最值模型之逆等线模型解读（解析版）-2025年中考数学

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最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查,逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类

考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分

析，方便掌握。

目录

例题讲模型..............................................................................1

模型1.最值模型一逆等线模型（三角形边上的逆等线）.....................................1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）........................................5

模型3.景值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）........................................9

模型4.就值模型一逆等线模型（朴殊平行四边形的逆等微）...............................11

模型5.最值模型-小权逆等线模型....................................................14

习题练模型.............................................................................18

例题讲模型

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

逆等线模型特点:动线段长度相等,并且位置错开。

条件:如图，在△48。中，/4BC=a,BC=m,力。=n,点。、E分别是AB、AC上的动点，且人。=。£,求

CD+BE的最小值。

n

a

证明思路:①人。在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点C作CF〃AB,且CF=AC。（构造一边一角，得全等）;③构造出2ADC也/XCEF（SAS）；证出

=CD；

④CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接BF,则BF即为所求，此时,B、E、F三点共线；

⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG,再利用勾股定理求出BF即可。

1.（23-24九年级上•广东广州•期中）在等边三角形△ABC中，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B

运动，同时，边8。上的点E从顶点B出发，向顶点。运动，两点运动速度的大小相等，设

40,9=AE+CD,y与C的函数图象如图，图象过点（0,4）,则图象最低点的纵坐标是（）

【答案】。

（分析】结合函数图像，当z=0时，y=4,求得等边三角形的边长，证明△40。空△BE4,得出沙=AE+

CE=2AE,当时，AE最小，勾股定理即可求解.

【详解】当立=0时，夕=AE+CD=4B+AC=4,♦.•三角形ABC是等边三角形，.•.AB=3C=2,

AD=BE,ADAC=NEBA=60°,AC=BA,：.△ADC空ABEA,

y=AE+CE=2AE,当AE，BC时，AE最小，最小值为=%AB=g

.♦.g的最小值为2遍，即图象最低点的纵坐标是2,，故选：D

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键.

2.(23—24九年级上•江苏无锡•期末)如图,在等腰△ABC中，AB=AC=5,8C=6,点D、E分别是

AB.AC上两动点，且AD=CE,连接CD、BE,CD+BE最小值为.

【答案】何

【分析】过点A作AH//BC,且AH=BC,连接DH,由题意易得AHAD=/BCE,进而可证AHAD空

/XBCE,则有CD+BE=CD+HD,当CD+BE为最小时，即CD+为最小，当点。、。、H三点共线时

即为最小，连接CH,交AB于点、M,过点、M作MN±BC于点、N,点、A分别作AF_L8C于点F,如图所示,

即CH的长度为CD+BE的最小值，然后可得AHAMW△CBM■，则有MN=[AF=2,BN=NF=^-BF

=',CN=CR+NP=4,然后问题可求解.

【详解】解：由题意可得如图所示：

过点A作AH7/BC,且4H=BC,连接如图所示，NHAD=NABC,

■：ABAC,：./ABC=/ACB,AHAD=ZBCE,

；AD=CE,:.&HAD也/\BCE(SAS),：.HD=BE,：.CD+BE=CD+HD,

：.当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，

当点。、D、H三点共线时即为最小，连接CH,交AB于点、M,这点、M■作MN±BC于点N,点A分别作

4F_LBC于点F,如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，

■：AB=AC=5,BC=6,:.BF=CF=3,：.AF=s/AB2-BF2=4,

AH^BC,：.AHAM=ZB,V/HMA=2cMB,

：.AHAMm△CBAl(AAS)，,AW=BM=寺，HM=CM=

AF//MN,M是AB的中点，,MN=[AF=2,BN=NF=~^BF=,

CN=CF+NF=2，,在Rt/\MNC中,CM=y/MN2+CN2=,

：.CH=2cM=V97,：.CD+BE的最小值为V97;故答案为V97.

【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之

间线段最短进行求解即可.

3.(23—24九年级下•广东广州•阶段练习)如图，在H力△4BC中，AB=3,AC=4,ZBAC=90°,D,E

分别是边/B,AC上的动点，且8。=AE,则CD+BE的最小值为

A

E

BC

【答案】，附

【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质,勾股定理，全等三角形的判定与性质，过B作BN1.AB,

使BN=AB=3,连接DN,CN,作NM_LAC交CA延长线于点AI,证明四边形AMNB是正方形，由勾股

定理得CN=YMNGCMZ=J32+72=底，然后证明4BAE型/\NBD(SAS),当N,D,。三点共线时，

CD+BE有最小值V58,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】过B作BN_LAB,使BN=AB=3,连接DN,CZV,作NM_LAC交CA延长线于点M,

4AMN=4MAB=NABN=90°,：.四边形AMNB是矩形，：.BN=AB,

：.四边形AMNB是正方形，,AW=MN=3，二CM=7,：.CN=^MN2+CM2=V32+72=V58,

•：BD=AE,NBAE=4NBD=90°,AB=BN，:./\BAE空LNBD(SAS),

：.BD=BE,：.ND+DOCN,即CD+BE>CN,

当N,D,。三点共线时，CD+BE有最小值，故答案为：V58.

4.(24—25八年级上•四川成都・期中)如图，在△4BC中，AABC=45°,ABAC=75°,AC=2,点E与点

D分别在射线与射线AD上，且AD=BE,则AE+的最小值为,AE+ED的最小值

为.

【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当。在上时，BD+

AE取得最小值，如图所示，过点河作百，AB交历1的延长线于点N,进而勾股定理即可求解；对于AE

+ED,构造等边三角形，进而即可求解.

【详解】如图所示，过人作交BC的于F,

•//ABC=45°,ABAC=75°,r.NACB=180°-45°-75°=60°ZCAF=30°,AABC=ABAF=45°,

1.147=2,：.CF=1,AF=BF=y/AC2-CF2=聪：.AB=^AF2+BF2=娓

如图所示，作/AM。=45°且AM=4B,连接。河，BM,■：AB=AM,/LABE=AMAD=45°,=AD

△ABE空AMAD(SAS)：.AE=DM：.BD+AE=BD+DM>BM,

当。在BM上时,BD+AE取得最小值,如图所示，过点河作MN±AB交A4的延长线于点N,

•/ZBAD=75°,ADAM=45°ZNAM=6Q°,AAMN=30°•/AB=AM：.AABM=30°

•/AM=AB=0在Rt/XANM中,AN=乎，/.MN=ViAN=

:.BM=2AlN=32,即AE+BD的最小值为3A/2;

如图所示，作4关于BM■的对称点J,连接AJ,则

AB=AM,4BAM=120°AB=AMJUAABM^4JBM=30°二AABJ=60°,

对称，,BA=BJ：.AABJ,4AMJ都是等边三角形，连接E7,DJ,

/\ABE咨/XMAD,ZBAE=/AMD,则NEAJ=ADMJ,

叉；AJ=JM,AE=MD：.^EAJ笃/^DMJ：.NEJA=ADJM,EJ=DJ

：.4EJD=/AJM=60°AAEDJ是等边三角形，二AE1+ED=AB+EJ>AJ

.•.当E在47上时，AB+ED=A7,如图所示

此时AE+ED取得最小值，最小值47=48=述故答案为：3，，V6.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段最值

问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

模型2.♦值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）

条件：已知三角形ABC中，AB=a,BO=b,CD为高,CE=BF,求AF+BE的最小值。

证明思路:①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点B作BG〃CE,且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）;

③构造出/XBEC注/\GFB（SAS）；证出EB=FG；

@AF+BE^AF+FG,根据两点之间，线段最短,连接AG,则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

1.（2024.安徽合肥.一模）如图，人。为等边△ABC的高，E、尸分别为线段A。、AC上的动点，且45=

CF,当BF+CE取得最小值时，AAFB=

【答案】B

【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△ABC空^CFH,得CE=FH,将CE转化为FH,与BF在

同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点干的位置，即F为4。与的交点时,BF+CE的值最

小，求出此时乙4FB=105°.

【详解】解:如图，作CH_LBC,且CH=BC,连接交AD于连接FH,

♦.•△人3。是等边三角形，4。_13。，，＞1。=3。，ZDAC=30°,:.AC=CH,

•../BCH=90°,ZACB=60",...ZACH=90°—60°=30°,二/R4C=/ACH=30°,

；AE=CF,：.4AEC当4CFH,:.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

：.当F为AC与BH的交点时，如图2,BF+CE的值最小，

此时2FBC=45°,ZFCB=60°，,NAFB=105°,故选B.

【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF

+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度.

2.（2023・四川成都・一模）如图，在三角形△ABC中，ABAC=50°,AB=AC,8。，47于。，M,N分

别是线段8。，口。上的动点，8儿/=皿,当4河+4双最小时，^MAD=.

【答案】12.5°

［分析］在BC下方作△CN4,使△CN4空/\BMA,连接AA',则AM+AN最小值为AA'，此时力、N、4三

点在同一直线上，推出乙4'47=乙4'=强与啦=37.5°,所以乙BAW=37.5°,即可得到4MAD=

ABAC-4BAM=50°-37.5°=12.5°.

【详解】解:在BC下方作△C7VA'，使△C7WTgNBMA,连接AAr.

则NNCA'=NMBA,AW=AN.：.AM+AN=A'N+ANNAA',

即4M+AN最小值为44',此时A、N、H三点在同一直线上.

ABAC=50°,AB^AC,：.ZACB=NABC=65°,

BD±AC,：.NABD=90°-50°=40°,/.4NCA=40°,/./AC4=65°+40°=105°,

AAAC==180°”5°=37.5。，...ABAM=37.5。，

AMAD^ABAC-50°—37.5°=12.5°,故答案为：12.5°.

A

【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线

段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

3.（2024.四川乐山.二模）如图,等腰△ABC中，NBAC=100°,BD平分NABC,点N为BD上一点，点

M为上一点，且若当4W+4V的最小值为4时，AB的长度是

【分析】由等腰AABC中，ABAC=100°,可得/ABC=AACB=须-广4。=40°,由BD平分/ABC,

可得AABD=-y/ABC=20°,如图，作/BCE=Z.ABD=20°,使CE=AB,连接EM,则/ACE=

NACB+NBCE=60°,证明ACEMW4BAN(SAS)，则ME=AN,CE=AB,AM+AN=AM+ME,可

知当三点共线时，4Vf+4V最小，即AB=4,证明△ACE是等边三角形，则AC=4E=4,进而

可求AB.

【详解】解：：等腰△ABC中，NBAC=100°,NABC=AACB-180°-^-BAC=40°,

•/BD平分AABC,AAABD=。AABC=20°,如图，作NBCE=NABD=20°,使CE=AB,连接EM,

ZACE=ZACB+ZBCE=60°,-：CE=AB,NBCE=NABD,MC=BN,

:.ACEM咨"AN(SAS),：.ME=AN,CE=AB,：.AM+AN=AM+ME,

：.当4、三点共线时，⑷W+AN最小，即AE=4,

•：CE=AC,乙4CE=60°,△ACE是等边三角形，.•.力。=AE=4,.•.43=4,故答案为：4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等

知识.熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解

题的关键.

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）

模型解读

条件：已知在Rt/\ABC中，NACB=90°,AB=a，点E、。是线段AB上的动点,且满足AD=BE,

求CD+CE的最小值。

模型证明

证明思路:①BE在4BEC中，以AO为一边构造另一个三角形与之全等,这个也叫做一边一角造全等;

②即过点人作AF〃BC,且AF=BC=6。（构造一边一角,得全等）；

③构造出ABEC名△AOF（SAS）；证出CE=FD；

④CD+CE=CD+FD,根据两点之间，线段最短，连接CF,则CF即为所求,此时，F、D、。三点共线;

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明也可。

4.（23-24八年级上.北京朝阳•期末）如图，Rt/XABC中，乙4cB=90°,NB=30°,D,E为AB边上的两

个动点，且AD=BE,连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为.

•M

【分析】过点4B分别作A。的垂线和的垂线交于点河，连接MC,ME,先证CB笃AMBC,得AB

=MC,再证△CAD第ZWBE,得CD=ME,进而得出CD+CE^ME+CE,当C,E,M三点不共线时，

ME+CE>MC;当。，况M■三点共线时，ME+CE=MC,然后根据直角三角形中，30°的角所对的直角

边等于斜边的一半求出AB的值，从而得出结果.

【详解】过点45分别作A。的垂线和的垂线交于点河，连接,ME,

^ACB=QO°,MA±AC,：.AM//CB,'：MB±BC：.AC//MB,AC=MB,：.ACAB=AMBA,

•：BC=CB,AACB=AMBC=90°,：.AACB^AMBC,：.AB=MC,

•：AD=BE,：.LCADTLMBE,：.CD=ME,：.CD+CE=ME+CE,

当三点不共线时,ME+CEAAfC;当。，三点共线时，AlE+CE=AfC.

.•.CD+CE的最小值是加。的长，：ZB=30°,乙4cB=90°,：.AB=2AC,

VAC=2,：.AB=\,：.MC=AB=^,CD+CE的最小值是4.故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助线

找出恰当的全等三角形是解本题的关键.

5.（23—24八年级下•黑龙江哈尔滨•期末）如图,在矩形ABC©中，对角线人。上有两动点E和F,连接

鹿和若AE=CF,AC-AB=9,AC—BC=2,则跳;+B尸的最小值是

【答案】17

【分析】如图，连接DF,BD,由全等三角形判定(S4S)可以证得△ABEWACDF,得到。尸=BE,进而得

到BE+BF>BD,再根据题意及勾股定理求出47的值，即可得出答案.

【详解】解:如图，连接OF,BD,

1/四边形ABGD是矩形，AB//CD,AB=CD,NABC=90°,/.NBAE=4DCF,

,/AE^CF,AAABE名△ODF(SAS)，,BE=DFj：BF+DF>BD,：.BE+BF^BD,

又,/AC,BD为矩形的对角线，；.AC=BO/.BE+BF^AC,

•.•△ABC是直角三角形，AC—AB=9,AC-BC=2,：.AB2+BC2^AC2,

：.(AC-9)2+(AC-2)2=AC2移项得AC2-22AC+85=0,

配方得AC2-22AC+121=121—85,{AC-ll)2=36,解得AC=17,或AC=5

•.•AC—AB=9>5,.IAC=17,，BE+BF>17,故答案为：17.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元

二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键.

模型4.最值模型-逆等线模型（糊味平行四边形的逆等线）

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件:已知在矩形ABCD中，AD=a,AB=b,点E、F是边BC、上的动点,且满足BE=DF,

求AF+AE的最小值。

证明思路:①BE在4ABE中，以。F为一边构造另一个三角形与之全等,这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作AFDG=ZABE=90°,且。G=AB=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出4ABEn/\GDF(SAS)；证出AE=FG；

@AF+AE=AF+FG,根据两点之间,线段最短，连接AG,则AG即为所求，此时，4F、G三点共线;

⑤求AG。先利用相似求出和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条

线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。

1.（2023-山东德州•校考一模）如图，在菱形ABCD中，AABC=60°,AB=4,E,尸分别是边和对角

线ED上的动点，且班=。尸,则AE+4F1的最小值为

AD

【答案】

【分析】在BC的下方作/CBT=30°,截取BT,使得BT=AD,连接ET,AT.证明△ADFgZYTBE

(SAS),推出AF=ET,AE+AF=AE+ET,根据AE+ET>AT求解即可.

【详解】解:如图，BC的下方作/CBT=30°,截取BT,使得BT=AD,连接ET,AT.

•.•四边形ABGD是菱形，/ABC=60°,.I/ADC=/ABC=60°,AADF=yAADC=30°,

•/AD=BT,NADF=ATBE=30°,DF=BE,：.AADF空ATBE(SAS),：.AF=ET,

•：/ABT=/ABC+ACBT=60°+30°=90°,AB=AD=5T=2,

AT=y/AB~+BT2=V42+42=472，,AE+AF^AE+ET,

：AE+ET>AT,AE+AF>42,AB+AF的最小值为42，故答案为4A/2.

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

2.(2023•陕西西安・模拟预测)如图，矩形ABCD中，48=6,AD=8,点E、F分别是边和对角线

BD上的例2.动点，且8E=。口，则AE+AF的最小值是.

［分析】设点。关于BC的对称点为G,在BG上截取BH=AD,连接EH,可证4ADFW^HBE，从而AF

=EH,那么AE+AF=AB+EH>AH,A、H都是固定点，过点H作HM±AB于点M,结合相似三角形

和勾股定理即可求得，

【详解】如图，设点D关于B。的对称点为G,在BG上截取AO,连接EH,过点、H作HM±AB于点

M,

•.•四边形ABCD是矩形，AB=GD=6,BC=AD=8,AD〃BC,ZADF=2DBC,

•：DC=CG,BC±DG,：.BD=BG,：.NDBC=ACBG,：.ZADF=AHBE,

•：DA=BH,DF=BE,：./\ADF=AHBE,：.AF=EH,：.AE+AF=AE+EH>AH,

在RtdBCD中，BD=〃6?+82=10,-：HM_LAB,：.ABHM=ZG=ABDC=90°-ACBG：.

ADBC,

:,蟹=^=端，，皇=^=今,:，BM=^，MH=*：.AM=AB+BM=6*=

54

V,

在RtAAMH中，-JAM-+MH2=J（普），+（喇，=区等里,.-.AE+AF的最小值是空警.

故答案为：丝亘.

5

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质.这里根据=把AE+AF的最小值转

化为40+力尸=4后+9）人8是关键.

3.（2024.福建南平.一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2,乙4BC=120°,点E,尸分别在AB,CD上，且

DF=BE,^DE,人尸，则珑+人尸的最小值为.

【答案】4

（分析】如图，连接CE,作。关于直线AB的对称点N,连接CN,BN,NE,DB,可得DE=NE,DK=

NK,ON_LAB,证明四边形ABCF为平行四边形，可得AF=CE,则DE+AF=A®+CE<CN,当E,

N,C三点共线时，此时取等于号，DE+AF最小，证明当E,N,C三点共线时，E,B重合，从而可得答案.

【详解】解:如图，连接CE,作D关于直线AB的对称点N,连接CN,BN,NE,DB,

:.DE=NE,DK=NK,DN工AB,菱形ABCD,；.AB=CD,ABIICD,ADIIBC,

D

F

N

DF=BE,AABC=120°,r.AE=CF,4DCB=/DAB=60°,

四边形AECF为平行四边形，:.AF=CE,：.DE+AF=NE+CE《CN,

当E,N,C三点共线时，此时取等于号，DE+AF最小，

•/菱形ABCD,AABC=120°,/.AB^AD,NABD=60°,A/XABD为等边三角形，二AD=，

:DN工AB,：.AK=BK,；DK=NK,AAKD=ABKN,：./\ADK^/\BNK,

4NBK=4DAB=60°,BN=AD=2,ZABC=120°,/.ZAKK+ZABC=180°,

.•.N,B,C三点共线,/.当区N,C三点共线时，重合，

:BN=BC=2,.•.3/r=4,即。£+4尸最小值为4.故答案为4

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，作

出合适的辅助线是解本题的关键.

模型5.最值模型一加权逆等线模型

条件：已知在4ABC中，/ACB=a,AB=a,AC=b，点、E、D是线段AB,BC上的动点,且满足BE=k-

AD,

求+的最小值。

证明思路:①AD在XADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；

②即过点口作NEBF=ADAC=90°,且=%•AC=初。（构造一边一角，得相似）;

③构造出^EBF卫ADAC（SAS）；证出EF=k•。。；

④46+%・。0=人后+£产,根据两点之间,线段最短,连接人干,则4F即为所求，此时，A、F、E三点共线;

⑤求AF。先确定/33歹=/力。8=],再利用三角函数求出BG和FG,最后利用勾股定理求出AF即可。

1.（24—25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在等边△ABC中，BC=6,E,F分别是边AB、AC1.

的动点，且满足CF=28E,则BF+2CE的最小值为；

【答案】6/

【分析】取BC、CF的中点D、G,连接AD、DG,则可得DG=BF+2CE=21BF+CE）=2（DG

+CE）,因此转而求DG+CE的最小值；过4作AM±4。,且AM=AD,连接ME、CE,可证明△AME

空A4DG,则有_ME=OG,进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线段CM上时，取得最小值，在

次△⑷WC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF+2CE的最小值.

【详解】解:如图，取BC、CF的中点D、G,连接AD、DG,

；△ABC是等边三角形，:.CD=：BC,CG=FG=；CF,

根据三角形中位线可得DG=得BF,：.BF+2CE=2居BF+CE）=2（DG+CE）,

BF+2CE的最小值转化为求_DG+CE的最小值，

在等边三角形4BC中，BC=6,.•.AB=J4C=BC=6,ABAC=60°,：.CD=3,ACAD=30°,

,:CF=2BE,：.BE=CG,；.AE=AG;过力作AW_LAC,且40,连接AiE、CE,

则AMAE=9Q°-ABAC=30°=ACAD,：.AAME^ADG（SAS）,：.ME=DG,

DG+CE=ME+CE,：.当点E在线段CM上时，Affi；+CE取得最小值，

且最小值为线段CM的长，AM=AD=~JAC2-CD2=3A/3,

在Rt^AMC中，由勾股定理得：CM=y/AM2+AC2=3V7,

.•.万尸+26©的最小值=2（。3+无）=2（1石+2£；）=2乂3，7=6".故答案为：6«.

【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角

15

形中位线定理，把求BF+2CE的最小值转化为求。G+CE的最小值,进而转化为求7WE+CE的最小值,

是本题的难点与关键所在.

2.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,E、尸分别为

CD上的动点，且BE=2DF，则。E+2AF的最小值为.

【答案】

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长AB到X,使得=2AD,

连接EH,OH,证明ZXADF〜AHBE,得到则DE+2AF=DE+HE,故当H、E、D三点共线

时，+HE最小，即此时DE+2AF最小，最小值即为07/的长，据此利用勾股定理求出DH■的长即可得

到答案.

【详解】解:如图所示，延长AB到H,使得BH=240,连接EH,DH,

•.•四边形ABCD是矩形，/.NABC=/ADF=AHBE=ABAD=90°,AD=BC=6,

•：BE=2DF,BH=2AD,：.馨=嗯=2,，AADF〜^HBE,：.第=售=2,

DrADArUr

:.HE=2AF,：.DE+2AF=DE+HE,

.•.当H、E、。三点共线时，DE+m最小，即此时DE+2AF最小，最小值即为的长,

在Rt/\ADH中，AD=6,AH=AB+BH=5+2x6=17,

DH=^AD2+AH2=5V13,DE+2AF的最小值为5力3,故答案为：5，*.

3.（2024.四川成都.校考一模）如图，平行四边形ABCD,AB>AD,AD=4：,2408=60°,点E、R为对

角线上的动点，DE=2BF,连接入夙CF,则AE+2CF的最小值为.

【答案】4V7

【分析】如图，在直线OB的上方作乙8。7=60°,且使得。7=23。.过点T作7H_LAD交AD的延长线

于H.首先利用相似三角形的性质证明ET=2CF,解直角三角形求出AT,根据AE+2CF=AE+ET,

推出AB+2c4V7,即可解决问题.

【详解】解:如图，在直线DB的上方作ABDT=60°,且使得DT=2BC.

过点T作TH_LAD交AD的延长线于连接ET、AT.

■：四边形ABGD是平行四边形，.•.BC7/AO,AD=BC=4,AADBADBC=60°,：.4CBF=NTDE,

..BC_BF_1..CF_BC

・EL灰—万’..△的〜••衍—玩y,：.ET=2CF,

■：NTDH=180°-60°-60°=60°,NH=90°,DT=2BC=8,：.DH=DT-cos600=4,HT=聪DH=

4V3,

/.AH=AD+DH=8,：.AT=y/AH2+HT2=A/82+(4V3)2=477,

•：AE+2CF=AE+ET,AE+ET>AT,：.AE+2CF>4V7,4B+2CF的最小值为4—.故答案

为：4/7.

【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定

与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键.

4.（2024.吉林.模拟预测）如图，在菱形ABCD中，43=4,乙48。=60°,点E,尸分别是RD,CD上的

点、，若BE=2CF,则AF+^AE的最小值是.

【答案】2祈

［分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定

理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

根据题意构造相似三角形，作ADCM=30°,取CM=/AB=2,连接AC,AM,得到△ABE〜/\MCF,进

而得出AF+^-AE=AF+FM,当A,F,河三点共线时，AF+FM的值最小，即”+的值最小，最

后利用勾股定理即可解出.

［详解】作乙DCM=30°,取CW=,AB=2,连接AC,AW,如图所示，

•M

AD

在菱形ABCD中，NABC=60°NABE=ZDCM=30°,

,；BE=2CF,AB=2CM,；.LABE〜4MCF,：.AE=2FM,AE=FM：.AF+!AE=AF+FM,

当■三点共线时，AF+FM的值最小，即AF+AE的值最小，在菱形ABCD中，/ABC=60°,

ABCD=120°,△ABC是等腰三角形，NACD=60°,AB=AC=4,4ACM=90°,

在Rt^ACM中，4。=4,C7W=2,y/AC2+CM2=V42+22=2,，故答案为：2心.

习题练模型

1.（23-24九年级上•河南安阳•阶段练习）如图,在矩形4BCD中，对角线AC上有两动点E和斤，连接

BE和BF,若AE=CF,AC—4B=4,AC—8C=2,则跳;+8F的最小值是（）

【答案】B

【分析】如图，连接DF,BD,由全等三角形判定SAS可以证得&ABE空/XCDF,得至UDF=BE,进而得到

BE+BD,再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案.

【详解】解:如图，连接DF,BD,

•/四边形ABGD是矩形，/.AB//CD,AB=CD,NABC=90°,/.ABAE=ADCF,

•：AE=CF,/\ABE空AGDF(SAS),/.BE=DF,

■：BF+DF>BD,：.BE+BF>BD,又•/AC,BD为矩形的对角线，

AC=BD：.BE+BF>AC,

•.•△ABC是直角三角形，4C—AB=4,4C—BC=2,：.AB2+BC1=AC2,

.・.(AC—4)2+(AC—2)2=AC2移项得AC2-12AC+20=0,解得力。=10,或AC=2

•••AC—BC=2,则AC=2不符合题意，.•.AC=10,.・.跳；+3歹>10,故选B.

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【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元

二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键.

2.（2024•河南商丘•八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为边上的高,点M、N分别在40、AC上,

且4W=CN,连当®W+8N最小时，的度数为（）

A.15°B.22.5°C.30°D,47.5°

【答案】。

【分析】如图1中，作S_LBC,使得CH=BC,连搂NH,BH.证明4ABM名ACHN（SAS）,推出BM=

HN,由BN+HN>BH,可知B,N,H共线时，BM+BN=NH+BN的值最小，求出此时AMBN即可解

决问题.

【详解】解:如图1中，作CH工BC,使得CH=BC,连接NH,BH.

图1

1//\ABC是等边三角形，AD_LBC,CH_LBC,ADAC=NDAB=30°,AD//CH,

：.4HCN=ACAD=NBAM=30°,VAM^CN,AB=BC=CH,：.4ABMmACHN(SAS),：.BM=

HN,

•：BN+HN>BH,：.B,N,H共线时，BM+BN=NH+BN的值最小，如图2中，当B,N,H共线时，

••

1.•AABM竺ACHN,：.NABM=4cHB=NCBH=45°,

VAABD=60°,：.ADBM^15°,：.ZA/B7V=45°-15°=30°,

/.当BM+BN的值最小时，/MBN=30°,故选：C.

【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形

解决问题.

3.（23-24八年级下•安徽安庆・期末）如图,正方形ABCD的边长为4,点E,尸分别是BC,CD边上的动

点，且BE=CF.（1）若BE=CR=1,则AE+AF=；（2）AE+4F的最小值为.

【答案】V17+5/5+V174V5

【分析】（1）由正方形的性质可得AB=BC=CE»=4D=4,/B=90°,从而得到。F=3,由勾股定理

计算出AE、AF的长，即可得到答案；（2）连接DE,通过证明AADF空ADCE可得DE=AF,作点力关于

BC的对称点A',连接,则AE=HE,从而得到AE+,当。、石、4在同一直线

时，AE+力F最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：⑴♦.•四边形4BCD是正方形，且边长为4,.•.>1B=BC=CD=4D=4,ZD=ZB=90°,

•:BE=CF=\,：.DF=CD-CF=4—1=3,；.AE={AB+BE?=N&+:=后,

AF^-jAD^+DF2=V42+32=5,AB+4F=Vi7+5,故答案为：VI7+5;

⑵连接DE,

•.•四边形ABCD是正方形，且边长为4,AB=BC=CD=AD=4.,/D=/C=90°,

•：BE=CF,：.DC-CF=BC-BE,：.DF=CE,

（AD=DC

在△ADF和ADCE中，（/ADF=ZDCE=90°,.♦.△ADF笃△DCE（SAS）,.•.L（E=AF,

[DF=CE

作点A关于BC的对称点A',连接BA\EA!,则AE=A'E,

：.AE+AF=AE+DE,：.当。、E、4在同一直线时，AE+AF最小，

AA'^2AB=8,.•.在Rt/XADA中，4。=^/AD^+AA2=V42+82=475,

r.AE+4F的最小值为：4，K,故答案为：4同.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握正方

形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键.

4.（2024.四川绵阳•三模）在Rt/\ABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。，E分别为48,BC上的动点,

且=AB=3当AB+CD的值最小时，CE的长为.

【答案】

【分析】过点3作8?_13。,且BF=4C,连接AF,交于点厅,过点A作AH_LBF,交FB的延长线于

点H,证明△ACD经△BFE(SAS),得出CD=EF,则AB+CD=AE+班>AF,即4E+CD的最小值

即为AF的长，此时点E与点"重合，由勾股定理及相似三角形的性质可得出答案.

【详解】过点B作BF_LBC,且B尸=47,连接4F,交BC于点身,过点人作AH_LBF,交FB的延长线于

点X,如图所示：则/EBF=90°,在等腰直角△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,

(AC^BF

在AACD和ABFE中，(2DAC=/LFBE,/.4ACD笃ABFE(SAS),：.CD=EF,

[AD^BE

人后+⑺二钻+即二人凡即入后+⑺的最小值即为4F的长，此时点E与点厅重合，

AB=3V2,：.AC=BF=AB=iV2,BC=V2AB=(),

•：ABAC=9Q°,：.AACB=AABC=45°,：./ABH=45°,；.NHAB=/HBA=45°,：.AH=BH,

根据勾股定理得AH2+BH2=AB2,：.2AH2=18,48=3或4H'=-3(舍去)，

BH=AH=3,HF=BH+BF=3+3V2,VZAHF=ZE'BF,AE'FB=AAFH,

A^E'BF-/\AHF,：.=器,即=3；^^,解得W=6-，

.•.CE，=6—(6—32)=32，.IAE+CD取得最小值时，CE的长度为3V2.故答案为：32.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形三条边的关

系，相似三角形的判定与性质；熟练掌握以上知识点是解题的关键.

5.(23-24八年级下•江苏宿迁•期末)如图，边长为2的菱形ABCD中，NABC=60°,E,尸分别是AD,

口。上的动点，。E=BF,连人尸，CE,则人尸+CE的最小值为.

【答案】2/