中考数学解题方法专项训练：圆之内外心综合（原卷版+解析）

40第7章圆之内外心综合

一、单选题

1.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、。均是正六

边形的顶点.则点。是下列哪个三角形的外心().

A.AAEDB.Z\ABDC.ZxBCDD.AACD

2.已知等边三角形ABC.如图，

(I)分别以点A,B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；

2

(2)作直线MN交于点。；

(2)分别以点A,c为圆心，大于^AC的长为半径作弧，两弧相交于“，L两点；

2

(3)作直线乩交AC于点E；

(4)直线MV与直线乩相交于点。；

(5)连接。1,OB,OC.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB=2OE；®AB=2OA；③。4=OB=OC；④/。。£=120。,

正确的是()

3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AAO3为尺公，点A的坐标是（1,0）,ZBAO=60°,把

心AAO5绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到处/必。？，则H/AAOE的外接圆圆心坐标是（）

ni+⑸

C.D.

2，2

\7

4.已知等边三角形的周长为6,则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）

A.6兀B.3兀C.兀D.2兀

5.如图，扇形A。。中，ZAOD=90°,Q4=6,点P为弧A。上任意一点（不与点A和D重合），PQLOD

于Q,点/为△OP。的内心，过O,/和。三点的圆的半径为八则当点P在弧上运动时，厂的值满足

（）

A.0<r<3B.r=3c.3<r<372D.r=342

二、填空题

6.如图，。。是AABC的外接圆，ABAC=45°,AD，3c于点。，延长AD交0。于点E,若BD=4,

CD=l,则。上的长是.

7.△ABC内接于O。，且A3=4。，点。到3c的距离为3,圆的半径为5,则的长是—.

8.如图，AB是。。的直径，且42=4,点C是半圆AB上一动点（不与A,8重合），CD平分NACB交。。

于点。，点/是AABC的内心，连接BO.下列结论：

①点D的位置随着动点C位置的变化而变化;

②ID=BD；

③a的最小值为0—1；

@AC+BC=^2CD.

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

c

B

D

9.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B,C、在直角坐标系中的坐标分别为

(3,6),(-3,3),(7,—2),则△ABC内心的坐标为

10.若三角形的三边长分别是6、8、10,则这个三角形的内心与外心之间的距离为

三、解答题

11.问题提出

(1)如图①，在AABC中，AB=AC=IO,8c=12,点。是△ABC的外接圆的圆心，则的长为

问题探究

(2)如图②，已知矩形ABC。，AB=4,AZ)=6,点E为的中点，以BC为直径作半圆O,点尸为半圆

。上一动点，求£、尸之间的最大距离；

问题解决

(3)某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABC。和弦C8与其所对的劣弧场地组成的，果园主

人现要从入口。到上的一点尸修建一条笔直的小路。P.已知AO〃BC,ZA£)B=45°,80=120夜米,

BC=160米，过弦BC的中点E作成U8C交BC于点孔又测得EF=40米.修建小路平均每米需要40

元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多

少元？

12.如图，ZA=ZB,=点。在AC边上，Zl=Z2.

(1)求证：AAEC2ABED；

（2）若NC=75。，求NAEB的度数;

（3）若NAEC=90°,当AAEC的外心在直线QE上时，CE=2,求AE的长.

13.如图，半圆D的直径AB=6,线段OA=10,。为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上

所表示的数为m.

（1）当半圆D与数轴相切时，求m；

（2）半圆D与数轴有两个公共点，设另一个公共点为C,

①直接写出m的取值范围是；

②当半圆D被数轴截得的弦长为3时，求半圆D在△AOB内部的弧长;

（3）当AAOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求cos/AOB的值.

14.如图，在NDAM内部做RSABC,AB平分/DAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,点N为BC的

中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为

每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作。O.

备用图1备用图2

（1）判断△AEF的形状为,并判断AD与。O的位置关系为；

（2）求t为何值时，EN与。O相切，求出此时OO的半径，并比较半径与劣弧AE长度的大小；

（3）直接写出AAEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）

（4）直接写出线段EN与。O有两个公共点时，t的取值范围为.

3324247

（参考数据：sin37°=-,tan370=-,tan74°~—,sin74°--~■,cos74°=一）

5472525

15.如图，已知△A6C,NA=60。，△ABC的内切圆/分别切边A5,AC于点直线。石分别与直线

5/,C/相交于点尸,G.求证：FG=-BC.

2

16.如图，AB为。。的直径，点C为AB下方的一动点，连结0C,过点。作OOLOC交8C于点。，过

点C作的垂线，垂足为R交。。的延长线于点E.

(1)求证：EC=ED.

(2)当OE=OD,AB=4时，求OE的长.

0E

(3)设---------XtanB=y.

ED

①求y关于x的函数表达式;

②若△COD的面积是△80。的面积的3倍，求y的值.

17.如图，。。为AA8C的外接圆，直线与。。相切于点C,眩BD〃MN,AC与8。相交于点E.

(1)求证：ZCAB=ZCBD；

(2)若8C=5,BD=8,求。。的半径.

18.如图，四边形ABCD内接于。O,且对角线ACLBD,垂足为点E,过点C作CFLAB于点F,交BD

于点G.

(1)如图①，连接EF,若EF平分/AFG,求证：AE=GE；

3

(2)如图②，连接CO并延长交AB于点H,若CH为/ACF的平分线，AD=3,且tan/FBG=—,求线

4

段AH长

19.如图，在AABC中，AB=AC。是底边3c上一点，E是线段AD上一点，且

ZBED=2/CED=ZA.

求证：BD=2CD.

20.如图所示，0。为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分NBAC交。。于D,点M为△ABC的内心,

DM=5&，AB=8,求0M的长.

40第7章圆之内外心综合

一、单选题

1.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、。均是正六

边形的顶点.则点。是下列哪个三角形的外心().

A.AAEDB.ZxABDC.ZxBCDD.AACD

【答案】D

【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.

【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A,B,

C,D,E的距离中，只有OA=OC=OD.

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等.

2.已知等边三角形A8C.如图，

(I)分别以点A,B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；

2

(2)作直线交于点。；

(2)分别以点A,c为圆心，大于LAC的长为半径作弧，两弧相交于H,L两点；

2

(3)作直线乩交AC于点E；

(4)直线MN与直线HL相交于点O；

(5)连接OA,OB,OC.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB=2OE；②AB=20A；®OA=OB=OC-④NDOE=120°,

正确的是()

A.①②③④B.①③④C.①②③D.③④

【答案】B

【分析】根据等边三角形的性质，三角形的外心，三角形的内心的性质一一判断即可.

【详解】解：由作图可知，点。是△ABC的外心，

,/AABC是等边三角形，

点。是△ABC的外心也是内心，

：.OB=2OE,0A=OB=OC,

ZBAC=6Q°,ZADO=ZA£O=90°,

AZDOE=180°-60°=120°,

故①③④正确，

故选：B.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟

练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AAOB为咫A,点A的坐标是(1,0),ZBAO=60°,把

HfAAOB绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到处AAOE,则&AACXB'的外接圆圆心坐标是()

ni+⑸

D.

\27

【答案】A

【分析】取AB，中点P,过点P分别作PELx轴，根据旋转的性质可得AB=AB，，/BAB，=90。，ZB'O'A

=NBOA=90。，先说明H/AAOE的外接圆圆心为点P,再利用点A的坐标是(1,0),ZBAO=60°,求

得AB长，进而可得AB，的长，在求得/PAE=30。，在RtAPAE中，利用30。角的性质及勾股定理即可求得

答案.

【详解】解：如图，取AB，中点P,过点P分别作PELx轴，垂足为点E,连接PO，,

:把如AAO5绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到RtAACfB',

.\AB=AB',ZBAB'=90°,ZB'O'A=ZBOA=90°,

;点P为AB，的中点，

1

.\PA=PB'=PO'=—AB',

2

RiAAOB'的外接圆圆心为点P,

VZBAO=60°,ZAOB=90°,

・・・NABO=90。一NBAO=30。,

.*.OA=—AB,

2

•・•点A的坐标为（1,0）,

AOA=1,

・・・AB'=AB=2OA=2,

APA=—ABf=l,

2

VZBAB'=90°,ZBAO=60°,

・•・ZPAE=180°-ZBAB'-ZBAO=30°,

11

.PE=_PA=—

2

.•.在RtAPEA中，AE=\IPA2-PE2=

(61、

・••点p的坐标为1+-^-?—

【点评】本题考查了含30。角的直角三角形的性质、勾股定理，直角三角形的外接圆等相关知识，熟练掌握

含30。角的直角三角形的性质及勾股定理是解决本题的关键.

4.已知等边三角形的周长为6,则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）

A.6兀B.3兀C.7iD.2兀

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6,可得BC=2,设点D为BC边与内切圆的切点，连

接AD,则ADLBC,可得BD=DC=，BC=1,再根据勾股定理可得OB?-OD2=BD2=1,再根据S圆环

2

=S外接圆-S内切圆即可得结论.

【详解】解:如图,

;等边三角形ABC的周长为6,

：.BC=2,

设点D为BC边与内切圆的切点，

连接AD,贝IJADLBC,

.*.BD=DC=—BC=1,

2

在RtABOD中，根据勾股定理，得

OB2-OD2=BD2=1,

,,S外接圆-S内切gi

=OB2TT-0D?兀

=BD2兀

—n.

故选：C.

【点评】本题考查三角形的外接圆与内切圆，掌握正三角形的外接圆与内切圆半径求算是解题关键.

5.如图，扇形AOO中，Z4OD=90。，0A=6,点P为弧上任意一点（不与点A和D重合），PQLOD

于Q,点/为△OPQ的内心，过O,/和。三点的圆的半径为厂.则当点P在弧上运动时，厂的值满足

ooD

A.0<r<3B.r=3C.3<r<372D.r=342

【答案】D

【分析】连OI,PI,DL由AOPH的内心为I,可得到/PIO=18(r-/IPO-NIOP=：180。-^-(ZHOP+ZOPH)

2

=135°,并且易证△OPIg^ODL得到/DIO=NPIO=135。，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为

135。的一段劣弧上；过D、I、0三点作。0—如图，连0D,0'0,在优弧A0取点P,连PD,Pf0,可得

/DP'O=180°-135°=45°,得/D0'0=90°,0'0=3亚.

【详解】解：如图，连OLPLDL

,?AOPH的内心为I,

AZI0P=ZI0D,ZIPO=ZIPH,

二ZPIO=180°-ZIPO-ZIOP=180°-—(ZHOP+ZOPH),

2

而PH_LOD,即NPHO=90。，

/.ZPIO=180°-—(ZHOP+ZOPH)=180°--(180°-90°)=135°,

22

在^OPI^AODI中，

IO=IO

<ZPOI=ZDOI,

OD=OP

.,.△OPI^AODI(SAS),

.\ZDIO=ZPIO=135°,

所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；

过D、I、O三点作。0、如图，连0D,09,

在优弧DO取点P,连PD,P，O,

VZDIO=135°,

ZDP,O=180°-135°=45°,

：.ZDO'O=90°,而OD=6,

.•.OO，=DCT=3万

，r的值为3亚，

故选D.

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关

键.

二、填空题

6.如图，。。是AABC的外接圆，ABAC=45°,AD,3c于点。，延长AD交0。于点E，若5r)=4,

CD=l,则。石的长是.

A

【答案］/二5

2

【分析】连结OB,OC,OA,过。点作OFLBC于F,作OG_LAE于G,根据圆周角定理可得/BOC=90。,

根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根据相似三角形的判定和性质可求DE.

【详解】解：连结OB,OC,0A,过。点作OF_LBC于F,作OG_LAE于G,

・.・OO是^ABC的外接圆，ZBAC=45°,

.,.ZBOC=90°,

,.・BD=4,CD=1,

ABC=4+1=5,

.•.OB=OC=^^,

2

5/95

・・・OA=^^,OF=BF=—,

22

3

ADF=BD-BF=-,

2

35

：.OG=-,GD=一,

22

在R3AGO中，AG=J(M2_OG2=典,

2

・•・AD=AG+GD=向+5,

2

连接BE,AD与BE相交于D,

；./BED=/ACD,ZBDE=ZADC,

.,.△BDE^AADC,

BDDE

AD—CD

“BDCD4x1历—5

DE=----------=—1=——=-----------

ADa—52

2

故答案为：中

【点评】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的

判定和性质，解题的难点是求出AD的长.

7.△ABC内接于O。，且A3=A。，点。到3c的距离为3,圆的半径为5,则的长是.

【答案】4亚或2亚

【分析】如图（见解析），过点A作于点D,先根据等腰三角形的判定与性质可得AD为BC的垂

直平分线，再根据三角形外接圆的性质可知圆心点O在直线AD上，然后分AABC为锐角等腰三角形和钝

角等腰三角形两种情况，分别利用勾股定理即可得.

【详解】如图，过点A作AD,3c于点D

-.-AB=AC

.•.△ABC为等腰三角形

.•.AD为BC的垂直平分线（等腰三角形的三线合一）

•.•△A3C内接于0。

••・圆心点O在直线AD上

由题意得：OD=3,OA=OB—5

根据AABC的形状，分以下两种情况：

(1)如图1,AABC为锐角等腰三角形

:.AD=OD+OA=3+5=8,BD=y/OB"-OD1=752-32=4

在RtAABD中，Afi=ylAD2+BD2=782+42=475

(2)如图2,AABC为钝角等腰三角形

,AD=6M-8=5-3=2,BD=\/OB2-OD2=A/52-32=4

在RtAAB。中，AB=VAD2+BD2=A/22+42=2^/5

综上，AB的长为4君或2j?

故答案为：46■或2逐.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆的性质、勾股定理等知识点，利用三角形外

接圆的性质得出圆心点0的位置是解题关键.

8.如图，A2是。。的直径，且48=4,点C是半圆AB上一动点（不与A,3重合），CD平分/ACB交。0

于点。，点/是△ABC的内心，连接80.下列结论：

①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；

②ID=BD；

③a的最小值为四—1；

@AC+BC=y/2CD.

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】②④

【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；

②连接小，根据点/是AABC的内心，得到NAB/=NCB/,可以证得ZDBI=ADIB,即有m=

可以判断②正确；

③当01最小时，C£）经过圆心。，作花，3C,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理,可求出10=272-2,

可判断③错误；

④用反证法证明即可.

【详解】解：•.•CD平分N4c8,A8是。。的直径，

:.ZACD=ZBCD=45,

AD=BD'

QAB是0。的直径，

二。是半圆的中点，即点。是定点;

故①错误;

如图示，连接/8,

丁点/是AA8C的内心，

：.ZABI=ZCBI

又ZABD=ZACD=45。，

NDBI=ZABD+ZABI=45+ZABI

ADIB=NDCB+ZCBI=45°+ZABI

即有ND5/=ND/B

ID=BD,

故②正确；

如图示，当。/最小时，CD经过圆心。,

过/点，作/E，3C,交BC于E点、

c

•.,点/是△ABC的内心，CD经过圆心0,

IO=IE,

•••ZBCD=^5°

：.AW是等腰直角三角形，

又,:AB=4,

：.IC=2,

设/O=x,则7E=CE=x,IC=2-x,

'•%2+%2=（2-%）2,

解之得：x=2逝-2，

即：10=2垃-2,

故③错误；

AC+BC>/2CD,

:点C是半圆AB上一动点，

则点C在半圆上对于任意位置上都满足AC+BC^辰D,

如图示,

c

当CD经过圆心。时，AC=BC=2四,CD=4,

AC+BC=2五+2近=4五=&CD

与假设矛盾，故假设不成立，

；•AC+BC=s/2CD

故④正确；

综上所述，正确的是②④，

故答案是：②④

【点评】此题考查了三角形的内心的定义和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外接圆有关的性

质，角平分线的定义等知识点，熟悉相关性质是解题的关键.

9.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B,C、在直角坐标系中的坐标分别为

(3,6),(—3,3),(7,-2),则AABC内心的坐标为.

【答案】(2,3)

【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直

角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b,求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称,

射线BD是/ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD

上找一点M,过点M作MELAB,过点M作MFJ_AC,且ME=MF=r,求出r的值，在ABEM中，利用

勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标.

【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，

根据题意可得：2222BC=22

AB=A/3+6=375>AC=74+8=4A/5>75+10=545'

AB-+AC2=BC。，

：.ZBAC=90°,

设BC的关系式为：y=kx+b,

代入B(—3,3),C(7,—2),

3=—3k+b

可得＜

-2=7k+b

k=--

解得：\2,

b=-

[2

.13

•"BC：y=—x—,

.22

当y=0时，x=3,即G(3,0),

点A与点G关于BD对称，射线BD是NABC的平分线，

设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作MELAB,过点M作MFLAC,

且ME=MF=r,

VZBAC=90°,

，四边形MEAF为正方形，

SAABC二—ABxAC———ABxrH—ACxrH—BCxr,

2222

解得：r=5/5，

即AE=EM=V5>

:.BE=34后=2下,

BM=y]BE-+EM2=5，

VB(-3,3),

：.M(2,3),

故答案为:(2,3).

【点评】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等

相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可.

10.若三角形的三边长分别是6、8、10,则这个三角形的内心与外心之间的距离为.

【答案】V5

【分析】先说明三角形三边是直角三角形，再根据直角三角形可确定三角形的外心在斜边的中点和直角三

角形内切圆半径公式确定内切圆的半径，然后用勾股定理解答即可.

【详解】解：如图：：三角形的三边长为BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm

•••三角形为直角三角形

，直角三角形的外心是斜边的中点，即AD=BD=-AB=5

2

由直角三角形内切圆半径公式：Q+Z?-C=6+8~10=2即OE=2

22

VOFXBC,OG±AC

.,.CF=CG=0F=0G=2,

；.BE=FB=4,BD=5

/.DE=BD-BE=1

在RtAODE中,DE=1,OE=2

•••OD=y/DE2+OE2=A/F+2?=6•

故答案为b.

【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形外心与内心有关知识，根据直角三角形的性质确定直角三

角形的内心和外心是解答本题的关键.

三、解答题

11.问题提出

(1)如图①，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,点。是△ABC的外接圆的圆心，则08的长为

问题探究

(2)如图②，已知矩形ABC。，AB=4,AO=6,点E为的中点，以BC为直径作半圆。，点尸为半圆

。上一动点，求E、尸之间的最大距离；

问题解决

(3)某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABC。和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主

人现要从入口。到上的一点尸修建一条笔直的小路。P己知AO〃2C,NADB=45。，加＞=120夜米,

8C=160米，过弦3c的中点E作EFL8C交于点孔又测得EP=40米.修建小路平均每米需要40

元(小路宽度不计)，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多

少元？

图①图②

【答案】(1)―；(2)E、尸之间的最大距离为7；(3)修建这条小路最多要花费(800+4000)元.

【分析】(1)若AO交BC于K,则AK=8,在RtaBOK中，设OB=x,可得x2=6?+(8-x)2,解方程

可得OB的长;

(2)延长EO交半圆于点P,可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可；

(3)先求出8C所在圆的半径，过点D作DGLBC,垂足为G,连接DO并延长交于点P，则DP为

入口D到8c上一点P的最大距离，求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用.

【详解】(1)

/\

BKC

如图，若AO交BC于K,

丁点0是△ABC的外接圆的圆心，AB=AC,

AAKXBC,BK=-BC=6,

2

•*-AK=^AB--AK2=8，

在RtABOK中，OB2=BK2+OK2,设OB=X,

x2—62+(8-x)2,

25

解得x=不，

4

25

・・・OB=——；

4

故答案为：—.

4

如图，连接EO,延长EO交半圆于点P,可求出此时E、P之间的距离最大,

;在是任意取一点异于点P的P'，连接OP'，P'E,

EP=EO+OP=EO+OPr>EP\即EP>EP;

VAB=4,AD=6,

，EO=4,OP=OC=-BC=3,

2

.,.EP=OE+OP=7,

；.E、P之间的最大距离为7.

(3)

作射线FE交BD于点M,

VBE=CE,EF±BC,6c是劣弧,

BC所在圆的圆心在射线FE上，

假设圆心为0,半径为r,连接OC,则OC=r,OE=r-40,BE=CE=-BC=80,

2

在RtAOEC中，r2=802+(r-40)2,

解得：r=100,

・・・OE=OF—EF=60,

过点D作DGLBC,垂足为G,

VAD//BC,NADB=45。，

.*.ZDBC=45O,

BD

在RtABDG中，DG=BG=~产二120,

V2

在RtABEM中，ME=BE=80,

AME>OE,

・••点。在ABDC内部,

・•・连接DO并延长交BC于点P，则DP为入口D到BC上一点P的最大距离,

•..在上任取一点异于点P的点P'，连接OP',P'D,

DP=OD+OP=OD+OP,>DP,,即DP>DP\

过点0作OH_LDG,垂足为H,则OH=EG=40,DH=DGHG=DG-OE=60,

•*-OD=>/OH2+DH2=20V13,

•*.DP=OD+r=20A/13+100，

,修建这条小路最多要花费40x（20^/13+100）=（800W+4000）元.

【点评】本题主要考查了圆的性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.

12.如图，ZA=ZB，=点。在AC边上，Zl=Z2.

（1）求证：AAEC贮ABED；

（2）若NC=75。，求NAEB的度数；

（3）若NAEC=90°,当AAEC的外心在直线。E上时，CE=2,求AE的长.

【答案】（1）见解析；（2）ZA£B=30°；（3）AE=243

【分析】（1）由三角形的外角的性质可得ZDCE=ZBDE,由“A4S”可证ABDE丝AACE；

（2）由全等三角形的性质可求DE=EC,ZBED=ZAEC,可得NEDC=NC=75°,即可求解;

（3）由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点。是AC的中点，可证△ECD是等边三角形，可得ZC=60°,

即可求解.

【详解】证明：(1)；ZADE=N1+NDCE=N2+NBDE,且N1=N2,

:.ZDCE=ABDE,

VZA^ZB,AE=BE,

：.AAEC^ABED(AAS)

(2)-.-AAEC^ABE£),

:.DE=EC,ZBED=ZAEC,

.-.Z£DC=ZC=75°,

.•.Zl=180°-2x75°=30°,

•:NBED=ZAEC,

:.ZAEB=Z1=30°；

(3)vZAEC=90°,

.△AEC的外心是斜边AC的中点，

•.•△AEC的外心在直线DE上，

二点。是AC的中点，

AD=CD=DE,

又；DE=EC,

CD=EC=DE,

.•.△ECD是等边三角形，

,-.ZC=60°,

AE=J3EC=273.

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形

的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

13.如图，半圆D的直径AB=6,线段OA=10,0为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上

所表示的数为m.

（1）当半圆D与数轴相切时，求m；

（2）半圆D与数轴有两个公共点，设另一个公共点为C,

①直接写出m的取值范围是；

②当半圆D被数轴截得的弦长为3时，求半圆D在△AOB内部的弧长；

（3）当AAOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求cos/AOB的值.

【分析】（1）由切线的性质得出ABLOB,由勾股定理即可得答案；

（2）①半圆D与数轴相切时，只有一个公共点，此时m=8,当O、A、B三点在数轴上时，m=16或m=4,

即可得出答案；

②连接DC,证△BCD为等边三角形，得出NBDC=60。，则/ADC=120。，由弧长公式即可得出答案；

（3）分两种情况，由勾股定理和三角函数定义分别求解，即可得出答案.

【详解】解：（1）当半圆D与数轴相切时，ABXOB,

由勾股定理得：m=VOA2-AB2=A/102-62=8，

故答案为：8；

（2）①•••半圆D与数轴相切时，只有一个公共点，此时m=8,

当O、A、B三点在数轴上时，m=10+6=16或m=10-6=4,

二半圆D与数轴有两个公共点时，m的取值范围为：4WmW16且m，8,

故答案为：4勺把16且n#8；

②连接DC,如图1所示：

图1

当BC=3时，

;半圆D的直径AB=6,

；.CD=BD=3,

AABCD为等边三角形，

.\ZBDC=60°,

AZADC=120°,

nnr1OQy77-x3

半圆D在△AOB内部的弧长=j==2乃;

180180

(3)①当OB=AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上,

过点A作AHLOB于点H,如图2所示：

设BH=x,

由勾股定理得：102一(6+X)2=62-X2,

7

解得：x=-,,

3

725

...OH=6+—=—

33

25

3_5；

cosZAOB==

OA106

②当OB=OA时，内心、外心与顶点O在同一条直线上,

过点A作AH_LOB于点H,如图3所示:

设BH=x,

由勾股定理得：102_(10-x)』62-x2,

9

解得：X=-

941

・・・OH=10--=—

55

41

CH

cosZAOB=------

OA1050

5、41

综上所述，cosZAOB的值为一或一.

65

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股

定理、三角函数定义、三角形的内心和外心以及弧长公式等知识；本题综合性强，有一定难度.

14.如图，在/DAM内部做RSABC,AB平分NDAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,点N为BC的

中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为

每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作。O.

备用图1备用图2

（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与。O的位置关系为

（2）求t为何值时，EN与。O相切，求出此时。。的半径，并比较半径与劣弧AE长度的大小；

（3）直接写出AAEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）

（4）直接写出线段EN与。O有两个公共点时，t的取值范围为.

3324247

（参考数据：sin37°=—,tan37°=—,tan74°=—,sin74°~一，os74°=—）

54725C25

【答案】（1）等腰三角形，相切；（2）t=l,半径为V，劣弧AE长度大于半径；（3）当0；（4）

【分析】（1）过点E作EHLAF于H,连接OA、OE、OH,由勾股定理求出BC=JAB?—AC?=6,设

AEAB

运动时间为3则AE=5t,AF=8t,证明AEAHs^BAC,得出——=——，求出AH=4t,则FH=AF-

AHAC

AH=4t,AH=FH,得出△AEF是等腰三角形，证明E、H、O三点共线，得出NOAF+NAOE=90。，由

AB平分NDAM,得出/DAE=NEAF=/EFA,由圆周角定理得出/AOE=2/EFA,则/DAF+/OAF=

90。=/DAO,即OAJ_AD,即可得出AD与。O相切；

（2）连接OA、OF、OE,OE于AC交于H,易证四边形EHCN为矩形，得出EH=NC,由勾股定理得出

EH=JAE?-AH2=3t,则NC=3t，BC=2NC=6t，由BC=6,得出t=l,则AH=4,EH=3,设。。

257?4

的半径为x,则OH=x-3,由勾股定理得出OA2=OH2+AH2,解得x=——，得出OH=-,tanZAOH=—,

667

得出NAOH=74。，由/AOH=60。时，AAOE是等边三角形，AE=OA,74°>60°,得出AE>OA,则劣

MAE长度的大于半径;

（3）当点E运动到B点时，t=2,AF=16,AE=EF=AB=10,此时△AEF的内心记为G,当A、E、F

重合时，内心为A点，△AEF的内心运动的路径长为AG,作GPLAE于P,GQLEF于Q,连接AG、GF,

则CG=PG=NQ,SAAEF=—AF*BC=48,设CG=PG=NQ=a,贝!]SAAEF=SAAGF+SAAEB+SAFEG=

—AF«CG+—AE«PG+—EF«NQ=—x(16+10+10)a=48,解得a=§,由勾股定理得出AC2+CG2=AG2,

22223

得出AG=8⑩；

3

（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与。。相切时，由（2）知，t=l；②当N在。。上，即ON为。O

的半径，连接OA、ON、OE,OE交AC于H,过点O作OKLBC于K,则四边形OKCH为矩形，OA=

OE=ON,得出OH=CK,AH=4t,EH=3t,设。。的半径为x,由勾股定理得出AH2+OH2=OA2,解得X

25773

=——t,则OH=CK=—t,由勾股定理得出OK2+KN2=ON2,解得t=一，即可得出结果.

6657

【详解】（1）过点E作EHLAF于H,连接OA、OE、OH,如图1所示：

BC=7AB2-AC2=6,

设运动时间为t,则AE=5t,AF=8t,

VZAHE=ZACB=90°,ZEAH=ZBAC,

AAEAH^ABAC,

.AEAB5t10

..----=----,即nn----=—,

AHACAH8

.*.AH=4t,

.*.FH=AF-AH=8t-4t=4t,

；.AH=FH,

VEHXAF,

...△AEF是等腰三角形，

E为4尸的中点，ZEAF=ZEFA,

VAH=FH,

.".OHXAC,

；.E、H、O三点共线，

ZOAF+ZAOE=90°,

VAB平分/DAM,

/DAE=ZEAF=ZEFA,

ZAOE=2ZEFA,

ZAOE=ZDAE+ZEAF=ZDAF,

ZDAF+ZOAF=90°=ZDAO,即OAJ_AD,

：OA为。O的半径，

；.AD与。O相切；

故答案为：等腰三角形，相切；

(2)连接OA、OF、OE,OE于AC交于H,如图2所示:

由（1）知：EH±AC,

TEN与。0相切，

・・・NOEN=90。，

VZACB=90°,

・・・四边形EHCN为矩形，

・・・EH=NC,

在RtAAHE中，EH=y/AE2-AH2=33

・・・NC=3t,

・・•点N为BC的中点，

・・・BC=2NC=6t,

•・・BC=