2024年三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不一样分為正角、负角、零角．②按终边位置不一样分為象限角和轴线角．角的顶點与原點重叠，角的始边与轴的非负半轴重叠，终边落在第几象限，则称為第几象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為终边在轴上的角的集合為终边在轴上的角的集合為终边在坐標轴上的角的集合為(2)终边与角α相似的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相似的角的集合為(3)弧度制①1弧度的角：把長度等于半径長的弧所對的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径為的圆的圆心角所對弧的長為，则角的弧度数的绝對值是④若扇形的圆心角為，半径為，弧長為，周長為，面积為，则，，．2．任意角的三角函数定义设α是一种任意角，角α的终边上任意一點P(x，y)，它与原點的距离為，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)．（三角函数值在各象限的符号规律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值角度函数030456090120135150180270360角a的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-10cosa1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana0√3/31√3-√3-1-√3/300二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在运用同角三角函数的平方关系時，若開方，要尤其注意判断符号）(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.（3）倒数关系：2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.诱导公式可概括為k·eq\f(π,2)±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α當作锐角時，根据k·eq\f(π,2)±α在哪個象限判断原三角函数值的符号，最终作為成果符号．B.措施与要點一种口诀1、诱导公式的记忆口诀為：奇变偶不变，符号看象限．2、四种措施在求值与化简時，常用措施有：(1)弦切互化法：重要运用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：运用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系進行变形、转化．（、、三個式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝taneq\f(π,4)（4）齐次式化切法：已知，则三、三角函数的图像与性质學习目的：1會求三角函数的定义域、值域2會求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。3會判断三角函数奇偶性4會求三角函数單调区间5懂得三角函数图像的對称中心，對称轴6懂得，，的简朴性质知识要點梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图措施：五點法：先取横坐標分别為0，的五點，再用光滑的曲线把這五點连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一种周期内的图象。2、正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值－1。（3）周期性：，的最小正周期都是2；（4）奇偶性与對称性：①正弦函数是奇函数，對称中心是，對称轴是直线；②余弦函数是偶函数，對称中心是，對称轴是直线；（正(余)弦型函数的對称轴為過最高點或最低點且垂直于轴的直线，對称中心為图象与轴的交點）。（5）單调性：上單调递增，在單调递減；在上單调递增,在上單调递減。尤其提醒，别忘了！3、正切函数的图象和性质：（1）定义域：。（2）值域是R，無最大值也無最小值；（3）奇偶性与對称性：是奇函数，對称中心是，尤其提醒：正(余)切型函数的對称中心有两类：一类是图象与轴的交點，另一类是渐近线与轴的交點，但無對称轴，這是与正弦、余弦函数的不一样之处。（4）單调性：正切函数在開区间内都是增函数。但要注意在整個定义域上不具有單调性。4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质函函数性质图象定义域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数單调性在上是增函数；在上是減函数．在上是增函数；在上是減函数．在上是增函数．對称性對称中心對称轴對称中心對称轴對称中心無對称轴5、研究函数性质的措施：类比于研究的性质，只需将中的當作中的。函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。（1）定义域：R（2）值域：[-A,A]（3）周期性：①和的最小正周期都是。②的最小正周期都是。（4）單调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的單调增区间可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得；單调減区间可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。在求的單调区间時，要尤其注意A和的符号，通過诱导公式先将化正。如函数的递減区间是______（答：解析：y=，因此求y的递減区间即是求的递增区间，由得，因此y的递減区间是四、函数的图像和三角函数模型的简朴应用知识要點几种物理量：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③频率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函数体現式确实定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊點确定.函数，當時，获得最小值為；當時，获得最大值為，则，，．3、函数图象的画法：①“五點法”――设，令＝0，求出對应的值，计算得出五點的坐標，描點後得出图象；②图象变换法：這是作函数简图常用措施。4、函数y＝sinx的图象經变换可得到的图象yy=sinxy=sinxXXXxxx横坐標伸（缩）倍左（右）平移纵坐標伸（缩）A倍y=sinx左（右）平移纵坐標伸（缩）A倍横坐標伸（缩）倍左（右）平移横坐標伸（缩）倍横坐標伸（缩）倍纵坐標伸（缩）A倍横坐標伸(缩)倍纵坐標伸（缩）A倍左（右）平移左（右）平移纵坐標伸（缩）A倍5、函数的图象与图象间的关系：①函数的图象向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的图象；②函数图象的纵坐標不变，横坐標变為本来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐標不变，纵坐標变為本来的A倍，得到函数的图象；④函数图象向上（）或向下（）平移個單位，得到的图象。要尤其注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移個單位，如要得到函数y＝sin(2x－eq\f(π,3))的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()(A)向左平移eq\f(π,3)個單位(B)向右平移eq\f(π,3)個單位(C)向左平移eq\f(π,6)個單位(D)向右平移eq\f(π,6)個單位6、函数y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性质和图象的变换与y＝Asin（x＋）类似。三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．如；（答案：）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．如cos2eq\f(5π,12)＋cos2eq\f(π,12)＋coseq\f(5π,12)coseq\f(π,12)的值等于；（答案：eq\f(5,4)）=2\*GB2⑵升幂公式降幂公式，．=3\*GB2⑶．3、二弦归一把两個三角函数的和或差化為一种三角函数：，其中．4、三角变换時运算化简的過程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的措施．常用的措施技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，体現式中往往出現较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与結论中角的关系，运用角的变换，使問題获解，對角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；問：；；③；④；⑤；等等.如[1].（答案：）[2]若cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，且eq\f(π,2)＜α－β＜π，eq\f(3π,2)＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.（答案：－eq\f(7,25)，－1）[3]已知则；（答案：）（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称為同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，一般化切為弦，变异名為同名（二弦归一）。如；（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有時需要将常数转化為三角函数值，例如常数