中考数学复习专项提升：几何压轴题二 相似模型（6大类型20种模型详解+20种模型）（原卷版）

第四章三角形

重难点12几何压轴题二相似模型

（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）

【题型汇总】

几何压轴题二相似模型

类型一A型模型

1.（2023九年级上•全国・专题练习）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行

工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把

它形象的称为“人字梯”.如图②，是其工作示意图，AB=AC,拉杆EF||BC,AE=-AB,EF=0.35米,

6

则两梯杆跨度B、C之间距离为（）

A.2米B.2.1米C.2.5米D.三米

2.（20-21九年级上•吉林•阶段练习）如图，AAB。的顶点A在函数y=£（x>0）的图象上，乙42。=90。，

过A。边的三等分点M、N分别作无轴的平行线交A8于点P、Q.若AANQ的面积为1,则人的值为（）

A.9B.12C.15D.18

3.（2024•广东东莞.二模）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出

现.北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用.如图2所示为从独轮车中抽象

出来的几何模型.在AABC中，AB=BC,以AABC的边4B为直径作。0,交AC于点P,且PD1BC,垂足

为点D.

（1）求证：PD是。。的切线；

（2）若tanC=2,求。。的半径.

题型02构造A型相似

1.（2020・湖北武汉•一模）如图，在RtAABC中，乙4cB=90°,AC=BC=6,。是4B上一点，点E在BC上,

连接CD,2E交于点R若NCFE=45。，BD=2AD,则CE=

A

D

F

2.（20-21九年级上•河南关R州•阶段练习）如图，已知。是的中点，M是AO的中点.求/N:NC的值.

3.（2020.浙江杭州.一模）如图，点O是AABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB,AC所在直线于

jK口ABAC

点M,N,且—AM=m,—AN=n.

（1）若点O是线段BC中点.

①求证：m+n=2；

②求mn的最大值；

题型03反A型模型

类型条件图示结论

A

反A型模型Z1=Z2△ADESAABC,

AD・AC=AE・AB

BAC

作垂线构造反“A”字相ZB=90°4为48上的一A△ADESAABC,AD・AC=AE・

似模型点AB

BC

1.如图，在△4BC中，点。、E分另1j在AB、AC上，乙ADE=KC,如果AD=3,AADE的面积为9,四边形

BDEC的面积为16,则4C的长为

A

2.(2020•山东潍坊二模)如图，在44BC中，AB=AC,以AC为直径的。。交BC于点D,交2B于点E,过

点D作DF1AB,垂足为尸，连接。E.

⑴求证：直线DF与O。相切；茬

E%\

(2)若AE=7,BC=6,求4C的长.

如图，在△ABC中，A8=4VLZB=45°,ZC=60°.〃.

3.(2020•浙江金华・中考真题)J

(1)求BC边上的高线长.

(2)点E为线段A8的中点，点尸在边AC上，连结EF,沿EF将AAEF折叠得到

△PEF.

①如图2,当点P落在BC上时，求NAE尸的度数.

②如图3,连结4P,当PFJ_AC时，求AP的长.

AAA

图1图2图3

4.(2022•湖南长沙•中考真题)如图，四边形ABCD内接于。0,对角线AC,BD相交于点E,点/在边2D上,

连接EF.

⑴求证：AABE-ADCE-,

⑵当叱=的NDFE=2NCDB时，则奈一奈=___________;喘+案=二,工+工一

DCiL,C>riijriU'ABAD

二=___________.(直接将结果填写在相应的横线上)

(3)①记四边形48CD,4ABE,△CDE的面积依次为S.S^S2,若满足遮=店+店，试判断，AABE,A

CDE的形状，并说明理由.

②当比=CB,AB-m,AD—n,C£）=p时，试用含加，n,〃的式子表水/E,CE.

5.（2023・湖北武汉•模拟预测）【问题背景】（1）如图1,AABC中，乙BED=KBCA,求证：子=塔

【问题探究】（2）如图2,△ABC中，N4=90。，BD平分N4BC,CD1BD于点、D,过点D作BC的平行线交2B

于点E,作EF1BC于点F,猜想EF与己有的哪条线段的一半相等，并加以证明;

【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当FC=AC时，直接写出NBCD的正切值tan/BCD.

题型04作垂线构造反“A”字相似模型

1.（2024九年级•江苏连云港•阶段练习）如图，小杨将一个三角板放在。。上，使三角板的一直角边经过圆

心。测得AC=5CM,AB=3cm,则。。的半径长为.

类型二X型模型

类型X型模型作平行线构造x型相似

条件AB〃CD-k

DO

图示ABAB

DC

ADC

结论△AOBSACOD过点D作CD〃AB,交AO的延长线于点C,则可构造AAOBSACOD,可得

_B_O_——_A_O_——_A_B_——b,-

CO-CD一

题型01直接用x型相似

1.（202「山东聊城•一模）如图，在平行四边形A8CD中，点£是力。上一点，AE=2ED,连接BE交AC于点

G,延长BE交CD的延长线于点尸，则失的值为（）

AE

fD

A.B-1c-1D-;

2.（22-23九年级上•北京房山•期中）如图，AO与3。交于。点，乙4=4。，B0=4,DO=2,AB=3,

求CD的长.

3.（2024.广东东莞•一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架4。与CB交于点0,

测得力。=BO=50cm,CO=DO=30cm.

图1

⑴若CD=40cm,

（2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度NAOB=106°,求力B距离地面的高.（结果保留整数）（参考数值sin37。«

0.60,cos37°x0,80）

4.⑵-21九年级上•四川达州•期末）某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m

的梯形空地上种花（如图所示）.

（1）他们在△AMD和ABMC地带上种植太阳花，单价为8元加2.当AAW）地带种满花后（图中阴影部分）

花了160元，请计算种满ABMC地带所需的费用；

（2）若和△NWC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/»/和10元/加2,应选择

哪一种花，刚好用完所筹集的资金？

D

M

BC

5.（2021・四川广元・中考真题）如图，在平行四边形力BCD中，E为DC边的中点，连接4E,若4E的延长线和

BC的延长线相交于点F.

（1）求证：BC=CF；

（2）连接力C和BE相交于点为G,若AGEC的面积为2,求平行四边形4BCD的面积.

题型02构造X型相似

1.（21-22九年级上.江苏泰州.阶段练习）如图，G为AA8C的重心，AG=12,则AD=

2.（20-21八年级下•湖南常德・期中）如图在平行四边形ABC。中，E是的中点，P是AE的中点，CF交

BE于点、G,若BE=8,贝ijGE=_.

3.（20-21九年级上•全国•课后作业）已知：如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEIIBC,

点F在边AB上，BC2=BF・BA,CF与DE相交于点G.

（1）求证：DF・AB=BODG；

（2）当点E为AC中点时，求证：2DF・EG=AF«DG.

题型03双反X型模型（蝶形模型）

条件：ZOAB=ZODC

(2)求证：DA・OC=OD,CE.

2.(2023•湖北武汉•模拟预测)探索发现：如图1,等边△力BC中，G为8c中点，D、E分别是BC、AC上的

两点，BD=CE.

⑴求证：ABAD="BE；

(2)”为EF上一点，若乙BHG+AAFH=90°,求竺的值；

FH

迁移拓展：

(3)如图2,等腰RtAABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD=1.E是2C上的点，CE=&BD,H为

EF上一点，若NBHG+N2FH=90。，直接写出HG的长.

类型三母子相似

题型01母子相似模型

类型母子相似模型构造母子相似模型

条件点D在AC边上，Z1=Z2NABE=NC

图示AA

........................c

BC

G

23

结论AACDSAABC,AC=AD»AB延长BE交AC于点F过点C作CG//BF交AB延长

AABFSAACB线于点G,AABCSAACG

1.（21-22九年级上.吉林长春•阶段练习）【基础巩固】（1）如图1,在AABC中，。为A3上一点，ZACD

=ZB.求证：AC2—AD*AB.

【尝试应用】（2）如图2,在DABC。中，E为BC上一点/为CD延长线上一点，ZBFE=ZA.若8尸=4,

BE=3,求的长.

2.（2023・湖北武汉•模拟预测）探索发现；（1）如图1,在△ABC中，4B=4CAF；求证：AC2=CF-BC；

初步应用：（2）如图2,在△力BC中，AB=AC,BD1AB,BELAD,连接CE、CD；求证：—=—

BDCD

迁移拓展：（3）如图3,在AdBC中，Z5=ACAF,H为4C上一点使C”=CF,过"作HG||BC交于G,

AG=AF,求差的值;

CF

图3

3.（21-22八年级下•江苏苏州•期中）定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足N1=N2,则称点尸

为这个三角形的“理想点”.

AC

图①图②

⑴如图①，若点。是△ABC的边A8的中点，AC=2V2,AB=4,试判断点。是不是△4BC的“理想点”,

并说明理由；

(2)如图②，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若点。是△力BC的“理想点”，求C。的长.

4.(2023•江苏淮安・三模)【探究发现】

(1)如图1,在△力8c中，。为8c边的中点，连接4。并延长至点X,使DH=4。，连接CH.由乙MB=乙CDH,

得AADBmAHDC,贝。4B与C”的数量关系为,位置关系为.

图3

【尝试应用】

(2)如图2,在AABC中，4P平分NB",D为BC边的中点，过点。作DQIIAP,交CA的延长线于点。,

交边于点K.试判断与CQ的数量关系，并说明理由.

【拓展应用】

(3)如图3,在RtAABC中，ABAC=90°,AC=6,AB=8,。为BC边的中点，连接4D,E为4C边上一

动点，连接BE交2D于点E

①若BF=4C.求4E的长度；

②在射线4D上取一点G,且保=点连接BG,直接写出4BE+5BG的最小值.

题型02射影定理模型

类型射影定理作高用射影定理

条件ZABC=ZADB=90°F,A,B三点共线，C,A,E三点共线，ZACB=ZAFE=90°

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AD=4,BD=9,求。。的半径.

2.(2023•山东日照•一模)操作与研究：如图，△力BC被平行于CD的光线照射，CD1AB于。，在投影面

上.

(1)指出图中线段4C的投影是,线段BC的投影是.

(2)问题情景：如图1,RtAABC中，乙4cB=90。，CDLAB,我们可以利用△ABC与△4CD相似证明AC?=

AD-AB,这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.

(3)【结论运用】如图2,正方形ABCD的边长为15,点。是对角线AC,BD的交点，点E在CD上，过点C

作CF1BE,垂足为R连接OF,

①试利用射影定理证明仆BOFBED；

②若DE=2CE,求。F的长.

3.(2024•广西南宁•三模)阅读与思考，完成后面的问题.

射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理.如图，在RtAABC中，ABAC=90。，AD是

斜边BC上的高，则有如下结论：

@AD2=BD-DC；②AB2=BD-BC；③4C2=CD-BC.下面是该定理的证明过程(部分)：

是斜边BC上的高,：.LADB=90°=Z.ADC.VzB+/.BAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.^BAD=ZC.：.AABD-ACAD(依据).即力£)2=BD-DC.

⑴材料中的“依据”是指;

(2)选择②或③其中一个结论加以证明；

(3)应用：AABC中，NA=90。，B(l,0),C(—3,0),点A在y轴上，求顶点A的坐标.

4.(2022・四川绵阳・中考真题)如图，四边形ABCZ)中，ZADC=90°,AC1BC,ZABC=45°,AC与8。

交于点E,若A3=2V1U,CD=2,则△ABE的面积为.

类型四一线三等角模型

结论

ABBCAC_n.「厂厂八An

或BSAB.DE—=一=—或BOCD=AB・DE

CDDECE

【一线三等角/一线三垂直的出题样式】

题目中一般不会直接给出一线三等角模型/一线三垂直模型标准样式，需要结合题目信息，进行构建.以

一线三垂直模型为例，当有直角三角形和过直角顶点的直线时，即可作垂线构造“一线三垂直”相似样型，

1.（2024•北京.模拟预测）如图，四边形力BCD为正方形，DE1EF,FGLAB.

⑴证明：4DAEMEGF

（2）不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△ZME三AEGF

2.（2023•贵州铜仁•三模）如图1将矩形力BCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，己知折痕与边BC交于

点。，连结2P、OP、OA.

⑴求证：4OCP'PDA；

（2）如图2,擦去折痕40、线段。P,连结2P.动点M在线段4P上（点M与点尸、A不重合），动点N在线段4B

的延长线上，且BN=PM,连结MN交PB于点尸，作ME，BP于点E.探究：当点〃、N在移动过程中，线

段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由.

3.（2024・广西玉林・三模）如图1,在边长为4的正方形2BCD中，点”为4B上一动点，且2W<4,截

取HM=HB,且交线段4。于过Mr作”M的垂线MN交DC于N.

图1图2备用图

⑴求证：AAHM-ADMN；

（2）如图2,若点M是4。的中点，求ADMN的周长;

（3）在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，AOMN的周长如何变化？请说明理由.

题型02一线三等角模型

1.（2020九年级•全国・专题练习）如图，在AABC中，点。、E分别在边BC、4c上，连接4D、DE,且NB=

Z.ADE=Z.C.

⑴证明：4BDAFCED；

⑵若NB=45。,/?。=2,当点。在BC上运动时（点。不与B、C重合），且AADE是等腰三角形，求此时BD的

长.

2.（23-24九年级上.浙江杭州•期末）四边形4BCD中，点E在边AB上，连结DE,CE.

（2）如图2,若四边形4BC0为矩形，AB=5,BC=2,且"与E、B、C为顶点的三角形相似，求4E的

长.

3.（2024•河北秦皇岛•模拟预测）如图，△48C和ADEF是两个全等的等腰直角三角形，AB4C=4EDF=90。,

△DEF的顶点E与△4BC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段力B相交

于点P,线段EF与射线C4相交于点Q.

图①图②

(1)如图①，当点Q在线段力C上，且力P=4Q时，求证：ABPEMCQE；

(2)如图②，当点Q在线段C4的延长线上时，求证：4BPEFCEQ.

4.(2023・河南周口•三模)(1)问题发现：如图1,在△4BC中，/.ABC=a,将边力C绕点C顺时针旋转a得

到线段CE,在射线BC上取点。，使得NCDE=a,线段BC与DE的数量关系是；

(2)类比探究：如图2,若a=90。，作乙4CE=90。，且CE=^aC,其他条件不变，写出变化后线段BC与

DE的数量关系，并给出证明；

(3)拓展延伸：如图3,正方形力BCD的边长为6,点E是边4。上一点，且2E=2,把线段CE逆时针旋转

90。得到线段EF,连接BF,直接写出线段BF的长.

F

BC

图3

类型五热考模型

解题策略:

EDEM

方法一:如图1,过点E作EM±AC于点M,作EN±BC于点N,由已知条件易证明AEDMsAEFN,所以——=——

EFEN

由于E，£=LBC,EX=LC,则曰=巴=£

22EFENAC

方法二：如图2,过点E作GELAB交BC于点G,由已知条件易证明AADESAGFE,ABGE-ABAC,所以

EDAE名=些，由于AE=BE,则股=至=些=些

---=----，

EFGEEFGEGEAC

结论：—

EFAC

1.（24-25九年级上•河北石家庄•阶段练习）如图，在RtA48C中，^ACB=90°,^ABC=30°,直角NMON的

顶点。在4B上，。时、。可分别交心4、以于点P、Q,乙MON绕点、O任意旋转,当器=；时，黑的值为________:

UD2（JQ

当翳=:时，器的值为--------（用含，"，〃的式子表示）

2.（22-23九年级上•辽宁鞍山•阶段练习）如图（1）,在RtAABC中，=90。，点。是AC边的中点.将一

块直角三角板的直角顶点放在点。处,将三角板绕点。旋转，使它的两条直角边分别与线段力B,BC交于点P,

（2）佳佳发现，在三角板旋转过程中，笠=静，请你利用图（1）证明这个结论.

（3）当点P,8重合时，如图（3）,线段AP,PQ,CQ之间满足一定的等量关系，请你探索力P,PQ,CQ之间

的数量关系.

3.（23-24九年级上.河南许昌.期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

cCC

FF

M

DD

图1图2图3

在中，"=90。"。=BC,。是ZB边上一点，且丝=三(九为正整数)，E是/C边上的动点，连接DE,

BDn

过点。作DF1DE交直线8C于点F.探究线段之间的数量关系.

(1)【初步成知】

如图1,当n=l时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程.

小亮：

证明：连接CD.

小红：

证明：过点。作DN1AC于点N,DH1BC于点H.

ADB由题意，可知力。=BDQ4DN和ABD”均是等腰直角三角形，四

由题意，可知4D=BD,边形CNDH是矩形.

即。为AB的中点.C

CD=AD=BD.CD^^ACB,

CDLAB.

ADB

Z.ACD=乙BCD=Z-B=

・•.AN=DN,NC=DH.

45°,Z.CDB=90°.

易得。N=C,噎*嗡=L

•・•ED1FDf.•・乙EDF=Z.CDB=90°.

・•.DN=DH.

••・乙EDF-乙CDF=(CDB一匕CDF.

Z.CDE=乙BDF.

CDE=ABZ)F(ASA).

・•.DE=DF.

(2)【深入探究】

①如图2,当n=2,且点F在线段上时，试探究线段尸之间的数量关系，请写出结论并证明；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段DE,DF之间的数量关系的一般结论.(直接写出结论，不必证明)

(3)【拓展运用】

在(1)的条件下，连接EF,设EF的中点为M,若4C=4,请直接写出点E从点4运动到点C的过程中，点M运

动的路径长.

4.（2020九年级•河南・专题练习）如图，在RdABC中，ZACB=90°,-=CZ）_LAB于点。，点E是直

ACn

线AC上一动点，连接。E,过点。作FDLED,交直线于点?

（1）探究发现：

如图1,若%=%点后在线段AC上，则器=_；

（2）数学思考:

①如图2,若点E在线段AC上，则器=_（用含加，〃的代数式表示）;

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明;

1.（2022•广东深圳•二模）【教材呈现［（1）如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形4BC和4FG

摆放在一起，点A为公共顶点，Z.BAC=ZG=90°,若AABC固定不动，将AAFG绕点A旋转，边4F,4G与

边BC分别交于点D,£（点。不与点B重合，点£不与点C重合），则结论BE•CD=AB2是否成立一（填“成

立”或“不成立”）；

【类比引申】（2）如图2,在正方形2BCD中，NE4F为NB4D内的一个动角，两边分别与BD,BC交于点E,

F,且满足NE4F=NADB,求证：RADES&AACF；

【拓展延伸】（3）如图3,菱形4BCD的边长为12cm,ABAD=120°,NE4F的两边分别与BD,BC相交于

点E,F,且满足NE4F=NADB,若BF=9cm,则线段DE的长为_cm.

A

AD

2.（2024・四川乐山•中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1,在△ABC中，/.BAC=90°,4B=AC,点。、£在边BC上，K/-DAE=45°,BD=3,CE=4,求

£）£的长.

解：如图2,将△ABD绕点A逆时针旋转90。得到△2CD,连接E”

图1

由旋转的特征得NBAD=乙B=KACD',AD=AD',BD=CD'.

\'ABAC=90°,/.DAE=45°,

/.BAD+Z.EAC=45°.

'：ABAD=ACAD',

：.^.CAD'+^EAC=4E>°,即NE力£>'=45°.

：.^DAE=^D'AE.

在ADZE和△。2E中，

AD=AD',^DAE=^D'AE,AE=AE,

：.DE=D'E.

又,：乙ECD'=Z.ECA+AACD'=Z.ECA+NB=90°,

.•.在RtAEC。中，②.

"：CD'=BD=3,CE=4,

图2

：.DE=D'E=③.

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：.

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以

不变应万变.

【知识迁移】

如图3,在正方形ABC。中，点E、尸分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形48CD的周长的一

半，连结2E、AF,分别与对角线BD交于M、N两点.探究BM、MN、DN的数量关系并证明.

图3

【拓展应用】

如图4,在矩形48CD中，点£、尸分别在边BC、CD上，且NE4F=Z_C£T=45。.探究B£\EF、OF的数量

关系：（直接写出结论，不必证明）.

【问题再探】

如图5,在4ABC中，NABC=90°,AB=4,BC=3,点O、E在边力C上，且NDBE=45°.设AD=x,CE=y,

求y与尤的函数关系式.

A

图5

3.（22-23九年级上•江苏徐州・期末）如图，在APAB中，C、。为AB边上的两个动点，PC=PD.

（1）若PC=CD/APB=120°,则AAPC与APB。相似吗?为什么？

（2）若PC_L48（即C、。重合），则N4PB=。时，AAPCSRPBD；

⑶当NCPD和乙4PB满足怎样的数量关系时，AAPC-APB。?请说明理由.

C.V3D.2

2.（2023・湖南常德・中考真题）如图1,在RtAABC中，^ABC=90°,AB=8,BC=6,。是AB上一点,

且2。=2,过点。作DEIIBC交"于应将仆ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中哭的值为

3.(2021・山西•模拟预测)问题情境：如图1,在AABC中，AB=6,AC=5,点。，E分别在边AB,AC上,

且DEIIBC.数学思考:

(1)在图1中，片的值为；

CE

(2)图1中△ABC保持不动，将AADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接8。，

CE,则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由；

(3)拓展探究：在图2中，延长B。，分别交AC,CE于点F,P,连接AP,得到图3,探究NAPE与NA3C

之间有何数量关系，并说明理由；

(4)若将AAOE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接8。，CE,延长8。交CE的延长线于点P,BP

交AC于点尸，则(3)中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出/APE与NABC

之间的数量关系.

4.(22-23九年级上•山西临汾•期中)综合与实践

问题情境：如图，在RtAABC中，^ACB=90°,将△ABC绕点8顺时针旋转得到RtAEBD,连接4E,连接

CD并延长交AE于点F.

B

猜想验证:

（1）试猜想△CBD与A4BE是否相似？并证明你的猜想.

探究证明：

（2）如图，连接BF交。E于点X,48与CF相交于点G,黑=署是否成立？并说明理由.

BHEH

拓展延伸：

（3）若CD=EF,直接写出方的值.

AB

5.（2021•山东日照•中考真题）问题背景：

如图1,在矩形4BCD中，AB=2V3,^ABD=30°,点E是边AB的中点，过点E作EF_LA8交BD于点F.

实验探究:

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的ABEF绕点B按逆时针方向旋转90。，如图2所示，得到结论:

①筹=_____;②直线4E与D尸所夹锐角的度数为______.

DF

（2）小王同学继续将ABEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否

仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当ABEF旋转至D、E、F三点共线时，则AADE的面积为.

6.（2020・广东深圳・中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E,

A,。在同一条直线上），发现8£=OG且BELOG.小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=Z）G吗？如果能，请给出证明.如

若不能，请说明理由：

（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形A2CD将菱形AEPG绕点A按顺时针方向旋转，（如图

2）试问当/EAG与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论8E=OG仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABC。，且芸=芸=jAE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A

按顺时针方向旋转（如图3）,连接。E,8G.小组发现：在旋转过程中，灰?2+。£2是定值，请求出这个定

值.

题型0412345模型

模型简述：若两个锐角a、B满足tana专,tanB=，则a+B=45°,上面的条件，只要其中两个

条件成立，另一个条件也成立.（知二推一）

【结论1】如图所示，在正方形网格中已知

tanZ1=1,tanZ2=1,则Nl+N2=45。-----------------------

【结论2】如图所不，已知tana=2，ZEAF=45°,则tanZDAF=-

正方形网格中构建如图所示矩形,

假设正方形网格边长为1,则DF=1,AD=BC=3

/.tanZDAF

E

已知tana=l/2,zEAF=45°已知tangl/3,zEAF=45°

1i

【结论3】如图所示，已知tan/DAF=§,ZEAF=45°,则tana=万

⑥上右图，若两个锐角a、B满足tana=2,tan3=3,贝a+6=135°

【总结】

1）需要强调a+|3=45°是数量关系而非位置关系，如果这两个角距离很远，没有公共端点，但是满足tana

=1,tan3就有a+0=45°.实际上，tana=2,tan6=1,a+0=45°这三个条件，只要知道其中两个就

可以推出剩下的一个，即知二推一.

2）“12345”模型的结论可在选择题、填空题中直接使用，但在解答题中不能直接使用.

1.（2021•北京丰台•一模）如图所示的网格是正方形网格，则NB4C+NCDE=（点A,B,C,D,E

是网格线交点）.

2.（2023•山东滨州•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，A8=2,BC=4,点E、尸分别在BC、CD±,若4£=逐,

NEAF=45°,则的长为.

3.（2022・四川乐山・中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=有，点。是AC上一点，连接BD若

tan乙4=tan^ABD=1,则CD的长为（）

A.2V5B.3C.V5D.2

4.（2020・吉林长春•二模）如图，正方形ABC。中，AB=8,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,

延长GF交。C于点E,则。E的长是（）

4R

A.-B.2C.-D.3

33

5.（2023•山西晋城•模拟预测）如图，在正方形/BCD中，点E,F分别为BC,的中点，连接/E,点G是

线段/E上一点，连接GF,延长FG交CD于点M,若=4,Z.AGF=45°,则CM的长为.

6.（22-23九年级上•福建泉州•期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+m分别交》轴，y轴于4B

两点，已知点C（2,0）,点P为线段OB的中点，连结P4PC,若NCP4=〃B。，则小的值为.

类型六其它模型

1.（2021•内蒙古・中考真题）如图，在RM4BC中，N4CB=90°,过点8作BD1CB,垂足为8,且8D=3,

连接C。，与48相交于点M,过点M作MN1CB,垂足为N.若4C=2,则MN的长为.

2.（2023・安徽滁州•校考一模）如图，已知4B1BC、DC1BC,AC与BD相交于点。，作0M1BC于点

点E是BD的中点，EF1BC于点G,交AC于点尸,若力B=4,CD=6,贝iJOM-EF值为（）

3

AC.D

-IB-T5-1

3.（2023.陕西西安.交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙4B,甲、

乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形（CD1DF.AB1DF.EFLDF）.甲

从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处.点B是DF的中点.墙2B高5.5米，DF=120米，BG=10.5

米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差.（结果精确到0.1米）.

4.（2022下•黑龙江大庆•八年级统考期中）如图，F为△8瓦）的边8。上一点，过点8作B4IEF交。E的延

长线于点4过点。作DCIIEF交BE的延长线于点C.

（2）请找出SAAB。，SGED，S^BDC之间的关系，并给出证明.

5.（2022・湖北武汉・统考模拟预测）（1）【问题背景】如图1,AB||EF||CD,4D与BC相交于点E,点尸在8D

小雅同学的想法是将结论转化为言+言=1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程.

（2）【类比探究】如图2,AELAB,BD1AB,GHLAB,DE与BC相交于点G,点"在AB上，AE=AC.求

、工11_2

：GHAC-BD'

（3）【拓展运用】如图3,在四边形4BCD中，ABWCD,连接AC,BD交于点M,过点M作EF||48,交4。于

点E,交BC于点尸，连接EC,FD交于点N,过点N作GH||4B,交4D于点G,交BC于点若4B=3,CD=5,

直接写出GH的长.

题型02三角形内接矩形模型

类型三角形内接正方形三角形内接矩形

1.（2023•内蒙古通辽•模拟预测）如图，正方形MNPQ内接于A4BC,点M、N在BC上，点P、Q分别在4C和

4B边上，且8c边上的高4。=6cm,BC=12cm,则正方形MNPQ的边长为.

2.（2024・河南•三模）阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任

务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这

样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形.那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用

如下方法：如图1,在RtAABC中，乙4cB=90。，作N4CB的角平分线，交斜边4B于点。；然后过点

分别作力C,BC的垂线，垂足分别为RE,则=（依据1）容易证明四边形DFCE是正方形.

图1图2

用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点.

如图2,如果RtAABC的内接正方形的一边恰好在斜边4B上，我就可用如下方法,

第一步：过直角顶点C作CD1AB,垂足为

第二步，延长48到使得8M=2。，连接CM；

第三步：作NBDC的平分线，交MC于点E；

第四步：过点E分别作DC,DB的垂线，垂足分别为P,K,EP交BC于点、F,EP的延长线交4C交于G；

第五步：分别过点凡G作力B的垂线，垂足分别为N,H.

则四边形NFG”就是RtAABC的内接正方形，并且NH恰好在该直角三角形的斜边上.

理由如下：易证四边形EPDK是正方形，EGWAM.

'：EG\\AM,:.乙C6P=ACAD,乙CPG=4CDA,CGP-△CAD,同理可得：ACEL&CMB.(依据2)

GPCP__E_F—_C_F—_C