2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之相似三角形

第21页（共21页）2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之相似三角形一．选择题（共5小题）1．（2024秋•界首市期末）如图，小明在练习本上画出直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（）A．ABAC=DEDF B．ABBC=DEEF2．（2024秋•阜阳期末）下列各条件中，能判断△ABC∽△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′ B．ABA'B'=BCC．ABBC=A'B'B'C'，∠A+D．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A′＝80°，∠B′＝70°3．（2024秋•曲阜市期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1m，BC＝9m，则建筑物CD的高是（）A．13.5m B．15m C．16.5m D．18m4．（2024秋•内乡县期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（）A．6011cm B．5cm C．6cm D．75．（2024秋•未央区期末）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（）A．965 B．1095 C．253 二．填空题（共5小题）6．（2025•南山区校级一模）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD=43，AB＝3，BC＝2．若CD=53，则AC7．（2024秋•江北区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD，满足∠A＝∠BCD，点E为AB中点，连接CE．若BD＝1，CD＝2，则CE的长为．8．（2024秋•哈尔滨期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝5，则AC的长为．9．（2024秋•石景山区期末）如图，直线AB∥EF∥CD，EF分别交AD，BC于点E，F．若AE＝1，ED＝2，则BFFC的值为10．（2024秋•芝罘区期末）矩形ABCD中，点E是BC的中点，DF⊥AE于点F，若CE＝3，CF＝4，则DF的长度是．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•宁强县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，点G在AB的延长线上，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：CE＝3：2．（1）求BG的长；（2）如果S△BGF＝3，求四边形ABFD的面积．12．（2024秋•碑林区校级期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E，∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，求DE的长．13．（2024秋•宁强县期末）如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为1.2米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为1.8米，落在墙上的影长为1.5米，求树高．14．（2024秋•未央区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的长．15．（2024秋•未央区期末）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝64.5米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度AB．

2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之相似三角形参考答案与试题解析题号12345答案CCBAB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•界首市期末）如图，小明在练习本上画出直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（）A．ABAC=DEDF B．ABBC=DEEF【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理解答．【解答】解：A．∵a∥b∥c，∴ABACB、∵a∥b∥c，∴ABBCC、∵线段不是直线m，n上的线段，∴ADBE与BED、∵a∥b∥c，∴BCEF故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找出对应线段是解题的关键．2．（2024秋•阜阳期末）下列各条件中，能判断△ABC∽△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′ B．ABA'B'=BCC．ABBC=A'B'B'C'，∠A+D．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A′＝80°，∠B′＝70°【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．【解答】解：A、∵AB＝A′B′，∠A＝∠A′，只有一角一边，∴无法判断两个三角形相似，故本选项错误，不符合题意；B、∵ABA'B'=BCA'C'，∠B＝∠B′，∠∴无法判断两个三角形相似，故本选项错误，不符合题意；C、由∠A+∠C＝∠A′+∠C′，可得∠B＝∠B′，再由ABBC=A两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确，符合题意；D、由∠A＝40°，∠B＝80°，可得∠C＝60°，由∠A′＝80°，∠B′＝70°，可得∠C′＝30°，只有∠B＝∠A′＝80°，无法得△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似．3．（2024秋•曲阜市期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1m，BC＝9m，则建筑物CD的高是（）A．13.5m B．15m C．16.5m D．18m【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】B【分析】根据题意可得：EB⊥AC，CD⊥AC，从而利用垂直定义可得：∠ABE＝∠ACD＝90°，然后证明A字模型△ABE∽△ACD，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：EB⊥AC，CD⊥AC，∴∠ABE＝∠ACD＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC∴11+9解得：CD＝15，∴建筑物CD的高是15m，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．4．（2024秋•内乡县期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（）A．6011cm B．5cm C．6cm D．7【考点】相似三角形的应用．【专题】推理能力．【答案】A【分析】证明△AEF∽△ABC，则EFBC=AKAD，设正方形零件EFHG的边长为x，则AK＝10﹣【解答】解：∵四边形EFHG是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴EFBC设正方形零件EFHG的边长为xcm，则AK＝（10﹣x）cm，∴x12解得：x=即这个正方形零件的边长为6011故选：A．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．（2024秋•未央区期末）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（）A．965 B．1095 C．253 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】三角形．【答案】B【分析】勾股定理求出AM的长，证明△ABM∽△EMA，列出比例式，求出AE的长，进而求出DE的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝12，∠B＝∠BAD＝90°，∴AM=∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°＝∠B，∴△ABM∽△EMA，∴AEAM∴AE=∴DE=故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2025•南山区校级一模）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD=43，AB＝3，BC＝2．若CD=53，则AC【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】52【分析】由BD=43，AB＝3，BC＝2，得BDBC=BCAB=23，因为∠B＝∠B，所以△CBD∽△【解答】解：∵BD=43，AB＝3，BC＝∴BDBC=4∴BDBC∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC，∴CDAC∵CD=5∴AC=32CD故答案为：52【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△CBD∽△ABC是解题的关键．7．（2024秋•江北区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD，满足∠A＝∠BCD，点E为AB中点，连接CE．若BD＝1，CD＝2，则CE的长为52【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】52【分析】由∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，证明△ABC∽△CBD，则∠ACB＝∠CDB＝90°，ABCB=CBBD，因为BD＝1，CD＝2，所以CB2＝BD2+CD2＝5，则AB=CB2BD=5，而点【解答】解：∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴∠ACB＝∠CDB，ABCB∵∠ACB＝90°，BD＝1，CD＝2，∴∠CDB＝90°，∴CB2＝BD2+CD2＝12+22＝5，∴AB=CB∵点E为AB中点，∴CE=12AB=1故答案为：52【点评】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明△ABC∽△CBD是解题的关键．8．（2024秋•哈尔滨期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝5，则AC的长为26．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据相似三角形的判定方法证明△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的性质得到AD：AC＝AC：AB，然后根据比例的性质可求出AC的长．【解答】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AD：AC＝AC：AB，即3：AC＝AC：（3+5），解得AC＝26或AC＝﹣26（舍去），即AC的长为26．故答案为：26．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；利用相似三角形的性质解决角和线段之间的关系．9．（2024秋•石景山区期末）如图，直线AB∥EF∥CD，EF分别交AD，BC于点E，F．若AE＝1，ED＝2，则BFFC的值为12【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可．【解答】解：∵AB∥EF∥CD，AE＝1，ED＝2，∴BFFC故答案为：12【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．10．（2024秋•芝罘区期末）矩形ABCD中，点E是BC的中点，DF⊥AE于点F，若CE＝3，CF＝4，则DF的长度是245【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】245【分析】延长AE、DC交于点H，由点E是BC的中点，CE＝3，得BE＝CE＝3，由矩形的性质得AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC＝2CE＝6，则∠BAE＝∠H，可证明△ABE≌△HCE，得AB＝HC，所以DC＝HC，由DF⊥AE于点F，得∠AFD＝∠DFH＝90°，所以HD＝2CF＝8，求得AH=AD2+HD2=10，再证明△AFD∽△ADH【解答】解：延长AE、DC交于点H，∵点E是BC的中点，CE＝3，CF＝4，∴BE＝CE＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC＝2CE＝6，∠ADH＝90°，∴∠BAE＝∠H，在△ABE和△HCE中，∠BAE∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB＝HC，∴DC＝HC，∵DF⊥AE于点F，∴∠AFD＝∠DFH＝90°，∴HD＝2CF＝8，∴AH=AD∵∠AFD＝∠ADH，∠FAD＝∠DAH，∴△AFD∽△ADH，∴DFHD∴DF=35HD=3故答案为：245【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•宁强县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，点G在AB的延长线上，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：CE＝3：2．（1）求BG的长；（2）如果S△BGF＝3，求四边形ABFD的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；运算能力．【答案】（1）3；（2）24．【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝6，AB∥CD，然后证明出△AEG∽△CED，利用相似三角形的性质得到AG＝9，进而求解即可；（2）首先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，然后证明出△GBF∽△GAD，然后利用相似三角形的性质得到S△GAD＝27，进而求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，∴△AEG∽△CED，∴AECE=AG解得AG＝9，∴BG＝AG﹣AB＝9﹣6＝3；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△GBF∽△GAD，∴S△GBFS解得S△GAD＝27，∴四边形ABFD的面积＝S△ADG﹣S△BGF＝27﹣3＝24．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．（2024秋•碑林区校级期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E，∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】证△CBA∽△CEB，得出ABBE=AC【解答】解：∵在△CBE与△CAB中，∠BCA＝∠BCA，∠CAB＝∠CBD，∴△CBA∽△CEB，∴ABBE∴4BEBE=10∴DE＝BD﹣BE＝5.5-10【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BE的长，题目比较好，难度适中．13．（2024秋•宁强县期末）如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为1.2米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为1.8米，落在墙上的影长为1.5米，求树高．【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】树高为3米．【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成关系式求出h的值即可．【解答】解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，∵长为1米的竹竿的影长为1.2米，落在墙上的影长为1.5米，∴11.2解得x＝1.8，经检验x＝1.8是所列方程的根．∴树的影长为：1.8+1.8＝3.6（m），∴11.2解得h＝3（m）．答：树高为3米．【点评】本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质求解，明确把影长分为两部分计算，然后再求和就是树的高度是解题的关键．14．（2024秋•未央区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】三角形．【答案】34【分析】先证明△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的性质得出AEAB【解答】解：∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AEAB∵AB＝3，AD＝2，AC＝8，∴AE3∴AE=【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．（2024秋•未央区期末）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝64.5米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度AB．【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；应用意识．【答案】47米．【分析】由△CDE∽△FGE得CDFG=DEGE，即得DE＝6米，进而得BE＝BD+DE＝70.5米，由△CDE∽△【解答】解：∵∠CED＝∠FEG，∠CDE＝∠FGE＝90°，∴△CDE∽△FGE，∴CDFG∴41.6∴DE＝6米，∴BE＝BD+DE＝64.5+6＝70.5米，∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴CDAB∴4AB∴AB＝47米，答：飞虹塔的高度AB为47米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

考点卡片1．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．4．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．6．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如