中考数学复习专项提升训练：实数及其运算（练习）（解析版）

第一章数与式

第01讲实数及其运算

口题型09与绝对值有关的化简问题

模拟基础练口题型10非负性的应用

口题型11实数的简单运算

□题型01正负数的意义

口题型12实数的混合运算

口题型02实数的分类

口题型13与实数有关的新定义问题

□题型03科学记数法

口题型04无理数的估算重难创新练

口题型05实数的大小比较

口题型06实数与数轴

□题型07实数的性质真题实战练

□题型08平方根、立方根

模拟基础练।

□题型01正负数的意义

1.（2023•贵州黔东南•模拟预测）如果收入300元记作+300元，那么支出180元记作（）

A.+180兀B.—180兀C.+80兀D.-80兀

【答案】B

【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；

此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量.

【详解】收入为“十”，则支出为“一”，

那么支出180元记作-180元.

故选：B.

2.（2023•辽宁•模拟预测）某校仪仗队队员的平均身高为175cm,如果高于平均身高2cm记作+2cm,那么低

于平均身高2cm应该记作（）

A.2cmB.—2cmC.175cmD.—175cm

【答案】B

【分析】根据正负数的意义解答即可.

【详解】解:高于平均身高2cm记作+2cm,那么低于平均身高2cm应该记作-2cm.

故选B.

【点睛】本题考查正负数的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

3.（2023・江苏•模拟预测）手机移动支付给生活带来便捷.如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示

收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（）

转账一来自天青色+18.00

微信红包一发给高原红-12.00

A.收入18元B.收入6元C.支出6元D.支出12元

【答案】B

【分析】根据有理数的加法法则计算即可.

【详解】解：+18+（-12）=6（元），

即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元.

故选：B.

【点睛】本题考查正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则是解题关键.

□题型02实数的分类

1.（2023•山西运城•三模）下列各数：10,-6.67,-j,0,-（-3）,-|-2|,-（-42）,其中属于非负

数的共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据非负整数的定义直接求解即可得到答案.

【详解】解：••・一（一3）=3,2|=-2,-（—42）=42,

二在10,—6.67,--,0,—（~3）,-|—2|,—（—42）中，非负数有10,0,—（—3）,—（—42）共4个，

故选：D.

【点睛】本题考查非负整数的定义，掌握多重符号的化简是解决问题的关键.

2.（2022•山东日照・中考真题）在实数VLx0（#0）,cos30。，遮中，有理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据零指数幕，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答.

【详解】解：在实数迎，x°（_#0）=1,cos300=y,遮=2中，有理数是需=2,尤°=1,

所以，有理数的个数是2,

故选:B.

【点睛】本题考查了零指数幕，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.

3.（2023•湖南长沙•模拟预测）实数-2023.2023,V7,0,闹，-it,0.甘中，有理数的个数为0,无

11

理数的个数为6,则a-6的值是（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分析】根据实数的分类可得a=5,b=2,即可求解.

【详解】解：764=4,

有理数有-2023.2023,0,V64,（，0.15,有5个，

无理数有近，-71,有2个，

即a=5,b=2,

••CLb=3*

故选：B

【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键.

4.（2023•江苏无锡・三模）若强+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值________.

【答案】-任

【分析】根据合并同类项和有理数的定义，即可得到答案.

【详解】解：a的值为有理数，

VV5+（-75）=0,

.\a=-V5,（答案不唯一）；

故答案为：7（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是掌握两个无理数的和等于有理数的特征进行解题.

口题型03科学记数法

1.（2023・山西太原•一模）吉瓦是功率单位，符号为GW,—吉瓦等于十亿瓦.2023年2月13日，国家能源

局发布消息：2022年全国风力、光伏发电新增装机再创历史新高，达到125吉瓦，则数据125吉瓦用科学

记数法可表示为（）

A.1.25x101°瓦B.12.5x1011瓦

C.0.125x10］。瓦D.1.25x1011瓦

【答案】D

【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值.科学记数法的表示形

式为ax10”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定律的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位，九的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.据此即可获得答案.

【详解】解：125吉瓦=125000000000瓦=1.25x1011.

故选：D.

2.（2023•宁夏银川•模拟预测）我国共有43个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总

数居世界第一，据中国茶业流通协会提供的数据，我国茶叶市场每年有3xl01i的国内生产总值，数据3x

IO1】可以表示为（）

A.30亿B.300亿C.3000亿D.30000亿

【答案】C

【分析】本题考查根据科学记数法表示较大的数写出原数.将一个数表示为ax的形式，其中1<|a|<10,

“为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案.

【详解】解：3X1011=300000000000=3000亿，

故选：C

3.（2023•河南驻马店•一模）据报道，英国约克大学科学家测出了质子半径的精确数值，精确到0.833飞米.已

知1飞米=KTm米，数据0.833飞米可用科学记数法表示为（）

14

A.0.833xICT*米B.8.33x10-15米c8.33xIO』米D833x10-^

【答案】C

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax的形式，其中1<|a|<10,n

为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

【详解】解：已知1飞米=IO-m米，

...0.833飞米=0.833XKT”米，

.,.0.833XIO-*=83*米,

故选：c.

4.（2023•河南信阳•二模）2023年2月17日，我国“羲和号”卫星，完成了全部在轨试验项目，实现了双超平

台试验和科学载荷试验的工程目标，获取的数据有力支撑了太阳Ha光谱科学研究，每天产生约1.1TB原始

数据.这些数据已通过国家航天局指定网站，按照数据管理政策对外发布，被美国、法国、德国、日本、

比利时、捷克、俄罗斯等国家科学家下载使用，显著提升了我国在空间科学领域的国际影响力，我们知道

1TB=21°GB,1GB=210MB,1MB=21°KB,1KB=2'。B,那么数据1.1TB等于（）

A.1.1x240BB.2.240gc.1.1x1640BD.1.76x1040B

【答案】A

【分析】由题意运用乘方知识进行求解.

【详解】解：L1X210x210x210x210

=1.1X2的出），

故选：A.

【点睛】此题考查了运用乘方运算解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识.

口题型04无理数的估算

1.（2024.安徽淮北•模拟预测）若估算VI石-同的值在整数“和（n/1）之间，则«=.

【答案】4

【分析】本题考查估算无理数的大小.先化简，然后用平方法估算2遥的大小即可.

【详解】解：••・VI海-闻=5西一3西=2花，

2

又•••（2V5）=20,16<20<25

BP42<20<52,

•••4<2V5<5,

又；J而的值在整数〃和（/?+1）之间，

・•・n=4.

故答案为：4.

2.（2023•四川成者B•模拟预测）设署的整数部分a,小数部分为6,则。=,b=.

【答案】2学

【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母有理化，再估算

出班所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题.

【详解】解：需(V5+1)2_3+V5

(V5-1)(A/5+1)-2

•・•22V5V32,

*'<2<V5<3,

5<3+V5<6,

二<三3,

22

•・•留的整数部分a,小数部分为b,

V5—1

,3+V5V5-1

•••a=Q2,b=--------2n=------

22

故答案为：2,号.

3.（2023•重庆九龙坡•一模）估计aX（2或+V7）的值应在（）

A.6和7之间B.7和8之间

C.8和9之间D.9和10之间

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数大小.先利用二次根式的乘法法则进行计算，然后

再估算出旧的值的范围，从而估算出4+旧的值的范围，即可解答.

【详解】解：V2x（2V2+V7）

=V2x2a+V2xV7

=4+V14,

9<14<16,

.­.3<V14<4,

7<4+V14<8,

估计应X（2V2+V7）的值应在7和8之间，

故选：B.

4.（2023•江苏扬州•模拟预测）若直角三角形两直角边长分别为6和7,则其斜边长度的整数部分为（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算，先由勾股定理求出斜边长，然后估算即可求解，熟练掌握

知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•••直角三角形两直角边长分别为6和7,

斜边=V62+72=<36+49=V85,

V9<V85<10

.••斜边长度的整数部分为9,

故选：B.

口题型05实数的大小比较

1.（2023•吉林松原.模拟预测）在鱼，-（-2）,『，中，最大的数是（）

A.A/—8B.-1-V21C.A/2D.-（-2）

【答案】D

【分析】本题考查了立方根，绝对值，实数的大小比较.熟练掌握立方根，绝对值，实数的大小比较是解

题的关键.

根据一（—2）=2,V-8=—2,—|—V2|--V2,—2<—y/2<V2<2,可得最大的数.

【详解】解：由题意知，一（一2）=2,口=-2,一|一夜|=-V2,

V-2<-V2<V2<2,

V-8<一|—V21<V2<一（—2）,

故选：D.

2.（2023・四川成都•模拟预测）在-3,3.14,兀，述这四个数中，最大的数是（）

A.-3B.3.14C.TCD.V6

【答案】C

【分析】本题主要考查了实数的大小比较.根据实数的大小比较法则，即可求解.

【详解】解：：n<W=3,

/.-3<V6<3.14<7T,

.♦•这四个数中，最大的数是兀.

故选：C.

3.（2023•江苏盐城•模拟预测）V2+V6―V3+V5（填“>、=或<"）.

【答案】<

【分析】本题主要考查二次根式比较大小的方法，熟练掌握比较大小的方法是解题关键.先对根式平方，

然后比较大小即可确定.

【详解】解：（&+伤）2=8+4百,（8+遍丁=8+2小

V4V3=2V12<2V15,

(V2+V6)2<(V3+V5)2,

V2+V6<V3+V5.

故答案为：<.

4.（2023•河北承德•模拟预测）已知实数-3,-4,m.

（1）当巾=1时，计算最大数与最小数的差；

（2）当爪=-28时，试判断这三个数的大小关系.

【答案】（1）5

（2）-4<-2V3<-3

【分析】（1）当巾=1时，首先判断出-3,-4,1的大小关系，然后用最大数减去最小数即可；

（2）当巾=-2次时，根据实数大小比较的方法，判断这三个数的大小关系即可.

【详解】（1）解：当m=1时，

V-4<-3<1,

.•.最大数是1,最小数是-4,它们的差是：1-（-4）=5；

（2）解：当m=-2百时，|一3|=3,|-4|=4,|一2百|=2百，

V3<2V3<4,

-4<—2V3<-3.

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数大于0大于负实数，两

个负实数绝对值大的反而小.

口题型06实数与数轴

1.（2024•山东济南•二模）如图，数轴上的点A和点8分别在原点的左侧和右侧，点4、B对应的实数分别

是a、b,下列结论一定成立的是（）

AB

A.a+b<0B.b—a<0C.3a>3bD.a+3Vb+3

【答案】D

【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，a<0<h,\a\<\b\,由此逐一判断各选项即可.

【详解】解：由数轴可知，a<0<Z?,\a\<\b\,

A、•・,aV0<b,|a|<闻，.•・a+b>0,故选项A不符合题意；

B>a<0<b,Z?—a>0,故选项B不符合题意；

C、・・・a<0Vb,.・・3aV3b,故选项C不符合题意；

D、・.,a<0<b,a+3Vb+3,故选项D符合题意；

故选：D.

2.（2023•广西钦州•一模）如图，在数轴上点A表示的实数是（）

-3-2-10123

A.-V5B.V5C.V5-1D.2

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴.熟练掌握勾股定理，实数与数轴是解题的关键.

由题意知，圆的半径为=则点A表示的实数为：-1+西，然后作答即可.

【详解】解：由题意知，圆的半径为1#+22=时,

.•.点A表示的实数为：-1+西，即近一1,

故选：C.

3.（2023•北京东城•模拟预测）数轴上有4B,C,D四点，最接近夜的点是（）

ABCD

]_______I.I]I,I_______II_______I•I_______

-5-4-3-2-1012345

A.点AB.点BC.点CD.点。

【答案】C

【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，先根据无理数的估算可得1〈鱼<2,再根据实数与数轴

的关系即可得出答案.

【详解】解：<2<4,

.".1<V2<2,

由数轴可知，最接近鱼的点是C，

故选C.

4.（2023•江苏常州•模拟预测）已知点M在数轴上，且与原点相距连个单位长度，则点M表示的实数

为.

【答案】±V6

【分析】本题考查的是数轴的特点，即在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数.

根据与原点相距在个单位长度求解即可.

【详解】解：设数轴上与原点相距痛个单位长度的点所表示的数为a,

故|a|=V6,

解得a=±A/6.

・••点M表示的数是±遥.

故答案为：±乃.

□题型07实数的性质

1.（2023・广东佛山•模拟预测）Jj的相反数为（）

4222

+

-------

A.9B.33D.3

【答案】C

【分析】本题考查了相反数、求一个数的算术平方根，先求算术平方根，再根据相反数的定义即可得出答

案.

【详解】解：［=|,

故E的相反数为-j

\93

故选：C.

2.（2023•河南信阳•三模）下列各组数中，互为相反数的是（）

A.肝口2B.一1和1C.2和/D.|一2023|和2023

【答案】B

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项判断.

【详解】解：.**2=1,.♦，和2互为倒数，故A不符合题意；

：一1+1=0,和1互为相反数，故B符合题意；

V2+V20,.\2和夜不是互为相反数，故C不符合题意；

V|-2023|=2023,故D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查相反数的概念，倒数的概念，解题的关键是掌握互为相反数的概念.

3.（2023・四川成都•三模）下列实数中，-猫倒数是（）

4

A.-B.-C.-D.--

3433

【答案】D

【分析】

根据倒数的定义求解.

【详解】解：•一卜（-£）=1,

・••-猫倒数是-3

43

故选D.

【点睛】本题考查求一个数的倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为1.

4.（2023•新疆乌鲁木齐•模拟预测）-6的绝对值是（）

A.-B.-6C.6D.V6

6

【答案】c

【分析】本题主要考查了求一个实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数进行求解即可.

【详解】解；-6的绝对值是I-6|=6,

故选；C.

[]题型08平方根、立方根

1.（2024.河北保定.二模）如图，正方形M的边长为“2,正方形N的边长为"，若两个正方形的面积分别为

9和5,则下列关于，"和n的说法，正确的是（）

95

MN

A.根为有理数，〃为无理数B.相为无理数，〃为有理数

C.m,”都为有理数D.〃都为无理数

【答案】A

【分析】本题考查算术平方根、实数的分类，先根据正方形面积公式求得边长加、〃，再根据实数的分类判

断即可.

【详解】解：由题意，m*2=9,n2=5,

'.m=3,n=V5,

二机为有理数，〃为无理数，

故选:A.

2.（2023•广东深圳•模拟预测）一个数的两个平方根分别是3a-1与-a+3,则这个数是（）

A.-1B.-4C.16D.4

【答案】C

【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列得3a-l-a+3=0,求出a=-1,即可得到这个数.

【详解】解：由题意得3a-1.-a+3=0,得a=-1,

・・3a—1=-4

.♦•这个数是(—4)2=16,

故选：C.

【点睛】此题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根,

熟记性质是解题的关键.

3.(2023•河北邯郸・一模)如图是一个2x2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则。可以是()

A.tan60°B.-1C.0D.(-1)2022

【答案】D

【分析】此题考查了立方根，零指数塞，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.利用立方根

定义，零指数幕法则，以及绝对值的代数意义求出各自的值，判断即可.

【详解】解：V8=2,2°=1,|—2|=2,

根据题意得：V8+2°=a+|-2|,即2+l=a+2,

解得：a=1,

...(_1)2022=1,

a可以是1.

故选：D.

4.(2023•江苏徐州•三模)64的平方根与立方根的和是.

【答案】12或—4

【分析】根据平方根和立方根的定义求解即可.

【详解】解：r64的平方根是=±8,64的立方根是遍5=4,

.•.64的平方根与64的立方根的和是8+4=12或-8+4=-4,

故答案为：12或-4.

【点睛】此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键.

口题型09与绝对值有关的化简问题

1.(2023•宁夏银川・模拟预测)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a+J(a—b)2()

——1--------1-----i——>

a0b

A.-2.ct+bB.2ci—bC.-bD.b

【答案】D

【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键.直接利用数轴

上。，6的位置，进而得出a<0,a-b<0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.

【详解】解：由图可知：a<0,a-b<0,

a+J（a-b）2

=a—（a—b）

=b.

故选:D

2.（2023•浙江•模拟预测）若|2007—+Sn—2008=则巾—20072=（）

A.2007B.2008C.20082D.-20082

【答案】B

【分析】由题意得：200820,即爪22008,则先去绝对值，移项后再平方即可求解.

【详解】解：由题意得：m-2008>0,

解得：m>2008,

则|2007—m\+7m-2008=m-2007+7Tti-2008=m,

即：Vm-2008=2007,

m-2008=20072,BP--,m-20072=2008,

故选B.

【点睛】本题考查了去绝对值及二次根式有意义的条件，熟练掌握去绝对值的方法及二次根式有意义的条

件是解题的关键.

3.（2023•内蒙古呼伦贝尔•三模）已知％,y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简|y-幻+J（x-（尸的

结果是（）

----------------1---------------------------------1--------------------------1-----------------------------A

xy0

A.2xB.2yC.2y—2xD.2x—2y

【答案】C

【分析】先根据x、y在数轴上的位置确定出其符号与绝对值的大小，再代入所求代数式进行计算即可.

【详解】解：•.・由图可知，x<y<0,

%—y<0,y—x>0,

二原式=y-x-V\x—y\

—y—x—x+y

—2y—2x.

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解

答此题的关键.

4（2023.陕西西安・模拟预测）有理数a、6、c在数轴上的位置如图所示，则㈤-31a+b\+2|c-a|+4\b+c|

可化简为.

_______IIII.

ba0c

【答案】-b-2c/-2c-b

【分析】根据数轴上的点的位置，确定式子的符号，再进行绝对值的化简即可.

【详解】解：从图中可以看出，b<a<0fc>0,\b\>\a\>\c\,

•\a+b<0,c—a>0,b-^-c<0,

\CL\-3|cz4-b\+2|c-CL\+4|b+c|

=­u,+3ct+3b+2c—2a—4b—4c

=—b—2c.

故答案为：—b—2c.

【点睛】本题考查化简绝对值，整式的加减运算.解题的关键是根据数轴上的点的位置，确定式子的符号.

口题型10非负性的应用

1.（2023・四川自贡•模拟预测）若有理数x,y满足|2x—1|+y2—4y+4=0,则xy的值等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】C

【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，利用完全平方公式化简是解题的关键.

利用完全平方公式化简后再根据绝对值和平方的非负性即可得出结果.

【详解】解：|2x-1|+y2-4y+4=0,

化简得，\2x—11+（y—2）2=0,

1c

•••x=-,y=2,

2z

xy=-IxC2=Y1.

故选：c.

2.(2023•山东济宁•一模)已知(3-久产-5与Jy-2+5互为相反数,则三:的值是()

A.6B.5C.-D.2

2

【答案】A

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y,然后代入代

数式进行计算即可得解.

【详解】解：：(3-x)2—5与百11+5互为相反数，

*,•(%-3)2-5+yjy—2+5—0,,

即(％—3)2+yjy—2=0,

所以％—3=0,y—2=0,

解得％=3,y=2,

二匚［、［%+33+3,

所以口=右=6.

故选A.

【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0.

2

3.(2023•云南昆明•一模)在AABC中，乙4,NB是锐角，^|2sinzX-V21+(tanzB-V3)=0,则NC的

大小是•

【答案】75°/75度

【分析】本题考查了非负数的意义、三角形内角和定理及由特殊三角函数值求角度，熟练掌握特殊三角函

数值是解题的关键.本题根据非负数的意义求出立4NB,再由三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：由题意得：2sin4—/=0,tanB—V3=0,

/.sin力=―,tanB=V3，

2

：.L.A=45°,NB=60°,

:.乙C=180°-60°-45°=75°.

故答案为：75°.

4.(2023•江西赣州•一模)若|a+36-5|+协一2a+3|=Jx-5+y+y/5-x-y,则ab的值为.

【答案】2

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，非负性，根据被开方数是非负数，得到Jx—5+y+V5-x-y=

0,再根据绝对值的非负性，得到关于a,b的二元一次方程组，求出a,b的值，即可.

【详解】解：：x-5+y>0,5-x-y>0,

/.%—5+y=5—x—y=0,

・，・|a+3b—51+\b-2a+3|=0,

.(CL+3b—5=0，解得：,

**th-2a+3=0

/.ab=2；

故答案为：2.

□题型11实数的简单运算

1.(2023•河北张家口•模拟预测)能与-(|-|)相加得0的是()

「।、「3\

A..2--3--B.-r2-+-3C.--2--3--D.--/-2---

32\32/32\327

【答案】A

【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据互为相反数的两个数相加得0即可求出这个数.

【详解】解：；—(|—|)的相反数是|—|,

•，.能与—(|一|)相加得0的是|一|,

故选：A.

2.(2023・江苏无锡•模拟预测)下列运算的结果是负数的是()

A.|-3|-(-2)B.(-2)-1-(-3)

C.-2—(—3)D.(—3)—(—2)

【答案】D

【分析】此题考查了有理数的运算，负整数指数募等知识，根据运算法则计算即可得到答案.

【详解】解：—3|—(―2)=3+2=5,

...选项A不符合题意；

2)T_(—3)=_[+3=*

选项B不符合题意；

V-2-C-3)=-2+3=1,

选项C不符合题意；

,•■(-3)-(-2)=-3+2=-1

选项D符合题意；

故选：D.

3.(2023•陕西西安•一模)要使代数式“3(-1)”的运算结果最大，贝『'"中应填入的运算符号是

“十、一、X、一”中选择一个运算符号填如).

【答案】一

【分析】先根据有理数的运算法则进行运算，再比较大小即可得出答案.

【详解】解：3+(―1)=2,3—(―1)=4,3X(―1)=—3,3+(-1)=—3,

XV-3<2<4,

二要使代数式“3(-1)”的运算结果最大，在“”中应填入的运算符号是-.

故答案为：-.

【点睛】本题考查有理数的加、减、乘、除运算和有理数的大小比较.掌握运算法则是解题的关键.

4.(2023•浙江杭州•模拟预测)最高气温与最低气温的差称为温差.某地某天的最低气温为-2。&最高气温

为2久，则该地这天的温差为()

A.-8℃B.-4℃C.4℃D.8℃

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键.

根据题意列算式计算即可得到结果.

【详解】解：•••最低气温为-2。&最高气温为2久，

：.2~(-2)=2+2=4,

该地这天的温差为4。&

故选：C.

5.(2023・陕西西安•模拟预测)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似

我们现在熟悉的“进位制”，如图所示的是一位古人记录的当天捕鱼的条数，在从右向左依次排列的不同绳子

上打结，满五进一，根据图示可知，这位古人当天捕鱼的条数是.

【答案】42

【分析】由题可知，捕鱼的条数的五进制数为132,化为十进制数即可.

【详解】解：根据题意得：

捕鱼的条数的五进制数为132,

化为十进制数为：132=1x52+3x51+2x5°=42(条)，

捕鱼的条数是42条.

故答案为：42.

【点睛】本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力.解题的关键是会将五进制转

化成十进制.

□题型12实数的混合运算

1.（2023・湖北随州•模拟预测）计算：图+2cos45°+|V2-1|-（3.14-TT）°=.

【答案】2V2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数基的性质、零指数幕的性质、绝对值的性质分别化简，

合并解题即可.

【详解】解：G）+2cos45。+|V2—1|—（3.14—兀）°

V2L

=2+2X——FV2-1-1

=2+V2+V2—1—1

=2V2

故答案为：2夜.

2.（2023•湖南岳阳•模拟预测）计算：V4-sin60°-|1-V3|+（-1）~22023）0.

【答案】4

【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，

要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要

按照从左到右的顺序进行.首先计算零指数塞、负整数指数幕、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，

然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

【详解】解:V4-sin60°-|1-V3|+（-|）2-（71-2023）0.

V3,、

=2x--（V3-l）+4-l

—y/3—\/3+1+4—1

=4.

3.（2023•上海闵行•三模）计算：|2—81+2-+高（结果保留带分数形式）.

【答案】-5专

【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式根据相关运算法则化简各项后，再合并即可.

【详解】解：|2—V2|—81+2-2+W-i

=2—V2—8-+-+V2+1

34

口题型13与实数有关的新定义问题

1.（2023•江苏淮安•模拟预测）对于实数X,我们规定因表示不大于x的最大整数，如⑷=4,［网=1,

第1.次第2次Q第3次Q

［-2.5］=-3.现对82进行如下操作：82-［赤］=9-㈤=3-雄］=1，这样对82只需进行3次

操作后变为1,类似地，对256只需进行几次操作后变为1.（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】此题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解.［制表示不大于

x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可.

第1次「1第2次第3次「41第4次「21

【详解】256-朦］=16-圜=4-岗=2-［^］=1.

.•.对256只需进行4次操作后变为1.

故选：C.

2.（2023•四川巴中•二模）若。"=/?（«>0且a1,b>0）,则n叫做以a为底b的对数,记为loga。（即log*=

n）,如2'=32,则5叫做以2为底32的对数,记为1。出32（即1。&32=5）,根据以上运算规则，log381=

（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】此题考查了运用乘方解决新定义问题的能力.根据对数的定义运用乘方进行求解.

【详解】解：:34=81,

4是以3为底81的对数，

BPlog381=4,

故选:B.

3.（2023・浙江宁波•模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数x,y,x⑤y=£+5若（-2）区2=3,

则a-b的值为.

【答案】-6

【分析】

本题主要考查了新定义，根据新定义得到三+2=3,据此可得a-6=-6.

—22

【详解】解：：（一2）保2=3,

••—CL+b=6,

CL—b=-6,

故答案为：-6.

4.(2023・重庆•模拟预测)若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位数字与十位数

字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数(1)最小的“勾股和数”是；(2)一个“勾股和数”M

的千位数字为a,百位数字为6,十位数字为c,个位数字为d,记G(M)=等,。(加)=成号空口，当

G(M),P(M)均是整数时，满足条件的M的最小值为.

【答案】10134536

【分析】本题主要考查了新定义：

(1)设“勾股和数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,则c2+d2=10a+b,

在保证/最小的前提下首先要保证最高位最小，其次是百位，十位最小，据此逐一确定高位的值，进而确

定低位的值即可；

(2)由题意得，c2+d2=10a+b,根据G(M)=等是整数，得至l|c+d是9的倍数，贝k+d=0或c+d=9

或c+d=18,当c+d=0时，c=d=0,此时不满足c?+d2=10a+b>0,当c+d=18时，c=d=9,

此时不满足c2+d2=10a+bW99,由此可得c+d=9；再求出P(M)=…二…,然后讨论门"的值，

再保证P(M)为整数的前提下求出M的最小值即可.

【详解】解：(1)设“勾股和数”M的千位数字为a,百位数字为6,十位数字为c,个位数字为d,则c2+d2=

10a+b,

•.•要使M最小，

首先要保证a最小，

故可令a=1,

其次要保证b最小，

故可令b=0,

c2+d2=10,

再其次要保证c最小，当c=0时，d2=10,d不是整数，不符合题意；

当c=1时，d2=9,即d=3符合题意；

最小的“勾股和数”是1013,

故答案为：1。3；

(2)由题意得，c2+d2=10a4-b,

・.・G（M）=詈是整数,

・・・c+d是9的倍数，

VO<c<9,0<d<9,

.*.0<c+d<18,

•'•c+d=0或c+d=9或c+d=18,

当c+d=0时，c=d=0,此时不满足+d2=10a+b>0,

当c+d=18时，c=d=9,此时不满足c?+d?=10a+b499,

c+d=9；

|1O(Q—C)+(ZJ-d)||10Q—10c+Z?—d|

VP(M)3-3

P(M)=1+d：10f

当c=o,d=9时，P(M)=丹刍=24,符合题意，此时10a+b=81,

a=8,b=1,

：.M=8109；

当c=l,d=8时，P(M)=|1+64；10-81-y,不符合题意，

当C=2,d=7时，P(M)=|4+49~20~71=y,不符合题意；

当c=3,d=6时，P(M)=19+36^306I—3,符合题意，此时10a+6=45,

a=4,b=5f

：.M=4536；

当C=4,d=5时，P(M)=I16+25；4O-5|=$不符合题意；

当C=5,d=4时，P(M)=跑16J0-4I=不符合题意；

当c=6,d=3时，P(M)=!芈+9;60-3|=6,符合题意，此时10a+b=45,

•'a=4,b=5,

：.M=4563；

当c=7,d=2时，P(M)=|49+4~7°-21=y,不符合题意；

当c=8,d=l时，P(M)=佰4+1；80-1|=不符合题意；

当c=9,d=0时，P（时）=畛网=3,符合题意，此时10a+b=81,

/.a=8,b=1,

：.M=8190；

综上所述，最小的M为M=4536,

故答案为:4536.

重难创新练

1.（2023・湖南娄底•中考真题）从"个不同元素中取出爪（小三n）个元素的所有组合的个数，叫做从"个不同

元素中取出相个元素的组合数，用符号C铲表示，优=2一1）（；一2）丁一团+1）"2m,心根为正整数）；例

皿771—1）…1

如：盘=翳屐=嗡，则琮+俏=（）

A.器D.Cf0

【答案】C

【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解.

【详解】解：.•,=『后『

...琮+瑞=沙丝+9X8X7X6X5=ng+126=252,

114X3X2X15x4x3x2xl

「A9X8X7X6X5X4…

A选项,La=---------=84,

16X5X4X3X2X1

10x9x8x7

B选项，210,

4X3X2X1

10X9X8X7X6

C选项，俏0--------=252,

5X4X3X2X1

10X9X8X7X6X5

D选项,/)=210,

6x5x4x3x2xl

故选C.

【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值.正确理解新定义是解题的关键.

2.（2023・四川资阳•中考真题）体重指数（BM/）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖

瘦的重要指标（如表所示）.小张的身高1.70米，体重70千克，则小张的体重状况是（）

体重指数（BM/）的范围体重状况

体重指数＜18.5消瘦

18.5W体重指数W23.9正常

23.9〈体重指数W26.9超重

体重指数〉26.9肥胖

A.消瘦B.正常C.超重D.肥胖

【答案】C

【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据(8M/)的计算公式求出小张的(BM/),即可得到答

案.

【详解】解：由题意得，小张的(8M/)=券”24.2,

小张的体重状况是超重，

故选：C.

3.(2023•河北・中考真题)光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于9.46x

1012km.下列正确的是()

A.9.46x1012-10=9.46X1011B.9.46X1012-0.46=9x1012

C.9.46xIO1?是一个12位数D.9.46xIO也是一个13位数

【答案】D

【分析】根据科学记数法、同底数哥乘法和除法逐项分析即可解答.

【详解】解：A.9.46x101210-9.46X1011,故该选项错误，不符合题意；

B.9.46X1012-0.469X1012,故该选项错误，不符合题意；

C.9.46xIO"是一个13位数,故该选项错误，不符合题意；

D.9.46X10"是一个13位数,正确，符合题意.

故选D.

【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幕乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本

题的关键.

4.(2023•甘肃兰州•中考真题)如图，将面积为7的正方形Q4BC和面积为9的正方形。DEF分别绕原点。

顺时针旋转，使。4，。。落