江西省2025届全国“优创名校”高三金太阳4月联考数学试卷及答案（金太阳25-489C）

高三数学考试参考答案题序123456789答案AADDBDCCBCDABCBCD没有 4评分细则:【1】第1~8题,凡与答案不符的均不得分.【2】第9~11题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得2分.【3】第13题答对第一空得2分,答对第二空得3分,第一空写0.65不给分.1.A【解析】本题考查平面向量的垂直与坐标运算,考查数学运算的核心素养.由a丄b,得5父y十9父义=父(5y十9义)=0,因为父y义≠0,所以父≠0,所以5y十9义=0.2.A【解析】本题考查元素与集合的关系,考查逻辑推理的核心素养.依题意可得B={—3,0,3},所以—3∈B,0∈B,3∈B,1呋B.3.D【解析】本题考查二项式展开式,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.展开式的第6项为常数项展开式的第5项为常数项展开式的第9项为常数项的展开式不存在常数项.4.D【解析】本题考查复数与指数的运算,考查数学运算的核心素养.5.B【解析】本题考查椭圆的几何性质,考查逻辑推理与数学运算的核心素养以及应用意识.因为所以又所以越大,离心率越小,所以M的离心率小于N的离心率.6.D【解析】本题考查正方体中的平行直线、计数原理与古典概型,考查直观想象的核心素养与空间想象能力.因为ACⅡA1C1,BDⅡB1D1,AA1ⅡBB1ⅡCC1ⅡDD1,ADⅡBCⅡA1D1ⅡB1C1,ABⅡCDⅡ【高三数学●参考答案第1页(共8页)】●A1B1ⅡC1D1,所以这2条直线平行的概率为7.C【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换,考查数学建模与数学运算的核心素养.,则AC=4COsα,CD=BC=4sinα,所以AD=\AC2十CD2—2AC●CDCOs60。=\,当sin2α=1,即α=时,AD取得最小值8.C【解析】本题考查直线方程与距离问题的综合,考查直观想象的核心素养以及化归与转化的数学思想.f(x)=x十\(x—4)2十(3—0)2,当x=0时,f(0)=5,当0<x≤4时,如图,设P(x,3),C(0,3),A(4,0),上PCB=45。,则f(x)=|PC|sin上PCB十|PA|=|PB|十|PA|,由图可知,|PB|十|PA|的最小值为点A到直线BC的距离d.因为直线BC的方程为y=x十3,即x—y十3=0,所以故f的最小值为.y8-B4PC2-A5y8-B4PC2-A59.BCD【解析】本题考查一元二次不等式的解法、基本不等式,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.2x2—x<0的解集为(0,),A错误.x2—2x<0的解集为(0,2),C正确.当x>0时,x十≥2(当且仅当x=1时,等号成立),x十当且仅当x=\时,等号成立),因为1呋呋(0,1),所以x十在x∈(0,1)上恒成立,x十>2\在x∈(0,1)上恒成立,B,D均正确.10.ABC【解析】本题考查三角函数的图象,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.对于选项A,由图可知,f(x)的最小值为0,则w=±1,由f(0)>0,得w=1,经检验,当w=1时,f(x)的部分图象可以如选项A所示.对于选项D,由T=π,得w2==2,即w=±\,则f(x)=±\sin(2x—)十1,此时f(π)≠0,排除D.对于选项C,由2T=π,得T=,w2==4,即w=±2,当w=2时,f(x)的部分图象可以如选项C所示.对于选项B,当w=0时,f(x)=1,f(x)的部分图象可以如选项B所示.【高三数学●参考答案第2页(共8页)】●11.BCD【解析】本题考查抽象函数与导数的综合,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.令父=y=ln2,得f(ln2)十f(ln2)=f(2ln2)—1,即f(ln4)=2f(ln2)十1,A错误.令父=y=0,得2f(0)=f(0)—1,得f(0)=—1.令父=y=2,得f(4)—2f(2)=1.若f(1)=2,则可取f(父)=3父—1满足f(父)十f(y)=f(父十y)—1,则y=f(父十)为偶函数,D正确.则则h为减函数,则即十2>g十十则十1>g所以8g(1)>g(2)十4f(0),8g()十f(4)>g(1)十2f(2),B,C均正确.【解析】本题考查抛物线的性质,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.将点C的坐标代入y2=2p父,得p=,则该抛物线的焦点坐标为(,0).13.65%;没有【解析】本题考查独立性检验与统计中的频率,考查数据处理能力与应用意识.由表中数据可知,这200人选择去云南旅游的频率为2200×(60×30—70×40)2200因为X=130×70×100×100=91<3<6.635,所以没有2200×(60×30—70×40)2200 14.4【解析】本题考查点、线、面的位置关系以及圆锥的外接球,考查空间想象能力与直观想因为PA与圆锥底面所成的角为60。,所以圆锥的轴截面为正三角形,设圆锥外接球的半径为R,则圆锥的轴截面外接球的半径为R,由正弦定理得所以4πR2= 解得OA=4.过点P作lⅡBC(图略).由题意知平面α与圆锥相切于直线PA,则平面POA丄α,设O在α内的射影为M,则M为AB的中点,过点M作BC的垂线,分别交BC,l于点N,Q(图略),则BN丄平面OMN,所以BN丄ON,从而ON=\.又OM=2\,所以MN=1.由得MQ=3,所以【高三数学●参考答案第3页(共8页)】●JX●\,PQ=\=3\3.设BC与圆锥底面所成的角为θ,因为OP与圆锥底面垂直,所15.【解析】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)解:因为a=b=1,所以f(父)=父ln父十父十1,则fI(父)=2十ln父,…………2分则fI(1)=2.…………………3分因为f(1)=2,所以曲线y=f(父)在点(1,f(1))处的切线方程为y—2=2(父—1),即y=2父.……………5分(2)证明:f(父)的定义域为(0,十∞),……………………6分令fI(父)=ln父十a十1=0,得父…………………7分令<0,得0<父则f在上单调递减;…………8分令>0,得父则f在上单调递增.…………9分十十分因为>0,所以即bea十1>1.…………13分评分细则:【1】第(1)问中,所求切线方程还可以写为2父—y=0.【2】第(2)问中,未写f(父)的定义域,但写了“令fI<0,得0<父则f在(0,aEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),十1))上单调递减;令fI(父)>0,得父>eaEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),十1),则f(父)在(eaEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),十1),十∞)上单调递增”,不扣分.16.【解析】本题考查全概率、分布列与期望,考查逻辑推理的核心素养与应用意识.解:(1)设Ai=“甲第i局获胜”,其中i=1,2,3,依题意得P(A1)=p,当时,由全概率公式得P(A2)=P(A1A2)十P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)十P(A1).P(A2|A1)……………………2分 所以甲第二局获胜的概率为.……………5分【高三数学●参考答案第4页(共8页)】(2)①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为(1—p)2,…………………6分依题意得解得分②X的可能取值为2,3.……………………8分P(X=2)=P(A1A2)十P(A1A2)=p●p2十(1—p)p=()3十×=,……10分P(X=3)=P(A1A2A3)十P(A1A2A3)十P(A1A2A3)十P(A1A2A3)=p(1—p2)(1—p)十(1—p)(1—p)p2十p(1—p2)p十(1—p)(1—p)(1—p2)=1—p3十,……………………12分所以X的分布列为X23P………………13分十分评分细则:第(2)问中,P(X=3)还可以这样求解17.【解析】本题考查空间向量与立体几何,考查直观想象与数学运算的核心素养.(1)证明:因为底面ABC的周长为12,且AB=3,AC=5,所以BC=4,………………1分因为AB2十BC2=AC2,所以AB丄BC.…………………2分在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1丄底面ABC,则BB1丄AB,………3分又BB1∩BC=B,所以AB丄平面BCC1B1.……………4分(2)解:将直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面沿BB1剪开展平成矩形BACB,NBB1BEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(/),1)B/,如图所示, M其中BB/=12,BEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(/),1)B/=6,所以B1B/=\62十122=6\5,……6分 M故BM十MN十NB1的最小值为6\5.…………7分BACB(3)解:设AC,A1C1的中点分别为O,O1,连接OB,OO1,则OO1丄AC,OO1丄OB.因为AB=AC=4,所以BC=4,所以OB丄AC,OB=2\.以OB,OC,OO1所在直线分别为父轴、y轴、义轴建立空间直角坐标系,则B(2\,0,0),【高三数学●参考答案第5页(共8页)】设平面BMN的法向量为m=(父,y,z),则m●BM=m●MN=0,M(0,2,2),N(0,—2,6λ),BM=(—2\,设平面BMN的法向量为m=(父,y,z),则m●BM=m●MN=0,N即—2\3父十2y十2z=—4y十(6λ—2)z=0,……10分取z=2\,得m=(3λ十1,3\λ—\,2\).……11分易知底面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),……12分N,………13分 M/B当时,9λ2—3λ十4取得最小值,则|cos〈m,n〉|取得最大值,且最大值为 ,故平面BMN与底面ABC夹角的余弦值的最大值为.………15分评分细则:【1】第(1)问中,未写“BB1∩BC=B”,扣1分.【2】第(3)问中,建立空间直角坐标系的坐标原点不唯一,不同于参考答案的建系阅卷时,请按照步骤给分,求9λ2—3λ十4的最小值时,也可以用配方法,过程如下:—3λ十十所以当λ=时,9λ2—3λ十4取得最小值,则|cos〈m,n〉|取得最大值,且最大值为,故平面BMN与底面ABC夹角的余弦值的最大值为 18.【解析】本题考查直线与双曲线的综合,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)解:由题意可知●………1分则…………………2分(2)①解:直线AB的方程为y=父十5,)=0,………3分Δ=300十24a2>0.【高三数学●参考答案第6页(共8页)】设A(父1,y1),B(父2,y2),则父1十父2=5,父1父分由得—父父2,……………5分父得a2=1,…………6分则C的方程为父…………………7分②证明:设E(父3,y3),F(父4,y4),l的方程为y=k父十m.Δ=12(m2—k2十3)>0,且3—k2≠0,……………………8分分因为分4十[k(m—3)十2](父3十父4)十m2—6m十5=0,………11分则—(k2……………………13分即(2k—2m十3)(2k十m—3)=0.………14分因为点P不在直线l上,所以2k十m—3≠0,则2k—2m十3=0,……15分则m=k十十分故直线l过定点(—1,.………………17分评分细则:【1】第(2)问①中,未写AB:y=父十5,直接联立得2父2—10父—0,不扣分,但未设A(父1,y1),B(父2,y