应用题分式方程与方程（组）不等式综合（解析版）-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题U应用题分式方程与方程(组)不等式综合

(4种类型40道)

目录

【题型1行程问题】.............................................................................1

【题型2工程问题】.............................................................................9

【题型3销售利润1...................................................................................................................19

【题型4运输问题】............................................................................27

【题型1行程问题】

1.甲、乙两人从4地出发，沿相同路线骑自行车前往B地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米.

(1)若乙从力地先骑行18千米，甲才开始从力地出发，3小时后，乙走过的总路程是甲走过的总路程的2倍，求

甲的速度；

(2)若甲、乙两人同时从4地出发，4B两地相距21千米，由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人

同时到达8地，求甲每小时骑行多少千米？

【答案】(1)5千米/时

(2)每小时骑行7千米

【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，能找到等量关系并进行列式是解题的关键.

(1)甲的速度为x千米/时，则乙的速度为(x-1)千米/时，根据"3小时后，乙走过的总路程是甲走过的总路

程的2倍"列式即可；

(2)设甲的速度为y千米/时，则乙的速度为(y-l)千米/时，根据"两人同时到达B地〃列式即可.

【详解】(1)解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为(x-1)千米/时，

根据题意得：18+3(%—I)=2X(3X)，

解得:x=5(千米/时)，

答：甲的速度为5千米/时；

(2)解：设甲的速度为y千米/时，则乙的速度为(y-1)千米/时，

根据题意得：言，

解得：y=7,

经检验，y=7是原方程的解，且符合题意，

答：甲每小时骑行7千米.

2.甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校20km的黄庄观赏油菜花,

乙速度是甲速度的1.5倍.

(1)若甲先行驶3km,乙才开始从学校出发，乙出发45min后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？

(2)若甲先出发20min,乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？

【答案】(1)乙每小时行驶12km

⑵乙每小时行驶30km

【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键.

(1)设甲每小时行驶xkm,根据路程相等列出方程，解方程即可；

(2)设甲每小时行驶xkm,根据时间关系列出方程，解方程并检验即可得到答案.

【详解】(1)设甲每小时行驶xkm,

由题意得：-x+3=-xl.5x

解得x=8,

则1.5久=12

答：乙每小时行驶12km；

(2)设甲每小时行驶xkm,由题意得

2020_20

x601.5%

解得x=20

经检验，x=20是原分式方程的根

1.5%=1.5X20=30

答：乙每小时行驶30km

3.五一期间，两骑行爱好者甲和乙相约从N地沿着相同路线骑行到距离/地25千米的3地，已知甲的速

度是乙的速度的1.5倍.

(1)若乙先骑行2.4千米，甲才开始从/地出发，则甲出发24分钟后追上乙，求甲每小时骑行多少千米？

⑵若乙先骑行50分钟，甲才开始从N地出发，则甲乙同时到达8地，求甲每小时骑行多少千米？

【答案】(1)甲每小时骑行18千米

(2)甲每小时骑行15千米

【分析】(1)设乙每小时骑行久千米，则甲每小时骑行1.5支千米，根据甲追上乙时，甲行驶的总路程等于乙

行驶的总路程，列出方程，解方程即可；

（2）设乙每小时骑行y千米，则甲每小时骑行1.5y千米，根据乙所用是时间比甲多50分钟，列出方程，解

方程即可.

【详解】（1）解：设乙每小时骑行x千米，则甲每小时骑行1.5万千米，

74

依题意得：-X1.5x=2.4+-x,

解得：x=12,

.,.1.5x=1.5x12=18,

答：甲每小时骑行18千米；

（2）解：设乙每小时骑行y千米，则甲每小时骑行1.5y千米，

依题意得：骨言得,

解得：y=10,

经检验，y=10是原方程的解，且符合题意，

.*.1.5y=1.5x10=15,

答：甲每小时骑行15千米.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方

程，注意分式方程要进行检验.

4.小李从/地出发去相距4.5千米的8地上班，他每天出发的时间都相同.第一天步行去上班结果迟到了5

分钟.第二天骑自行车去上班结果早到10分钟.已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍.

⑴求小李步行的速度和骑自行车的速度；

⑵有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障.小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）

为了至少提前3分钟到达.则跑步的速度至少为多少千米每小时？

【答案】⑴9千米/小时

（2年千米/小时

【分析】（1）设小李步行的速度为万千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从/地

出发去相距4.5千米的8地上班，他每天出发的时间都相同.第一天步行去上班结果迟到了5分钟.第二天

骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；

（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障.小李立即跑步去上班

（耽误时间忽略不计）为了至少提前3分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【详解】（1）解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，

解得：x=6,

经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，

则1.5%=9,

答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；

（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为18+9=5（小时），

小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5+9+10+60=1（小时），

设小李跑步的速度为m千米/小时，

由题意得1.5+（|—蓑—烹）小24.5,

解得：m>^,

答：为了至少提前3分钟到达.则跑步的速度至少为与千米/小时.

【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方

程和不等式.

5.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从4地沿相同路线骑行去距力地60

千米的8地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.

（1）若乙先骑行6千米，甲才开始从4地出发，则甲出发1.5小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；

⑵若甲、乙同时从4地出发，则乙到达B地比甲晚了40分钟，求甲骑行的速度.

【答案】（l）24km/h

（2）18km/h

【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的方法，理解题目数量关系，掌握方程解决实际问题的方

法是解题的关键.

（1）根据题意，设乙的速度为xkm/h,则甲的速度为L2尤km/h,由题目中的数量关系列方程求解即可；

（2）设乙的速度为ykm/h,则甲的速度为1.2ykm/h,根据数量关系列分式方程求解即可.

【详解】（1）解：设乙的速度为xkm/h,则甲的速度为1.2%km/h,

由题意可得：1.5x1.2x=1.5x+6,

解得，x=20,

••.1.2%=24.

答：甲骑行的速度为24km/h.

(2)解：设乙的速度为ykm/h,则甲的速度为1.2ykm/h,40分钟=§小时，

由题意可得：号—念=|，

解得,y=15,

经检验，y=15是原方程的解，且符合题意，

.e*1.2y=18,

答：甲骑行的速度为18km/h.

6.某中学七年级参加了"寻根,行走的青春"研学活动，一班选择/研学线路，二班选择8研学线路.已知/

研学线路的路程比3多3公里，/、2研学线路的路程和为27公里.

(1)求/、8两研学线路的路程分别是多少公里？

⑵两个班同时出发，结果一班比二班晚0.2小时走完研学路程.已知一班的行进速度是二班行进速度的1.2倍,

求二班的行进速度.

【答案】(1)/、8两研学线路的路程分别是15公里，12公里；

⑵二班的行进速度为2.5公里/小时

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用：

(1)设/、8两研学线路的路程分别是x公里，y公里，根据/研学线路的路程比8多3公里，4、8研学

线路的路程和为27公里列出方程组求解即可；

(2)设二班的行进速度为小公里/小时，则一班的行进速度为1.2巾公里/小时，根据一班比二班晚0.2小时走

完研学路程列出方程求解即可.

【详解】(1)解：设/、5两研学线路的路程分别是x公里，》公里，

由题意得,w当，

解需充

答：/、8两研学线路的路程分别是15公里，12公里;，

(2)解：设二班的行进速度为小公里/小时，则一班的行进速度为1.2巾公里/小时，

由题意得，接

解得加=0.25,

检验，当Tn=2.5时，m-1.2m0,

.vm=2.5是原方程的解，

答：二班的行进速度为2.5公里/小时.

7.五一当天，小潼和妈妈约定从欧鹏中央公园出发，沿相同的路线去4320米外的滨江公园，已知妈妈步

行的速度是小潼的1.2倍.

⑴若小潼先出发12分钟，妈妈才从欧鹏中央公园出发，最终小潼和妈妈同时到达滨江公园，则妈妈的步行

速度是每分钟多少米？

（2）粗心的妈妈到达滨江公园后，想起30分钟后公司有一个团建活动要参加，公司距离滨江公园2940米，

妈妈马上从滨江公园出发赶往公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若

妈妈不想迟到，则至少需要跑步多少分钟？

【答案】（1）妈妈的步行速度是每分钟72米；

⑵至少需要跑步10分钟.

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

（1）设小潼的步行速度是每分钟万米，则妈妈的步行速度是每分钟12万米，利用时间=路程+速度，结合

妈妈比小潼少用12分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出小潼的步行速度，再将其代入1.2x

中，即可求出妈妈的步行速度；

（2）设需要跑步y分钟，利用时间=路程+速度，结合妈妈不想迟到，可列出关于y的一元一次不等式，

解之取其中的最小值，即可得出结论.

【详解】（1）设小潼的步行速度是每分钟x米，则妈妈的步行速度是每分钟1.2x米，

解得：x=60,

经检验，久=60是所列方程的解，且符合题意,

•••1.2%=1,2x60=72.

答：妈妈的步行速度是每分钟72米；

（2）设需要跑步y分钟，

2940-150y

根据题意得:

-72-<30-y,

解得：y>10,

•••y的最小值为io.

答：至少需要跑步10分钟.

8.A、B两地相距240千米.

1

(1)甲以60千米/小时的速度从A地前往B地，乙以80千米/小时的速度从B地前往A地.若甲先出发万小时,

乙再出发，求乙出发后多少小时后甲乙相遇？

(2广要致富，先修路"，当地政府为解决交通问题，决定在A、B两地间新修一高速公路.经调研可知，高速

公路修成后，从A地前往B地的平均速度可提高25%,时间可比原来缩短|小时，求原来从A地前往B地的

平均速度是多少？

【答案】(1)乙出发后|小时后甲乙相遇

(2)原来从A地前往B地的平均速度是80千米/小时

【分析】本题考查一元一次方程和分式方程解决实际问题.

(1)设乙出发后x小时后甲乙相遇，则甲经过的路程为60(尤+。千米，乙经过的路程为80万千米，根据"相

遇时，甲乙经过的路程之和等于A,B两地的距离”即可得到方程，求解即可；

240

(2)设原来从A地前往B地的平均速度是y千米/小时，则原来从A地前往B地需要丁小时，建成高速公

路后，从A地前往B地需要2声40小时2，根据"时间可比原来缩短］小时"即可列出方程，求解并检验即可解答.

【详解】(1)设乙出发后x小时后甲乙相遇，根据题意可得：

60(x+0+80%=240,

解得：x=l，

答：乙出发后|小时后甲乙相遇；

(2)设原来从A地前往B地的平均速度是y千米/小时，根据题意可得：

240240_3

-y--L25y=5)

解得：y=80,

经经验，y=80是原分式方程的解，

答：原来从A地前往B地的平均速度是80千米/小时.

9.小明沿着鱼洞滨江公路散步，从家到/地需要30分钟，返回时，发现一条小路可以返回家，距离缩短了

570米，速度比原来每分钟少走了10米，返回的时间缩短了3分钟.

⑴求小明沿滨江公路从家到A地走过的距离是多少？

(2)小明出发5分钟后，爸爸发现小明忘记带手机，然后沿着家到/地的滨江公路去追小明，到了/地发现

小明不在，沿着原路快步回家，速度是原来的L2倍，结果比小明早到家2分钟，求爸爸沿滨江公路从家到/

地的速度是多少？

【答案】⑴3000米

⑵110米/分

【分析】本题考查了一元一次方程，解分式方程的应用，掌握"路程=速度X时间"，找准等量关系列方程是

解题关键.

(1)设滨江公路从家到/地走过的距离是x米，根据"返回时，发现一条小路可以返回家，距离缩短了570

米，速度比原来每分钟少走了10米，返回的时间缩短了3分钟"列方程求解；

(2)设爸爸沿滨江公路从家到N地的速度为y米/分，根据"结果比小明早到家2分钟"列分式方程计算求解.

【详解】(1)解：设滨江公路从家到4地走过的距离是久米，

由题意可得：磊=卷+10，

ou3U—3

解得x=3000,

答：设滨江公路从家到/地走过的距离是3000米；

(2)解：设爸爸沿滨江公路从家到工地的速度为y米/分，

由题思可得：1丁+下a=30-5+(30—3)-2,

解得y=no,

经检验：y=110是原分式方程的解，

答：爸爸沿滨江公路从家到/地的速度为11。米/分.

10.金秋时节，八年级的同学组织去公园秋游，从景区4出发到相距10千米的景区B,公园有4座脚踏车和

7座电瓶车(不包含司机)两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从4景区先出发，过了20分钟后，

其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区.已知电瓶车的速度是骑脚踏车学生速度的2倍，租用一

辆脚踏车100元，租用一辆电瓶车400元.

⑴请问骑脚踏车学生的速度为多少千米/小时？(请列分式方程解答)

(2)现共租用脚踏车和电瓶车20辆，使可乘坐学生的总数不低于110人，且租车总费用不超过5600元，请

求出费用最少的租车方案及最少费用.

【答案】⑴15千米/小时

⑵租用脚踏车10辆，租用电瓶车10辆时，租车费用最少，最少费用为5000元

【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答关键是理解题意，找到对应关系式.

(1)设骑脚踏车学生的速度为X千米/小时，根据题意列分式方程求解即可；

(2)设租用脚踏车。辆，租用电瓶车(20-a)辆，根据题意列出一元一次不等式组求解a的取值范围，进而

根据。为整数分别求得租车费用即可求解.

【详解】(1)解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，

根据题意，得，£=磊

解得％=15,

经检验，x=15是所列方程的解，

2%=30(千米/小时)，

答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时：

(2)解：设租用脚踏车。辆，租用电瓶车(20-a)辆，

用用所上汨f4a+7(20—a)2110

很据出居''侍tl00a+400(20_a)W5600'

解得8SaW10,

为整数,

“可取8、9、10,

当a=8时，100x8+400x12=5600(:元)，

当a=9时，100x9+400x11=5300(元)，

当a=10时，100x10+400x10=5000(元)，

•••5600>5300>5000,

.,・租用脚踏车10辆，租用电瓶车10辆时，租车费用最少，最少费用为5000元.

【题型2工程问题】

11.去年，松树桥中学为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，对教学楼走廊，下水管网，校园外墙进

行了大力改造，新设计了系列文化景观，构建了一个文化生态空间.

⑴第一期的改造工程面积为88平方米，由甲，乙两人先后接力完成，若甲每天可以完成10平方米，乙每

天可以完成8平方米，共用10天完成，求甲，乙两人分别工作了多少天？

(2)由于第一期改造工程效果良好，学校计划对/校区综合楼外墙共计400平方米进行改造，由丙工程队负

责，在8校区装修160平方米教学楼走廊，由丁工程队负责，若丙工程队每天可完成的工作量比丁工程队

每天可完成的工作量多5平方米，丙工程队完成的时间是丁工程队完成时间的2倍，求丙，丁工程队每天

可完成的工作量分别是多少平方米？

【答案】（1）甲工作了4天，乙工作了6天

⑵丙工程队每天可完成25平方米，丁工程队每天可完成20平方米

【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，掌握一元一次方程，分式方程解

实际问题的方法是解题的关键.

（1）根据题意，设甲工作了％天，则乙工作了（10-x）天，由此列式求解即可；

（2）根据题意可得设丁工程队每天可完成y平方米，则丙工程队每天可完成（y+5）平方米，由此列分式方

程求解即可.

【详解】（1）解：设甲工作了x天,则乙工作了（10-0天,

•1-10x+8（10-%）=88,

解得，x=4,

•1•甲工作了4天，则10—4=6（天），

答：甲工作了4天，乙工作了6天；

（2）解：设丁工程队每天可完成y平方米，则丙工程队每天可完成（y+5）平方米，

丙工程队工作的时间为黑，丁工程队工作的时间为一，

400160

A—T=X—,

y+52y

解得，y=20,

检验，当y=20时，原分式方程有意义，

则y+5=20+5=25（平方米）；

答：丙工程队每天可完成25平方米，丁工程队每天可完成20平方米.

12.近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安

全感不断提升.某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设

计了系列文化景观，构建起一个"文化生态”空间.

⑴第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天

可完成8平方米，共用时10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？

⑵由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观.社区计划在N处建造400平方米

文化宣传墙，由丙工程队负责；在8处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责.若丙每天可完成

的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成

的工作量分别是多少平方米？

【答案】（1）甲工作了4天，乙工作了6天

⑵丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.

（1）设甲工作了x天，乙工作了y天，根据第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完

成，共用10天完成，列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设丙每天可完成的工作量是皿平方米，则丁每天可完成的工作量是（巾-5）平方米，根据丙完成的时间

是丁完成时间的2倍，列出分式方程，解方程即可.

【详解】（1）解：设甲工作了x天，乙工作了y天，

由题意得：｛盈飞；48,

解得:

答：甲工作了4天，乙工作了6天；

（2）设丙每天可完成的工作量是小平方米，则丁每天可完成的工作量是（6-5）平方米，

由题思特：々T==x2,

解得：m-25,

经检验，巾=25是原方程的解，且符合题意，

.1.m—5=20,

答：丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米.

13.2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场盛大开幕，潮起东方惊艳世界，奥体

中心体育场的设计也同样令人赞叹，以莲花为原型，由28片大"莲花瓣”和27片小"莲花瓣"组成，宛如一朵

绽放的莲花，栩栩如生.建设初期，计划由甲、乙两工程队承包完成其中一个小项目，若乙队单独施工，则

恰好在计划工期完成；若甲队单独施工，可提前8天完成；若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队

单独施工，也可以提前8天完成.

（1）求甲、乙两队单独完成该项目所需的时间；

⑵实际施工时，甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲队每天施工费用为2万元，

乙队每天施工费用为1.25万元，为了控制预算，该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，则甲队

至多施工多少天？

【答案】(1)甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天

(2)甲队至多施工15天

【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用等知识，正确设出未知数，列出方程和不等

式是解题关键.

(1)设甲队单独完成该项目所需的时间为x天，则乙队单独完成该项目所需的时间为(％+8)天，根据若甲、

乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成.列出分式方程，解方程即可；

(2)设甲队施工y天，则乙队施工=^=(32-3/)天，根据该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万

32

元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【详解】⑴解：设甲队单独完成该项目所需的时间为X天，则乙队单独完成该项目所需的时间为(久+8)天，

由题意得：1+

解得：％=24,

经检验，x=24是原方程的解，且符合题意，

・,•%+8=24+8=32,

答：甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天；

1-Z4

(2)解：设甲队施工y天，则乙队施工寸=(32—初天，

32

4

由题意得：2y+1.25(32-3)W45,

解得：y<15,

答：甲队至多施工15天.

14.某建筑公司承建一段6000米的高速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，12天可完成总工程，已知

甲工程队每天比乙工程队少施工100米.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？

⑵实际施工时，因为遭遇雨季，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了〃?米，甲乙同时施工,

完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的去求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？

【答案】(1)甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米

⑵甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工200米

【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程.

(1)设甲工程队计划每天施工小米，可得：12(%+%+100)=6000,解方程即可得甲工程队计划每天施工

200米，乙工程队计划每天施工300米；

17

(2)求出甲工程队施工总量为6000X彳=2000(6)，乙工程队施工总量为6000x§=4000(m)；可得

金=靛，解得巾=100,从而可得答案•

【详解】(1)设甲工程队计划每天施工小米，则乙工程队计划每天施工(x+100)米，

根据题意得：12(x+x+100)=6000,

解得x=200,

x+100=200+100=300,

甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米；

(2)•••完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的9,

1o

・,・甲工程队施工总量为6000X§=2000(TH),乙工程队施工总量为6000x§=4000(zn)；

根据题意得箝4000

300-m,

解得Hl=100,

经检验，巾=100是原方程的解，符合题意，

200-m=200-100=100,300-m=300-100=200,

•••甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工200米.

15.城口县交通部门，为了人民出行更加畅通，计划对一条长3600米的公路进行扩宽.现由甲、乙两个工

程队承包这项工程.已知甲工程队每天扩宽的长度比乙工程队每天扩宽的长度多;，若甲、乙两个工程队单

独完成这项工程，甲工程队比乙工程队少用9天完成扩宽任务.

(1)求甲、乙两工程队每天各修建多少米？

(2)施工时，先由甲、乙两个工程队合作完成若干天后，由于甲工程队接到新的工程任务，剩下的工程由乙

工程队单独用了9天刚好完成此项扩宽任务，求甲、乙工程队合作了多少天？

【答案】(1)甲工程队每天扩宽100米，乙工程队每天扩宽80米；

(2)甲、乙工程队合作了16天.

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用.

(1)设乙工程队每天扩宽x米，则甲工程队每天扩宽(l+£)x米，利用工作时间=工作总量+工作效率，

结合工程队比乙工程队少用9天完成扩宽任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙工程队

的工作效率，再将其代入(1+3无中，即可求出甲工程队的工作效率;

(2)设甲、乙工程队合作了y天，利用工作总量=工作效率x工作时间，可列出关于y的一元一次方程,

解之即可得出结论.

【详解】(1)解：设乙工程队每天扩宽x米，则甲工程队每天扩宽(1+3万米,

3600

根据题意得：k-==9,

解得：x=80,

经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意,

；•(1+»=(1+1)x80=100(米).

答:甲工程队每天扩宽100米，乙工程队每天扩宽80米；

(2)解：设甲、乙工程队合作了y天，

根据题意得:100y+80(y+9)=3600,

解得：y=16.

答：甲、乙工程队合作了16天.

16.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所

造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前15天完成铺设任务.

(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？

(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有

工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？

【答案】①原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米

⑵该公司原计划最多应安排8名工人施工

【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键.

(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道(1+25%)羽根据原计划的时间=实际的时间

+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；

(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间=工作总量+工作效率计算出原计划的工作天数,

进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，

找出解集中的最大整数解即可.

【详解】(1)解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道(1+25%)X=1.25X米，

根据题意得：慧+15=等

解得：x=40,

经检验x=40是分式方程的解，且符合题意,

■■.1.25x=50,

则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；

（2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，3000-40=75（天），

根据题意得：300X75y<180000,

解得：y<8,

二不等式的最大整数解为8,

则该公司原计划最多应安排8名工人施工.

17.2023年8月开始，淑浦县城开始创建全国文明县城活动，在警予路的绿化工程中，甲、乙两个施工队承

担了这路段的绿化工程任务，甲队单独做要40天完成.若乙队先做30天后，甲、乙两队合作再做20天恰好

完成任务，

（1）乙队单独做需要多少天能完成任务？

（2）因工期需要，将此项工程分成两部分，甲做x天，乙做y天完成，其中x,y均为正整数，且x<19,

y<60,问甲、乙两队各做了多少天？

【答案】（1）乙队单独做需要100天能完成任务

（2）甲队做了18天，乙两队做了55天

【分析】本题主要考查工程问题与分式方程，二元一次方程求解的综合运用，理解题目中的数量关系，掌

握解分式方程的方法，二元一次方程的代值计算方法是解题的关键.

（1）根据题意，设乙队单独做需要a天，则乙队的工作效率为女a>0），由题目数量关系列式求解即可；

（2）由（1）可知甲、乙的工作效率，由此列式，再根据x<19,y<60,分别代入不同的值进行验证即可

求解.

【详解】（1）解：甲队单独做要40天完成，则甲队的工作效率为白，设乙队单独做需要a天，则乙队的工作

4-U

效率为%a>0），

.-.30x^+20x岛+?=1,

解得,a=100,

检验，当a=100时，原分式方程有意义，

■-a=100是原分式方程的解，

•••乙队单独做需要100天能完成任务.

(2)解:由(1)可知，甲队单独做要40天完成，则甲队的工作效率为京，乙队单独做需要100天，则乙队

的工作效率为福，

京+就=1,整理得，5x+2y=200,

-X<19,y<60,

.,.当x=18时，y=55,符合题意；

当x=17时，y==97.5>60,不符合题意；

•••甲队做了18天，乙两队做了55天.

18.某校计划将旧校区教室墙面实施改造翻新，经招标计划安排甲、乙两个工程队完成改造翻新工作.已

知甲工程队每天改造的面积是乙工程队每天改造面积的1.5倍，若甲工程队单独完成30平方米的改造面积

比乙工程队单独完成60平方米的改造面积少用2天.

(1)求甲、乙两工程队每天改造的面积分别是多少平方米；

⑵学校计划改造的旧校区教室墙面的总面积为630平方米，甲工程队每天的费用为0.5万元，乙工程队每天

的费用为0.3万元，为了缩短工期，学校决定先由甲工程队改造若干天再由甲、乙工程队一起完成剩下的改

造工程，要使这次改造翻新的总费用不超过10.2万元，则甲工程队最多应先工作多少天？

【答案】①甲工程队每天改造面积为30平方米，乙工程队每天改造面积为20平方米

(2)甲工程队最多应先工作6天

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练列出等量关系和不等量关系是解题的

关键.

(1)设乙工程队每天改造面积为x平方米，甲工程队每天改造面积为1.5万平方，根据甲工程队单独完成30

平方米的时间=乙工程队单独完成60平方米的时间-2,列出方程，即可解答；

(2)设甲工程队先工作a天，表示出甲乙共同干活的时间，再利用翻新的总费用不超过10.2万元，列出不

等式，即可解答.

【详解】(1)解：设乙工程队每天改造面积为x平方米，甲工程队每天改造面积为1.5x平方米，

根据题意可得言=?-2,

解得x=20,

经检验，可得K=20是原方程的解，

1.5%=1.5x20=30平方米，

•••甲工程队每天改造面积为30平方米，乙工程队每天改造面积为20平方米；

(2)解:设甲工程队先工作a天，

可得不等式0.5a+畸新x(0.5+0,3)<10.2,

解得aW6,

■■■甲工程队最多应先工作6天.

19.某村决定对村里的部分道路进行整改，以促进全村经济发展，将工程交由甲、乙两个工程队来完成.已

知甲工程队每天比乙工程队多修40米，且甲工程队修640米所用的天数是乙工程队修480米所用的天数.

⑴甲、乙两个工程队每天各修路多少米？

(2)现计划再修建长度为2400米的道路，由甲、乙两个工程队来完成.若甲工程队每天所需费用为2.4万元,

乙工程队每天所需费用为1.5万元，在总费用不超过33.6万元的情况下，最多安排甲工程队施工多少天？

【答案】⑴甲工程队每天修路160米，则乙工程队每天修路120米；

(2)最多安排甲工程队施工9天.

【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的

关键.

(1)设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路(X-40)米，根据题意列方程求解即可；

(2)设安排甲工程队施工y天，则乙工程队施工号警天，根据题意，列不等式求解即可.

【详解】(1)解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路(%-40)米，

解得x=160,

经检验，x=160是所列方程的解,

%-40=160-40=120,

答：甲工程队每天修路160米，则乙工程队每天修路120米;

(2)解：设安排甲工程队施工y天，则乙工程队施工普警

根据题意，得2.4y+L5x把膏里W33.6,

解得yW9,

答，最多安排甲工程队施工9天.

20.为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标.已知甲队独

立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍.

⑴请问乙队独立完成此项工程需要多少天？

⑵为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程.两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的

工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每

天的工程款至多为多少？

【答案】(1)10天

(2)至多11000元

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程和一元一次不等式是解

决本题的关键.

(1)设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要(x+5)天，根据乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍

建立方程，解方程即可，注意检验；

(2)首先计算出两队合作需要的天数，设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天(y-2000)元，根据

总工费不超过12万元，得到不等式，解不等式取最大值即可.

【详解】(1)解：设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要(X+5)天，

由题意得：|X^^=~>

解得：x=10,

经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，

二原方程的解为：%=10,则甲队需要10+5=15天，

答：乙队独立完成此项工程需要10天；

(2)解:由(1)得，乙队独立完成此项工程需要10天，则甲需要15天

:两队同时开工，同时完工，

•••两队合作需要1+岛+2)=6天完工，

设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天(y-2000)元,

由题意得：(y+y-2000)X6<120000,

解得：yW11000,

■■y的最大值为11000元，

因此，乙施工队每天的工程款至多11000元.

【题型3销售利润】

21."开心水果店"用3200元购进一批糖心苹果，很快售完.该店又用3000元购进第二批这种糖心苹果，已

知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进数量比第二批少20%.

（1）求第一批购进的苹果每千克多少元？

（2）该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹果品质

不如第一批，该店主将售价下降a%销售，结果仍有5%的苹果出现了腐坏现象，不能销售.若该水果店售完

这两批苹果后，总获利不低于2875元，求。的最大值.

【答案】（1）每千克4元

⑵25

【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确

列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

（1）设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批购进的苹果每千克（X-1）元，根据数量=总价+单价结合第

一批购进数量比第二批少20%,即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据数量=总价+单价可求出第一批购进的苹果数量，进而可求出第二批购进的苹果数量，由利润=销

售收入-成本结合总获利不低于2875元，即可得出关于。的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得

出结论.

【详解】（1）解：设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批进货价为每千克（久-1）元，

,口有*加32003000

由题思得：—=（1-20%）>

解得：x=4,

经检验，x=4时原方程的解，且符合题意，

答：第一批购进的苹果每千克4元；

（2）解：由（1）可得，第一批购进的数量为竿=800千克，第二批购进的数量为罂=1000千克，

则由题意得：6X800+6x（1-a%）x1000X（1-5%）-3200-3000>2875,

解得：a<25,

・•.Q的最大值为25.

22.〃冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方〃，冬季吃萝卜好处多.某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆

萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱.

(1)求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？

⑵该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱.第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，

长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了20%,长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发

现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？

【答案】(1)长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元；

(2)圆萝卜打了8.5折

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用：

(1)设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为2万元，根据销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的

长萝卜箱数要少5箱列出方程求解即可；

(2)设圆萝卜打了加折，分别求出第一周和第二周两种萝卜的销售额，再根据第二周的销售总金额比第一

周的销售总金额少了840元建立方程求解即可.

【详解】(1)解：设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为2x元，

,m上“口600,_400

由您思得，+5=

解得％=20,

检验，当久=20时，%-2%0,

.•.%=20是原方程的解，且符合题意，

■■-2x=40,

答：长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元；

(2)解：设圆萝卜打了机折，

由题意得,40•五•200x(1+20%)+20X(300-50)+840=200x40+300X20,

解得m=8.5,

答：圆萝卜打了8.5折.

23.苹果寓意“平平安安春节里，"开心水果店"第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完.该店立即

又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，己知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的

进货价比第一次的进货价每千克少了1元.

⑴求第一次所购进的苹果每千克多少元？

(2)店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有5%的损耗，但其他全部售完,

售完之后购进第二批苹果.第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有y%的损耗，每千克售价比第一批

的售价贵1元.若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值.

【答案】①第一次所购进的苹果每千克5元

(2)y的最大值为15

【分析】(1)设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克(x-1)元，根据"第二次购

进数量是第一次购进数量的3倍〃列方程求解即可；

(2)由题意得第一批苹果每千克进价5元，购进数量为160千克，售价为每千克8元.第二批苹果每千克

进价4元，购进数量为480千克，售价为每千克9元.根据"该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168

元"列不等式求解即可.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分

式方程；(2)根据各数量间的关系，正确列出关于y的一元一次不等式.

【详解】(1)解：设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克(久-1)元，根据题意，

得

1920c800

^r=3x—

解得％=5,

经检验：x=5是所列方程的解.

答：第一次所购进的苹果每千克5元.

(2)解:知第一批苹果每千克进价5元，购进数量为停=160千克，售价为每千克8元.第二批苹果每千

克进价5-1=4元，购进数量为160x3=480千克，售价为每千克8+1=9元.根据题意，得

160X(1-5%)X8+480xq_y%)x9-(800+1920)>2160,

解得ywi5,

■■y的最大值为15.

24.某文具店预测一款新文具很受学生喜欢，先用800元购进一批这款文具，面市后果然供不应求，又用3000

元购进这款文具，第二批文具的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.

(1)求第一批文具的进货单价多少元？

⑵若二次购进的文具按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少

元？

【答案】(1)8元;

⑵12.5元.

【分析】(1)设第一批文具的进货单价为x元，则第二批文具的进货单价为(X+2)元，根据题意列出分式方

程即可求解；

(2)由(1)求出两次购进文具的数量，设销售单价为a元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可

求解；

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是

解题的关键.

【详解】(1)解：设第一批文具的进货单价为x元，则第二批文具的进货单价为(x+2)元，

,后土—r/rt3000„800

由题意可得，7^-=3X—,

解得％=8,

经检验x=8是原方程的解，

答：第一批文具的进货单价为8元；

(2)解：由(1)可得，第一批文具的数量为800+8=100件，第二批文具的数量为100x3=300件，

设销售单价为a元，

由题意可得，(100+300)a—800—3000>1200,

解得a212.5,

答：销售单价至少为12.5元.

25.春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进价比乙种糖

果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍.

(1)求每千克甲种糖果的进价是多少元？

(2)该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元.根据市场需求，超

市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，若本

次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千克？

【答案】①每千克甲种糖果的进价是30元

(2)该超市本次购进甲种糖果至少是500千克

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；

(1)设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是(%-5)元，根据用6000元购进甲种糖果

的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；

(2)该超市本次购进甲种糖果是机千克，则购进乙种糖果(26+100)千克，根据总获利不少于19600元,

列出一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论.

【详解】（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是（尤-5）元,

,旧土,口60002500„

由题意得：.==X2

解得：%=30

经检验，x=30是分式方程的解，且符合题意,

答：每千克甲种糖果的进价是30元

（2）由（1）可知，%-5=30-5=25

该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果（2爪+100）千克，

由题意得：（45-30）根+（36-25）（2m+100）>19600

解得：m>500

■：m为正整数，

■•m的最小值为500

答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克

26.商店2月份购进了一批鲜花饼，分为4型礼盒和B型礼盒，已知用4000