2024年圆锥曲线知识点考点总结

圆锥曲线知识點考點總結___________________________________高中数學知识點大全—圆锥曲线一、考點（限考）概要：

1、椭圆：

（1）轨迹定义：

①定义一：在平面内到两定點的距离之和等于定長的點的轨迹是椭圆，两定點是焦點，两定點间距离是焦距，且定長2a不小于焦距2c。用集合表达為：；

②定义二：在平面内到定點的距离和它到一条定直线的距离之比是個常数e，那么這個點的轨迹叫做椭圆。其中定點叫焦點，定直线叫准线，常数e是离心率。

用集合表达為：；

（2）原则方程和性质：

注意：當没有明确焦點在個坐標轴上時，所求的原则方程应有两個。

（3）参数方程：（θ為参数）；

3、双曲线：

（1）轨迹定义：

①定义一：在平面内到两定點的距离之差的绝對值等于定長的點的轨迹是双曲线，两定點是焦點，两定點间距离是焦距。用集合表达為：

②定义二：到定點的距离和它到一条定直线的距离之比是個常数e，那么這個點的轨迹叫做双曲线。其中定點叫焦點，定直线叫准线，常数e是离心率。

用集合表达為：

（2）原则方程和性质：

注意：當没有明确焦點在個坐標轴上時，所求的原则方程应有两個。

4、抛物线：

（1）轨迹定义：在平面内到定點和定直线的距离相等的點的轨迹是抛物线，定點是焦點，定直线是准线，定點与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表达為：

（2）原则方程和性质：

①焦點坐標的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；

②原则方程中一次项的字母与對称轴和准线方程的字母一致；

③原则方程的顶點在原點，對称轴是坐標轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习點睛：

1、平面解析几何的知识构造：

2、椭圆各参数间的关系請记熟“六點六线，一种三角形”，即六點：四個顶點，两個焦點；六线：两条准线，長轴短轴，焦點线和垂线PQ；三角形：焦點三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在這個图中找到。

3、椭圆形状与e的关系：當e→0，c→0，椭圆→圆，直至成為极限位置的圆，则认為圆是椭圆在e=0時的特例。當e→1，c→a椭圆变扁，直至成為极限位置的线段，此時也可认為是椭圆在e=1時的特例。

4、运用焦半径公式计算焦點弦長：若斜率為k的直线被圆锥曲线所截得的弦為AB，A、B两點的坐標分别為，则弦長

這裏体現理解析几何“设而不求”的解題思想。

5、若過椭圆左（或右）焦點的焦點弦為AB，则；

6、結合下图熟记双曲线的：“四點八线，一种三角形”，即：四點：顶點和焦點；八线：实轴、虚轴、准线、渐進线、焦點弦、垂线PQ。三角形：焦點三角形。

7、双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝對值就越大，這時双曲线的形状就從扁狭逐渐变得開阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的開口就越阔。

8、双曲线的焦點到渐近线的距离為b。

9、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴為虚轴，虚轴為实轴，這样得到的双曲线称為原双曲线的共轭双曲线。区别：三常数a、b、c中a、b不一样（互换）c相似,它們共用一對渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦點在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的措施：将1变為－1。

10、過双曲线外一點P（x,y）的直线与双曲线只有一种公共點的状况如下：

（1）P點在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内時，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

（2）P點在两条渐近线之间且包括双曲线的区域内時，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

（3）P在两条渐近线上但非原點，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；

（4）P為原點時不存在這样的直线；

11、結合图形熟记抛物线：“两點两线，一种直角梯形”，即：两點：顶點和焦點；两线：准线、焦點弦；梯形：直角梯形ABCD。

12、對于抛物线上的點的坐標可设為，以简化计算；

13、抛物线的焦點弦（過焦點的弦）為AB，且，则有如下結论：

14、過抛物线外一點總有三条直线和抛物线有且只有一种公共點：两条切线和一条平行于對称轴的直线；

15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中點問題常用代點相減法：即设為曲线上不一样的两點，是的中點，则可得到弦中點与两點间关系：

16、當波及到弦的中點時，一般有两种处理措施：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方程，消元後，用韦达定理求有关参数（即设而不求）；二是點差法，即设出交點坐標，然後把交點坐標代入曲线方程，两式相減後，再求有关参数。在运用點差法時，必须检查条件△＞0与否成立。

5、圆锥曲线：

（1）统一定义，三种圆锥曲线均可當作是這样的點集：，其中F為定點，d為點P到定直线的l距离，，e為常数，如图。

（2）當0＜e＜1時，點P的轨迹是椭圆；當e＞1時，點P的轨迹是双曲线；當e=1時，點P的轨迹是抛物线。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不由于位置的变化而变化。

①定性：焦點在与准线垂直的對称轴上

ⅰ椭圆及双曲线：中心為两焦點中點，两准线有关中心對称；

ⅱ椭圆及双曲线有关長轴、短轴或实轴、虚轴為轴對称，有关中心為中心對称；

ⅲ抛物线的對称轴是坐標轴，對称中心是原點。

②定量：

（4）圆锥曲线的原则方程及解析量（随坐標变化而变）

以焦點在x轴上的方程為例：

6、曲线与方程：

（1）轨迹法求曲线方程的程序：

①建立合适的坐標系；

②设曲线上任一點（動點）M的坐標為(x,y)；

③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0；

④化简方程f(x,y)=0為最简形式；

⑤证明化简後的方程的解為坐標的點都在曲线上；

（2）曲线的交點：

由方程组确定，方程组有几组不一样的实数解，两条曲线就有几种公共點；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共點。

1、圆锥曲线的两個定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两個定點F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要不小于，當常数等于時，轨迹是线段FF，當常数不不小于時，無轨迹；双曲线中，与两定點F，F的距离的差的绝對值等于常数，且此常数一定要不不小于|FF|，定义中的“绝對值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F為端點的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝對值则轨迹仅表达双曲线的一支。（2）第二定义中要注意定點和定直线是對应的焦點和准线，且“點點距為分子、點线距為分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，給出了圆锥曲线上的點到焦點距离与此點到對应准线距离间的关系，要善于运用第二定义對它們進行互相转化。Attention：（1）在求解椭圆、双曲线問題時，首先要判断焦點位置，焦點F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线原则方程的类型，而方程中的两個参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线問題時，首先要判断開口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。4.圆锥曲线的几何性质：

椭圆（以（）為例）：①范围：；②焦點：两個焦點；③對称性：两条對称轴，一种對称中心（0,0），四個顶點，其中長轴長為2，短轴長為2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以（）為例）：①范围：或；②焦點：两個焦點；③對称性：两条對称轴，一种對称中心（0,0），两個顶點，其中实轴長為2，虚轴長為2，尤其地，當实轴和虚轴的長相等時，称為等轴双曲线，其方程可设為；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥两条渐近线：。抛物线（认為例）：①范围：；②焦點：一种焦點，其中的几何意义是：焦點到准线的距离；③對称性：一条對称轴，没有對称中心，只有一种顶點（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。5、點和椭圆（）的关系：（1）點在椭圆外；（2）點在椭圆上＝1；（3）點在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，當直线与双曲线的渐近线平行時，直线与双曲线相交且只有一种交點，故是直线与双曲线相交的充足条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，當直线与抛物线的對称轴平行時，直线与抛物线相交且只有一种交點，故也仅是直线与抛物线相交的充足条件，但不是必要条件。Attention：（1）直线与双曲线、抛物线只有一种公共點時的位置关系有两种情形：相切和相交。假如直线与双曲线的渐近线平行時,直线与双曲线相交,但只有一种交點；假如直线与抛物线的轴平行時,直线与抛物线相交,也只有一种交點；

（2）過双曲线＝1外一點的直线与双曲线只有一种公共點的状况如下：①P點在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内時，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P點在两条渐近线之间且包括双曲线的区域内時，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原點，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P為原點時不存在這样的直线；

過抛物线外一點總有三条直线和抛物线有且只有一种公共點：两条切线和一条平行于對称轴的直线。7、焦半径（圆锥曲线上的點P到焦點F的距离）的计算措施：运用圆锥曲线的第二定义，转化到對应准线的距离，即焦半径，其中表达P到与F所對应的准线的距离。8、焦點三角形（椭圆或双曲线上的一點与两焦點所构成的三角形）問題：常运用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一點到两焦點的距离分别為，焦點的面积為，则在椭圆中，①＝，且當即為短轴端點時，最大為＝；②，當即為短轴端點時，的最大值為bc；對于双曲线的焦點三角形有：①；②。9、抛物线中与焦點弦有关的某些几何图形的性质：（1）以過焦點的弦為直径的圆和准线相切；（2）设AB為焦點弦，M為准线与x轴的交點，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB為焦點弦，A、B在准线上的射影分别為A，B，若P為AB的中點，则PA⊥PB；（4）若AO的延長线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若過B點平行于x轴的直线交准线于C點，则A，O，C三點共线。10、弦長公式：若直线与圆锥曲线相交于两點A、B，且分别為A、B的横坐標，则＝，若分别為A、B的纵坐標，则＝，若弦AB所在直线方程设為，则＝。尤其地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的计算，一般不用弦長公式计算，而是将焦點弦转化為两条焦半径之和後，运用第二定义求解。11、圆锥曲线的中點弦問題：碰到中點弦問題常用“韦达定理”或“點差法”求解。在椭圆中，认為中點的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，认為中點的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，认為中點的弦所在直线的斜率k=。Attention：由于是直线与圆锥曲线相交于两點的必要条件，故在求解有关弦長、對称問題時，务必别忘了检查！12．重要結论：（1）双曲线的渐近线方程為；（2）认為渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程為為参数，≠0）。如与双曲线有共同的渐近线，且過點的双曲线方程為_______（答：）（3）中心在原點，坐標轴為對称轴的椭圆、双曲线方程可设為；（4）椭圆、双曲线的通径（過焦點且垂直于對称轴的弦）為，焦准距（焦點到對应准线的距离）為，抛物线的通径為，焦准距為；（5）通径是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦點弦為AB，，则①；②（7）若OA、OB是過抛物线顶點O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒通過定點圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两個定點、的距离的和等于常数2（不小于）的點的轨迹叫做椭圆。這两個定點叫做椭圆的焦點，两焦點的距离2c叫椭圆的焦距。若為椭圆上任意一點，则有。椭圆的原则方程為：（）（焦點在x轴上）或（）（焦點在y轴上）。注：①以上方程中的大小，其中；②在和两個方程中均有的条件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）當時表达焦點在轴上的椭圆；當時表达焦點在轴上的椭圆。（2）椭圆的性质①范围：由原则方程知，，阐明椭圆位于直线，所围成的矩形裏；②對称性：在曲线方程裏，若以替代方程不变，因此若點在曲线上時，點也在曲线上，因此曲线有关轴對称，同理，以替代方程不变，则曲线有关轴對称。若同步以替代，替代方程也不变，则曲线有关原點對称。因此，椭圆有关轴、轴和原點對称。這時，坐標轴是椭圆的對称轴，原點是對称中心，椭圆的對称中心叫椭圆的中心；③顶點：确定曲线在坐標系中的位置，常需规定出曲线与轴、轴的交點坐標。在椭圆的原则方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两個交點。同理令得，即，是椭圆与轴的两個交點。因此，椭圆与坐標轴的交點有四個，這四個交點叫做椭圆的顶點。同步，线段、分别叫做椭圆的長轴和短轴，它們的長分别為和，和分别叫做椭圆的長半轴長和短半轴長。由椭圆的對称性知：椭圆的短轴端點到焦點的距离為；在中，，，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与長轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越靠近，就越靠近，從而就越小，對应的椭圆越扁；反之，越靠近于，就越靠近于，從而越靠近于，這時椭圆越靠近于圆。當且仅當時，，两焦點重叠，图形变為圆，方程為。2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两點距离的差的绝對值為非零常数的動點轨迹是双曲线（）。注意：①式中是差的绝對值，在条件下；時為双曲线的一支；時為双曲线的另一支（含的一支）；②當時，表达两条射线；③當時，不表达任何图形；④两定點叫做双曲线的焦點，叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义方程焦點注意：怎样用方程确定焦點的位置！（2）双曲线的性质①范围：從原则方程，看出曲线在坐標系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。②對称性：双曲线有关每個坐標轴和原點都是對称的，這時，坐標轴是双曲线的對称轴，原點是双曲线的對称中心，双曲线的對称中心叫做双曲线的中心。③顶點：双曲线和對称轴的交點叫做双曲线的顶點。在双曲线的方程裏，對称轴是轴，因此令得，因此双曲线和轴有两個交點，他們是双曲线的顶點。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交點。1）注意：双曲线的顶點只有两個，這是与椭圆不一样的（椭圆有四個顶