中考数学解题方法专项训练：相似三角形之X型相似（原卷版+解析）

26第5章相似三角形之X型相似

一、单选题

1.如图，△ABC中，NACB=90。，AB=12,点D,E分别是边AB,BC的中点，CD与AE交于点O,

则OD的长是（）

A.1.5B.1.8C.2D.2.4

2.如图，在△ABC中，A3=15cm,AC=12cm,AZ）是N5AC的外角平分线，OE〃回交AC的延长线于点

E,那么CE等于（）cm.

A.32B.24C.48D.64

3.如图，在平行四边形ABC。中,NA5C的平分线交AC于点E,交AO于点尸，交CD的延长线于点G,

BF

若AF=2FD,则——的值为（)

EG

1122

A.B.C.D.

2334

4.如图，已知。。的内接AA3C中，AB+AC=12,于。，A£>=3,直径AE交3c边于点G,

有下列四个结论：①AGEG=BGCG；②BE?=EGAE；③当A3=6时，。。的面积取得最大值

36万；④三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比.其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在正方形A3CD中，E,尸分别为3C,8的中点，连接AE,BF交于点G,将△3CF沿5尸

对折，得到尸尸，延长EP交班延长于点。，若？尸=1,则。5+丰A右的值为（）

7

A.1B.2C.3D.-

5

二、填空题

若黑=黑且AD=3‘则

6.已知^ABC中，AB=6,AC=9,D、E分别是直线AC和AB上的点,

BE=.

7.如图，在RtZkACfi中，NACB=90°,AC=4,BC=3,点。为AC上一点，连接3D，E为AB

上一点，CELBD于点F,当AO=CD时，求CE的长.

8.如图，在△ABC中，A£）是3c边上的中线，R是4。上的一点，且”：ED=1:5,连结C歹并延

长交AB于点E，则AE:E3等于（）.

9.如图△ABC中，AB=AC=5,BC=8,G是4ABC的重心，GH±AB于H,则GH的长为

10.如图R3ABC中，NBAC=90。，42=3,AC=4,点尸为BC上任意一点，连接B4,以B4,PC为邻

边作平行四边形R1QC,连接尸。，则PQ的最小值为一.

三、解答题

11.如图，是一个照相机成像的示意图.

35mm

(1)如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远？

(2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m,像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

12.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC//X轴，点、B、C的横坐标都是3,且5。=2,

点。在AC上，若反比例函数y=；(x>0)的图象经过点A。，且A。BC=3：2.

(1)求点。坐标;

(2)将△AQD沿着8折叠，设顶点A的对称点为A'，试判断点A'是否恰好落在直线5。上，为什么.

S1

13.已知，如图，在梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC与8D相交于点。.若黄也=—,SABOC=八试

、bACD3

求^AOD的面积.

14.如图，△ABC是。。的内接三角形，为0。的切线，3为切点，P为线段AB上一点，过尸点作

3C的平行线，交直线于点E,交直线AC于求证：APPB=PEPF.

15.如图，CD、BE是AABC的两条高，连DE.

(1)求证：AEAC=ABAD；

DE

(2)若NR4c=120。，点M为3C的中点，求——的值.

DM

16.如图，在四边形A尸中，ZQAF=45°,ADLDQ,AQ与阳相交于。点，线段。4=3,DO=2,

<9F=|,OQ=g.试问：AQ与”之间有怎样的数量关系？

17.如图，矩形A3CD的对角线AC、6。相交于点。，过。点作OELAC交于E，连EC交OB于

M，若BC=4,AAOE的面积为5,求也的值.

MC

18.如图，在等腰ZkABC中，AB=AC,分别过点3、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线

分别交于点。、E，连结。C、BE,DC与A6边相交于点M，巫与AC边相交于点N,求证：

AM=NC.（提示：关键是找出题中的“A”型与“X”型写出比例线段进行等比线段的代换）

13

19.已知，抛物线y=-N-x+—与x轴分别交于A、B两点（A点在8点的左侧），交y轴于点足

-44

（1）A点坐标为;8点坐标为；尸点坐标为；

（2）如图1,C为第一象限抛物线上一点，连接AC,BF交于点M,若BM=FM,在直线AC下方的抛物

线上是否存在点P,使SAACP=4,若存在，请求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2,D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线A。、AE分别交y轴于M、N两点，若

OM,ON=L求证：直线DE必经过一定点.

4

20.如图1,A（-4,0）.正方形O8C£）的顶点8在x轴的负半轴上，点C在第二象限.现将正方形

绕点。顺时针旋转角a得到正方形OEFG.

(1)如图2,若a=60。，OE^OA,求直线跖的函数表达式.

(2)若a为锐角，tana=L，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积.

3

(3)当正方形OEFG的顶点尸落在y轴上时，直线AE与直线PG相交于点P,AOE尸的其中两边之比能

否为0：1?若能，求点尸的坐标；若不能，试说明理由.

26第5章相似三角形之X型相似

一、单选题

1.如图，△ABC中，/ACB=90。，AB=12,点D,E分别是边AB,BC的中点，CD与AE交于点O,

则0D的长是（）

A.1.5B.1.8C.2D.2.4

【答案】C

【解析】根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，求得CD的长，根据中位线的性质，得到DE〃AC,

求得△AOC-EOD,根据三角形相似的性质求出0D和0C的关系，进而得出0D和CD的关系，然后即可

求解.

【解答】解：:△ABC为直角三角形，

D点为AB的中点，

/.CD=—AB=6

2

D和E点分别为AB,BC的中点，

；.DE〃AC,DE=-AC

2

...AAOC^AEOD,

OPDE_1

OC~AC~2'

:.OD=-CD=2

3

故选C.

【点睛】本题考查了中位线性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握中位线的性质,

能够利用平行线判定两三角形相似.

2.如图，在△ABC中，AB=15cm,AC=12cm,是N8AC的外角平分线，。石〃交AC的延长线于点

E,那么CE等于（）cm.

A.32B.24C.48D.64

【答案】C

【解析】根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解.

【解答】解：标出字母，如图:

・・,在AABC中，AD是NBAC的外角平分线,

AZEAD=ZMAD,

•・・DE〃AB交AC的延长线于点E,

AZEDA=ZMAD,ZBAC=ZCED,

・•・NEAD=NEDA,

・・・ED=EA,

・・•在三角形ABC与三角形CED中,

ZBAC=ZCED,ZBCA=ZECD,

AAABC^ACED,

.ABAC

••一,

DECE

*.*AB=15cm,AC=12cm,

设ED=15k,

ACE=12k,

・•・ED=15k=EA=EC+CA=12k+12,

A3k=12,

.*.k=4,

・・・CE=12k=48(cm),

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例

关系即可得出答案.

3.如图，在平行四边形ABCQ中,/ABC的平分线交AC于点E,交A。于点孔交CO的延长线于点G,

RF

若AF=2PD,则——的值为()

EG

G

A_____FZD

BC

1123

A.—B.-C.-D.一

2334

【答案】c

【解析】由AF=2Z)F,可以假设。F=鼠则AF=2历AD=3k,证明A8=AF=2A,DF=DG=k,再利用平

行线分线段成比例定理即可解决问题.

【解答】解：由4尸=2。尸，可以假设。F=七则&尸=2左，AD=3k,

四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=ZFBC=ZDFG,ZABF=ZG,

：BE平分/ABC,

/.ZABF^ZCBG,

：.NABF=NAFB=/DFG=/G,

：.AB=CD^2k,DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

■:AB//DG,

：.AABEsACGE,

.BE_AB_2k_2

"EG-CG-3l-3；

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行

四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键.

4.如图，已知。。的内接AA3C中，AB+AC^U,于。，AD=3,直径AE交5C边于点G,

有下列四个结论：①AGEG=BGCG；②BE?=EGAE；③当A3=6时，。。的面积取得最大值

36"；④三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比.其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】本题需根据三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质去解

答.

【解答】由相交弦定理得①是正确的；

由条件并不能得出ABEG与AAEB相似，故②是错误的；

由条件可证AABE与AADC相似，从而可得AC,进而可得0。的半径，

1

设AB=x,0。的半径为V,则有y=--x9+2x,

故当A3=6时，。。的最大面积为36»,故③是正确的；

由=这一结论一般化，得④是正确的，

故选C.

【点睛】本题主要考查三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质，

解题的关键是理解运用这些性质定理.

5.如图，在正方形A3CD中，E,尸分别为5C,8的中点，连接AE,BF交于点G,将△3CR沿5尸

对折，得到延长EP交助延长于点Q,若则+的值为（）

35

Q'B

A.1B.2C.3

【答案】D

【解析】先根据折叠的性质得到△BCF会ZkBPF,RtAABM^RtABMP,在RtADMF中，MF2=FD2+DM2,

列式求出AM,再根据相似三角形求出AQ,得到BQ的长，再根据勾股定理求出AE的长，代入即可求解.

【解答】如图，连接BM,

在正方形A3CD中，E,尸分别为5C,CD的中点，

•••折叠，

.,.△BCF^ABPF

2

；.BC=BP,ZCBF=ZPBF,CF=PF=DF=j

41

；.AB=BP=-且BM=BM

5

RtAABM之RtABMP

在RtADMF中，MF2=FD2+DM2.

224

(-+AM)2=(-)2+(--AM)2

555

4

.•.AM=—,

15

448

51515

VDF//AQ

ADFM^AAQM

.DFDM

"AQ~AM

28

即5=与

AQ±

15

解得AQ=g

14

.\BQ=AQ+AB=-+y=l

：E点是AE的中点,

.2

・・BE=—,

5

则AE=JAB?+BE?=|75

••斗咚|火」

J527

•••QB+—AE=l+-=~

555

故选D.

【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理及相似三角形的性质，灵活运用这些性质解决问

题是本题的关键.

二、填空题

ADAF

6.已知AABC中，AB=6,AC=9,D、E分别是直线AC和AB上的点，若——=—且AD=3,则

ACAB

BE=

【答案】4或8

【解析】通过比例式，可以确定AE的长度，点E是直线AB上的点，没有限定E的位置，只限定AE的长

度，以点A为圆心，AE长为半径的圆与直线AB的交点是点E位置，有两个，要分类求即可.

【解答】如图

..ADAE

・AB—6,AC=9,AD=3,.......-------

ACAB

AD.AB3x6

AAE=------------=——=2,

AC9

当E在AB上，

；.BE=AB-AE=6-2=4,

当E在AB延长线上,

BE=AB+AE=6+2=8,

则BE的长为4或8.

故答案为：4或8.

【点睛】本题考查比例式下的线段问题，用比例求出的线段只限定长度，要考虑线段的位置，要会分类计

算是解题关键.

7.如图，在RtzXACfi中，NACB=90°,AC=4,BC=3,点。为AC上一点，连接3。，E为AB

上一点，CELBD于点F,当AO=CD时，求CE的长.

【答案】二姮

17

【解析】将RtzXACB补成矩形ACBH,延长CE交于点G,可得△3CDsZ\C4G,结合已知可求

AG=§、CG=£姮，再由△AEGS/XBEC即可求出CE.

33

【解答】解：如解图，补成矩形ACBH,延长CE交于点G,

VZACB=90°,CELBD,

/.ZACG+NBCG=90°,ZABD+ZBCG=90°,

；•ZACG^ZCBD,

：.ABCDs^CAG,

,CDCBBD

"AG-AC-CG'

23V13

AG4CG

AG=§CGZ

33

•••设CE=x,则=—x，

3

又•.•在矩形ACBH中,AG!IBC,

：.AAEGsABEC,

4A/13

AGEGan3---------x

---=----,即3

BCCE立3

3x

解得.照

17

【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性

质，证明4G是本题的关键.

8.如图，在ZVIBC中，A£＞是3c边上的中线，R是AO上的一点，且AF:ED=1:5,连结C尸并延

长交AB于点E，则AE:£B等于（

【答案此

【解析】先过点D作GD〃EC交AB于G,由平行线分线段成比例可得BG=GE,再根据GD〃EC,得出

FGFG

=—,最后根据AE:EB=-^-:2EG,即可得出答案.

【解答】解：过点D作GD〃EC交AB于G,

：AD是BC边上中线,

BG

——=1,即BG=GE,

~GEDC

又；GD〃EC,

AE_AF

EG~FD~3

5

AE:EB=——:2EG=1:10

5

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求

出AE、EB、EG之间的关系

9.如图△ABC中，AB=AC=5,BC=8,G是△ABC的重心，GH_LAB于H,则GH的长为

Q

【答案】I

【解析】首先证明AEGF〜AAG”,求得——=2,再证明AAGH~AEG/即可得到结论.

GE

【解答】连接AG并延长交3C于E,连接3G并延长交AC于F,连接EF,如图,

A

•G点是重心，

.班；AE是AABC的中线，

.E,F分别是3C,AC边的中点,

.麻是△ABC的中位线，

.EF//AB,EF=-AB,

2

△EGF〜AAGB,

ABAGc

EFGE

,AB=AC,E为BC的中点

.\AE±BC

.-.ZAEB=9Q°

-.-GH±AB

:.ZGHA^90°

:.NGHA=ZAEB

又/HAG=/EAB

:.AAGH~AABE

AGGH

"AB~BE

•.­BC=8

:.BE=4

在RtAABE中，AB=5,BE=4,

AE=NAB?-BE?=A/52-42=3

AGc

----=2,

GE

AG2

••—9

AE3

AG=2AE=2

3

…AGBF2x48

CJH=---------=------=—.

AB55

Q

故答案为：—.

【点睛】本题考查了三角形重心，三角形重心的性质为重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：

1.也考查了相似三角形的判定与性质.

10.如图R3A3C中，/BAC=90。，AB=3,AC=4,点尸为2C上任意一点，连接B4,以%,PC为邻

边作平行四边形B4QC,连接尸。，则PQ的最小值为_.

【解析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线

段最短得到点P的位置，再证明△C48s△CPO利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度.

【解答】'：ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

.-.BC=7AC2+AB2=5-

四边形APCQ是平行四边形,

：.PO=QO,CO=AO,

PQ最短也就是PO最短，

...过。作BC的垂线OP',

VZACB=ZP'CO,ZCP'O=ZCAB=90°,

：./\CAB^/\CP'O,

.COOP'

••二,

BCAB

.2OP,

,•一=,

53

6

：.0P'=~,

5

12

•••则PQ的最小值为20P=y,

5-,12

故答案为：y.

【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂

线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题.

三、解答题

11.如图，是一个照相机成像的示意图.

35mm

(1)如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远?

(2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m,像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

【答案】(1)7m.

(2)70mm.

【解析】

试题分析：(1)利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解.

(2)和(1)一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可.

MNLC

解：根据物体成像原理知：ALMNs^LBA,——=—

ABLD

(1):像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,

3550.,口

---=----,斛得：LD=7.

4.9LD

二拍摄点距离景物7m.

(2)拍摄高度AB是2m的景物,拍摄点离景物LC=4m,像高MN不变，是35mm,

35LC-

——------------1解传：LC=70.

24

.•.相机的焦距应调整为70mm.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC//X轴，点6、C的横坐标都是3,且5。=2,

0)的图象经过点A。，且A。8c=3:2.

(1)求点。坐标;

(2)将△AOD沿着OD折叠，设顶点A的对称点为A',试判断点A'是否恰好落在直线60上，为什么.

【答案】(1)。。,3)；(2)A不在直线5。上，理由见解析

【解析】(1)先根据AO：BC=3：2,BC=2得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BC〃AO,

故可得出B点坐标，再根据点B在反比例函数y=8(x>0)的图象上可求出k的值，由人(2〃*轴可设点

x

D(t,3)代入反比例函数的解析式即可得出t的值，进而得出D点坐标；

(2)过点A作EF〃OA交AC于E,交x轴于F,连接OA，，根据AC〃x轴可知/A，ED=NATO=90。，由

m3—〃

相似三角形的判定定理得出△DEA，S/\A，FO,设A，(m,n),可得出一=----，再根据勾股定理可得出

nm-1

m2+n2=9,两式联立可得出m、n的值，故可得出A，的坐标，用待定系数法求出经过点D(1,3),点B(3,

9

1)的直线函数关系式为y=-x+4,再把x=?代入即可得出结论.

【解答】⑴解：(1)VAO：BC=3：2,BC=2,

AOA=3,

・・•点B、C的横坐标都是3,

ABC//AO,

・・・B(3,1),

•••点B在反比例函数y=&(x>0)的图象上，

X

k

1=—,解得k=3,

3

・「AC〃x轴，

・・・设点D(t,3),

/.3t=3,解得t=L

・・・D(1,3)；

(2)结论：点A，不在此反比例函数的图象上.

理由：过点A作EF〃OA交AC于E,交x轴于F,连接O"(如图所示),

・.・AC〃x轴,

JNA'ED=NA'FO=90。,

•・•ZOArD=90°,

・•・NA'DE=NOA'F,

AADEA^AATO,

设A'(m,n),

m3—n

nm—1

又在RtAATO中，m2+n2=9,

912912

m=—,n=—，BPAr(—,—),

55

设直线BD的解析式为y=kx+b,

・・,点D(L3),点B(3,1)在y=kx+b,

k+b-3

3k+b=l'

k=-l

<b=4

y=-x+4,

.9291112

••当x=一时，y=------1-44=-W—

5555

.•.点A，不在直线BD±.

【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象

上点的坐标特点等知识，难度适中.

S1

13.已知，如图，在梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC与2。相交于点。.若黄也=—,5。℃=九试

3AAe£>3

求aAOD的面积.

H7

【答案】V

【解析】由题意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO边上的高相等，所以面积比等于对应边AO,

CO的比值，进而求出AO：CO的值，又因为△AODS/XBOC,利用两三角形相似，面积比等于相似比的

平方即可求出SAAOD：SABOC的值；从而求出△A。。的面积.

【解答】过点D作DELAC于E,

«-AO-DE1

则沁-------=-1

»AACD-AC-DE3

2

.AO1

,,一,

AC3

y.\'AO+OC=AC,

.AO1

•,9

OC2

9

：AD//BCf

：.心迹=（型）2=上，即黑也」

S&BOCOC4m4

/.SAAOD=—

4

14.如图，△ABC是。。的内接三角形，为0。的切线，3为切点，P为线段AB上一点，过尸点作

3C的平行线，交直线于点E，交直线AC于R,求证：APPB=PEPF.

【答案】见解析

D4PF

【解析】欲证PA・PB=PE・PF即证——=——，观察图形可得：证明线段所在的两个三角形△PAFV^PEB相

PEPB

似即可.再根据弦切角和平行线的性质证出对应角相等，利用相似三角形的判定证出APAFS^PEB,从而

使命题得证

【解答】证明：如图

•「BT为切线，BA为弦,

:.ZABE=ZC,

又・・，EF〃BC,

ZC=ZAFP,

JZABE=ZAFP.

・.•ZAPF=ZEPB,

，AAPF^AEPB,

.PAPF

"'~PE~~PB

.".PA«PB=PE«PF.

【点睛】本题给出圆内接三角形和圆的切线，求证线段的积相等.着重考查了弦切角定理、平行线的性质

和相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题.

15.如图，CD、BE是△ABC的两条高，连DE.

(1)求证：AEAC=ABAD；

DE

（2）若44C=120°,点/为3c的中点，求——的值.

DM

【答案】（1）见解析;⑵1.

【解析】（1）由BE、CD是△ABC的高得NAEB=/ADC=90。，力口上/EAB=NDAC,根据相似三角形的判

定方法得到△AEBs^ADC,则AB：AC=AE：AD,利用比例性质即可得到结论；

（2）连结ME,由/BAC=120。得到/BAE=60。，则/EBA=30。，由点M为BC的中点，根据直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半得到MB=ME=MD=MC,于是可判断点B、E、D、C在以M点为圆心，MD

为半径的圆上，根据圆周角定理得/DME=2NEBD=60。，则可判断△MED为等边三角形，所以DE=DM.所

DF

以——的值为1

DM

【解答】（1）证明：

：BE、CD是△ABC的高，

ZAEB=ZADC=90°,

而/EAB=NDAC,

/.△AEB^AADC,

AAB：AC=AE：AD,

:・AE・AC=AB・AD；

(2)连结ME,如图,

VZBAC=120°,

ZBAE=60°,

JZEBA=30°,

•・,点M为BC的中点，

二•MB=ME二MD二MC,

・••点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上,

JZDME=2ZEBD=2x30°=60°,

.,.△MED为等边三角形，

・・・DE=DM.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边

的比等于相等，都等于相似比.也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及圆周角定理.

16.如图，在四边形人尸。。中，ZQAF=45°,ADA.DQ,A。与田相交于。点，线段。4=3,DO=2,

OF弓OQ=g.试问：AQ与A尸之间有怎样的数量关系？

【答案】AQ=y[2AF

55AOOFA

【解析】根据OA=3,DO=2,OF=3,OQ=§得到而=而，进一步证明AAORs△。。。，

因为ADLOQ,于是可得NOZM=45°,因此可证得△AODs△尸OQ.并推出尸。为等腰三角形,

因此AQ=在1/

【解答】解：如图，•••线段0A=3,DO=2,OF=),0Q=~,

23

.AOOF

''~DO~^Q'

又：ZAOF=NDOQ,

：.^AOFsADOQ,

：.ZODQ=ZFAO=45°.

而NADQ=90。，

Z(9ZM=45°.

AOFO

又•:——=——，ZAOD=ZFOQ,

DOQO

：.AAODsAFOQ.

：.ZAQF=ZODA=45°,

△A尸Q为等腰三角形，

AQ=CAF.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理

和判定定理是解题的关键.

17.如图，矩形A3CD的对角线AC、60相交于点。，过。点作OELAC交A6于E,连EC交0B于

M,若3。=4,"。石的面积为5,求也的值.

MC

【答案】正

4

【解析】先由矩形的性质和勾股定理求得OA=2百，0E=下,然后证OEBC四点共圆得

NEOM=NECB,再证得VOEMsACW.最后由相似的性质求出丝金的值.

MC

【解答】如题图，；。为矩形A3CD对角线的交点，

二。为AC的中点.

又•.•£(?LC4,

,*•EC-AE，S^COE=5s~5,

SA/\Az,iiCE=-EACB=1Q,AE=5=EC.

在Rt^CfiE中根据勾股定理可知EB=3.

...在RtZXABC中。4=LAC=LL必百=26.

222

在RtAAOE中OE=VAE2-OA2=j52-(275)2=下■

又：EOJ_C4,NCBE=90。,

•••OEBC四点共圆，

'.ZEOM=ZECB,

NOEMs&CBM.

.OM_OE_45

"CM_-V

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质.此题难度适中，注意四点共圆

在本题中的应用.

18.如图，在等腰八45。中，AB=AC,分别过点3、。作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线

分别交于点。、E，连结。C、BE,DC与AB边相交于点巫与AC边相交于点N,求证：

AM=NC.（提示：关键是找出题中的“A”型与“X”型写出比例线段进行等比线段的代换）

【答案】见解析

【解析】首先延长DB、EC交于点P,由BD〃AC,AB〃EC,可得四边形ABPC为平行四边形，又由AB=AC,

即可证得：nABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA,又可证得：△EACs^EDP与△AMCs/\pcD,根据

相似三角形的对应边成比例，则可证得：CN=AM.

【解答】证明：延长DB、EC交于点P,

、»

・.,BD〃AC,AB〃EC,

工四边形ABPC为平行四边形，

VAB=AC,

**•DABPC是菱形，

・・・AB=BP=PC=CA,

VBD/7AC,

AAEAC^AEDP,

ACEC

,~DP~~EP

“NCEC

同理：---二----

BPEP

,AC_NC

,~DP~~BP

四边形ABPC是平行四边形，

・・・NBAC=NP,

VAC/7DP,

AZACD=ZCDP,

AAAMC^APCD,

MACP

,~CA~~DP

VAC=CP,

.MA_NC

,~CA~~BP

VAC=BP,

・・・AM=CN.

【点睛】此题考查了平行四边形，菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.此题综合性很强，注

意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

13

19.已知，抛物线y=-N-x+—与x轴分别交于A、8两点（A点在8点的左侧），交y轴于点足

44

(1)A点坐标为；8点坐标为；F点坐标为；

(2)如图1,C为第一象限抛物线上一点，连接AC,BF交于点M,若在直线AC下方的抛物

线上是否存在点尸，使&ACP=4,若存在，请求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2,D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线A。、AE分别交y轴于M、N两点，若

OM・ON=二,求证：直线。E必经过一定点.

4

3

【答案】(1)(1,0),(3,0),(0,-)；(2)在直线AC下方的抛物线上不存在点P,使SAACP=4,见解

4

析；(3)见解析

【解析】(1)根据坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论；

(2)在直线AC下方轴尤上一点，使SAACH=4,求出点”坐标，再求出直线AC的解析式，进而得出点”

坐标，最后用过点”平行于直线AC的直线与抛物线解析式联立求解，即可得出结论；

1,3

(3)联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得出一好一(左+1)%+一一m=0,进而得出a+Q4+4左，

44

加尸3—4"，再由得出型=任，进而求出(。—3),同理可得ON=LS—3),

MOAO44

再根据OM-ON=L(a—3),S—3)=,，即可得出结论.

444

13

【解答】(1)针对于抛物线y=——0—九+―,

44

3

令1=0,则丁=一，

4

3

・・・F(0,-),

13

令y=0,则一炉0一元+—=0,

44

解得，冗=1或％=3,

A(1,O),8(3,0),

3

综上所述：41,。），“。），2。,/；

3

(2)由⑴知，B(3,0),F(0,-),

4

:BM=FM,

呜|），

•••A(l,0),

33

.•.直线AC的解析式为：y=

44

33

y=—x——

44

联立抛物线解析式得：《

123

y--X-x-\—

44

%2=6

石=1

解得：,或＜15，

%=0%;

。(6,9,

如图1,设H是直线AC下方轴x上一点，A”=Q且SZ,AS=4,

=4,

24

32

解得：a=15

47

H(—,0),

15

过H作I//AC,

347

；・直线/的解析式为y=—三

联立抛物线解析式，解得5必—35X+62=0,

A=49-49.6=-0.6<0,

即：在直线AC下方的抛物线上不存在点P,使S“CP=4;

(3)如图2,过。，E分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H,

设。(a,—々2—a+—),石(4b+—),直线DE的解析式为丁=日+机,

4444

13

联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得一d9_(左+1)%+——=Q

44mf

a+b—A-+4k,cib—3—4-m,

•・・OG_Lx轴，

C.DG//OM,

・・・ADAG^AMAO,

.DG_AG

•・访一而‘

即;(a—l)(a—

OM—1

OM=-(«-3),同理可得ON=！S—3)

44

444

cib—3(。+b)+5:=0,

即3—4m—3(4+4左)+5=0,

m=-3k—l,

直线DE的解析式为y=kx—3k—}=k{x—3)—1,

直线。E必经过一定点(3,-1).

图2

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数的综合应用，交点的求法,

待定系数法求函数解析式等方法式解决本题的关键.

20.如图1,A(-4,0).正方形02C。的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限.现将正方形。

绕点。顺时针旋转角a得到正方形OEFG.

(1)如图2,若a=60。，OE=OA,求直线所的函数表达式.

(2)若a为锐角，tana=l，当AE取得最小值时，求正方形OEEG的面积.

3

(3)当正方形。EFG的顶点月落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P,AOE尸的其中两边之比能

否为后：1?若能，求点尸的坐标；若不能，试说明理由.

【答案】(l)y=/x+孚；(2)高;(3)4。£尸的其中两边的比能为0：1,点尸的坐标是：P(0,4),

P(-4,12),P(-12,24),P(-4,0),P(-12,4).

【解析】(1)过点E作即，OA于点H,EF与y轴的交点为由已知条件证明△AEO为正三角形，求

出点E的坐标及OM的长度，再利用E、M的坐标即可求出解析式；

(2)无论正方形边长为多少，绕点。旋转角a后得到正方形OEFG的顶点E在射线。。上，当AE，。。

时，线段AE的长最小利用a为锐角，tana='及勾股定理求出边长OE2,即可求出正方形的面积；

3

(3)分点F在y轴的正半轴上或负半轴上，且点P与点F或点A重合或不重合时，利用AOEP的两边之

比为J5：1分别求出点P的坐标.

【解