直线与圆（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习提升

热点06直线与圆

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第3题，考察直线方程及圆的方程根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程

2023年，第15题，考察平面上两点间的距离与函数的几种形式，同时直线方程可能会与其他知识点如圆

的结合的方程、椭圆等结合考直，形成综合性问题，故可能

2024年，第3题，考察点到直线的距离及圆的方程会成为命题的重点

热点题型解读

题型10与圆有关的最值问题题型1直线的倾斜角与斜率

题型9圆的切线问题题型2求直线的方程

W

题型8圆的弦长问题直线与圆题型3两条直线的平行与垂直

题型7直线、圆与圆的位置关系题型4两条直线的交点与距离问题

题型6圆的方程3题型5两直线的对称问题及其应用

题型1直线的倾斜角与斜率

IW5

©0既0

（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与X轴正向之间所成的角，同时应

明确倾斜角的范围:0°<«<180°;

（2）解决斜率问题的方法

I

①由倾斜角（或范围）求斜率（或范围）,利用定义式k=tana（a中90°）解决.

V--V.

②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k=蓝二;求解

-f-2022-4t^&i遍私旃i）"窠旗而箭7译码点>亶1营/£M的关系如图标.九百谕山京褫窠

看，前加年的年平均产量最高，则机的值为（）

S"

O1234567891011n

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

若果树前n年的总产量邑与n在图中对应尸点

则前n年的年平均产量也==kOP,即为直线OP的斜率，

nn-0

由图易得当"=9时，直线。尸的斜率最大.

即前9年的年平均产量最高.

故选：C.

JT

2.(2024•江苏南通•模拟预测)直线x・tan《+>—2=0的倾斜角为()

713兀_7兀4兀

A.—B.—C.—D.—

510105

【答案】D

jr47r

【详解】由题意可将原直线方程变形为y=Tan1X+2=tang，+2,

47r

由倾斜角的取值范围［0,6,所以倾斜角为即A、B、C错误.

故选：D.

3.(2024・贵州贵阳•模拟预测)直线4，4的倾斜角分别为&，P，则“a=£”是“tana=tan.”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为直线4，4的倾斜角分别为a，P，

所以ae[O,兀）,4«0,兀），

若tana=tan/?,则a=/,

JT

若a=/=5，贝I]tana,tan夕都不存在，

所以“a=夕”是“tana=tan/7”的必要不充分条件，

故选：B.

4.（2024・吉林长春一模）直线x+2y-4=0与直线3x+y-9=0所成角是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

[详解]直线x+2y-4=0斜率勺=一;，直线3x+y—9=0斜率&=-3,

设两直线的夹角为0,则tan6=gt

=1,

1+毋2

_&0°<6><90°,所以夕=45。.

故选：B

5.（2024•新疆乌鲁木齐•三模）直线小，2的斜率分别为1，2,4，4夹角为夕，则sin26=（）

343

B.-D.

45To

【答案】C

【详解】设直线4，的倾斜角分别为名p，则tani=l,tan/?=2,e=/7-a；

因此tan6=tan(/—a)=―处2-1_1

1+tan0tanal+2xl-3

2sincos2tan。

所以sin26=2sin0cos0=

sin26)+cos20tan28+1

故选：C

题型2求直线的方程

一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程；

③已知斜率和】'轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程

工7563疝泰三澳）一巨而置至谓首获二5二律存；宝茬3面"£语莪旗4；喇直瓯的周雇算7'5'

A.x-y+2=0B.x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x+2y—4=0

【答案】C

【详解】因为直线/平行于直线％-y=o,所以直线/可设为％-y+机=0,

因为在y轴上的截距是-2,则过点（0,-2）,代入直线方程得0-（-2）+机=0,

解得加=-2,所以直线/的方程是x-＞-2=0.

故选：C

2.（2023-24高二下•云南•阶段练习）设加＞0,〃＞0,若直线/:加x+,y=2过曲线了=优^+1（。＞0,且

的定点，则,+'的最小值为.

mn

【答案】2

【详解】因为曲线y=优。+1过定点（L2）,

所以加+"=2,即加;"=］（〃？＞0,o）,则

当且仅当“力=竺勿7时，即优="=1时取"="，所以I上I+上的最小值为2.

mnmn

故答案为：2

3.（2024高三•全国•专题练习）若将直线y=3x—3绕原点按逆时针方向旋转90。，则所得到的直线的方程

为.

【答案】x+3y—3=0

【详解】

解析：（解法1）在直线上取点（1,0）,其绕原点按逆时针方向旋转90。后得到点（0,1）,按逆时针方向旋

转90。，倾斜角增加90。，故所得直线斜率为一；，从而所求直线方程为x+3y—3=0.

（解法2）在直线上取两点（1,0）和（0,—3）,它们绕原点按逆时针方向旋转90。后分别得到点（0,1）

和（3,0）,进而可得所求直线方程为x+3y—3=0.

4.（2024•陕西西安•一模）过点/1,3）,在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为.

【答案］y=3x或x+…=0

【详解】当直线过原点时，直线V=3x在x轴上的截距和在V轴上的截距相等，则直线方程为y=3x；

当直线不过原点时，设直线方程为±+上=1,则工+之=1,解得。=4,直线方程为x+y-4=0,

aaaa

所以所求直线方程为y=3x或x+y-4=0.

故答案为：y=3x或x+y-4=0

5.(2023•新疆喀什•模拟预测)已知4(1,1),8(5,3),则线段N2的垂直平分线的一般方程为.

【答案】2x+y-8=0

【详解】因为/(1,1)潭(5,3),所以直线4g的斜率为左=1^=：=],

所以的垂直平分线的斜率为-2,AB的中点坐标为(3,2),

故线段的垂直平分线的方程为：＞-2=-2(x-3),化为一般式为：2x+y-8=0.

故答案为：2x+y-8=0.

题型3两条直线的平行与垂直

(1)已知直线4：歹=+4与直线l,：y=k2x+b2,

则①。左=左2，且4W此2；②(O左.左2=T.

(2)已知直线1}:Ax+8》+G=0,直线/2:A2X+B2y+C2=0,

则①IJII?_4与=0且B]C?_B2cTw0(或4G—4Gw0)；

②41/20AH+B]B?=0.

1.(2022-23高二工•江嬴江丽而)庵毒嬴:x+y-io威氤2,6)顺而矗通)询i丽，通姮

的方程是()

A.2x—y+2=0B.x+y+2=0C.x—y—2=0D.2x—y—2=0

【答案】c

【详解】由4方程x+y-2=0可知：/1的斜率为勺=-1,

由题意可知：所以Kj2=-L所以勺=1，

因为4过点(2,0),所以由直线点斜率式方程可知，2的方程为：y-0=l-(x-2),

即x-y-2=0.

故选：C.

2.(2024•四川南充•一模)“机=1”是'直线4：x+(加+1)了+1=0与直线4：(加+l)x-叼-1=0垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若直线4：x+(〃?+l)y+l=0与直线"：(加+l)x-即-1=0垂直，

则lx(m+l)+(m+l)x(-m)=。，解得m=±1,

所以“m=1”是“直线4:x+(机+l)y+1=0与直线l2:(m+1)x-my-1=0垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2024•上海•三模）已知直线/的倾斜角为且直线/与直线加：x-回+1=0垂直，则。=

2兀

【答案】y

【详解】直线小：x—6y+l=（^|Jy=gx+g,斜率后=,,

因为直线/、〃?互相垂直，所以直线/的斜率勺=?=-6，

k

2兀

直线/的倾斜角为a,贝Utana=-V^,结合ae［0,兀），可知a=?-.

2兀

故答案为：y.

4.（2023•江苏无锡•模拟预测）直线4：办+夕+1=0与4：x+皎-1=0平行，则实数。=（）

A.a=1B.<7=-1C.a=l或—1D.0

【答案】A

【详解】因为直线4:ax+y+l=0与4：x+ay-l=0平行，

所以/-1=0且-a-1/0,解得a=l.

故选：A.

5.（2023•山东青岛•三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、

垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知ZU5C的顶点/（TO）,8（3,0）,C（3,3）,若直线/：

ax+（/_3）y-9=0与△/8C的欧拉线平行，则实数a的值为（）

A.-2B.-1C.-1或3D.3

【答案】B

【详解】由ZUBC的顶点4（-3,0）,8（3,0）,C（3,3）知,

十、［（-3+3+30+0+3）/\

△Z5C重心为1-----------,—I,即（1」），

又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点等］，即1°，（），

1_3

所以可得△NBC的欧拉线方程了-1万,即尤+2了-3=0,

因为ax+（a?_3）y-9=0与x+2.y—3=0■彳丁，

匕广I、1aQ2—3—9

所以一=-----。一，

12-3

解得。=-1,

故选：B

题型4两条直线的交点与距离问题

1.（2024•初康汉•赢赢）已知0<x<a,0<”明若看且只有一组数对（工；田满足术纂套

Jx?+j?++/+旧+（广疗+J（x-）2+5-°）2V2夜,则实数。的取值集合为.

【答案】{1}

【详解】平面直角坐标系中,0<x<a,Q<y<a,。（0,0）,/（凡0）,B（a,a）,C（0,a）,P（x,y）,

y/x2+y2++/+J/+（y_q）~++（y-a）~

=\PO\+1PH+\PC\+\PB\=\PO\+\PB\+\PA\+|PC|>\OB\+\AC\^2缶

•••有且只有一组数对（x,y）满足不等式，，。=1,。的取值集合为{1}

故答案为：{1}.

2.（2020•陕西西安•模拟预测）若某直线被两平行线4：x-y+l=0与/2：x-V+3=0所截得的线段的长为2亚，

则该直线的倾斜角大小为.

【答案】15。和75。

【详解】因为直线小x-了+1=0与4：x-y+3=0平行,

所以4与4之间的距离"=

设直线/与34的夹角为c（0°<a<90°）,

因为直线/被直线4与4截得的线段长2行,

V2_1

所以sina=解得«=30°.

272-2

因为直线4，4的斜率为1，所以其倾斜角为45。,

所以直线/的倾斜角0的值为15。和75。.

故答案为：15。和75。.

3.（2023・河南开封•模拟预测）△N3C的三个顶点到直线/的距离分别为1,2,3,则该三角形的重心G到

直线/的距离为（答案不唯一，填一个即可）.

【答案】1（答案不唯一）

【详解】以平面N8C内一点。为原点，建立平面直角坐标系,

c

设”(XQJ,2(X2，%),C(X3，%),则+；+%,%+g+”

设直线/的方程为/苫+为+。=0（43不同时为0）,

不妨设吃用:J肛:。|乜肉；叫:.

y/A2+B2ylA2+B2y/A2+B2

设三角形的重心G到直线/的距离为心与,

Ax^2+^+Bxy1+y2+y±+c

则心_______33________

+B2

1+Byi+C)+(/x,+By2+C)+(/9+Byy+C)|

3X4A2+B2

则当Ax,+By,+C,AX2+8%+C/%+8%+C同号时，dg,取得最大值为3x（1+2+3）=2,

当A.Xy+Byy+C<0,A.X2+By?+C<0,%毛+By§+C>0,

或Axx+或i+C>0,4%2+或2+。>0,AX3+或3+C<0时，

取得最小值为:x（l+2-3）=0,也即/过重心G.

所以

故答案为:1（答案不唯一）.

4.（2023-24高一上•河南周口・开学考试）如图所示，点A是直线V=x上一点，过点A作。/的垂线交曲线

y=>0）于点3.若|6M「一|/*=8,则左=.

【答案】4

【详解】由图可知左＞0,

设小总，则直线":广，-(X-M，

k

y-----=-(x-m)k

由，m,解得工=>=彳m+丁，

22m

mkmk)

则“'+苏，万+茄〉

7

B\m,—到直线X-y=0的距离为,用=

(m

依题意，|。4『_|48「=8,

整理得后=4.

故答案为：4

5.(2023•上海浦东新•模拟预测)设点尸(x,y)满足"+如+c=0,贝1|“6=2a”是“卜+2y+2|+|x+2y—l|为定

值”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若k+24+2%,+2了―1|二百严2产+(+钎］为定值,

即点P(x,力至！J直线X+2了+2=。，x+2y-l=0两条直线距离之和为定值，

显然，这两条直线平行，如图，

所以当点尸(x,y)在与这两条直线平行的直线上时，此时直线办+勿+。=0满足且6=2°,

即b=2a,且aw0,6w0,|x+2y+2|+|x+2y-l|为定值，

所以“6=2a”是“卜+2了+21+|x+2＞一1|为定值”的必要不充分条件.

故选：B

题型5两直线的对称问题及其应用

（1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在/上找两个特殊点，求出各自关于

A对称的点，然后求出直线方程；

（2）点关于直线对称：利用"垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：

V一%-1

x-x

设点（X。,%）关于直线加+为+。=0的对称点（X/）,则＜0

,x'+xnJ+%n

A------^o-+B-~~+c=0

22

I_________________________________________________________________________________________________I

1.（2024•重庆•模拟预测）已知直线l：x+y=O和曲线C:/（x,y）=0,若点尸（"）是曲线C关于

直线/的对称曲线C的任意点，则点尸(尤',")满足()

A./(/,/)=0B./(-x；-y)=0

C.f(y',x')=QD.f(-y',-x')=Q

【答案】D

【详解】设点P（x',X）关于直线/：x+y=0的对称点为（x,y）,

-一■/

=1

则Ix=—y'

,解得

x+x+Z±£y=-xf

=0

、22

又点（xj）在曲线。上，所以〃x/）=0,

所以〃-9）=0.

故选：D

2.（2024•湖北•一模）设直线/：x+y-l=0,一束光线从原点。出发沿射线y=20）向直线/射出,

经/反射后与X轴交于点再次经X轴反射后与y轴交于点N.若|荻卜平，则上的值为（）

CID.2

【答案】B

【详解】如图，设点。关于直线/的对称点为4（打,月）,

土+"-1=°r,

22得3=1

则,即N(u),

2(一i)=一1M=i

由题意知V=h（x20）与直线/不平行，故左片-1,

y=kx

x+y-l=0

故直线AP的斜率为kAP=咛」一=1,

-L-ik

左+1

直线/P的直线方程为：J-1=1（X-1）,

令y=0得X=1-左,故一后,0）,

令x=0得＞=1-。，故由对称性可得N（0,；T

k\k

由|拓?卜半得（1-左）2+1，-1

解得左+；=¥，得左=,或左=1，

k632

若木=：3,则第二次反射后光线不会与了轴相交，故不符合条件.

故左=g,

故选：B

3.（2024・云南昆明•模拟预测）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍

交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河

边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流加,"，其方程分别为2x-y=0,

y=0,将军的出发点是点“（3,1）,军营所在位置为3（6,3）,则下列说法错误的是（）

A.若将军先去河流加饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为（1,2）

B.将军先去河流〃饮马，再返回军营的最短路程是逐

C.将军先去河流加饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程是相

D.将军先去河流〃饮马，再去河流加饮马，最后返回军营的最短路程是2折

【答案】ABD

【详解】对于A,如图①所示，设点43,1）关于直线2x-y=0的对称点为4（国,弘）,

"x2=T,

”「3解得4（_1,3）,

由，

2X21A.L±A

22=0

3

所以将军在河边饮马的地点的坐标为C(j3),故A错误；

对于B,如图②所示，因为点4(3,1)关于直线y=0的对称点为

将军先去河流〃饮马，再返回军营的最短路程是忸阕=旬6-3＞+(3+以=5,故B错误;

对于C,如图③所示，因为点8(6,3)关于直线y=0的对称点分别为，5.(6,-3)；

点4(3,1)关于直线2x-y=0的对称点为4(-1,3),

所以将军先去河流加饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程|44|=隔，故C正确;

对于D,如图④所示，设点3(6,3)关于直线2x-y=0的对称点分别为为(乙，%)，

^2^x2=-1,

解得当；点关于直线片的对称点为

由，8(-4(3,1)04(3,-1),

2上一一=o55

22

将军先去河流〃饮马，再去河流加饮马，最后返回军营的最短路程是区与|='野，故D错误.

故选：ABD.

4.(2022-23高三・全国•课后作业)若直线尸办+2与y=3x-6关于直线＞=x对称，则实数0=

【答案】|

【详解】直线＞=3x-6过点(0,-6),

点(0,-6)关于直线y=X对称点为(-6,0),

依题意可知点(-6,0)在直线了=办+2上,

所以—6a+2=0,a=—.

3

故答案为：—

5.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）设直线l:x+y-l=0,一束光线从原点O出发沿射线了=履（》,0）

向直线/射出，经/反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与J轴交于点N.若

\MN\=^,贝Uk的值为（）

116

【答案】B

【详解】

如图，设点。关于直线/的对称点为“（再,必）,

土+丛-1=0

则:2得%二，即N(U)，

Ax(-1)=-1M=1

由题意知y=Ax（xN0）与直线/不平行，故左片-1,

y=kx

由

x+y-l=0

故直线AP的斜率为kAP=与」一=；,

-L-ik

k+1

直线/尸的直线方程为：y-l=l（x-l）,

k

令歹=0得x=l—左，故"（1一左⑼，

令x=0得故由对称性可得N（0，[-1],

k\k）

由mi=平得（15+（河哮，即（左+£|邛+£|=||,

解得左+；1=?13，得左=2彳或后=：3，

k632

若后=；,则第二次反射后光线不会与歹轴相交，故不符合条件.

故左=:,

故选：B.

题型6圆的方程

确定圆的方程的方法

（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程.

（2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆

的方程中三个参数即可

________________________________________________________________________________________________I

1.（2023•北京平谷•一模）点M、N在圆C:/+y2+2依+2%一4=0上，且"、N两点关于直线x-y+1=0

对称，则圆C的半径（）

A.最大值为gB.最小值为好C.最小值为mD.最大值为逑

2222

【答案】C

【详角军】由+J/+2h+2阳一4=0,得（X+左）2+（y+加）2=左2+加2+4,

所以圆心。为（-左,-加），半径为厂="2+加2+4,

由题意可得直线％->+1=0经过圆心。（-左「加），

故有一无+加+1=0,即左二根+1,

所以半径为尸=J左之+加2+4-J（加+1『+加2+4=/2（加+J）+-^>~~~，

当机=一!时，圆。的半径的最小值为逑.

22

故选：C.

2.(2022•北京海淀•一模)已知直线，：办+勿=1是圆，+/-2》-2/=0的一条对称轴，则曲的最大值为

()

A.5B.yC.1D.V2

【答案】A

【详解】由于直线/是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线/上，

将圆的一般方程转变为标准方程：(X-1)2+(^-1)2=2,

圆心为(1,1)，将圆心坐标代入直线/的方程得。+6=1,

b=l-a,ab=a(l-a),

函数了是开口向下，以。=g为对称轴的抛物线，

所以2m，

故选：A.

3.(2024•吉林•三模)己知曲线C：x2+y2+2〃zx-2y+2=0表示圆，则加的取值范围是()

A.B.(1,+℃)C.(-1,1)D.(-oo,-l)u(l,+co)

【答案】D

【详解】圆的标准方程为：(X+机)2+5-球=/-1,

故/>1即"?<T或加>1,

故选：D.

4.(2024・湖南邵阳三模)写出满足“点(3,-2)在圆/+/一2工+4了+加=0外部”的一个加的值：m=,

【答案】4(答案不唯一，1(加<5)

【详解】圆(x-l)2+(了+2)2=5-加，则5-机>0,

由点(3,-2)在圆/+/-2；£+4了+优=0外部，得3?+(-2了-2x3+4x(_2)+"?>0,

解得1<<5,取=4.

故答案为：4

5.(2024•海南•模拟预测)下列方程中表示圆心在直线>=x上，半径为V2,且过原点的圆的是()

A.(x-l)2+(^-l)2=V2B.(x-l)2+(j+l)2=V2

C.(l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y-l)2=2

【答案】D

【详解】因为圆心在>=x上，所以设圆心为

因为圆的半径为企，

所以设圆的标准方程为(x-a『=2,

因为该圆过原点，

所以(_疗+(_疗=2,

解得。=±1,

所以圆心为(U)或(-1,-1),

当圆心为(1,1)时，圆的标准方程为(X-1)2+5-仔=2,D对；

当圆心为时，圆的标准方程为(X+1)2+(/+1)2=2.

故选：D.

题型7直线、圆与圆的位置关系

1元一

!00•0

(1)判断直线与圆位置关系的两种方法：

①几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径7,的大小关系判断；②代数法：根据直线与圆的方程组成的

方程组解的个数来判断；

(2)判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和

半径。G；③求两圆的圆心距d；④比较d与房-弓I，6+G的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位

置关系.

"I1'~4:港莫置行(a+1正+(二T)正2~=诟彘+?=4相前

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当。=0时，直线为x-y=0,过圆心(0,0),故直线与圆一+必=4相交，

,12al,

当直线m+Dx+(。-1)了+2a=0(。eR)与圆X?+必=4相交时，圆心到直线的距离”=/<-

{(”+1)+("1)

化简得/+2>0,显然恒成立，不能推出Q=0,

所以“a=0”是直线(a+l)x+(a-1”+2〃=0(a£K)与圆％2+。=4相交的充分不必要条件,

故选：A

2.(2024・北京大兴・三模)己知直线/：了=h+1与圆C:(x+1)，/=/卜>0),则“V后eR,直线/与圆C

有公共点”是“r>的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】易知圆C：（x+l）2+/=/（r＞0）的圆心为。（一1,0）,半径为『，

当VLeR,直线/与圆C有公共点时，尸|立恒成立,即（产一1）/+2左+/_INO恒成立，

y]l+k

则/一1＞0且1二4-4（，-1）2«0,解得1-121，即尸之71或--亚（舍去）

所以“VLeR,直线/与圆C有公共点”是“r＞亚”的必要不充分条件，

故选：B.

3.（2024•江西景德镇•一模）已知。6：/+/一2"-1+/=0与oC2：（x-l）2+（y+l）2=r2（r＞o）,若存在

实数。的值使得两圆仅有一条公切线，则「的最小值为.

【答案】2

【详解】因为。。1：（工一疗+必=1,

.•.0（4,0）,半径为1,

因为。。2：（%—1）+（y+i）=厂，

.-.C2（l,-1）,半径为，，

若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，

・•.Qc|=IT，

由于|GC21=J（aT）+l21，故,一1|21,

解得即『的最小值为2,

故答案为：2.

4.（2022-23高二上•河南洛阳•阶段练习）设有一组圆Q:（x-左y+3-厨2=左2（左＞0）,若圆q上恰有两点

到原点的距离为1,则上的取值范围是（）

A.（0,1）B.（V2-1,V2+1）C.（0,V2+l）D.（&-1,0+2）

【答案】B

【详解】圆Q：（x-肩,+3-斤）2=^（左＞o）,其圆心为色㈤,半径为r

因为圆。上恰有两点到原点的距离为1,所以圆x2+/=i与圆q有两个交点.

因为圆心距为JF+A所以1-左＜也发＜4+1,解得逝-1〈人＜血+1.

故选：B

5.（2024•四川绵阳•模拟预测）已知直线/：x-y+加=0,圆C:/+/-6无一2＞-15=0,则"与C有公共点”

是“-2-5血＜相＜5血-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【详解】圆C：x?+/-6x-2y-15=0,即（x-3），+（y-l/=25,圆心为C（3,l）,半径r=5,

|3-l+m|__

若/与C有公共点，则"+（_1）尸,解得-2-5&W加<-2+5血，

所以由“/与C有公共点”推不出“-2-5后〈加<5后-2"，故充分性不成立；

由-2-5也<加<5后-2推得出/与C有公共点，故必要性成立；

所以“/与C有公共点”是“-2-5V2<m<5近-2”的必要不充分条件.

故选：B

题型8圆的弦长问题

由于半径八弦长距&弦长/的一半构成直角三角形，所以利用/+[]=/求解

L-2024-7tM^^=S777:3雪羡：”（二犷+7=4^17-施瓦而

值为,写出满足“△/3C面积最大”的k的一个值______.

【答案】21（±1均可）

[详解]直线丘_,+左=0,贝Mx+l汝—>=0,令，解得，

卜=0n

所以直线质->+左=0恒过点（-1,0）,

OC：（x-l）2+y2=4的圆心为C（l,0）,半径r=2,

显然点（-1,0）在。C上，

2用_____

圆心0（1,0）到直线的距离1=方\,I/同=2"-屋，

贝US.ABC=~j\AB\d=J"/.d=J/（4一屋）<+；I

当且仅当屋=4-/，即屋=2时取等号，

即4=2,解得左=一1或左=1.

发2+1

故答案为：2；1（±1均可）

2.（2024•北京石景山•一模）直线”质+1与圆/+（y+l）2=16相交于48两点，则线段的长度可能为

（）

A.5B.7C.9D.14

【答案】B

【详解】直线丁=h+1恒过点（0,1）,且点（0,1）在圆/+（了+1『=16内，

当点（0,1）是弦48的中点时,此时弦长最短，圆心（0,-1）和点（0,1）的距离为2,此时弦长H同=2而二=46,

最长的弦长是直径为8,

所以弦长的取值范围是[4百,8],其中只有B成立.

故选：B

3.（2022-23高三上•北京海淀•期末）已知直线x-y+〃?=0与圆。：x?+r=1相交于两点，且/UOB

为等边三角形，则实数十的值为（）

A.立B.逅C.土立D.土逅

2222

【答案】D

【详解】由题意可知，圆。：f+/=i的圆心坐标为。（0,0）泮径为-1,

因为直线x-y+M=0与圆。：/+了2=1相交于两点，且ZUOB为等边三角形，

所以A/OB的边长为1,

则圆心。（0,0）到直线x-V+加=0的距离为J1-,

即小叫0解得加=±亚

V222

所以实数加的值为土逅.

2

故选：D.

4.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知圆C:/+/=i,直线/：x+y+2=0,尸为直线/上的动点，过点尸作

圆C的两条切线，切点分别为A,B,则直线过定点.

【答案】

【详解】根据题意，尸为直线/：x+y+2=0上的动点，设尸的坐标为伍-2-），

过点尸作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则尸/工/C,PB1BC,

则点A、B在以尸。为直径的圆上，

又由C（0,0）,则以PC为直径的圆的方程为x（xT）+j（j+2+/）=0,

变形可得：x~+y1—tx+（t+2）y—0,

[x2+y2=1/、

则有〈22,〃_n>可得：1-x+（t+2）y=0,

x+y—Zx+（，+2）y=0

变形可得：l+2yT（x-y）=0,即直线的方程为l+2yT（x-y）=0,

7

:,故直线过定点

x

故答案为：

5.（2024•全国•模拟预测）M点是圆C:（X+2）2+/=1上任意一点，4B为圆G:（x-2）2+_/=3的弦,且

|AB|=272,N为48的中点，则1MM的最小值为（）

D.47

【答案】B

【详解】圆C：（x+2r+/=i的圆心为C（一2,0）,半径为，=1,

圆G：（x-2>+/=3的圆心为G（2,0）,半径为4=百.

如图所示，由弦长公式知|/同=2，7不W=2后，

解得CM=1,

所以点N在以G（2,0）为圆心、1为半径的圆上，

由图可知，1的1的最小值为=-1=2.

故选：B.

题型9圆的切线问题

求切线方程的常用方法：

（1）求过圆上一点（5，%）的圆的切线方程的方法

先求切点与圆心的连线所在直线的斜率左，再由垂直关系知切线的斜率为一;，由点斜式方程可得切线方

k

程.若左=0或左不存在，则切线的斜率不存在或为o,从而可直接得切线方程为x=x°或y=

（2）求过圆外一点（七,%）的圆的切线方程的方法

设切线方程为歹一为=k（x-%）,由圆心到直线的距离等于半径长，可求得左，切线方程即可求出.

I

注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的左值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数

形结合求出.

1.（2023•北京门头沟•一模）若点M是圆C:x2+y2-4x=0上的任一点，直线/:x+y+2=0与x轴、了轴

分别相交于A、3两点,则的最小值为（）

71717171

A.—B.-C.-D.一

12436

【答案】A

【详解】如下图所示：

直线/的斜率为-1,倾斜角为『故皿”和

圆C的标准方程为（X-2『+V=4,圆心为C（2,0）,半径为厂=2,

易知直线/交x轴于点-2,0）,所以，|/C|=4,

由图可知，当直线与圆C相切，且切点位于x轴下方时，NM48取最小值,

1■JT

由圆的几何性质可知M|CM|=2=-|^C|,则/。〃=

26

t^ZMAB>ZOAB.

64612

故选：A.

2.（2023•北京西城•模拟预测）已知圆O:/+/=i,过直线3x+4y-10=0上的动点尸作圆。的一条切线,

切点为A,则|/训的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【详解】如图所示:连接尸。，则|尸/『=|尸。『-严，

当|尸。|最小时,向最小，卢。仁=卡生=2,

故『训的最小值为疹=7=6.

故选：c.

3.(2023•北京通州•三模)过直线了=x上的一点P作圆(x-5)2+。-=2的两条切线4,4，切点分别为4B,

当直线4，4关于＞=》对称时，线段4的长为()

A.4B.2亚