2025年 九年级数学中考二轮复习 二次函数的图象与性质 专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《二次函数的图象与性质》专题提升训练（附答案）一、单选题1．关于二次函数y=x−52+7A．开口向上 B．顶点坐标是5,7C．它有最大值为7 D．当x>5时，y随x的增大而增大2．若点Px0,y0在抛物线y=ax2a≠0上，则下列各点在抛物线A．x0+ℎ,yC．x0−ℎ,y3．直线l:y=kx+bk≠0与抛物线y=x−22−3交于A，B两点，与抛物线y=−x−12+3交于C，DA．3,32 B．32,−1 C．4．已知点A(a,b)，B(a+2,c)两点均在函数y=(x−1)2−2025的图象上．若b<c，则aA．a>2 B．a>1 C．a>0 D．0<a<25．将抛物线y=12x+1A．2,2 B．2,−2 C．−2,2 D．4,−26．已知二次函数y=3x−2①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=−2；③其最大值为1；④当x<2时，y随x的增大而减小；⑤顶点坐标为−2，A．1 B．2 C．3 D．47．已知抛物线y=x−22−1与y轴交于点D0, 3，其顶点为点A，与x轴交于B, C两点（B在C的左侧），连接DB, A．2, −1 B．0.5, 1.25 C．8．如图，矩形ABCD中，E为AB中点，连接CE．点F为点B关于CE的对称点，连接AF，BF，tan∠BAF=43．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与xA．B． C． D．二、填空题9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−2x−12+3的顶点与点10．已知抛物线y=−x2+2，则当−1≤x≤5时，y11．将二次函数y=x−32+4的图象向下平移bb>0个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点A2,−312．已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1的解析式为y=−5x−2213．若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离S（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：S=−2t−152+20014．如图，抛物线y=x−ℎ2+12与平行于x轴的直线l交于A, B15．如图，点A，B和点C，D分别在y=12x2和y=12x2−4的图像上．若点A，C的横坐标均为−2，点B16．已知二次函数y=x−3a2+a−1（a为常数）．当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当a=−1，a=0，a=1，三、解答题17．已知函数y=−1(1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______．(2)当x______时，y随x的增大而减小．(3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？(4)怎样平移抛物线y=−12x18．已知抛物线C:y=ax2+bx+c(1)求b，c的值；(2)若a=1，抛物线与直线L:y=12x+2相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当2PM=PN(3)已知点P0,2、Q0,4，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且∠APO=∠BPQ，求证：直线19．“强化课程建设，提升育人质量”，瑶海区某中学校本课程“物理@数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．(1)求抛物线解析式（不必写出取值范围）；(2)变阻器R消耗的电功率P最大为多少瓦？20．如图所示将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A0,10起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度ym与水平距离水平距离x00.51竖直高度y1011.2510(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：根据上述数据，求出y关于x的关系式；(2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为km，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离ℎm与时间ts信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.5s的时间才能完成极具难度的270问题解决：①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度ym与水平距离xm的关系为y=ax2−ax+1021．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=x2+bx+c与y轴相交于点A0,−3，与x(1)求抛物线C1的函数表达式及d(2)M是抛物线上的一点，且在第四象限内．①如图1，当点M到x轴的距离为3时，△BDM的面积为_______．②如图2，过点M作MN⊥AB于点N，当线段MN最大时，求此时点M的坐标．(3)将抛物线C1：y=x2+bx+c沿x轴翻折，得到抛物线C2，点P（横坐标为x）在抛物线C2上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意22．如图，点A，C为抛物线y=ax2+4(a为常数，且a<0)上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线AC于点E，过点A，C作直线BE的垂线，垂足分别为F(1)若a=−1，点A，B，C的横坐标分别为−3，m，1，(−3<m<1)，①求直线AC的函数关系式；②BE=______；（用含m的代数式表示）③试猜想BE，AF，CD之间的数量关系并证明：(2)若（1）中a的值改为−2，其余条件不变，请直接写出BE，AF，CD之间的数量关系；(3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，BE，AF，CD之间的数量关系是______．23．如图1，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C(0,−3)，其对称轴为直线l1:x=1，顶点为D，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点(1)试求抛物线y1和抛物线y(2)在图1中，点P的坐标为(5,0)，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接PM,EN，求(3)如图2，将直线DF沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段CE上运动（包括端点），△QDF的面积为正整数时，恰好直线DF与抛物线y1或抛物线y2交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为参考答案1．解：对于二次函数y=x−5由于a=1>0，故图象开口向上，抛物线顶点坐标为5,7，有最小值，对称轴为直线x=5，当x>5时，y随x的增大而增大；故选项C错误，符合题意；故选：C．2．解：∵点Px0,∴将Px0,y0A、x0+ℎ,y0代入B、x0+ℎ,y0+k代入y=aC、x0−ℎ,y0−k代入y=aD、−x0−ℎ,y0+k代入故选：D．3．解：设直线l与抛物线y=x−22−3的交点A的坐标为x1,联立y=kx+by=得：x2∴x1+∴AB========1+同理可得：CD=1+∵AB=CD，∴1+∴4+k解得：b=−3∴y=kx+b=kx−3当x=32时，∴直线l必过的定点为32故选：C．4．解：∵函数y=x−1∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∵b<c，∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，∴a+2−1>1−a，解得：a>0，故选：C．5．解：将抛物线y=12x+12向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的抛物线的解析式为y=1∵抛物线y=1∴关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为2,−2，故选：B．6．解：∵二次函数y=3(x−2)则a=3>0，∴该函数图象开口向上，故①正确；其图象的对称轴为直线x=2，故②错误；当x=2时，函数有最小值1，故③错误；当x<2时，y随x增大而减小，故④正确；顶点坐标为(2,1)，故⑤错误；∴错误的有②③⑤，共3个，故选：C．7．解：依题意，抛物线上存在一点P，故连接PC,OP,DC,BD，如图所示：∵点D0,∴OD=3，∵y=x−22−1与x轴交于B, C∴令y=0，则0=x−2解得x∴B1,0∴OC=3,BC=3−1=2，∵抛物线上存在一点P，使得S△POC∴12则3×y即yP把yP=2代入y=x−2解得x观察四个选项，唯有2−3故选：D．8．解：设BF,CE交于点G，∵点F为点B关于CE的对称点，∴CE垂直平分BF，∴BG=FG,∠EGB=90°，∵E为AB中点，∴EG为△AFB的中位线，∴EG∥AF，∴∠AFB=90°，∴tan∠BAF=∴设BF=4m,AF=3m，则：AB=5m=x，∴m=x∴BF=4∴y=12BF⋅AF=625∴y与x的函数图象大致为：故选D．9．解：∵抛物线y=−2x−1∴顶点坐标为1,3，∵O为坐标原点，∴两点间的距离公式为x2将顶点与原点坐标代入，得1−02故答案为：10．10．解：∵a=−1<0，对称轴为y轴，∴x>0时，y随x的增大而减小，∵−1≤x≤5，x=−1,与x=1关于y轴对称，∴x=0时，y的最大值=2；当x=5时，y最小=−5∴y的取值范围是−23≤y≤2．故答案为：−23≤y≤2．11．解：将二次函数y=x−32+4的图象向下平移b∵抛物线经过点2,−3，∴−3=2−3解得b=8，故答案为：8．12．解：∵抛物线C1的解析式为y=−5∴抛物线C1的开口向下，顶点坐标为2,−1∵抛物线C1与C∴抛物线的开口向上，顶点坐标为−2,1，∴抛物线的解析式为y=5x+2故答案为：y=5x+213．解：对于二次函数S=−2(t−15)2+200根据二次函数顶点式y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)，当x=ℎ时，y在函数S=−2(t−15)2+200中，当t=15故答案为：15．14．解：设点B的坐标为Bm,n∵AB平行于x轴，且AB=3，∴点A的坐标为Am−3,n将点Am−3,n，Bm,n代入y=x−ℎ解得m−ℎ=3将m−ℎ=32代入②得：所以点B的纵坐标为114故答案为：11415．解：如图，分别连接AB、CD．∵若点A，C的横坐标均为−2，点B，D的横坐标均为4，∴BD∥又∵上面的抛物线为y=12x∴AC=BD=4．∴四边形ACDB为平行四边形．又由平移可得，∴阴影部分的面积为平行四边形ACDB的面积=AC·x故答案为：24．16．解：∵y=x−3a2+∴设x=3ay=a−1，消去a得y=∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是y=1故答案为：y=117．（1）解：∵函数y=−1∴该函数的图象的开口方向是向下，对称轴是x=4，顶点坐标为4,−1．故答案为：向下，x=4，4,−1．（2）解：∵函数y=−12x−42−1∴当x>4时，y随x的增大而减小．故答案为：x>4．（3）解：∵函数y=−12x−42−1∴当x=4时，函数能取到最大值，最大值为−1．（4）解：抛物线y=−12x18．（1）解：设这个抛物线的表达式为y=ax−ℎ∵这个抛物线的顶点是0,0，∴这个抛物线的表达式y=ax∴b=0，c=0；（2）解：当a=1时，抛物线的表达式为y=x∵P为y轴右侧抛物线C上一动点，∴设点P的坐标为Pm,m2∵2PM=PN，∴21∴m=−17+12（舍去）或17+1∴m=17+12或（3）解：作点A关于y轴对称的对应点M，∵抛物线关于y轴对称，∴点M在抛物线上，连接MP，∵∠MPO=∠APO=∠BPQ，∴M，P，B三点共线，设Ap,ap2设直线PM的解析式为y=kx+b，得ap∴k=2−a∴直线PM的解析式为y=2−a∵点B，点M是抛物线C与直线PM的交点，∴y=2−a∴ax∴xB∵xM∴xB把xB的值代入y=ax2∴点B的坐标为2ap∵Ap,a∴同理可求直线AB的解析式为y=2+a当x=0时，y=−2，∴直线AB恒过一个定点，定点坐标为0,−2．19．（1）解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过1,165和4,0点，∴抛物线的对称轴为I=2，设抛物线的解析式为P=aI−2∴解得，a=−55∴抛物线解析式为P=−55I−2（2）解：由（1）可知，抛物线解析式为P=−55I−2∵−55<0，∴当I=2时，P取最大值220，∴变阻器R消耗的电功率P最大为220瓦．答：变阻器R消耗的电功率P最大为220瓦．20．（1）解：∵抛物线经过点0,10,∴抛物线的对称轴是直线x=0+1∵抛物线经过点0.5,11.25，∴抛物线的顶点坐标是0.5,11.25，设抛物线解析式为y=ax−把0,10代入y=ax−∴10=a×0−解得：a=−5，抛物线解析式为y=−5x−（2）解：把y=0代入y=−5得−5x−解得x1=2，∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米；（3）解：①运动员甲能成功完成此动作，理由如下：运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为454即k=45把ℎ=0代入ℎ=−5t得−5t解得t1=1.5，∵1.5=1.5，∴运动员甲能成功完成此动作；②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度ym与水平距离xm的关系为该抛物线的顶点为12∴k=10−1∴ℎ=−5t把ℎ=0代入ℎ=−5t整理得：t2由运动员甲在达到最高点后需要1.5s的时间才能完成极具难度的270C得t≥1.5，则t2≥1.5解得a≤−5.1．21．（1）解：把A0,−3，B3,0代入c=−39+3b+c=0，解得：b=−2∴抛物线C1的函数表达式y把Dd,0代入yy解得：d1=−1，∴D−1,0∴d=−1．（2）解：①∵B3,0，D∴BD=3−∵当点M到x轴的距离为3时，∴S△BDM②过点M作MP⊥x于P，连接MA，MB，∵A0,−3，B∴AB=32设点Mx,∵点M在第四象限内，∴MP=−x2−2x−3=−x∴1∴1∴MN=−∵−∴当x=32时，MN有最大值∴当x=32∴当线段MN最大时，此时点M的坐标为32（3）解：∵抛物线C1：y=x2−∴抛物线C2：y=−∵−1<0∴抛物线C2：y=−x−12+4开口向下，当x<1时，y随x增大而增大，当x>1时，，y随x增大而减小，当当t+1≤1，即t≤0时，在t−1≤x≤t+1时，最大值m=−t+1−1最小值n=−t−1−1∵m−n≤6∴−解得：t≥−∴−1∴t的整数值为0，②当t−1<1且t+1>1，即0<t<2时，在t−1≤x≤t+1时，i)当0<t≤1时，最大值m=−t+1−1最小值n=−t−1−1∵m−n≤6，∴−t解得：t≥1∴12∴t的整数解为1；ii)当1<t<2时，∴t无整数解；③当t−1≥1，即t≥2时，最大值m=−t−1−1最小值n=−t−1−1∵m−n≤6，∴−t解得：t≤5∴2≤t≤5∴t的整数解为2；综上，若对于任意t−1≤x≤t+1，m−n≤6恒成立，实数t的所有整数值的和为0+1+2=3．22．（1）解：①若a=−1，抛物线的表达式为：y=−x当x=−3时，y=−−3当x=m时，y=−m当x=1时，y=−1∴A−3,−5，Bm,−m设直线AC的解析式为y=kx+b，∴−3k+b=−5k+b=3，解得k=2∴直线AC的表达式为：y=2x+1；②对于直线AC：y=2x+1，当x=m时，y=2x+1=2m+1，∴Em,2m+1∴BE=−m故答案为：−m③BE=AF⋅CD，理由如下：∵A−3,−5，C1,3，Bm,−BE=−m2−2m+3，AF=m+3∴BE=AF⋅CD；（2）解：BE=2AF⋅CD，理由如下：当a=−2时，抛物线的表达式为：y=−2x∴A−3,−14，Bm,−2m同理可得：直线AC的表达式为：y=4x−2，∴Em,4m−2∴BE=−2mCD=1−m，AF=m+3，∴BE=2AF⋅CD；（3）解：BE=−a⋅AF⋅CD，理由如下：设点At,a