP=AC=2有

综合上述，AP的长是3或2若；

故答案为：3或26；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角

三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题.

2.（2022•河南•统考中考真题）如图，在尺包48c中，0ACB=90°,AC=2C=2&，点。

为的中点，点P在AC上，且CP=1,将C尸绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点

Q,连接A。，DQ.当她。。=90。时，AQ的长为.

【答案】下或而林岳或下

【分析】连接C。，根据题意可得，当财。。=90。时，分Q点在线段CO上和。C的延长线

上，且CQ=CP=1,勾股定理求得42即可.

【详解】如图，连接8,

CK

;在R/0ABC中，0ACB=90°,AC=BC=2E,

:.AB=4,CDLAD,

:.CD=-AB^2,

2

根据题意可得，当&4。。=90。时，。点在上，且CQ=CP=1,

:.DQ=CD-CQ=2-l=l,

如图，在RtZ\AOQ中，AQ=^AD2+DQ2=A/22+12=A/5,

在RtZkADQ中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

AQ=y）AD2+DQ2=也+32=V13

故答案为：乖或屈.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点。的位

置是解题的关键.

【考向三与矩形有关的分类讨论问题】

例题：（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，四边形为矩形，AB=啦,AD=3,苴E为

边BC上一点，将△OCE沿DE翻折，点C的对应点为点F过点/作DE的平行线交AD于

点G,交直线3C于点"若点G是边AT）的三等分点，则FG的长是.

【答案】且或无

33

【分析】过点E作上于点Af,根据题意可得四边形班DG是平行四边形，证明

HE=FE,等面积法求得ME,勾股定理求得可得族的长，进而即可求解.

【详解】①如图，过点E作于点V,

二四边形HEDG是平行四边形

:.HE=GD^-AD=1

3

折叠

NFED=NCED

ZMED=90。

即ZFEM+ZFED=90°

ZCED+ZHEM=90°

:.ZHEM=ZFEM

NEMF=ZEMH=90°,ME=ME

:「HEM空.FEM

:.HM^MF,EF=HE=1

：.EF=EC=1

四边形ABCD是矩形

ZC=90°,DC=AB=拒

RtEDC中，DE=y/DC2+EC2=《用+12=73

GH=DE=y/3

MELHG,HG//DE

SnFF=、MExDE=S^-DCxEC

LfiLr2LfiLv.,2

DCxECV2xl_V6

:.ME=

-DE~y/3"_

RtHME中，

:.FG=HG-HF=HG-2HM=y/3--y/3=—

33

②如图，当AG=gAO=l时,

同理可得HE=G£»=AD—AG=3—1=2,

EC=EF=HE=2,

:.DE=,+（ej=屈，

-DCxECV2x22小

ME=------------=-=

DE瓜3

Rt中,HM=ylHE2-ME2=^2^芈=半

:.FG=HF-HG=2HM-HG=^--46=—

33

故答案为：3或如

33

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知

识，注意分类讨论是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022・辽宁盘锦•中考真题）如图，四边形A2CD为矩形，AB=3,AD=4,AC,为矩

形的对角线，E是4。边的中点，点厂是8上一点，连接ER将SD所沿EP折叠，当点

G落在矩形对角线上时，则折痕EF的长是.

BC

【答案】I•或号

【分析】分两种情况，分别画出图形：当G在AC上时，连接。G交E尸于证明财GA

=90。，从而E/迥AC,得E/是fflADC的中位线，可得斯=〈；当G在2。上，设BD交EF

于N,证明0ABOEBOEF,可得工=』，EF=—.

EF23

【详解】解：当G在AC上时，连接。G交EF于如图甲所示：

EIE是AD中点，

0AE=Z)E,

团将回£归尸沿石尸折叠，

WE=GE,WME=^GME=90°,

^\AE=DE=GE,

^\EAG=^\EGA,^EDG=^\EGD,

团团EAG+团EGA+团EOG+团EGO=180°,

团2团EGA+2团EGD=180°,

酿EGA+团EGQ=90°,即她GO=90°,

mAGD=^\DME9

团ERMC,

SE是中点，

团所是EIADC的中位线，

；AC,

MC=VAB2+BC2=yjAB2+AD2=732+42=5,

5

回£尸=—；

2

当G在30上，设BD交EF于N,如图乙所示：

团将团DEF沿£/折叠，

丽0N/=90°,

团团DF7V=90°—^\FDN=^ADB,

瓯EDF=90°=回5A。，

m\BD^DEFf

BDAB

回一=一,

EFDE

^\BD=AC=5,DE=^AD=2,

综上所述，折痕所的长是:或］,

图甲图乙

【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线等知

识，解题的关键是掌握翻折的性质.

2.(2022•黑龙江绥化•统考中考真题)在长为2,宽为x(l<x<2)的矩形纸片上，从它的

一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形(第一次操作)；从剩下的矩形纸片一侧再剪

去一个以宽为边长的正方形(第二次操作)；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰

为正方形，则x的值为.

【答案】j或］

【分析】分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的

x值即可.

【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为2-x和x,

x—(2—x)—2%—2,

又Qlv%v2,

2%—2^>0,

:.x>2-x,

则第一次操作后，剩下矩形的宽为2-x,

所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为2-x,

另一■边为：x—(2—x)=2x—2,

团第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，

团第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，

分以下两种情况进行讨论：

①当2-x>2x-2,即时,

第三次操作后剩下的矩形的宽为2x-2,长是2-尤，

则由题意可知：2—x=2(2x—2),

解得：x=t;

②当2-x<2x—2,即尤时，

第三次操作后剩下的矩形的宽为2-x,长是2尤-2,

由题意得：2x-2=2(2-x),

3

解得：x、，

6T.七3

=—或s者x=一.

52

注公上生6T,3

故答案为：二或万.

【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩

形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键.

3.(2022•辽宁沈阳•统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN,点M,N

分别在边AD,5。上，点C,。的对应点分别在区尸且点尸在矩形内部，M厂的延长线交

BC与点、G,EF交边BC于点H.EN=2,AB=4,当点”为GN三等分点时，MQ的长为

【答案】2•-4或4

【分析】由折叠得，^DMN=^GMN,EF=CD==4,CN=EN=2,0EFM=0D=9O°,证明

NHHFNF

AGHEAA归E得==6="，再分两种情况讨论求解即可.

CJHHFGF

【详解】解：回四边形ABC。是矩形,

^AD//BC,CD=AB=4,回。=回090°,

团团。MN二团GNM,

由折叠得，回DMN二团GMN,EF=CD==4,CN=EN=2,0EFM=0D=9O°,

丽GMN二团GNM,团GbH二团NEH,

团GM=GN,

又回二团NHE,

0AGHE\NHE,

NHHENE

团----=----=----,

GHHFGF

国点H是GN的三等分点，则有两种情况:

①若黑=（时，则有:HENE_1

HF~~GF~2

1A28

BEH=—EF=—,FH=—EF=—,GF=2NE=4,

3333

由勾股定理得，NH=YEH2+NF2=J*+2?=g反,

SGH=2NH=-y/13

3

0GM=GN=GH+NH=2岳,

^\MD=MF=GM-GF=2岳-4:

HENE

②若翳=2时，则有:

CJHHF~^F

BEH--EF——,FH=—EF=—,GF=：NE=1,

33332

由勾股定理得，NH=<EH2+NF2=

15

SGH=-NH=-

23

0GM=GN=GH+NH=5；

BMD=MF^GM-GF=5-1=4

综上，MO的值为2屈-4或4.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角

形的判定与性质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键.

4.（2022•黑龙江•统考中考真题）在矩形4BC。中，AB=9,AD=12,点E在边CO上，

且CE=4,点尸是直线BC上的一个动点.若VAPE是直角三角形，则8P的长为.

3115

【答案】4或：或6

34

【分析】分三种情况讨论：当她尸乐90°时，当0AE尸=90°时，当团以氏90°时，过点尸作尸死1ZM

交ZM延长线于点R即可求解.

【详解】解：在矩形ABC。中，AB=CD=9,AD=BC=n,^BAD=^\B=^BCD=^ADC=9Q°,

如图，当她尸氏90°时，

^PB^CPE=90°,

回团5AP+MP3=90°,

团国历1尸二团CPE,

回回8二回C=90°,

团团A3尸团团尸CE,

ABBP9BP

0一=即

PCCE12-BP~^

解得：BP=6；

如图，当她£P=90。时,

回她即+回PEC=90°,

RO1D4石+团AED=90°,

^DAE^PEC,

团回。二团。二90°,

团朋。况团E”,

ADDE口门129-4

回一=一,BP—=------

CEPC4PC

解得：PC=q,

31

^BP=BC-PC=—

3

如图，当团R1氏90。时，过点尸作尸况IDA交ZM延长线于点尸,

A

FLD

E

C

根据题意得回84尸二朋3P=M=90°,

团四边形AB尸尸为矩形，

0PF=AB=9,AF=PB,

瓯B4尸+回ZME=90°,团B4尸+她尸尸=90°,

^\DAE=BAPFf

团团厂二团。=90°,

的4尸殂回胡。，

AFPF口门AF9

0--=--，BP---=—,

DEAD9-412

解得：A尸=?,即PB==；

44

3115

综上所述，8尸的长为兰或芳或6.

34

3115

故答案为：;或§或6

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键.

【考向四与菱形有关的分类讨论问题】

例题：（2022秋•广东梅州•九年级校考阶段练习）如图，已知在菱形ABCD中，=5,AC=8,

点尸是AC上的一个动点，过点尸作EF1AC交AD于点E,交于点尸，将△AEF沿所

折叠，使点A落在点A处，当△ACD是直角三角形时，AP的长为.

【答案】2或《7

O

【分析】分两种情形①当A与。重合时，CDA是直角三角形，此时

AP=^OA=^AC=2.②当ADLCD时，一CDA是直角三角形，此时

CDOC

cosZDCA'=--=--,列出方程即可解决问题.

LACD

【详解】解：如图，连接交AC于。.

回四边形ABCD是菱形，

SACJ.BD,

SEFJ.AC,^AEF是由△AEF翻折得到,

SPA^PA,

①当A与。重合时，_CZM'是直角三角形,

此时AP=」OA=LAC=2.

24

②当时，一CDA是直角三角形，

止匕时cosNOC4'=WCD=^OC,

CACD

11?57

^AP=-AA,=-（S--）=~,

2248

7

综上所述，满足条件的AP的长为2或卷.

O

【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类

讨论的思想思考问题，是由中考填空题中的压轴题.

【变式训练】

1.（2022秋・浙江金华•九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知，抛物线

>=/+2公+》上有两点4（-2,4）,以1,0）,将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应

点为A,点8的对应点为？，且四边形A47rB刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐

标为.

【答案】口，口或，6,m

【分析】利用待定系数法求得函数的解析式得到顶点坐标，由四边形为菱形，得出

AA'=BB'=AB=5,即可得出向右平移5各单位的得到新抛物线，进而即可求得平移后的

抛物线的顶点坐标.

4〃一4。+Z?=4

【详解】解：根据题意得

a+2a+b=0

解得

回四边形为菱形,

:.AA!=BB'=AB=5,

团顶点为

团当抛物线向右平移5个单位的抛物线的顶点为、，?）.

当抛物线向左平移5个单位是抛物线顶点为［-6,与］

故答案为：（4，。］或］-6,整］.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐

标特征，菱形的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键.

2.（2022・河南信阳•校考一模）如图，在菱形ABGD中，ZDAB=45°,AB=4,点尸为线

段A3上一动点，过点尸作交AD于点E,沿PE将NA折叠，点A的对称点为点

连接EF、DF、CF,当&C"为等腰三角形时，AP的长为.

D__________r

FB

【答案】0或2或0+1或20或20+2

【分析】分类讨论：如图1,当DF=CD时，如图2，当CF=CD=4时，如图3中,

当FD=FC时，分别求出即可.

【详解】解：如图1,当DF=CD时，点F与A重合或在点F'处.

当下与A重合时，尸与A也重合，此时AP=O；

图1

在菱形ABCD中，AB=4，

:.CD^AD^4

作DV_LAB于N,

在MADN中，AD=4,ZDAN=45°,DN=AN=NF'=2血，

AP=272;

如图2,当CF=CD=4时，点尸与8重合或在F'处，

图2

点F与B重合，PE是AB的垂直平分线,

AP=-AB^2,

2

当歹在F处时，过C作于

则可得MF'=2立，

则AF=4豆+4，

4尸=2夜+2;

如图3中，当FD=FC时,

AF=20+2,

AP=-AF=^2+\.

2

综上所述：当一CDF为等腰三角形时，AP的长为。或2或&+1或2夜或

272+2.

故答案为。或2或72+1或2直或20+2.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关

键.

3.（2022秋•广东梅州•九年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,点E,

F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M,则线段AM

的长为—.

【答案】5.5或0.5

【分析】两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=4,BC=AD=5,ZADB=NCDF=90°,

由菱形的性质得出CF=Eb=8E=BC=5,由勾股定理求出DF,得出即可求出A"；

②同①得出AE=3,求出ME,即可得出AM的长.

【详解】解：分两种情况：

①如图1所示：

国四边形ABCD是矩形，

0Cr>=AB=4,3C=AD=5,ZADB=NCDF=90°,

回四边形3CEE为菱形，

0CF=EF=BE=BC=5,

0DF=dcF-Clf='52—42=3,

BAF=AD+DF^8,

13M是E尸的中点，

0MF=-EF=2.5,

2

SAM=AF-DF=8-2.5=5.5；

②如图2所示：同①得：AE=3,

BC

图2

EIM是E尸的中点，

^ME=2.5,

SAM^AE-ME=0.5-,

综上所述：线段的长为：5.5或0.5；

故答案为：5.5或0.5.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，并

能进行推理计算是解决问题的关键.

【考向五与正方形有关的分类讨论问题】

例题：（2022秋,浙江绍兴•九年级统考期中）正方形ABCD中，E,尸分别是A£>,0c上的

DG4DF

点，连结EF交对角线BD于点G,若BE恰好平分NAEF，玛=三，贝I与的值为.

【答案】1或4

【分析】延长所交8C于R,作GTJ.OE于T,不妨设Z）G=4,GB=13,DE=4x,可证

FGDFDG4

得是等腰三角形，可推出"=言==7=与，进而表示出石G,然后解△OEG,

RCJ