2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之实际问题与反比例函数

第21页（共21页）2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之实际问题与反比例函数一．选择题（共5小题）1．（2025•登封市一模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（）A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.52．（2025•深圳模拟）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）A．150 B．200 C．250 D．3003．（2024秋•桓台县期末）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（）A．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=C．水温从20℃加热到100℃，需要7min D．水温不低于30℃的时间为774．（2024秋•铜仁市期末）如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板．已知妙妙小朋友的体重为20kg，坐在距离跷跷板支点的1.5m处，明明小朋友的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym．根据杠杆平衡原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则y与x应满足的关系式为（）A．y＝30x B．y=x30 C．y=30x 5．（2024秋•乐陵市期末）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.4m，则这一杠杆的动力F（N）和动力臂l（m）之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•宁德期末）我市于2024年11月14日举办第二届中小学师生万人硬笔书法大赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率（该校成绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值）y与该校参加比赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好布同一个反比例函数的图象上，则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是．7．（2024秋•鹤山市期末）某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出a＝．每天运输的吨数25010050运输的天数2a108．（2024秋•澧县期末）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了度．9．（2024秋•威县期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：x（cm）…10152028…y（N）…30201510…其中有一组数据中的x记录错了，x应为．10．（2024秋•宁远县期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为2A时，电阻为Ω．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•碑林区校级期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装5000台空调．计划在x天内完成全部组装，设平均每天组装的空调数量为y（台/天）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）原计划用50天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定提前10天完成这批空调的组装，那么装配车间平均每天要组装多少台空调？12．（2024秋•肥乡区期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝4时，y＝3，请你解答下列问题．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为2cm，求小孔到蜡烛的距离．13．（2024秋•静安区校级期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？14．（2024秋•铜仁市期末）张雪同学是个爱动手动脑的学生，她学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：cm）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：cm）的几组数据．像高（单位：cm）2345物距（单位：cm）6432.4（1）求像高y关于物距x的函数关系式；（2）因为实验器材限制，小孔到物体的距离（物距）不能超过8cm，则像高的范围是多少？15．（2024秋•未央区期末）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图①）．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长100cm质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处将其吊在空中，在中点的左侧距中点25cm处挂一个重10N的物体（即支点为O，阻力为10N，阻力臂为25cm），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化（即动力臂为xcm，动力为yN），在平面直角坐标系中描出了一系列点（x，y），并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．（1）求图③中的函数解析式；（2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？

2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之实际问题与反比例函数参考答案与试题解析题号12345答案DBDCB一．选择题（共5小题）1．（2025•登封市一模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（）A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】D【分析】根据题意，设反比例函数解析式为y=kx，待定系数法求解析式，进而将y【解答】解：设反比例函数解析式为y=将（0.4，250）代入得，k＝100，∴反比例函数解析式为：y=当y＝200时，x=100200∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2．（2025•深圳模拟）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）A．150 B．200 C．250 D．300【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】B【分析】由已知设y=kx，则由图象知点（0.25，400）满足解析式，代入求k＝100，则解析式为：y=100x，令x＝0.25，x＝【解答】解：设y=kx（k≠∵（0.2，500）在图象上，∴k＝500×0.2＝100，∴函数解析式为：y=100当x＝0.25时，y=1000.25当x＝0.5时，y=1000.5∴度数减少了400﹣200＝200（度），故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．3．（2024秋•桓台县期末）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（）A．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=C．水温从20℃加热到100℃，需要7min D．水温不低于30℃的时间为77【考点】反比例函数的应用．【专题】推理能力．【答案】D【分析】该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息．【解答】解：A、根据题意可得y与x的函数关系式是y=800x，令y＝20∴x＝40，即饮水机每经过40min，要重新从开始加热一次从8点至9：30，经过的时间为90min，90﹣40×2＝10min，而水温加热到100℃，需要的时间为100-2010=8min，故9：30时，饮水机第三次从开始加热了10min，令x＝10，则y=800x=B、由题意可得点（8，100）在反比例函数的图象上，设反比例函数的解析式为y=kx，将点（8，100）代入，可得k∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800xC、∵开机加热时水温每分钟上升10℃，∴水温从20℃升高到100℃，需要的时间为100-2010=8minD、水温从20℃加热到100℃所需要的时间为30-2010令y＝30，则800x=30，解得∴水温不低于30℃的时间为803-1=故选：D．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．4．（2024秋•铜仁市期末）如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板．已知妙妙小朋友的体重为20kg，坐在距离跷跷板支点的1.5m处，明明小朋友的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym．根据杠杆平衡原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则y与x应满足的关系式为（）A．y＝30x B．y=x30 C．y=30x 【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】C【分析】根据妙妙的体重与妙妙到跷跷板支点的距离之积等于明明的体重与明明到跷跷板支点的距离之积求解即可．【解答】解：由“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”得：xy＝20×1.5＝30，∴y=故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键要学会利用反比例函数解决实际问题．5．（2024秋•乐陵市期末）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.4m，则这一杠杆的动力F（N）和动力臂l（m）之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】B【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．【解答】解：由题意可得：动力F和动力臂l之间的函数解析式为1000×0.4＝Fl，则F=又∵动力臂l＞0．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•宁德期末）我市于2024年11月14日举办第二届中小学师生万人硬笔书法大赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率（该校成绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值）y与该校参加比赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好布同一个反比例函数的图象上，则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是丙．【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】丙．【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论．【解答】解：设反比例函数表达式为y=kx(x＞0)，则令甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y′1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y′3），如图所示：由图可知y′1＞y1，y′3＜y3，∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上，根据题意可知xy＝优秀人数，则：①x2y2＝k＝x4y4，②x1y1＜x1y′1＝k，③x3y3＞x3y′3＝k，综上：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数＝丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数，∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故答案为：丙．【点评】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题，熟练掌握该知识点是关键．7．（2024秋•鹤山市期末）某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出a＝5．每天运输的吨数25010050运输的天数2a10【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】5．【分析】根据题意列出方程即可得到结论．【解答】解：∵每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，∴250×2＝100a，∴a＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．8．（2024秋•澧县期末）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了200度．【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】由已知设y=kx，则有图象知点（0.2，500）满足解析式，代入求k＝100，则解析式为：y=100x，令x＝0.25，x＝【解答】解：设y=kx（k≠把（0.2，500）代入y=kx（k≠∴k＝500×0.2＝100，∴函数解析式为y=100当x＝0.25时，y=1000.25当x＝0.5时，y=1000.5∴度数减少了400﹣200＝200（度），故答案为：200．【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．9．（2024秋•威县期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：x（cm）…10152028…y（N）…30201510…其中有一组数据中的x记录错了，x应为30．【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】30．【分析】先由表格数据求出y与x的函数关系，再找出其中错误的一组即可．【解答】解：y与x成反比例函数关系，设y=由条件可知k＝300，∴y=当y＝10时，x＝30，故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的x是30．故答案为：30．【点评】本题考查反比例函数的实际应用．理解题意，列出反比例函数解析式是关键．10．（2024秋•宁远县期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为2A时，电阻为18Ω．【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】18．【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把I＝2代入所得解析式计算即可求解．【解答】解：设该反比函数解析式为I=kR，把（4，∴k＝36，∴I=36把I＝2代入得，∴R＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•碑林区校级期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装5000台空调．计划在x天内完成全部组装，设平均每天组装的空调数量为y（台/天）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）原计划用50天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定提前10天完成这批空调的组装，那么装配车间平均每天要组装多少台空调？【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）y=5000（2）125．【分析】（1）根据“平均每天组装的空调数量＝所要组装空调总台数÷全部组装需要的天数”解答即可；（2）求出实际组装的天数，将它作为x的值代入y与x之间的函数关系式，求出对应y的值即可．【解答】解：（1）y=5000∴y与x之间的函数关系式为y=5000（2）50﹣10＝40（天），当x＝40时，y=500040答：装配车间平均每天要组装125台空调．【点评】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出y与x之间的函数关系式是解题的关键．12．（2024秋•肥乡区期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝4时，y＝3，请你解答下列问题．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为2cm，求小孔到蜡烛的距离．【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】（1）y=（2）小孔到蜡烛的距离为6cm．【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）把y＝2代入y=12x【解答】解：（1）根据题意，设y=把x＝4，y＝3代入，得k＝4×3＝12，∴y关于x的函数解析式为y=（2）把y＝2代入y=12x，得x∴小孔到蜡烛的距离为6cm．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．13．（2024秋•静安区校级期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】（1）y＝4x（0≤x≤5）；（2）20℃；（3）17.5小时．【分析】（1）根据图象设正比例函数解析式为y＝kx，根据图象可知函数解析式；（2）把x＝5代入解析式y＝4x（0≤x≤5），即可求出恒定温度；（3）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，用24小时减去这些时间即可．【解答】解：（1）设直线OB的函数解析式为：y＝kx（k≠0），根据题意，∴可得方程8＝2k，∴k＝4，∴正比例函数解析式为y＝4x（0≤x≤5）；根据图象可知：y＝20（5≤x≤10）；（2）∵y＝4x（0≤x≤5）；当x＝5时，y＝20，∴恒定温度为：20℃．（3）设10≤x≤24小时内函数解析式为：y=根据题意，可得方程：20=k∴k＝200，∴函数解析式为：y=∴24小时函数解析式为：y=∵当0≤x≤5时，10＝4x，∴x＝2.5，∵当10≤x≤24时，10=200∴x＝20，∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4＝6.5（h），∴气温高于10℃的适宜温度是：24﹣6.5＝17.5（h）．答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答本题的关键是找出临界点．14．（2024秋•铜仁市期末）张雪同学是个爱动手动脑的学生，她学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：cm）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：cm）的几组数据．像高（单位：cm）2345物距（单位：cm）6432.4（1）求像高y关于物距x的函数关系式；（2）因为实验器材限制，小孔到物体的距离（物距）不能超过8cm，则像高的范围是多少？【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y=（2）y≥1.5cm．【分析】（1）根据题中数据，可以发现像高y与物距x的乘积为常数12，因此像高y与物距x之间满足反比例函数关系即可；（2）由于物距x不能超过8cm，即x≤8，根据反比例函数性质即可得出答案．【解答】解：（1）根据题中数据，像高y与物距x之间满足反比例函数关系，则像高y关于物距x的函数关系式为y=（2）